浙江省溫州市新力量聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考生須知：
1．本卷共6頁滿分150分，考試時間120分鐘．
2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字．
3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．
4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．
選擇題部分
一、單項選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 從A地到B地要經(jīng)過C地，已知從A地到C地有三條路，從C地到B地有四條路，則從A地到B地不同的走法種數(shù)是（）
A. 7B. 12C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先確定從A地到C地有3種不同走法，再確定從C地到B地有4種不同的走法，最后求從A地到B地不同的走法種數(shù).
【詳解】根據(jù)題意分兩步完成任務(wù)：第一步：從A地到C地，有3種不同的走法；
第二步：從C地到B地，有4種不同的走法，
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，從A地到B地不同的走法種數(shù)：種，
故選:B
2. 質(zhì)點按規(guī)律做直線運動（位移單位：，時間單位：），則質(zhì)點在時的瞬時速度為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】對進行求導(dǎo)，再將的值代入即可得答案.
【詳解】因為，
則，故．
故選：D.
3. 勾股定理是數(shù)學(xué)史上非常重要的定理之一．若將滿足的正整數(shù)組稱為勾股數(shù)組，則在不超過10的正整數(shù)中隨機選取3個不同的數(shù)，能組成勾股數(shù)組的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出基本事件總數(shù)，再求出勾股數(shù)組的個數(shù)，即可求解．
【詳解】在不超過10的正整數(shù)中隨機選取3個不同的數(shù)，
基本事件的總數(shù)為，
能組成勾股數(shù)組的有共2個，
能組成勾股數(shù)組的概率是
故選：A
4. 定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論不正確的是（）
A. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
C. 函數(shù)在處取得極大值D. 函數(shù)在處取得極小值
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的值的正負的關(guān)系，可判斷A,B的結(jié)論;根據(jù)函數(shù)的極值點和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷、的結(jié)論．
【詳解】函數(shù)在上，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故正確；
根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)圖象，函數(shù)在時，，
故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故正確；
由A的分析可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故不是函數(shù)的極值點，故錯誤；
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故函數(shù)在處取得極小值，故正確，
故選：
5. “雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應(yīng)用與推廣，創(chuàng)建了超級雜交稻技術(shù)體系，為我國糧食安全、農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和供給作出了杰出貢獻．某水?種植研究所調(diào)查某地雜交水稻的平均畝產(chǎn)量，得到畝產(chǎn)量（單位：）服從正態(tài)分布．
參考數(shù)據(jù)：．下列說法錯誤的是（）
A. 該地水稻的平均畝產(chǎn)量是
B. 該地水稻畝產(chǎn)量的標準差是
C. 該地水?畝產(chǎn)量超過的約占
D. 該地水稻畝產(chǎn)量低于的約占
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)判斷A、B，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求出相應(yīng)的概率，即可判斷C、D.
【詳解】依題意，即該地水稻的平均畝產(chǎn)量是，標準差是，故A、B正確；
又，，
所以，
則該地水?畝產(chǎn)量超過的約占，故C錯誤；
又，
所以該地水稻畝產(chǎn)量低于的約占，故D正確.
故選：C
6. 已知定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，對于任意的滿足（其中是的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式中成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，其中，分析函數(shù)的奇偶性及其在上的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性逐項判斷可得出合適的選項.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，
所以，函數(shù)為奇函數(shù)，
當時，，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，故該函數(shù)在上也為增函數(shù)，
由題意可知，函數(shù)在上連續(xù)，故函數(shù)在上為增函數(shù).
對于A選項，，即，則，A錯；
對于B選項，，即，則，B對；
對于C選項，，即，則，C錯；
對于D選項，，即，則，D錯.
故選：B.
7. 設(shè)集合，且，，則下列說法正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由條件概率計算公式，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為，所以，所以，
．因為，
所以.
故選:C
8. 隨機變量的分布列如下所示則的最大值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由分布列的性質(zhì)可得的關(guān)系，再由期望公式求，由方差公式求，利用導(dǎo)數(shù)求的最大值.
【詳解】由題可知，，，
所以，，
，
，
則，
令，
則，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以的最大值為．
故選：D．
二、多項選擇題：（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分）
9. 已知的展開式中共有7項，則下列選項正確的有（）
A. 所有項的二項式系數(shù)和為64B. 所有項的系數(shù)和為1
C. 系數(shù)最大的項為第4項D. 有理項共4項
【答案】AD
【解析】
【分析】由展開式有7項，可知，再由二項式定理的應(yīng)用依次求解即可.
【詳解】解：由展開式有7項，可知，
則所有項的二項式系數(shù)和為，故A項正確；
令，則所有項的系數(shù)和為，故B項錯誤；
展開式第項為，
則第4項為負值，故系數(shù)最大的項為第4項是錯誤的；
當時為有理項，則D項正確.
故選：AD
10. 一口袋中有大小和質(zhì)地相同的4個紅球和2個白球，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 從中任取3球，恰有一個白球的概率是
B. 從中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有兩個白球的概率為
C. 從中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了紅球，則第二次再次取到紅球的概率為
D. 從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到紅球的概率為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對選項A，根據(jù)古典概型公式即可判斷A正確，對選項B，根據(jù)二項分布即可判斷B正確，對選項C，根據(jù)條件概率即可判斷C錯誤，對選項D，利用二項分布即可判斷D正確。
【詳解】對選項A,從中任取3球，恰有一個白球的概率是，故A正確；
對選項B，從中有放回的取球6次，每次任取一球，
則取到白球的個數(shù)，
故恰好有兩個白球的概率為；
對選項C，從中不放回的取球2次，每次任取1球，記A為“第一次取到紅球”，
B為“第二次取到紅球”，則所求概率為，故C錯誤。
對選項D，從中有放回的取球3次，每次任取一球，則取到紅球的個數(shù)，
至少有一次取到紅球的概率為，故D正確。
故選：ABD
11. 已知函數(shù)有兩個零點，，且，則下列選項正確的是（）
A. B. 在上單調(diào)遞增
C. D. 若，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】A．將問題轉(zhuǎn)化為有兩根，然后構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的圖象與的圖象有兩個交點求解出的取值范圍；
B．先求解出的單調(diào)遞增區(qū)間，然后判斷出與的單調(diào)遞增區(qū)間的關(guān)系，由此可完成判斷；
C．考慮當時的取值情況，故的取值情況可分析出，由此作出判斷；
D．根據(jù)與的大小關(guān)系結(jié)合的單調(diào)性判斷出的取值范圍，由此確定出與的大小關(guān)系.
【詳解】令得，記
，令得
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減；
且時，，，時，
據(jù)題意知的圖象與的圖象有兩個交點，且交點的橫坐標為，，
所以，故A選項正確；
因為
所以當時，，遞增，
因為，所以，故B選項正確；
當時，，，
又因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，所以C選項錯誤；
因為在遞增，在遞減，且
所以，，
因為，所以
因為，所以
所以，故D選項正確
故選：ABD.
【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)范圍的兩種常用方法：
（1）分離參數(shù)法：將參數(shù)和自變量分離開來，構(gòu)造關(guān)于自變量的新函數(shù)，研究新函數(shù)最值與參數(shù)之間的關(guān)系，求解出參數(shù)范圍；
（2）分類討論法：根據(jù)題意分析參數(shù)的臨界值，根據(jù)臨界值作分類討論，分別求解出滿足題意的參數(shù)范圍最后取并集.
非選擇題部分
三、填空題：（本大題共3小題，每題5分，共15分）
12. 的展開式中的系數(shù)為______．（用數(shù)字作答）
【答案】20
【解析】
【分析】先求出的展開式通項，然后分情況討論，，從而可求解.
【詳解】的第項為，
令，解得，令，得，
代入通項可得展開式中的和項分別為：，分別與和相乘，
得的展開式中項為，故的系數(shù)為20.
故答案為：20.
13. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知求導(dǎo)后得到在上恒成立，分離參數(shù)后得到，再構(gòu)造函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值即可.
【詳解】，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
分離參數(shù)可得，即，
令，
則，在上單調(diào)遞增，
因為，所以，
所以，所以實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
14. 若是一個集合，是一個以某些子集為元素的集合，且滿足：①屬于，空集屬于；②中任意多個元素的并集屬于；③中任意多個元素的交集屬于，則稱是集合上的一個拓撲．已知函數(shù)，其中[x]表示不大于的最大整數(shù)，當時，函數(shù)值域為集合，則集合上的含有4個元素的拓撲的個數(shù)為______．
【答案】9
【解析】
【分析】根據(jù)集合上的拓撲的集合的定義，判斷的值，利用元素與集合的關(guān)系判斷滿足題意的集合上的含有4個元素的拓撲的個數(shù)．
【詳解】因為函數(shù)，其中[x]表示不大于的最大整數(shù)，當時，函數(shù)值域為集合，
所以，故，
①當時，則，
②當時，顯然，
③當時，，，
④當時，，
，
∵中含有4個元素，其中兩個元素和，
設(shè)其它兩個元素為，則，
由對稱性，不妨設(shè)，其中表示集合A中元素的個數(shù)，
，又，或，
若，則只能等于，（若，則，則，矛盾），
則必有，
∴的個數(shù)的個數(shù)種．即或或；
若，此時滿足，
且且，
所以，
∴B的選擇共有種，則的個數(shù)有種，
∴的個數(shù)種．
這6種是，
綜上可知的個數(shù)為9個．
故答案為：9．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于理解集合新定義，得到若時，的個數(shù)的個數(shù)種；若時，的個數(shù)種.
四、解答題：（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
15. 設(shè)函數(shù)．
（1）求在處的切線方程；
（2）求在上的最大值和極大值．
【答案】（1）
（2）極大值是13，最大值是62
【解析】
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合極大值的定義求解即求出閉區(qū)間的最大值.
【小問1詳解】
解:由題意知，，即切點為，
又，所以，
所以在處的切線方程為：，即；
【小問2詳解】
，令得，
得或，
故的減區(qū)間為，增區(qū)間為和，
函數(shù)的極大值，又，
在上的極大值是13，最大值是62．
16. 有3名男生、3名女生，求在下列不同條件下各有多少種安排方法．（用具體數(shù)字回答）
（1）全體排成一排，女生必須站在一起；
（2）全體排成一排，3個男生中恰有兩人相鄰；
（3）全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊；
（4）將這6人分配到3個班級且每個班級至少1人．
【答案】（1）144 （2）432
（3）504 （4）540
【解析】
【分析】（1）相鄰問題利用捆綁法；
（2）先將名女生全排列，再從名男生中選名男生作為一個整體，與另一名男生插入到名女生所形成的個空中的個空中，從而計算可得；
（3）利用間接法計算可得；
（4）對三個班的人數(shù)分，，三種情況討論，先分組，再分配.
【小問1詳解】
全體排成一排，女生必須站在一起，
則將名女生看作一個整體與名男生全排列，其中名女生內(nèi)部也需全排列，
故有種排法；
【小問2詳解】
首先將名女生全排列，再從名男生中選名男生作為一個整體，
與另一名男生插入到名女生所形成的個空中的個空，
則有種排法；
小問3詳解】
首先將個人全排列，再減去甲在最左邊、乙在最右邊的情形，
最后再加上甲在最左邊且乙在最右邊的情形，故有種排法；
【小問4詳解】
依題意若三個班均為人，則有種排法；
若三個班的人數(shù)為，則有種排法；
若三個班的人數(shù)為，則有種排法；
綜上可得一共有種排法.
17. 為了解某藥物在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：隨機抽取100只小鼠，給服該種藥物，每只小鼠給服的藥物濃度相同、體積相同. 經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)藥物的百分比. 根據(jù)試驗數(shù)據(jù)得到如下直方圖：
（1）求殘留百分比直方圖中的值；
（2）估計該藥物在小鼠體內(nèi)殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；
（3）在體內(nèi)藥物殘留百分比位于區(qū)間的小鼠中任取3只，設(shè)其中體內(nèi)藥物殘留百分比位于區(qū)間的小鼠為只，求的分布列和期望.
【答案】（1）；
（2）；
（3）分布列見解析，.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率之和等于1列式求解即可；
（2）根據(jù)直方圖計算平均數(shù)的公式計算可得；
（3）先根據(jù)百分比在區(qū)間和上的小鼠個數(shù)，根據(jù)超幾何分布概率公式求概率，即可的分布列，然后可得期望.
【小問1詳解】
由題知，，
解得.
【小問2詳解】
由圖知，.
【小問3詳解】
體內(nèi)藥物殘留百分比位于區(qū)間內(nèi)頻率為，位于內(nèi)的頻率為.
則百分比位于區(qū)間內(nèi)的小鼠有10只，位于內(nèi)的小鼠有5只，
X的所有取值為0,1,2,3，
所以，，
，，
所以，的分布列如下：
由期望公式得.
18. 有3臺車床加工同一型號的零件，第1，2，3臺加工的次品率分別為6%，5%，4%，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)之比為5：6：9，現(xiàn)任取一個零件，求：
（1）它是第1臺機床生產(chǎn)的概率是多少?
（2）它是次品的概率是多少．
（3）若取到的這個零件是次品，那么它是哪臺機床生產(chǎn)出來的可能性最大?用具體數(shù)據(jù)說明．
【答案】（1）
（2）0.048 （3）3，說明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)之比即可求得答案；
（2）根據(jù)全概率公式，即可求得答案；
（3）根據(jù)貝葉斯公式分別計算出在這個零件是次品的條件下由每個車間生產(chǎn)的概率，比較大小，即可判斷出結(jié)論.
【小問1詳解】
由題意第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)之比為5：6：9，現(xiàn)任取一個零件，
它是第1臺機床生產(chǎn)的概率；
【小問2詳解】
設(shè)事件“零件為第i臺車床加工”，事件“零件為次品”，
，
，
現(xiàn)任取一個零件，它是次品的概率
【小問3詳解】
，
，
，
而，所以它是第3臺機床生產(chǎn)的可能性最大．
19. 已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若在定義域內(nèi)有兩個極值點，求證：.
【答案】（1）答案見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，分類討論的值，由導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性；
（2）由極值點的性質(zhì)以及韋達定理得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.
【小問1詳解】
由題意得：的定義域為，
令，，
當，即時，恒成立，
即：，在上單調(diào)遞減，
當，即時，
令，解得：，
當時，，即；當時，，即，
在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，
【小問2詳解】
在定義域上有兩個極值點
由（1）知且是方程的兩個不等實根，
則，
，
設(shè)，則，
，，，則在上為減函數(shù)，
，則成立.
【點睛】關(guān)鍵點睛：在問題二中，關(guān)鍵在于由極值點的性質(zhì)結(jié)合韋達定理將雙變量問題，轉(zhuǎn)化為單變量問題，從而由導(dǎo)數(shù)證明不等式.0
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