高二數(shù)學(xué)試題卷
（2024.04）
考生須知：
1.本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.考生答題前，務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙上.
選擇題部分
一?單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選?多選?錯(cuò)選均不得分）
1.設(shè)函數(shù)，若，則（ ）
A.-2 B.-3 C.2 D.3
2.已知隨機(jī)變量的分布列，則（ ）
A. B. C. D.
3.若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于，則的值為（ ）
A. B. C. D.
4.2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明了孿生素?cái)?shù)（注：素?cái)?shù)也叫做質(zhì)數(shù)）猜想的一個(gè)弱化形式，孿生素?cái)?shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個(gè)問題之一，可以這樣描述：存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)使得是素?cái)?shù)，素?cái)?shù)對(duì)稱為孿生素?cái)?shù)，從20以內(nèi)的素?cái)?shù)中任取兩個(gè)，其中能構(gòu)成孿生素?cái)?shù)的概率為（ ）
A. B. C. D.
5.展開式中的系數(shù)為（ ）
A.17 B.20 C.75 D.100
6.函數(shù)的圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系中正確的是（ ）
A.
B.
C.
D.
7.已知，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. B.
C. D.
8.把函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到圖像.若對(duì)任意的，曲線與至多只有一個(gè)交點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
二?多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中至少有一個(gè)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9.設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為
若離散型隨機(jī)變量滿足，則下列結(jié)果正確的有（ ）
A. B.
C. D.
10.已知，則（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函數(shù)，其中，則（ ）
A.不等式對(duì)恒成立
B.若直線與函數(shù)的圖象有且只有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則的取值范圍是
C.方程恰有3個(gè)實(shí)根
D.若關(guān)于的不等式恰有1個(gè)負(fù)整數(shù)解，則的取值范圍為
非選擇題部分
三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12.方程的解是__________.
13.過原點(diǎn)的直線與相切，則切點(diǎn)的坐標(biāo)是__________.
14.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是__________.
四?解答題（本題共5小題；共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）
15.（13分）已知函數(shù)在處取得極大值6.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值.
16.（15分）在的展開式中，
（1）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）若第項(xiàng)是有理項(xiàng)，求的取值集合；
（3）系數(shù)最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng).
17.（15分）某班共有團(tuán)員12人，其中男團(tuán)員8人，女團(tuán)員4人，并且男?女團(tuán)員各有一名組長(zhǎng)，現(xiàn)從中選5人參加學(xué)校的團(tuán)員座談會(huì).（用數(shù)字做答）
（1）若至少有1名組長(zhǎng)當(dāng)選，求不同的選法總數(shù)；
（2）若至多有2名女團(tuán)員當(dāng)選，求不同的選法總數(shù)；
（3）若既要有組長(zhǎng)當(dāng)選，又要有女團(tuán)員當(dāng)選，求不同的選法總數(shù).
18.（17分）有兩個(gè)盒子，其中1號(hào)盒子中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球；2號(hào)盒子中有4個(gè)紅球，6個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.
（1）如果從兩個(gè)盒子中摸出3個(gè)球，其中從1號(hào)盒子摸1個(gè)球，從2號(hào)盒子摸兩個(gè)球，規(guī)定摸到紅球得2分，摸到白球得1分，用表示這3個(gè)球的得分之和，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）先等可能地選擇一個(gè)盒子，再?gòu)拇撕兄忻?個(gè)球.若摸出球的結(jié)果是一紅一白，求這2個(gè)球出自1號(hào)盒子的概率.
19.（17分）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).
（i）求的取值范圍；
（ii）證明：
保密★考試結(jié)束前
六校聯(lián)盟2023學(xué)年第二學(xué)期期中聯(lián)考
高二數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
（2024.04）
一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選?多選?錯(cuò)選均不得分）
二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中至少有一個(gè)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12.1或2 13. 14.
四?解答題（本題共77小題；解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）
15.（13分）
（1），
因?yàn)樵谔幦〉脴O大值6.
所以，得
此時(shí)
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
所以在處取得極大值6，符合題意
所以.
又，所以
（2），所以
列表如下：
由于，故時(shí)，.
16.（15分）
（1）
二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)，即第5項(xiàng)
所以
（2）
當(dāng)為整數(shù)時(shí)為有理項(xiàng)，
即，
則的取值集合為；
（3）設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，
則
所以，解得
故系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)和第7項(xiàng)
17.（15分）
（1）方法一（直接法）：種
方法二（間接法）：種
（2）種
（3）第一類：女組長(zhǎng)當(dāng)選，有種，第二類：女組長(zhǎng)不當(dāng)選，男組長(zhǎng)當(dāng)選，有種共有種
18.（17分）
（1）由題意，的可能值為.
所以的分布列為
所以.
（2）記“摸出球的結(jié)果是一紅一白”為事件，“選擇1號(hào)盒子”為事件，“選擇2號(hào)盒子”為
事件，則，，
由貝葉斯公式，若摸球的結(jié)果是一紅一白，出自1號(hào)盒子的概率為
19.（17分）
（1）當(dāng)時(shí)，，
.
顯然，
所以在上單調(diào)遞增.
（2）（i）由題設(shè)且，
若，則在上恒成立，
即單調(diào)遞減，不可能有兩個(gè)極值點(diǎn)，不符合題意；故，
又有兩個(gè)極值點(diǎn)，
則是的兩個(gè)不同正根，
所以，可得，即的取值范圍是.
（ii）由（i）且，不妨設(shè)，
則
，
要證，需證，即，
只需證，
即，令，則證，
由（1）可知當(dāng)時(shí)，在上遞增，
又，故，
即，
綜上，0
1
2
3
4
0.2
0.1
0.4
0.1
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B
B
A
D
B
B
題號(hào)
9
10
11
答案
ABC
ABD
AD
0
1
2
3
+
0
-
0
+
1
極大值6
極小值5
10
3
4
5
6

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