考生須知：
1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.
2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.
3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.
4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.
選擇題部分
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的運算和商的運算化簡復(fù)數(shù)，然后根據(jù)虛部的概念求解即可.
【詳解】因，所以，
所以的虛部為.
故選：B
2. 如圖，直角梯形滿足，，，它是水平放置的平面圖形的直觀圖，則該平面圖形的周長是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】結(jié)合斜二測畫法的規(guī)則，將直觀圖即直角梯形還原成平面圖形，結(jié)合勾股定理算出各邊長度即可求解.
【詳解】由題意，，由可得，
由，，，
可得，所以，
而，
所以，
結(jié)合斜二測畫法的規(guī)則，將直觀圖即直角梯形還原成平面圖形，如圖所示：
由勾股定理可得，
所以滿足題意的平面圖形的周長是.
故選：C.
3. 已知函數(shù)，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式結(jié)合自變量范圍求解即可.
【詳解】由題意.
故選：C
4. 已知圓錐的母線長為2，其側(cè)面展開圖是半圓，則該圓錐的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用圓錐的側(cè)面為半圓，求出圓錐的半徑進而得高，進一步求出圓錐的體積，
【詳解】由于圓錐的側(cè)面展開面為半圓，設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，故，
得,則
所以圓錐的體積為.
故選：D.
5. 在中，是邊上的一點，且平分，若，，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由中，點在邊上，平分，根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理，得到，利用用，表示，即可得到答案．
【詳解】為角平分線，
，
，
，
故選:C.
6. 在中，角所對的邊分別為，已知，，若為鈍角三角形，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊和余弦定理，求解的范圍，判斷選項.
【詳解】由，則，
所以，故，
由為鈍角三角形，則，
即，得，故，
故的取值范圍為，
故選：A
7. 已知四邊形內(nèi)接于圓，且滿足，，，則圓的半徑為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可得，分別在中和在中利用余弦定理求出和，然后在中，由正弦定理可得
【詳解】由題意可得，
在中，由余弦定理得,
在中，由余弦定理得，
兩式相減得，
因為，所以，
所以，
在中，由正弦定理得圓的半徑為，
故選：A
8. 用一個內(nèi)底面直徑為3，高為20的圓柱體塑料桶去裝直徑為2的小球，最多能裝下小球個數(shù)為（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】畫出平面圖,計算出第二個球最高點到圓柱底的最大距離，得到規(guī)律即可求解.
【詳解】如圖，將第一個球靠近該圓柱右側(cè)放置，球上的點到該圓柱底面的最大距離為2，將第二個球也靠近圓柱側(cè)面放置，
過點作垂直于該圓柱的母線，垂足為A,過點作垂直于圓柱底面，
垂足為B,設(shè)，
則球上的點到該圓柱底面的最大距離為，
同理可得球上的點到該圓柱底面的最大距離為，
由此規(guī)律可得，每多放一個球，最上面的球上的點到該圓柱底面的最大距離加，
因為，故最多能裝下小球個數(shù)為11.
故選：B
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查球的切接問題，關(guān)鍵是得到第二個球最高點到圓柱底的最大距離進而得到規(guī)律.
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.
9. 已知，下列選項中是“”的充分條件的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由不等式的性質(zhì)判斷AD，由作差法判斷BC即可.
【詳解】對于A，因為，所以，故A符合題意；
對于B，因為，所以，所以，即，故B符合題意；
對于C，因為，所以，即，故C符合題意；
對于D，取，但有，故D不符合題意.
故選：ABC.
10. 如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，分別是棱的中點，下列說法正確的有（ ）

A. 多面體是三棱柱
B. 直線與互為異面直線
C. 平面與平面的交線平行于
D. 四棱錐和四棱錐的體積之比為
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用棱柱的定義判斷A；利用異面直線的判定判斷B；利用線面平行的判定性質(zhì)推理判斷C；利用割補法求出體積比判斷D.
【詳解】對于A，多面體中，由直線，得平面與平面不平行，
顯然多面體中不存在平行的兩個面，則該多面體不是三棱柱，A錯誤；
對于B，由分別是棱的中點，得，平面，
平面，平面，，因此直線與互為異面直線，B正確；
對于C，由平面，平面，則平面，
令平面平面，而平面，則，C正確；
對于D，連接，令四棱錐的體積為，由分別是棱的中點，
得，，
因此四棱錐的體積，D正確.

故選：BCD
11. 定義一種向量運算“”：，其中是任意的兩個非零向量，是與的夾角．對于同一平面內(nèi)的非零向量，給出下列結(jié)論，其中不正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，，則
C.
D 若，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用的定義證明A選項正確，然后由可否定B和C選項，最后給出D選項的反例即可.
【詳解】對于A，若，由的定義有或.
由于是非零向量，故前者不可能成立，從而，這得到，即.
所以，故，A正確；
對于B，設(shè)有非零向量，則，，故，B錯誤；
對于C，由于，故，C錯誤；
對于D，若，，，則，D錯誤
故選：BCD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點在于構(gòu)造反例否定一個命題，需要恰當(dāng)選取反例方可得到結(jié)論.
非選擇題部分
三、填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分.
12. 設(shè)為虛數(shù)單位，且，則______．
【答案】
【解析】
【分析】化簡原式，根據(jù)題意需滿足條件，求解即可
【詳解】由，
所以滿足條件，
故答案為：
13. 已知直三棱柱中，側(cè)棱，，，則三棱柱的外接球表面積為______．
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理求底面外接圓半徑，結(jié)合直棱柱外接球的性質(zhì)列式求半徑，進而可得表面積.
【詳解】設(shè)底面的外接圓圓心為，半徑為，三棱柱的外接球的球心為半徑為，
取的中點，可知，且∥，
則，，
可得，，
所以三棱柱的外接球表面積為.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，則的最大值是______．
【答案】
【解析】
【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，利用條件可得，然后代入轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)式，再去掉絕對值并根據(jù)單調(diào)性求出最值即可
【詳解】由，得，
又函數(shù)定義域為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，
,
因為單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增
由，
所以，即，又，
令，則，
當(dāng)時，即，，
當(dāng)時，即，
，
所以，故，即 的最大值是
故答案為：
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知，，且滿足
（1）求實數(shù)的值；
（2）設(shè)，求非零向量與的夾角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量線性運算以及模的運算公式列出方程求解即可；
（2）設(shè)出非零向量的坐標，結(jié)合向量垂直得到，進一步結(jié)合向量夾角的余弦的坐標公式即可求解.
【小問1詳解】
，，，，
【小問2詳解】
設(shè)，，，所以都不等于0，
.
16. 設(shè)函數(shù)．
（1）若角滿足，求的值；
（2）求函數(shù)的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由平方關(guān)系以及兩角差的余弦公式直接運算即可求解；
（2）由二倍角公式以及兩角和差的余弦公式化簡函數(shù)表達式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域即可得解.
【小問1詳解】
已知，則，
則，
所以當(dāng)，，
當(dāng)，．
綜上所述，.
【小問2詳解】
，
所以，
所以，
所以的值域為．
17. 如圖，正邊長為分別是邊的中點，現(xiàn)沿著將折起，得到四棱錐，點為中點．
（1）求證：平面
（2）若，求四棱錐的表面積．
（3）過的平面分別與棱相交于點，記與的面積分別為、，若，求的值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）取中點，連，利用中位線定理證明四邊形是平行四邊形，即可得到，結(jié)合線面平行的判定定理即可得證；
（2）通過勾股定理逆定理證明，，結(jié)合三角形面積公式即可運算求解；
（3）由題意得，，從而可將面積比轉(zhuǎn)換為線段比的平方即可運算求解.
【小問1詳解】
取中點，連，
因為點為中點，
，且，
同時因為分別是邊的中點，
，且，
四邊形是平行四邊形，
，
又平面平面，
平面.
【小問2詳解】
，
，
，
根據(jù)對稱性有，而，
所以，
所以，
所以，
而，
四棱錐的面積.
【小問3詳解】
由（1）知平面，
平面平面
，，
又，，.
18. 已知在中，角所對的邊分別為，且滿足．
（1）求；
（2）若，求的面積；
（3）求最大值，并求其取得最大值時的值．
【答案】（1）
（2）答案見解析 （3）最大值，
【解析】
【分析】（1）思路一：由正弦定理邊化角結(jié)合誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式逆用即可求解；思路二：由余弦定理角化邊得，再結(jié)合余弦定理即可求解；
（2）首先由余弦定理求出，再結(jié)合三角形面積公式即可求解；
（3）由正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換即可求解.
【小問1詳解】
方法一：，，
，
又，，
又在中，，，
，，
又在中，，
方法二：，，
，
，．
，
又在中，，．
【小問2詳解】
，，
即，解得或，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
【小問3詳解】
，，．
其中，，，
在中，，
當(dāng)時，取到最大值，
此時，．
19. 設(shè)集合．定義：和集合，積集合，分別用表示集合中元素的個數(shù)．
（1）若，求集合；
（2）若，求的所有可能的值組成的集合；
（3）若，求證：．
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)新定義直接求解B,C;
（2）令，由和集合得到數(shù)的大小關(guān)系，再討論大小關(guān)系分類求解；
（3）記集合為，且，由和集合得到數(shù)的大小關(guān)系，求出B有兩種可能，當(dāng)?shù)?，由及?shù)的大小關(guān)系分別討論和，討論五種情況即可求解.
【小問1詳解】
（1）由，則，
．
【小問2詳解】
當(dāng)，不妨記集合為，
且令，
則必有，
和中剩下的滿足，
并且，下列有四種可能：
一是，則；
二是與與與三對數(shù)有兩對相等，
另一對不相等，則；
三是與與與三對數(shù)有一對相等，
其它兩對不相等，則；
四是與與與三對數(shù)全不相等，則；
綜上述，的所有可能的值組成的集合為.
【小問3詳解】
當(dāng)，不妨記集合為，且，
則必有，
和中剩下的元素為，滿足，
所以有兩種可能，當(dāng)，；當(dāng)，；
ⅰ）當(dāng)，不妨記這6個元素為，且讓，
則必有，所以；
ⅱ）當(dāng)，，
不妨記，，，，，
則，則必有，
積中剩下的滿足，則，
下面先證明．
假設(shè)，由，則，
即，所以，
令，由，則，
所以，則，與事實不符，所以．
下面再證明．
由上述分析知：要使，積中剩下的滿足，
必有兩對積與七對中的兩對相等，有如下五種情況：
一是，則可推得，令其比值為，則，
于是，由，
則，則，顯然無解，故此情況不能；
二是，則可推得，令，
顯然，由，則，
所以，而顯然，故此情況不可能；
三是，則可推得，令其比值為，則，由，
又，則，這與矛盾，故此情況不可能；
四是，可推得，令其比值為，則，
于是，，，，
于是由，則，
所以，代入得，推得，所以，
所以，有，所以，這與有理數(shù)相矛盾，所以此情況不能；
五是，可推得，令其比值為，則，于是，
由，則，則，
顯然無解，故此情況不可能．所以．
綜上，所以．
【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題考查集合新定義，關(guān)鍵是對集合元素數(shù)的大小關(guān)系進行討論，推出矛盾證明第三問.

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