2022年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．已知（其中為虛數(shù)單位），則．
2．已知集合，集合，則．
3．不等式的解集為．
4．若，則．
5．設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為，則．
6．在的展開式中，則含項(xiàng)的系數(shù)為．
7．若關(guān)于，的方程組有無窮多解，則實(shí)數(shù)的值為．
8．已知在中，，，，則的外接圓半徑為．
9．用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則這些四位數(shù)中比2134大的數(shù)字個(gè)數(shù)為（用數(shù)字作答）
10．在中，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，則的最小值為．
11．已知，，，兩點(diǎn)均在雙曲線的右支上，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．
12．已知函數(shù)為定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，其圖像關(guān)于對稱，且當(dāng)，時(shí)，，若將方程的正實(shí)數(shù)根從小到大依次記為，，，，，則．
二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.
13．下列函數(shù)定義域?yàn)榈氖?
A．B．C．D．
14．若，則下列不等式恒成立的是
A．B．C．D．
15．上海海關(guān)大樓的頂部為逐級(jí)收攏的四面鐘樓，如圖，四個(gè)大鐘分布在四棱柱的四個(gè)側(cè)面，則每天0點(diǎn)至12點(diǎn)（包含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)）相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直的次數(shù)為
A．0B．2C．4D．12
16．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，則下列選項(xiàng)判斷正確的是
A．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列
B．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列
C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則
D．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則
三、簡答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.
17．（14分）如圖，圓柱下底面與上底面的圓心分別為、，為圓柱的母線，底面半徑長為1．
（1）若，為的中點(diǎn)，求直線與上底面所成角的大??；（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）
（2）若圓柱過的截面為正方形，求圓柱的體積與側(cè)面積．
18．（14分）已知在數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為．
（1）若是等比數(shù)列，，求；
（2）若是等差數(shù)列，，求其公差的取值范圍．
19．（14分）為有效塑造城市景觀、提升城市環(huán)境品質(zhì)，上海市正在努力推進(jìn)新一輪架空線入地工程的建設(shè)．如圖是一處要架空線入地的矩形地塊，，．為保護(hù)處的一棵古樹，有關(guān)部門劃定了以為圓心、為半徑的四分之一圓的地塊為歷史古跡封閉區(qū)．若空線入線口為邊上的點(diǎn)，出線口為邊上的點(diǎn)，施工要求與封閉區(qū)邊界相切，右側(cè)的四邊形地塊將作為綠地保護(hù)生態(tài)區(qū)．（計(jì)算長度精確到，計(jì)算面積精確到
（1）若，求的長；
（2）當(dāng)入線口在上的什么位置時(shí)，生態(tài)區(qū)的面積最大？最大面積是多少？
20．（16分）已知橢圓，、兩點(diǎn)分別為的左頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)，、兩點(diǎn)均在直線上，且在第一象限．
（1）設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，且，求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若、兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為2、1，請判斷直線與直線的交點(diǎn)是否在橢圓上，并說明理由；
（3）設(shè)直線、分別交橢圓于點(diǎn)、點(diǎn)，若、關(guān)于原點(diǎn)對稱，求的最小值．
21．（18分）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，現(xiàn)有兩種對變換的操作：變換：；變換：，其中為大于0的常數(shù)．
（1）設(shè)，，為做變換后的結(jié)果，解方程：；
（2）設(shè)，為做變換后的結(jié)果，解不等式：；
（3）設(shè)在上單調(diào)遞增，先做變換后得到，再做變換后得到；先做變換后得到，再做變換后得到．若恒成立，證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增．
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目前有24個(gè)群（18個(gè)高中群，2個(gè)四川群，1個(gè)直播群，3個(gè)初中群），共10000多優(yōu)秀、特、高級(jí)教師，省、市、區(qū)縣教研員、教輔公司數(shù)學(xué)編輯、報(bào)刊雜志高中數(shù)學(xué)編輯等匯聚而成，是一個(gè)圍繞高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究展開教研活動(dòng)的微信群.
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2022年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）
1．已知（其中為虛數(shù)單位），則．
【思路分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念，即可求解．
【解析】，．故答案為：．
【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．
2．已知集合，集合，則．
【思路分析】利用交集定義直接求解．
【解析】集合，集合，．故答案為：．
【試題評(píng)價(jià)】本題考查集合的運(yùn)算，考查交集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
3．不等式的解集為．
【思路分析】把分式不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式即可直接求解．
【解析】由題意得，解得，故不等式的解集．故答案為：．
【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查了分式不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題．
4．若，則．
【思路分析】由兩角和的正切公式直接求解即可．
【解析】若，則．故答案為：．
【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查兩角和的正切公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
5．設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為，則 3 ．
【思路分析】直接利用反函數(shù)的定義求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步求出函數(shù)的值．
【解析】函數(shù)的反函數(shù)為，整理得；所以．
故答案為：3．
【試題評(píng)價(jià)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：反函數(shù)的定義和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
6．在的展開式中，則含項(xiàng)的系數(shù)為 66 ．
【思路分析】求出展開式的通項(xiàng)公式，令的次數(shù)為，求出的值即可．
【解析】展開式的通項(xiàng)公式為，由，得，
得，即，即含項(xiàng)的系數(shù)為66，故答案為：66．
【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，根據(jù)條件求出通項(xiàng)公式，利用的次數(shù)建立方程是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．
7．若關(guān)于，的方程組有無窮多解，則實(shí)數(shù)的值為 4 ．
【思路分析】根據(jù)題意，分析可得直線和平行，由此求出的值，即可得答案．
【解析】根據(jù)題意，若關(guān)于，的方程組有無窮多解，
則直線和重合，則有，即，解可得，
當(dāng)時(shí)，兩直線重合，方程組有無數(shù)組解，符合題意，
當(dāng)時(shí)，兩直線平行，方程組無解，不符合題意，故．故答案為：4
【試題評(píng)價(jià)】本題考查直線與方程的關(guān)系，注意轉(zhuǎn)化為直線與直線的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
8．已知在中，，，，則的外接圓半徑為．
【思路分析】直接利用正弦定理余弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解析】在中，，，，
利用余弦定理，整理得，
所以，解得．故答案為：．
【試題評(píng)價(jià)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦定理和余弦定理，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
9．用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則這些四位數(shù)中比2134大的數(shù)字個(gè)數(shù)為 17 （用數(shù)字作答）
【思路分析】根據(jù)題意，按四位數(shù)的千位數(shù)字分2種情況討論，由加法原理計(jì)算可得答案．
【解析】根據(jù)題意，用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，
當(dāng)其千位數(shù)字為3或4時(shí)，有種情況，即有12個(gè)符合題意的四位數(shù)，
當(dāng)其千位數(shù)字為2時(shí)，有6種情況，其中最小的為2134，則有個(gè)比2134大的四位數(shù)，
故有個(gè)比2134大的四位數(shù)，故答案為：17．
【試題評(píng)價(jià)】本題考查排列組合的應(yīng)用，注意分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
10．在中，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，則的最小值為．
【思路分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出，再利用二次函數(shù)求最值即可．
【解析】建立平面直角坐標(biāo)系如下，則，，，
直線的方程為，即，
點(diǎn)在直線上，設(shè)，
，，
，
的最小值為．故答案為：．
【試題評(píng)價(jià)】本題考查了數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了二次函數(shù)求最值，屬于中檔題．
11．已知，，，兩點(diǎn)均在雙曲線的右支上，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，．
【思路分析】取的對稱點(diǎn)，，結(jié)合，可得，然后可得漸近線夾角，代入漸近線斜率計(jì)算即可求得．
【解析】設(shè)的對稱點(diǎn)，仍在雙曲線右支，由，
得，即恒成立，
恒為銳角，即，
其中一條漸近線的斜率，
，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，．故答案為：，．
【試題評(píng)價(jià)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，是中檔題．
12．已知函數(shù)為定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，其圖像關(guān)于對稱，且當(dāng)，時(shí)，，若將方程的正實(shí)數(shù)根從小到大依次記為，，，，，則 2 ．
【思路分析】是周期為4的周期函數(shù)，作出圖象，的幾何意義是兩條漸近線之間的距離，由此能求出結(jié)果．
【解析】函數(shù)為定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，其圖像關(guān)于對稱，且當(dāng)，時(shí)，，
是周期為4的周期函數(shù)，圖象如圖：
將方程的正實(shí)數(shù)根從小到大依次記為，，，，，
則的幾何意義是兩條漸近線之間的距離2，
．
故答案為：2．
【試題評(píng)價(jià)】本題考查極限的求法，考查函數(shù)的周期性、函數(shù)圖象、極限的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.
13．下列函數(shù)定義域?yàn)榈氖?
A．B．C．D．
【思路分析】化分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為根式，分別求出四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的定義域得答案．
【解析】，定義域?yàn)椋?br>，定義域?yàn)椋?br>，定義域?yàn)椋?br>，定義域?yàn)椋?br>定義域?yàn)榈氖牵蔬x：．
【試題評(píng)價(jià)】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，是基礎(chǔ)題．
14．若，則下列不等式恒成立的是
A．B．C．D．
【思路分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解．
【解析】對于，令，，，，滿足，但，故錯(cuò)誤，
對于，，即，，
由不等式的可加性可得，，故正確，
對于，令，，，，滿足，但，故錯(cuò)誤，
對于，令，，，，滿足，但，故錯(cuò)誤．
故選：．
【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，掌握特殊值法是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
15．上海海關(guān)大樓的頂部為逐級(jí)收攏的四面鐘樓，如圖，四個(gè)大鐘分布在四棱柱的四個(gè)側(cè)面，則每天0點(diǎn)至12點(diǎn)（包含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)）相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直的次數(shù)為
A．0B．2C．4D．12
【思路分析】3點(diǎn)時(shí)和9點(diǎn)時(shí)相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直．
【解析】3點(diǎn)時(shí)和9點(diǎn)時(shí)相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直，
每天0點(diǎn)至12點(diǎn)（包含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)），
相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直的次數(shù)為2，
故選：．
【試題評(píng)價(jià)】本題考查兩條異面直線垂直的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查推理論證能力，是中檔題．
16．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，則下列選項(xiàng)判斷正確的是
A．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列
B．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列
C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則
D．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則
【思路分析】反例判斷；反例判斷；構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)判斷；推出數(shù)列公比以及數(shù)列項(xiàng)的范圍，即可判斷．
【解析】如果數(shù)列，公比為，滿足，但是數(shù)列不是遞增數(shù)列，所以不正確；
如果數(shù)列，公比為，滿足，但是數(shù)列不是遞增數(shù)列，所以不正確；
如果數(shù)列，公比為，，數(shù)列是遞增數(shù)列，但是，所以不正確；
數(shù)列是遞增數(shù)列，可知，可得，所以，可得正確，所以正確；
故選：．
【試題評(píng)價(jià)】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題．
三、簡答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.
17．（14分）如圖，圓柱下底面與上底面的圓心分別為、，為圓柱的母線，底面半徑長為1．
（1）若，為的中點(diǎn)，求直線與上底面所成角的大?。唬ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）
（2）若圓柱過的截面為正方形，求圓柱的體積與側(cè)面積．
【思路分析】（1）轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題求解；（2）用圓柱體積和側(cè)面積公式求解．
【解析】（1）因?yàn)闉閳A柱的母線，所以垂直于上底面，
所以是直線與上底面所成角，，
所以．
（2）因?yàn)閳A柱過的截面為正方形，所以，
所以圓柱的體積為，
圓柱的側(cè)面積為．
【試題評(píng)價(jià)】本題考查了直線與平面成角問題，考查了圓柱的體積與側(cè)面積計(jì)算問題，屬于中檔題．
18．（14分）已知在數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為．
（1）若是等比數(shù)列，，求；
（2）若是等差數(shù)列，，求其公差的取值范圍．
【思路分析】（1）由已知求得等比數(shù)列的公比，再求出前項(xiàng)和，求極限得答案；
（2）求出等差數(shù)列的前項(xiàng)和，代入，對分類分析得答案．
【解析】（1）在等比數(shù)列中，，，則，
公比，則，
；
（2）若是等差數(shù)列，
則，
即，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，恒成立，，，．
綜上所述，，．
【試題評(píng)價(jià)】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列前項(xiàng)和，考查數(shù)列極限的求法，考查數(shù)列的函數(shù)特性及應(yīng)用，是中檔題．
19．（14分）為有效塑造城市景觀、提升城市環(huán)境品質(zhì)，上海市正在努力推進(jìn)新一輪架空線入地工程的建設(shè)．如圖是一處要架空線入地的矩形地塊，，．為保護(hù)處的一棵古樹，有關(guān)部門劃定了以為圓心、為半徑的四分之一圓的地塊為歷史古跡封閉區(qū)．若空線入線口為邊上的點(diǎn)，出線口為邊上的點(diǎn)，施工要求與封閉區(qū)邊界相切，右側(cè)的四邊形地塊將作為綠地保護(hù)生態(tài)區(qū)．（計(jì)算長度精確到，計(jì)算面積精確到
（1）若，求的長；
（2）當(dāng)入線口在上的什么位置時(shí)，生態(tài)區(qū)的面積最大？最大面積是多少？
【思路分析】（1）作，然后結(jié)合銳角三角函數(shù)定義表示出，
（2）設(shè)，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義可表示，，然后表示出面積，結(jié)合同角基本關(guān)系進(jìn)行化簡，再由基本不等式可求．
【解析】（1）作，垂足為，
則；
（2）設(shè)，則，，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，最大面積為．
【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查了利用基本不等式在求解最值中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)問題，屬于中檔題．
20．（16分）已知橢圓，、兩點(diǎn)分別為的左頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)，、兩點(diǎn)均在直線上，且在第一象限．
（1）設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，且，求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若、兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為2、1，請判斷直線與直線的交點(diǎn)是否在橢圓上，并說明理由；
（3）設(shè)直線、分別交橢圓于點(diǎn)、點(diǎn)，若、關(guān)于原點(diǎn)對稱，求的最小值．
【思路分析】（1）根據(jù)條件可得，解出，利用，求得，即可求得答案；
（2）分別表示出此時(shí)直線、直線的方程，求出其交點(diǎn)，驗(yàn)證即可；
（3）設(shè)，，表示出直線、直線方程，解出、坐標(biāo)，表示出，再利用基本不等式即可求出答案．
【解析】（1）由題可得，，
因?yàn)?，所以，解得?br>所以，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）直線與直線的交點(diǎn)在橢圓上，
由題可得此時(shí)，，，，
則直線，直線，交點(diǎn)為，，滿足，
故直線與直線的交點(diǎn)在橢圓上；
（3），，則直線，所以，
，，則直線，所以，
所以，
設(shè)，則，
因?yàn)?，所以?br>則，即的最小值為6．
【試題評(píng)價(jià)】本題考查直線與橢圓的綜合，涉及橢圓方程的求解，直線交點(diǎn)求解，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
21．（18分）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，現(xiàn)有兩種對變換的操作：變換：；變換：，其中為大于0的常數(shù)．
（1）設(shè)，，為做變換后的結(jié)果，解方程：；
（2）設(shè)，為做變換后的結(jié)果，解不等式：；
（3）設(shè)在上單調(diào)遞增，先做變換后得到，再做變換后得到；先做變換后得到，再做變換后得到．若恒成立，證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增．
【思路分析】（1）推導(dǎo)出，由此能求出．
（2）推導(dǎo)出，當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，，由此能求出的解集．
（3）先求出，從而，先求出，從而，由，得，再由在上單調(diào)遞增，能證明函數(shù)在上單調(diào)遞增．
【解析】（1），，為做變換后的結(jié)果，，
，
解得．
（2），為做變換后的結(jié)果，，
，
當(dāng)時(shí)，恒成立；
當(dāng)時(shí)，，
解得，或，
綜上，不等式：的解集為，，．
（3）證明：先做變換后得到，再做變換后得到，
，，
先做變換后得到，再做變換后得到，
，，
，在上單調(diào)遞增，
，
，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增．
【試題評(píng)價(jià)】本題考查方程、不等式的解的求法，考查函數(shù)是增函數(shù)的證明，考查函數(shù)變換的性質(zhì)、抽象函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
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《初高中數(shù)學(xué)教研微信系列群》簡介：
目前有24個(gè)群（18個(gè)高中群，2個(gè)四川群，1個(gè)直播群，3個(gè)初中群），共10000多優(yōu)秀、特、高級(jí)教師，省、市、區(qū)縣教研員、教輔公司數(shù)學(xué)編輯、報(bào)刊雜志高中數(shù)學(xué)編輯等匯聚而成，是一個(gè)圍繞高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究展開教研活動(dòng)的微信群.
宗旨：腳踏實(shí)地、不口號(hào)、不花哨、接地氣的高中數(shù)學(xué)教研！
特別說明：
1.本系列群只探討高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究、高中數(shù)學(xué)試題研究等相關(guān)話題；
2.由于本群是集“研究—寫作—發(fā)表（出版）”于一體的“橋梁”，涉及業(yè)務(wù)合作，特強(qiáng)調(diào)真誠交流，入群后立即群名片：
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