2022學(xué)年第二學(xué)期臺州八校聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1. 曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，，設(shè)線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，即.所以曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為.故選：B.2. （    ）A. 22 B. 24 C. 66 D. 68【答案】A【解析】【分析】由排列數(shù)公式和組合數(shù)公式計(jì)算可得答案.【詳解】.故選：A.3. 已知隨機(jī)變量X的分布列如下表，若，則（    ）X3aPb A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)有且，結(jié)合已知即可求參數(shù).【詳解】由且，故，所以，即故選：C4. 一質(zhì)點(diǎn)在單位圓上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其位移滿足的方程為，其中h表示位移（單位：m），t表示時(shí)間（單位：s），則質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度為（    ）A. sin2 m/s B. cos2 m/s C. 2sin2 m/s D. 2cos2 m/s【答案】D【解析】【分析】求出可求質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度為2cos2 m/s．故選：D.5. 某市新冠疫情封閉管理期間，為了更好的保障社區(qū)居民的日常生活，選派名志愿者到甲、乙、丙三個(gè)社區(qū)進(jìn)行服務(wù)，每人只能去一個(gè)地方，每地至少派一人，則不同的選派方案共有（    ）A. 種 B. 種 C. 種 D. 種【答案】A【解析】【分析】首先將名志愿者分成組，再分配到個(gè)社區(qū).【詳解】首先將名志愿者分成組，再分配到個(gè)社區(qū)，可分種情況，第一類：名志愿者分成，共有（種）選派方案，第二類：名志愿者分成，共有（種）選派方案，第三類：名志愿者分成，共有（種）選派方案，所以共（種）選派方案，故選：A.6. 已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（    ）A.  B.  C. 1 D. 4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以，解得：.故選：D.7. 設(shè)常數(shù)，展開式中的系數(shù)為，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理，先得出其通項(xiàng)，再待定系數(shù)求參數(shù)即可.【詳解】設(shè)展開式的通項(xiàng)為：，由題意可得：當(dāng)時(shí)，.故選：B8. 已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，，且，則不等式的解集為A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)已知不等式分析的單調(diào)性，再根據(jù)特殊值判斷需滿足的不等式，即可求出解集.【詳解】由可得，設(shè)，則，，在上為減函數(shù)，又由，可得，.故選A.【點(diǎn)睛】常見的利用導(dǎo)數(shù)的不等關(guān)系構(gòu)造函數(shù)的類型：（1）若已知，可構(gòu)造函數(shù)：分析問題；（2）若已知，可構(gòu)造函數(shù)：分析問題；（3）若已知，可構(gòu)造函數(shù)：分析問題；（4）若已知，可構(gòu)造函數(shù)：分析問題.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9. 在的展開式中，下列結(jié)論正確的有（    ）A. 二項(xiàng)式系數(shù)之和為64 B. 所有項(xiàng)的系數(shù)之和為1C. 常數(shù)項(xiàng)為160 D. 所有項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和為729【答案】ABD【解析】【分析】A：二項(xiàng)式系數(shù)之和為，直接代入即可.B：所有項(xiàng)的系數(shù)之和只需代入，即可求得.C：展開式中常數(shù)項(xiàng)可利用通項(xiàng)，令的指數(shù)為0可得.D：所有項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和，可利用通項(xiàng)計(jì)算每一項(xiàng)系數(shù)，再相加.【詳解】對于A：二項(xiàng)式系數(shù)之和為，所以A正確；對于B：令，得，所以所有項(xiàng)的系數(shù)之和為1，故B正確；對于C：通項(xiàng)為，由，得，所以，故C錯(cuò)誤.對于D：因，所以所有項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和為，故D正確.故選：ABD10. 已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，則下列不等關(guān)系中正確的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BD【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可．【詳解】令，則，所以在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減，所以，即，即，故A錯(cuò)誤；所以，即，即，故B正確；所以，即，即，故C錯(cuò)誤；所以，即，即，故D正確.故選：BD.11. 某班組織由甲、乙、丙等5名同學(xué)參加的演講比賽，現(xiàn)采用抽簽法決定演講順序，記事件A：“學(xué)生甲不是第一個(gè)出場，學(xué)生乙不是最后一個(gè)出場”，事件B：“學(xué)生丙最后一個(gè)出場”，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A. 事件A包含78個(gè)樣本點(diǎn) B. C.  D. 【答案】AB【解析】【分析】利用分步分類計(jì)數(shù)，結(jié)合組合排列數(shù)求事件A、事件B、事件的樣本點(diǎn)數(shù)，再應(yīng)用古典概率求法求、，最后由條件概率公式求.【詳解】問題等價(jià)于5個(gè)人安排到5個(gè)座位，事件A：甲不在首位，乙不在末位，安排甲（除首位）到其中4個(gè)座位上，分兩種情況：若甲不在末位有種，再安排乙有種，其它同學(xué)作全排有，共有；若甲在末位有1種，余下同學(xué)（含乙）作全排有，共有；所以，事件A包含78個(gè)樣本點(diǎn)；事件B：除丙以外的其它同學(xué)作全排有；事件：把丙安排在末位，再安排甲在中間3個(gè)位置有種，其它同學(xué)作全排有，共有；而5位同學(xué)所有可能安排有.所以，，而，綜上，A、B正確，C、D錯(cuò)誤.故選：AB12. 對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心．若函數(shù)，則（    ）A. 一定有兩個(gè)極值點(diǎn)B. 函數(shù)在R上單調(diào)遞增C. 過點(diǎn)可以作曲線的2條切線D. 當(dāng)時(shí)，【答案】BCD【解析】【分析】對求導(dǎo)，得出，沒有極值點(diǎn)，可判斷A，B；由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求過點(diǎn)的切線方程條數(shù)可判斷C；求出三次函數(shù)的對稱中心，由于函數(shù)的對稱中心為，可得，由倒序相加法求出所給的式子的值，可判斷D.【詳解】由題意知，，恒成立，所以在R上單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)，A錯(cuò)誤，B正確；設(shè)切點(diǎn)為，則，切線方程為，代入點(diǎn)得，即，解得或，所以切線方程為或，C正確；易知，令，則．當(dāng)時(shí)，，，所以點(diǎn)是的對稱中心，所以有，即．令，又，所以，所以，D正確．故選：BCD.非選擇題部分三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13. 隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且，，則p的值為___________.【答案】##0.25【解析】【分析】根據(jù)題意得到，再解方程組即可.【詳解】由題知：.故答案為：14. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為___________.【答案】【解析】【分析】通過求導(dǎo)，解導(dǎo)函數(shù)小于零的不等式解集即可.【詳解】由題意得：，令.即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：15. 如果一個(gè)三位正整數(shù)如“”滿足，且，則稱這樣的三位數(shù)為凹數(shù)（如201，325等），那么由數(shù)字0，1，2，3，4，5能組成___________個(gè)無重復(fù)數(shù)字的凹數(shù).【答案】40【解析】【分析】討論首位分別為1、2、3、4、5，再依次安排中間位置上的數(shù)字，并求出對應(yīng)凹數(shù)的個(gè)數(shù)，最后加總即可.【詳解】當(dāng)首位為1，中間位置為0有4個(gè)凹數(shù)；當(dāng)首位為2，中間位置為0有4個(gè)凹數(shù)；中間位置為1有3個(gè)凹數(shù)；當(dāng)首位為3，中間位置為0有4個(gè)凹數(shù)；中間位置為1有3個(gè)凹數(shù)；中間位置為2有2個(gè)凹數(shù)；當(dāng)首位為4，中間位置為0有4個(gè)凹數(shù)；中間位置為1有3個(gè)凹數(shù)；中間位置為2有2個(gè)凹數(shù)；中間位置為3有1個(gè)凹數(shù)；當(dāng)首位為5，中間位置為0有4個(gè)凹數(shù)；中間位置為1有3個(gè)凹數(shù)；中間位置為2有2個(gè)凹數(shù)；中間位置為3有1個(gè)凹數(shù)；綜上，共有40個(gè)無重復(fù)數(shù)字的凹數(shù).故答案為：4016. 已知函數(shù)，若對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】先證，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，可得恒成立；當(dāng)時(shí)，可得，即可求解結(jié)果．【詳解】由題意可知，令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則恒成立；由，則當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，則對恒成立，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由得或又因?yàn)?/span>且函數(shù)為奇函數(shù)，所以可得，解得，則，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17. （1）求方程中x的值（其中）：；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由排列組合數(shù)公式列方程求解即可；（2）賦值法求得、，即可求部分系數(shù)和.【詳解】（1）因且，所以，解得.（2）令，則；令，得；所以.18. 已知函數(shù)在時(shí)取得極值，在點(diǎn)處的切線的斜率為.（1）求的解析式；（2）求在區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間和最值.【答案】（1）；    （2）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；，.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)給定條件建立方程組求解并驗(yàn)證作答.（2）利用（1）中信息，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值作答.【小問1詳解】對函數(shù)求導(dǎo)得：，依題意，，解得：，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在時(shí)取得極值，所以的解析式是.【小問2詳解】由（1）知，，，， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上遞減，在上遞增，則，而，因此， 所以在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，，.19. 有4名男生、3名女生，全體排成一行，間下列情形各有多少種不同的排法：（1）甲、乙兩人必須排在兩端；（2）男女相間；（3）甲、乙、丙三人從左到右順序保持一定．【答案】（1）240    （2）144    （3）840【解析】【分析】（1）先排甲、乙，再排其余5人，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可求得答案；（2）先排4名男，再利用插空法排女生，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得出答案；（3）法一：首先求出7人排成一列的全排列，其中甲，乙，丙三人的排列順序有，其中按照甲、乙、丙順序的排法占全排列種數(shù)的，從而得出答案；法二：先排剩下的4人，從7個(gè)位置選出4個(gè)位置有種，再排甲、乙、丙即可．【小問1詳解】先排甲、乙，再排其余5人，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有種排法．【小問2詳解】先排4名男生有種方法，再將3名女生插在男生形成的3個(gè)空上有種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有種排法．【小問3詳解】法一：7人共有種排法，其中甲、乙、丙三人有種排法，因而在種排法中每種對應(yīng)一種符合條件的排法，故共有種排法．法二：先排剩下的4人，從7個(gè)位置選出4個(gè)位置就有，再排甲、乙、丙有1種，則共有種排法．20. 已知函數(shù).（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在處的切線方程；（2）首先應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、值域，再由零點(diǎn)個(gè)數(shù)有求參數(shù)范圍.【小問1詳解】由的定義域?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，則，，則，又，即切點(diǎn)為，∴所求切線方程為.【小問2詳解】由且，，令得：，則上，上，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增， 又有兩個(gè)零點(diǎn)，趨向于0或時(shí)趨向，只需，即，可得，綜上，a的取值范圍是.21. 某校從高三年級選拔一個(gè)班級代表學(xué)校參加“學(xué)習(xí)強(qiáng)國知識大賽”，經(jīng)過層層選拔，甲、乙兩個(gè)班級進(jìn)入最后決賽，規(guī)定選手回答1道相關(guān)問題，根據(jù)最后的評判選擇由哪個(gè)班級代表學(xué)校參加大賽．每個(gè)班級有5名選手，現(xiàn)從每個(gè)班級的5名選手中隨機(jī)抽取3人回答這道問題．已知甲班的5人中只有3人可以正確回答這道題目，乙班的5人能正確回答這道題目的概率均為，甲、乙兩個(gè)班每個(gè)人對問題的回答都是相互獨(dú)立的．（1）求甲、乙兩個(gè)班抽取的6人中至少有3人能正確回答這道題目的概率；（2）設(shè)甲班被抽取的選手中能正確回答題目的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望，并利用所學(xué)的知識分析由哪個(gè)班級代表學(xué)校參加大賽更好．【答案】（1）    （2）分布列見解析，，選擇甲班代表學(xué)校參加比賽更好【解析】【分析】（1）利用對立事件：甲、乙兩個(gè)班抽取的6人中有1人或2人能正確回答，利用超幾何分布和二項(xiàng)分布運(yùn)算求解；（2）利用超幾何分布和二項(xiàng)分布求分別求期望和方差，分析理解判斷．【小問1詳解】設(shè)甲、乙兩個(gè)班抽取的6人中至少有3人能正確回答這道問題為事件A由于甲班5人中有3人可以正確回答這道題目，故從甲班中抽取的3人中至少有1人能正確回答這道題目故事件為甲、乙兩個(gè)班抽取的6人中有1人或2人能正確回答，具體情況為甲班1人回答正確，其他5人回答錯(cuò)誤或甲班2人回答正確，其他4人回答錯(cuò)誤或甲、乙兩班各1人回答正確，其他4人回答錯(cuò)誤因?yàn)?/span>所以【小問2詳解】X的所有可能取值為1，2，3，，所以X的分布列為X123P所以因?yàn)橐野嗄苷_回答題目的人數(shù)，所以，即．因?yàn)?/span>，，，所以甲、乙兩個(gè)班級能正確回答題目的人數(shù)的期望相等，但甲班的方差小于乙班，所以選擇甲班代表學(xué)校參加比賽更好．22. 已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）若，且對任意恒成立，求的最大值．【答案】（1）無極大值；極小值是；（2）3．【解析】【分析】(1)求出的定義域及導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)正負(fù)討論函數(shù)的極值即可得解；(2)利用恒成立的不等式分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)并探討其最小值即可作答.【詳解】（1）函數(shù)的的定義域?yàn)?/span>，，，，，，即函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的極小值是，無極大值；（2）因?yàn)?/span>對任意恒成立，即對任意恒成立，令，則，令，則，于是得函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，方程在上存在唯一實(shí)根，并滿足，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，從而得函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即有，則，所以整數(shù)的最大值是3． 
 

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