高一年級數(shù)學(xué)學(xué)科 試題
考生須知：
1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘。
2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字。
3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效。
4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙。
選擇題部分
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（ ）
A．B．C．D．
2．如圖，直角梯形滿足，，，它是水平放置的平面圖形的直觀圖，則該平面圖形的周長是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函數(shù)則等于（ ）
A．B．C．D．
4．已知圓錐的母線長為2，其側(cè)面展開圖是半圓，則該圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
5．在中，是邊上的一點，且平分，若，，，，則（ ）
A．B．C．D．
6．在中，角所對的邊分別為，已知，，若為鈍角三角形，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
7．已知四邊形內(nèi)接于圓，且滿足，，，則圓的半徑為（ ）
A．B．C．D．
8．用一個內(nèi)底面直徑為3，高為20的圓柱體塑料桶去裝直徑為2的小球，最多能裝下小球個數(shù)為（ ）
A．10B．11C．12D．13
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分。
9．已知，下列選項中是“”的充分條件的是（ ）
A．B．C．D．
10．如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，分別是棱的中點，下列說法正確的有（ ）
A．多面體是三棱柱
B．直線與互為異面直線
C．平面與平面的交線平行于
D．四棱錐和四棱錐的體積之比為
11．定義一種向量運算“”：其中是任意的兩個非零向量，是與的夾角．對于同一平面內(nèi)的非零向量，給出下列結(jié)論，其中不正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．
D．若，則
非選擇題部分
三、填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分。
12．設(shè)為虛數(shù)單位，且，則______．
13．已知直三棱柱中，側(cè)棱，，，則三棱柱的外接球表面積為______．
14．已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，則的最大值是______．
四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（本小題13分）已知，，且滿足
（1）求實數(shù)的值；
（2）設(shè)，求與的夾角的余弦值．
16．（本小題15分）設(shè)函數(shù)．
（1）若角滿足，求的值；
（2）求函數(shù)的值域．
17．（本小題15分）如圖，正邊長為分別是邊的中點，現(xiàn)沿著將折起，得到四棱錐，點為中點．
（1）求證：平面
（2）若，求四棱錐的表面積．
（3）過的平面分別與棱相交于點，記與的面積分別為、，若，求的值．
18．（本小題17分）已知在中，角所對的邊分別為，且滿足．
（1）求；
（2）若，求的面積；
（3）求的最大值，并求其取得最大值時的值．
19．（本小題17分）設(shè)集合．定義：和集合，積集合，分別用表示集合中元素的個數(shù)．
（1）若，求集合；
（2）若，求的所有可能的值組成的集合；
（3）若，求證：．
2023學(xué)年第二學(xué)期浙南名校聯(lián)盟期中聯(lián)考
高一年級數(shù)學(xué)學(xué)科 試題答案
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分。
三、填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分．
12．13．14．
四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（本小題13分）
（1），，，
解法2 ，
，，
（2）設(shè)，，
（此處公式代入正確得2分，消元1分，答案正確2分，只有一個答案扣1分）
與的夾角的余弦值為
另解：由題意可不妨令
又
與的夾角的余弦值為
16．（本小題15分）
解：（1）已知，則，
則，
所以當(dāng)，，
當(dāng)，．
（2），
所以，
所以，
所以的值域為．
17．（本小題15分）
解：（1）取中點，連，
，且，同時，且
四邊形是平行四邊形，
又平面平面
平面
（2）
，
四棱錐的面積
（3）由（1）知平面，
平面平面
，
又，，
18．（本小題17分）
解：（1）方法一：，，
又，，
又在中，，，
，，
又在中，，
方法二：，，
，
，．
，
又在中，，．
（2），，
即，解得或，
當(dāng)時，
當(dāng)時，
（3），，．
其中，，，
在中，，
當(dāng)時，取到最大值，
此時，．
19．（本小題17分）
解：（1）由，則，
．
（2）當(dāng)，不妨記集合為，且讓，
則必有，
和中剩下的滿足，
并且，下列有四種可能：
一是，則；
二是與與與三對數(shù)有兩對相等，另一對不相等，則；
三是與與與三對數(shù)有一對相等，其它兩對不相等，則；
四是與與與三對數(shù)全不相等，則；
綜上述，的所有可能的值組成的集合為（要求寫明得到每個值的原因）．
（3）當(dāng)，不妨記集合為，且讓，
則必有，
和中剩下的元素為，滿足，
所以有兩種可能，當(dāng)，；當(dāng)，；
?。┊?dāng)，不妨記這6個元素為，且讓，則必有，所以；
ⅱ）當(dāng)，，
不妨記，，，，，
則，則必有，積中剩下的滿足，則，
下面先證明．
假設(shè)，由，則，
即，所以，
令，由，則，
所以，則，與事實不符，所以．
下面再證明．
由上述分析知：要使，積中剩下的滿足，必有兩對積與七對中的兩對相等，有如下五種情況：
一是，則可推得，令其比值為，則，于是，由，則，則，顯然無解，故此情況不能；
二是，則可推得，令，顯然，由，則，所以，而顯然，故此情況不可能；
三是，則可推得，令其比值為，則，由，又，則，這與矛盾，故此情況不可能；
四是，可推得，令其比值為，則，
于是，，，，
于是由，則，所以，代入得，所以，推得，所以，所以，有，所以，這與是有理數(shù)相矛盾，所以此情況不能；
五是，可推得，令其比值為，則，于是，由，則，則，顯然無解，故此情況不可能．所以．
綜上，所以．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
C
D
C
A
A
B
題號
9
10
11
答案
ABC
BCD
BCD

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