福建省福州市八縣一中2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共8題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知，，若復(fù)數(shù)，則z的實(shí)部是（）
A. 1B. -2C. 2D. i
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等可求的值可解.
【詳解】由于，則，
則，所以z的實(shí)部是1.
故選：A
2. 如圖所示，是一個正方體的表面展開圖，則圖中“九”在正方體中的對面是（）
A. 縣B. 市C. 聯(lián)D. 考
【答案】B
【解析】
【分析】把正方體還原求解.
【詳解】解：把正方體還原如下圖：
則上面是九，下面是市，左面是縣，右面是聯(lián)，前面是考，后面是區(qū)，
故選：B
3. 下列說法正確的是（）
A. 圓柱的母線長與圓柱的底面圓半徑不可能相等
B. 直四棱柱是長方體
C. 將一個等腰梯形繞著它較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體是一個圓錐
D. 正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)幾何體的定義和性質(zhì)，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】A. 圓柱母線長與圓柱的底面圓半徑可能相等，故A錯誤；
B.直四棱柱是底面是四邊形，側(cè)棱和底面垂直的棱柱，不一定是長方體，故B錯誤；
C. 將一個等腰梯形繞著它較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體是一個組合體，上下是圓錐，中間是圓柱，故C錯誤；
D. 正棱錐側(cè)面是全等的等腰三角形，故D正確.
故選：D
4. 在中，已知在線段上，且，設(shè)．則（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助平面向量線性運(yùn)算計(jì)算即可得.
【詳解】.
故選：C.
5. 如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn)，從A，B兩點(diǎn)分別測得樹尖P的仰角為30°，45°，且A，B兩點(diǎn)之間的距離為8m，則樹的高度為（）
A. （4+4）mB. 4+2m
C. （+4）mD. （+2）m
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理求得，利用直角三角形求得樹高.
【詳解】在中，由正弦定理得：，
即，
又，
，
樹高，
故選：A
6. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）

A.
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
C. 函數(shù)在最小值為
D. 函數(shù)在單調(diào)遞增
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定圖象求出，進(jìn)而求出函數(shù)的解析式，再逐項(xiàng)分析判斷作答.
【詳解】觀察圖象得，函數(shù)的周期，則，
由，得，
而，則，因此，故A錯誤；
對于B，由于，
則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)不對稱，B正確；
對于C，當(dāng)時，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，最小值為，故C錯誤，D正確.
故選：D
7. 三個數(shù)，，的大小順序是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)的性質(zhì)，即可比較大小.
【詳解】，，，
所以最大，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以，則，所以，
即.
故選：B
8. 已知向量、滿足：，，向量與向量的夾角為，則的最大值為（）
A. B. 2C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)，，，從而得到等邊三角形，進(jìn)一步可得的軌跡是兩段圓弧，畫出示意圖可知當(dāng)是所在圓的直徑時，取得最大值.
【詳解】由，
故，即，
如圖，設(shè)，則是等邊三角形，
向量滿足與的夾角為, ，
因?yàn)辄c(diǎn)在外且為定值，
所以的軌跡是兩段圓弧，是弦AB所對的圓周角，
因此：當(dāng)是所在圓的直徑時,取得最大值，
在中，由正弦定理可得：，
故取得最大值4.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)，關(guān)鍵能夠根據(jù)已知條件確定的軌跡是弦所對的兩段圓弧，從而確定當(dāng)AC是所在圓的直徑時，取得最大值，即可求解.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 如果平面向量，，那么下列結(jié)論中正確的是（）
A. B.
C. 在上的投影向量為D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量共線定理判斷A，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到即可判斷B，根據(jù)投影向量的定義判斷C，根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示判斷D.
【詳解】對于A：因?yàn)椋@然不存在實(shí)數(shù)使得，
故與不共線，故A錯誤；
對于B：因?yàn)椋耘c不垂直，故B錯誤；
對于C：，所以在上的投影向量為，故C正確；
對于D：因?yàn)椋裕蔇正確.
故選：CD
10. 已知函數(shù) ，則以下說法正確的是（）
A. 若，則是R上的減函數(shù)
B. 若，則有最小值
C. 若，則的值域?yàn)?br>D. 若，則存在，使得
【答案】BC
【解析】
【分析】把選項(xiàng)中的值分別代入函數(shù)，利用此分段函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項(xiàng).
【詳解】對于A，若，，
在和上單調(diào)遞減，故A錯誤；
對于B，若，，
當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
，則有最小值1, 故B正確；
對于C，若，，
當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，；
當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，
則的值域?yàn)?，故C正確；
對于D，若，
當(dāng)時，；
當(dāng)，即時，；
當(dāng)，即時，，
即當(dāng)時，，
所以不存在，使得，故D錯誤.
故選：BC
11. 如圖，正方形的邊長為1，P，Q分別為線段上的動點(diǎn)，則以下說法正確的是（）
A. 當(dāng)P、Q分別為線段中點(diǎn)時，的值為
B. 當(dāng)時，的最小值為
C. 當(dāng)?shù)闹荛L為2時，
D. 當(dāng)時，的取值范圍為
【答案】AB
【解析】
【分析】利用余弦定理可判斷A；設(shè)，求出，利用兩角和差的正切公式，即可判斷B；舉反例可判斷C；設(shè)，表示出的模，利用數(shù)量積的定義結(jié)合三角恒等變換化簡，即可判斷D.
【詳解】對于A，當(dāng)P、Q分別為線段中點(diǎn)時，，，
故，A正確；
對于B，當(dāng)時，設(shè)，
連接，則，
故，
故，
故的最小值為，B正確；
對于C，當(dāng)?shù)闹荛L為2時，由于為直角三角形，
不妨取，則，
則，
此時，則，否則正三角形，
與矛盾，C錯誤；
對于D，當(dāng)時，，
設(shè)，則，，
故，
而
，而，
故，則，
即當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
故，D錯誤，
故選：AB
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 如圖，是斜二測畫法畫出的水平放置的的直觀圖，是的中點(diǎn)，且軸，軸，，，則的面積為__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合斜二測畫法的規(guī)則，得到水平放置的的直觀圖，結(jié)合三角形的面積公式，即可求解.
【詳解】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，可得水平放置的的直觀圖，如圖所示，
因?yàn)檩S，軸，且，，
可得，且，
所以的面積為.
故答案：.
13. 如圖，在中，點(diǎn)O 是BC 的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N.設(shè)AB=，AC=，則的最小值為________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線求得的等量關(guān)系式，結(jié)合基本不等式求得的最小值.
【詳解】根據(jù)題意，，所以，
所以，
又，，
所以，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，
由圖可知，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即、時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：
14. “費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出的一個問題．當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，若其內(nèi)部的點(diǎn)P滿足，則稱P為的費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于時，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．已知的內(nèi)角所對的邊分別為，若，設(shè)P為的費(fèi)馬點(diǎn)，，則實(shí)數(shù)的最小值為______．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)得到為直角三角形，又P為的費(fèi)馬點(diǎn)，假設(shè)邊長后結(jié)合利用余弦定理得到等量關(guān)系進(jìn)行化簡得，利用基本不等式即可求出的最小值.
【詳解】為的費(fèi)馬點(diǎn)，則，
設(shè)，，，則，
，
，且；
，則，
，所以為直角三角形；
則在中，
；
同理，中，；
中，
，即，
即，
化簡得，又，
又，
即，
，，
解得或（舍去）；
的最小值為.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取到等號.
故答案為：.
四、解答題：共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 設(shè)復(fù)數(shù)．
（1）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，求；
（2）若是純虛數(shù)，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，求，再根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算公式，即可求解；
（2）首先利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算公式化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的特征，即可求解，最后代入模的計(jì)算公式.
【小問1詳解】
由，得，
而由已知是實(shí)數(shù)，
于是，解得，
所以；
【小問2詳解】
依題意，是純虛數(shù)，
因此，解得，
所以，.
16. 如圖，在平面四邊形中，，，，.
（1）求線段的長度；
（2）求的值.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求解即可；
（2）在△ABC中，利用正弦定理求出，再利用，
在中根據(jù)正弦定理即可求解.
【小問1詳解】
在中，由余弦定理可得：
，
.
故線段的長度.
【小問2詳解】
由（1）知，，
在中，由正弦定理可得：，
即，得，
又，所以，
在中，由正弦定理可得：，
即， .
所以的值為.
17. 中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)．經(jīng)驗(yàn)表明，某種烏龍茶用100℃的水泡制，等到茶水溫度降至60℃時再飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．某實(shí)驗(yàn)小組為探究在室溫下，剛泡好的茶水達(dá)到最佳飲用口感的放置時間，每隔測量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨時間變化的如下數(shù)據(jù)：
設(shè)茶水溫度從100℃開始，經(jīng)過后的溫度為，現(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型：
①（，）；
②（，，）；
③（，，）．
（1）從上述三種函數(shù)模型中選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，簡單敘述理由，并利用表格中的前三列數(shù)據(jù)，求出相應(yīng)的解析式；
（2）根據(jù)（1）中所求函數(shù)模型，求剛泡好的烏龍茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時間（精確到0.01）.（參考數(shù)據(jù)：，．）
【答案】（1）答案見解析
（2）5.54min
【解析】
【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)的增減性，以及增減的快慢，即可判斷選擇的函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)（1）的解析式，求解方程.
【小問1詳解】
選擇②（，，）作為函數(shù)模型．
由表格中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)自變量增大時，函數(shù)值減小，所以不應(yīng)該選擇對數(shù)增長模型③；
當(dāng)自變量增加量為1時，函數(shù)值的減少量有遞減趨勢，不是同一個常數(shù)，所以不應(yīng)該選擇一次函數(shù)模型①．
故應(yīng)選擇②（，，）
將表中前的數(shù)據(jù)代入，得，
解得，
所以函數(shù)模型的解析式為：；
【小問2詳解】
由（1）中函數(shù)模型，有，
即，所以，
所以剛泡好的烏龍茶大約放置5.54min能達(dá)到最佳飲用口感．
18. 解決下列問題
（1）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，；
（2）如圖，設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是軸與軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為.在斜坐標(biāo)系中，
①已知，求；
②已知，，，求的最大值.
【答案】（1）
（2）①；②.
【解析】
【分析】（1）由向量夾角余弦公式可得答案；
（2）①由題目所給信息結(jié)合向量模長公式可得答案；②由①可得表達(dá)式，后令，結(jié)合及函數(shù)單調(diào)性可得答案.
【小問1詳解】
依題意得，，
則 .所以與的夾角為；
【小問2詳解】
①由題意可知：
，，
則，
∴；
②由題意可知，
.
由①可得：.
令 ,又因?yàn)椋?br>且，所以，，
∴，則.
又因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，
即：時，函數(shù)取到最大值7，
即，則有，∴當(dāng)時，的最大值為.
19. 從①；②這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答．
在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足：______．注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計(jì)分．
（1）求角C的大??；
（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍；
（3）若，的內(nèi)心為I，求周長的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）選①，由正弦定理化角為邊，然后由余弦定理求角，選②，由正弦定理化邊為角，結(jié)合三角恒等變換求角；
（2）由條件，結(jié)合三角形面積公式可得，根據(jù)正弦定理可得，結(jié)合內(nèi)角和關(guān)系可得，結(jié)合條件確定的范圍，由此求結(jié)論；
（2）先求出，在中，通過設(shè)，利用正弦定理求出三邊得出三角形周長表達(dá)式，將其轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)，利用角的范圍即可求得周長范圍.
【小問1詳解】
選擇條件①，，
在中，由正弦定理得，
整理得，
則由余弦定理可得，，又，
所以．
選擇條件②，，
于是，
在中，由正弦定理得，，
因?yàn)?，則，
即，
因?yàn)?，因此?br>即，又，
所以．
【小問2詳解】
由三角形面積公式可得，
的面積，又，
所以，
由正弦定理可得，所以，
又，
所以，
所以，
因?yàn)闉殇J角三角形，
所以，，
所以，
所以，故，
所以，
所以的面積的取值范圍為.
【小問3詳解】
如圖，由（1）知，，有，
因?yàn)榈膬?nèi)心為，所以，于是．
設(shè)，則，且，
在中，由正弦定理得，，
所以，，
所以的周長為，
由，得，所以，
所以周長的取值范圍為.
時間/min
0
1
2
3
4
水溫/℃
100.00
91.00
82.90
75.61
69.05

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