考生注意：本試卷共三道大題， 25 道小題，滿分120分，時量120分鐘
一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的．請在答題卡中填涂符合題意的選項，本大題共10個小題，每小題3分，共30分）
1. 下列四個實數(shù)中，無理數(shù)是（ ）
A. B. C. 3.14D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，如開方開不盡的數(shù)的方根、π．根據(jù)無理數(shù)的定義判斷即可；
【詳解】解：A．是無理數(shù)，符合題意；
B．是有理數(shù)；
C．3.14，是有理數(shù)；
D．是有理數(shù)；
故選：A．
2. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，掌握四個象限的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：第一象限正正，第二象限負(fù)正，第三象限負(fù)負(fù)，第四象限正負(fù)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵點(diǎn)P橫坐標(biāo)為負(fù)，縱坐標(biāo)為正，
∴點(diǎn)在第二象限，
故選B．
3. 如圖所示，若，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查的知識點(diǎn)是平行線的性質(zhì)及對頂角相等，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握平行線的性質(zhì)，先求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而求出結(jié)論．
【詳解】解：如圖：
，
，
，
，
故選：C．
4. 下列等式正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了平方根、算術(shù)平方根和立方根的定義，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的知識進(jìn)行判斷．
根據(jù)平方根、算術(shù)平方根和立方根的運(yùn)算法則即可求出答案．
【詳解】解：A、，故A錯誤．
B、，故B錯誤．
C、，故C錯誤．
D、，故D正確．
故選：D．
5. 如圖，下列條件中，能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)平行線的判定條件逐一判斷即可．
【詳解】解：由，可以判定（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故A符合題意；
由，不能判定，故B不符合題意；
由，能判定（同位角相等，兩直線平行），不能判定，故C符合題意；
由，可以判定（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），不能判定，故D不符合題意；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定，熟知平行線的判定條件是解題的關(guān)鍵．
6. 一塊含角的直角三角板，按如圖所示方式放置，頂點(diǎn)A，C分別落在直線a，b上，若直線，，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，含角的直角三角板，即可求解，
本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握平行線的性質(zhì)定理．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故選：B．
7. 是關(guān)于x，y的二元一次方程，則（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】此題考查了二元一次方程的定義，熟練掌握二元一次方程的定義是解本題的關(guān)鍵．利用二元一次方程的定義解答即可．含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，像這樣的整式方程叫做二元一次方程．
【詳解】解：∵是關(guān)于x，y的二元一次方程，
∴，
解得：，
故選：C．
8. 用加減消元法解方程組，下列做法正確的是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查加減消元法解方程組．利用加減消元法解方程組即可．
【詳解】解：若消去，
則得：；
若消去，
則得：；
故選：A．
9. 我國明代《算法統(tǒng)宗》一書中有如下的類似問題：“一支竿子一條索，索比竿子長兩托，對折索子來量竿，卻比竿子短一托（一托按照5尺計算）．”大意是：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，如果用繩索去量竿，繩索比竿長10尺；如果將繩索對折后再去量竿，就比竿短5尺．如果此題中設(shè)竿長x尺，繩索長y尺，根據(jù)題意可列方程組為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程組，根據(jù)實際問題中的條件列方程組時，要注意抓住題目中的一些關(guān)鍵性詞語，找出等量關(guān)系，列出方程組．本題要注意前后兩次繩和桿的數(shù)量關(guān)系．設(shè)竿長x尺，繩索長y尺，根據(jù)第一次用繩索去量竿，繩索比竿長10尺，第二次將繩索對折去量竿，就比竿短5尺，則可得方程組．
【詳解】解：設(shè)竿長x尺，繩索長y尺，
由題意可得：，
故選：B．
10. 下列命題中：①5的平方根是；②負(fù)數(shù)沒有立方根；③的相反數(shù)是；④負(fù)數(shù)沒有平方根；⑤立方根是本身的數(shù)有、0、1．是真命題的有（ ）個．
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】此題主要考查了平方根、算術(shù)平方根、立方根的含義和求法．根據(jù)平方根、算術(shù)平方根、立方根的含義和求法，逐一判斷即可．
【詳解】解：①5的平方根是，正確；
②負(fù)數(shù)有立方根，原說法錯誤；
③的相反數(shù)是，原說法錯誤；
④負(fù)數(shù)沒有平方根，正確；
⑤立方根是本身的數(shù)有?1、0、1，正確；
綜上，正確的有①④⑤，共3個．
故選：B．
二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）
11. 在方程中，用含y的代數(shù)式表示x，得________．
【答案】
【解析】
【分析】移項即可．
【詳解】移項得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程，等式的性質(zhì)，用一個含未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)是代入消元法解二元一次方程組中的必要變形．
12. 已知點(diǎn)，則P點(diǎn)到x軸距離是__________．
【答案】2
【解析】
【分析】本題考查點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離，掌握到x軸的距離是點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值，到y(tǒng)軸的距離是點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對值是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：點(diǎn)到x軸的距離是，
故答案為：2．
13. 已知方程組的解滿足，則__________．
【答案】7
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程組的特殊解法，根據(jù)方程組的特點(diǎn)靈活求解是關(guān)鍵．
觀察方程組，可知兩個方程相加后，繼而可得關(guān)于的方程，解方程即可．
【詳解】，
，得
，
由，
得，
即，
解得，
故答案為7．
14. 如圖，把長方形ABCD沿EF對折，若∠1=50°，則∠AEF的度數(shù)等于__.
【答案】
【解析】
【詳解】解：∵把長方形ABCD沿EF對折，
∴AD∥BC，∠BFE=∠2，
∵∠1=50°，∠1+∠2+∠BFE=180°，
∴∠BFE==65°，
∵∠AEF+∠BFE=180°，
∴∠AEF=115°．
故答案為：115°．
15. 已知的整數(shù)部分是1，則小數(shù)部分是；若的小數(shù)部分為a，則 __________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知的整數(shù)部分為3，則小數(shù)部分為，
本題考查了無理數(shù)整數(shù)、小數(shù)部分的相關(guān)問題，解題的關(guān)鍵是：求出無理數(shù)的取值范圍，從而確定取值．
【詳解】解：∵，
∴的整數(shù)部分是3，
∴的小數(shù)部分為：，
故答案為：．
16. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一動點(diǎn)從原點(diǎn)O出發(fā)，按向上，向右，向下，向右的方向依次平移，每次移動一個單位，得到點(diǎn)， ， ， ，…那么點(diǎn)的坐標(biāo)為_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索，觀察可得每四次移動為一個循環(huán)，每個循環(huán)橫坐標(biāo)增加2，縱坐標(biāo)為1，1，0，0依次出現(xiàn)，據(jù)此規(guī)律求解即可．
【詳解】解：， ， ， ，…
以此類推可知，每四次移動為一個循環(huán)，每個循環(huán)橫坐標(biāo)增加2，縱坐標(biāo)為1，1，0，0依次出現(xiàn)，
∵，
∴的坐標(biāo)為，即，
故答案為：．
三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題9分，第24、25題每題10分，共72分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查實數(shù)混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)算術(shù)平方根的定義、立方根的定義計算即可；
【詳解】解：原式
．
18. 解方程組：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了解二元一次方程，解題的關(guān)鍵是：
（1）利用代入消元法求解即可；
（2）利用加減消元法求解即可．
【小問1詳解】
解：
把①代入②，得，
解得，
把代入①，得，
∴方程組的解為；
【小問2詳解】
解：，
，得，
解得，
把代入②，得，
解得，
∴方程組的解為．
19. 如圖，，，，試說明．請完善解答過程，并在括號內(nèi)填寫相應(yīng)的理論依據(jù)．
解：，（已知）
__________．（_______________________________________）
．（_______________________________________）
，（已知）
．（等量代換）
．（_______________________________________）
__________．（兩直線平行，同位角相等）
，（已知）
．（_______________________________________）
．（等量代換）
【答案】；同位角相等，兩直線平行； 兩直線平行，內(nèi)錯角相等；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；；垂直的定義
【解析】
【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，垂線的定義，熟知平行線的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定條件以及垂線的定義進(jìn)行證明即可．
【詳解】解：，（已知）
．（同位角相等，兩直線平行）
．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
，（已知）
．（等量代換）
．（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）
．（兩直線平行，同位角相等）
，（已知）
．（垂直的定義）
．（等量代換）
故答案為：；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；；垂直的定義．
20. 已知正數(shù)x的兩個平方根分別是和，負(fù)數(shù)y的立方根與它本身相同．
（1）求a，x的值；
（2）求的算術(shù)平方根．
【答案】（1），25
（2）6
【解析】
【分析】本題考查平方根和算術(shù)平方根、立方根．熟練掌握一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)平方根和立方根的定義進(jìn)行求解即可；
（2）先求出代數(shù)式的值，然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義進(jìn)行求解即可．
小問1詳解】
解：依題意，得，
解得，
，，
．
即a，x的值分別為，25．
【小問2詳解】
負(fù)數(shù)y的立方根與它本身相同，
；
當(dāng)，時，，
的算術(shù)平方根為6．
21. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，線段的位置如圖所示，其中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為．
（1）將線段平移得到線段，其中點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)為A，點(diǎn)N的對應(yīng)點(diǎn)為B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為__________；
（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，連接，，求的面積；
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使以A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為6，若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）點(diǎn)P坐標(biāo)為或
【解析】
【分析】本題考查作圖一平移變換，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．
（1）利用平移的性質(zhì)畫出圖形即可解決問題；
（2）利用分割法求三角形面積即可；
（3）設(shè)，由題意解方程即可．
【小問1詳解】
解：由題意得：平移后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為A，
∴先向右平移3個單位長度，再向上平移5個單位長度，
∴點(diǎn)平移后得到；
【小問2詳解】
解：如下圖：

解：由（1）可知點(diǎn)的坐標(biāo)為，
；
【小問3詳解】
解：，由題意得，，
解得和6，
∴或．
22. 北京時間2023年10月26日，神舟十七號載人飛船發(fā)射取得了圓滿成功！神舟十七號發(fā)射成功并對接中國空間站，標(biāo)志著中國載人航天走過空間站關(guān)鍵技術(shù)驗證階段和建造階段．某超市為了滿足廣大航天愛好者的需求，計劃購進(jìn)A、B兩種航天載人飛船模型進(jìn)行銷售，據(jù)了解，2件A種航天載人飛船模型和4件B種航天載人飛船模型的進(jìn)價共計140元；3件A種航天載人飛船模型和2件B種航天載人飛船模型的進(jìn)價共計130元．
（1）求A，B兩種航天載人飛船模型每件的進(jìn)價分別為多少元？
（2）若該超市計劃正好用240元購進(jìn)以上兩種航天載人飛船模型（兩種航天載人飛船模型均有購買），請你寫出所有購買方案．
【答案】（1）A種飛船模型每件進(jìn)價30元，B種飛船模型每件進(jìn)價20元；
（2）①購進(jìn)6件A型飛船模型和3件B型飛船模型；
②購進(jìn)4件A型飛船模型和6件B型飛船模型；
③購進(jìn)2件A型飛船模型和9件B型飛船模型．
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用及二元一次方程的正整數(shù)解的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系列出二元一次方程（組）是解題關(guān)鍵．
（1）設(shè)A種飛船模型每件進(jìn)價x元，B種飛船模型每件進(jìn)價y元，根據(jù)題意可得關(guān)于x、y二元一次方程組，解之即可；
（2）設(shè)購進(jìn)a件A型飛船模型和b件B型飛船模型，根據(jù)總價=單價×數(shù)量，得到關(guān)于a、b的二元一次方程，結(jié)合a、b是正整數(shù)即可得所有購買方案．
【小問1詳解】
解：（1）設(shè)A種飛船模型每件進(jìn)價x元，B種飛船模型每件進(jìn)價y元，
根據(jù)題意，得，
解得，
答：A種飛船模型每件進(jìn)價30元，B種飛船模型每件進(jìn)價20元；
【小問2詳解】
設(shè)購進(jìn)a件A型飛船模型和b件B型飛船模型，根據(jù)題意，
得，
，
，b均為正整數(shù)，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
所有購買方案如下：
①購進(jìn)6件A型飛船模型和3件B型飛船模型；
②購進(jìn)4件A型飛船模型和6件B型飛船模型；
③購進(jìn)2件A型飛船模型和9件B型飛船模型．
23. 三角形中，D是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是線段延長線上一點(diǎn)，連接，．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，連接，若，，求的度數(shù)；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)G是線段長線上一點(diǎn)，若，平分，求的度數(shù)．
【答案】（1）見解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，平角的定義，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)．
（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可完成證明；
（2）過過點(diǎn)E作，可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得結(jié)論；
（3）設(shè)，則，，然后根據(jù)，求出x的值，進(jìn)而可得結(jié)果．
【小問1詳解】
證明：，
，
又，
．
；
【小問2詳解】
解：如圖2，過點(diǎn)E作，
，
，
，
，
；
【小問3詳解】
平分，
，
，
設(shè)，
則，
，
，，
，
，
解得，
，
，
．
24. 已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足，就稱這個方程組為“好友方程組”，點(diǎn)為“好友點(diǎn)”．例如方程組的解為，滿足，則方程組為“好友方程組”，點(diǎn)為“好友點(diǎn)”．
（1）下列方程組中，為“好友方程組”的是__________．（直接填序號）
①． ②． ③． ④．
（2）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組，請判斷此方程組是否為“好友方程組”，若是，請求出m的值；若不是，請說明理由．
（3）已知是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個點(diǎn)，且它的橫、縱坐標(biāo)是關(guān)于x，y的二元一次方程組（Ⅰ）的解，當(dāng)點(diǎn)為“好友點(diǎn)”時，請求出n的值；此時，請證明關(guān)于x，y的二元一次方程組（Ⅱ）為“好友方程組”，并求出“好友點(diǎn)”．
【答案】（1）②④ （2）此方程組不是“好友方程組”，見解析
（3）證明見解析，“好友點(diǎn)”為
【解析】
【分析】本題主要考查了新定義，二元一次方程組的解，考查了學(xué)生的閱讀理解能力、知識的遷移能力以及計算能力．
（1）分別計算出方程組的解，根據(jù)好友方程組定義判斷即可；
（2）解出方程組，根據(jù)定義判斷即可；
（3）先解方程組（Ⅰ），根據(jù)點(diǎn)為“好友點(diǎn)”求出n的值，代入方程組（Ⅱ）解出即可；
【小問1詳解】
解：①解得，
，故不是好友方程組，
②解得，
，故是好友方程組，
③解得，
，故不是好友方程組，
④解得，
，故是好友方程組，
故答案為：②④；
【小問2詳解】
解：此方程組不是“好友方程組”，理由如下：
整理原方程組得：，
解得：．
若原方程組為“好友方程組”，則即，
此方程無解．
即找不到m值使原方程組為“好友方程組”．
【小問3詳解】
解：解得方程組（Ⅰ）有，
當(dāng)點(diǎn)為“好友點(diǎn)”時，即滿足，
，
，
整理原方程（Ⅱ）得：，
由方程組（Ⅰ），有．
將代入得，
，
，
關(guān)于x，y的二元一次方程組（Ⅱ）為“好友方程組”．“好友點(diǎn)”為．
25. 溪悅薈燈光秀是圭塘河的亮麗風(fēng)景，假定河兩岸，橋長20米，橫跨河兩岸，為了強(qiáng)化燈光效果，在橋頭A、O安置了可旋轉(zhuǎn)探照燈．燈A射線從開始繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)至立即回轉(zhuǎn)，燈O射線從開始繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)至立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停旋轉(zhuǎn)交叉照射．如圖1建立平面直角坐標(biāo)系，若燈A、燈O轉(zhuǎn)動的速度分別是a度/秒、b度/秒，且滿足．

（1）填空：__________，__________，A點(diǎn)坐標(biāo)（__________，__________）；
（2）為確?！疤秸諢簟表樌D(zhuǎn)，檢修工人P從點(diǎn)G以每秒1米的速度向O點(diǎn)走去，到達(dá)O點(diǎn)便開始檢修設(shè)備；檢修工人Q從點(diǎn)F以每秒1.5米的速度向A點(diǎn)走去，到達(dá)F點(diǎn)便開始檢修設(shè)備．其中，兩人同時分別從點(diǎn)G、F出發(fā)，當(dāng)檢修工人走了多少秒時，有的面積等于的面積的2倍；
（3）①若燈A射線轉(zhuǎn)動30秒后，燈O射線開始轉(zhuǎn)動，在燈A射線第一次到達(dá)之前，O燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？
②如圖2，若兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈O射線第一次到達(dá)之前，兩燈射出的光束交于點(diǎn)C．在射線上取一點(diǎn)D，且，則在轉(zhuǎn)動過程中，是否存在實數(shù)k，使得為定值？若存在，請求出實數(shù)k的值及的度數(shù)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1），，
（2）
（3）①或110，②存在，，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平方數(shù)與算術(shù)平方根的非負(fù)性，即可求出，，由橋長20米，為坐標(biāo)原點(diǎn)，即可求解，
（2）設(shè)檢修工人走了t秒，由，，當(dāng)時，代入，即可求解，
（3）①設(shè)O燈轉(zhuǎn)動了t秒．當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，代入，即可求解，當(dāng)時，其中當(dāng)時，與必相交，當(dāng)時，由有，代入，即可求解，當(dāng)時，， ，當(dāng)時，，代入即可求解，②由，，得到，結(jié)合，，得到，若為定值，則與t無關(guān)，即可求解，
本題考查了，平方數(shù)、算數(shù)平方根的非負(fù)性，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)題意列出等量關(guān)系式．
【小問1詳解】
解：∵，，，
∴，，
∴，，，
∵橋長20米，為坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴，
故答案為：；；．
【小問2詳解】
解：設(shè)檢修工人走了t秒，如圖，

，
，
當(dāng)時，，解得，
故答案為：，
【小問3詳解】
解：①設(shè)O燈轉(zhuǎn)動了t秒．（ⅰ）當(dāng)時，如圖（?。?br>，，
當(dāng)時，，則，
即，則，解得，

（ⅱ）當(dāng)時，其中當(dāng)時，與必相交，
當(dāng)時，如圖（ⅱ），

由，有，
則，即，即，解得：（舍），
（ⅲ）當(dāng)時，其中當(dāng)時，如圖（ⅲ），

，，，
當(dāng)時，，則，
即，即，解得，
當(dāng)時，與必相交．
綜上，或110；
②存在；如圖2，

，，
，
又，
，
又，
，
，
若為定值，則與t無關(guān)，
，此時，，
故存在， ．

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