2022年上海市春季高考數(shù)學試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）1．已知（其中為虛數(shù)單位），則　　．2．已知集合，集合，則　　．3．不等式的解集為 　　．4．若，則　　．5．設函數(shù)的反函數(shù)為，則　　．6．在的展開式中，則含項的系數(shù)為 　　．7．若關(guān)于，的方程組有無窮多解，則實數(shù)的值為 　　．8．已知在中，，，，則的外接圓半徑為 　　．9．用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，則這些四位數(shù)中比2134大的數(shù)字個數(shù)為 　　（用數(shù)字作答）10．在中，，，點為邊的中點，點在邊上，則的最小值為 　　．11．已知，，，兩點均在雙曲線的右支上，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 　　．12．已知函數(shù)為定義域為的奇函數(shù)，其圖像關(guān)于對稱，且當，時，，若將方程的正實數(shù)根從小到大依次記為，，，，，則　　．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個正確選項，考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13．下列函數(shù)定義域為的是　　A． B． C． D．14．若，則下列不等式恒成立的是　　A． B． C． D．15．上海海關(guān)大樓的頂部為逐級收攏的四面鐘樓，如圖，四個大鐘分布在四棱柱的四個側(cè)面，則每天0點至12點（包含0點，不含12點）相鄰兩鐘面上的時針相互垂直的次數(shù)為　　A．0 B．2 C．4 D．1216．已知等比數(shù)列的前項和為，前項積為，則下列選項判斷正確的是　　A．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列 B．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列 C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則 D．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則三、簡答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.17．（14分）如圖，圓柱下底面與上底面的圓心分別為、，為圓柱的母線，底面半徑長為1．（1）若，為的中點，求直線與上底面所成角的大??；（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）（2）若圓柱過的截面為正方形，求圓柱的體積與側(cè)面積．18．（14分）已知在數(shù)列中，，其前項和為．（1）若是等比數(shù)列，，求；（2）若是等差數(shù)列，，求其公差的取值范圍．19．（14分）為有效塑造城市景觀、提升城市環(huán)境品質(zhì)，上海市正在努力推進新一輪架空線入地工程的建設．如圖是一處要架空線入地的矩形地塊，，．為保護處的一棵古樹，有關(guān)部門劃定了以為圓心、為半徑的四分之一圓的地塊為歷史古跡封閉區(qū)．若空線入線口為邊上的點，出線口為邊上的點，施工要求與封閉區(qū)邊界相切，右側(cè)的四邊形地塊將作為綠地保護生態(tài)區(qū)．（計算長度精確到，計算面積精確到（1）若，求的長；（2）當入線口在上的什么位置時，生態(tài)區(qū)的面積最大？最大面積是多少？20．（16分）已知橢圓，、兩點分別為的左頂點、下頂點，、兩點均在直線上，且在第一象限．（1）設是橢圓的右焦點，且，求的標準方程；（2）若、兩點縱坐標分別為2、1，請判斷直線與直線的交點是否在橢圓上，并說明理由；（3）設直線、分別交橢圓于點、點，若、關(guān)于原點對稱，求的最小值．21．（18分）已知函數(shù)的定義域為，現(xiàn)有兩種對變換的操作：變換：；變換：，其中為大于0的常數(shù)．（1）設，，為做變換后的結(jié)果，解方程：；（2）設，為做變換后的結(jié)果，解不等式：；（3）設在上單調(diào)遞增，先做變換后得到，再做變換后得到；先做變換后得到，再做變換后得到．若恒成立，證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增．
2022年上海市春季高考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）1．已知（其中為虛數(shù)單位），則　　．【思路分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共軛復數(shù)的概念，即可求解．【解析】，．故答案為：．【試題評價】本題主要考查共軛復數(shù)的概念，屬于基礎題．2．已知集合，集合，則　　．【思路分析】利用交集定義直接求解．【解析】集合，集合，．故答案為：．【試題評價】本題考查集合的運算，考查交集定義等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．3．不等式的解集為 　　．【思路分析】把分式不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式即可直接求解．【解析】由題意得，解得，故不等式的解集．故答案為：．【試題評價】本題主要考查了分式不等式的求解，屬于基礎題．4．若，則　　．【思路分析】由兩角和的正切公式直接求解即可．【解析】若，則．故答案為：．【試題評價】本題主要考查兩角和的正切公式，考查運算求解能力，屬于基礎題．5．設函數(shù)的反函數(shù)為，則　3　．【思路分析】直接利用反函數(shù)的定義求出函數(shù)的關(guān)系式，進一步求出函數(shù)的值．【解析】函數(shù)的反函數(shù)為，整理得；所以．故答案為：3．【試題評價】本題考查的知識要點：反函數(shù)的定義和性質(zhì)，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題．6．在的展開式中，則含項的系數(shù)為 　66　．【思路分析】求出展開式的通項公式，令的次數(shù)為，求出的值即可．【解析】展開式的通項公式為，由，得，得，即，即含項的系數(shù)為66，故答案為：66．【試題評價】本題主要考查二項式定理的應用，根據(jù)條件求出通項公式，利用的次數(shù)建立方程是解決本題的關(guān)鍵，是基礎題．7．若關(guān)于，的方程組有無窮多解，則實數(shù)的值為 　4　．【思路分析】根據(jù)題意，分析可得直線和平行，由此求出的值，即可得答案．【解析】根據(jù)題意，若關(guān)于，的方程組有無窮多解，則直線和重合，則有，即，解可得，當時，兩直線重合，方程組有無數(shù)組解，符合題意，當時，兩直線平行，方程組無解，不符合題意，故．故答案為：4【試題評價】本題考查直線與方程的關(guān)系，注意轉(zhuǎn)化為直線與直線的關(guān)系，屬于基礎題．8．已知在中，，，，則的外接圓半徑為 　　．【思路分析】直接利用正弦定理余弦定理的應用求出結(jié)果．【解析】在中，，，，利用余弦定理，整理得，所以，解得．故答案為：．【試題評價】本題考查的知識要點：正弦定理和余弦定理，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題．9．用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，則這些四位數(shù)中比2134大的數(shù)字個數(shù)為 　17　（用數(shù)字作答）【思路分析】根據(jù)題意，按四位數(shù)的千位數(shù)字分2種情況討論，由加法原理計算可得答案．【解析】根據(jù)題意，用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，當其千位數(shù)字為3或4時，有種情況，即有12個符合題意的四位數(shù)，當其千位數(shù)字為2時，有6種情況，其中最小的為2134，則有個比2134大的四位數(shù)，故有個比2134大的四位數(shù)，故答案為：17．【試題評價】本題考查排列組合的應用，注意分類計數(shù)原理的應用，屬于基礎題．10．在中，，，點為邊的中點，點在邊上，則的最小值為 　　．【思路分析】建立平面直角坐標系，利用數(shù)量積的坐標運算求出，再利用二次函數(shù)求最值即可．【解析】建立平面直角坐標系如下，則，，，直線的方程為，即，點在直線上，設，，，，的最小值為．故答案為：．【試題評價】本題考查了數(shù)量積的坐標運算，考查了二次函數(shù)求最值，屬于中檔題．11．已知，，，兩點均在雙曲線的右支上，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 　，　．【思路分析】取的對稱點，，結(jié)合，可得，然后可得漸近線夾角，代入漸近線斜率計算即可求得．【解析】設的對稱點，仍在雙曲線右支，由，得，即恒成立， 恒為銳角，即，其中一條漸近線的斜率，，所以實數(shù)的取值范圍為，．故答案為：，．【試題評價】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，是中檔題．12．已知函數(shù)為定義域為的奇函數(shù)，其圖像關(guān)于對稱，且當，時，，若將方程的正實數(shù)根從小到大依次記為，，，，，則　2　．【思路分析】是周期為4的周期函數(shù)，作出圖象，的幾何意義是兩條漸近線之間的距離，由此能求出結(jié)果．【解析】函數(shù)為定義域為的奇函數(shù)，其圖像關(guān)于對稱，且當，時，，是周期為4的周期函數(shù)，圖象如圖：將方程的正實數(shù)根從小到大依次記為，，，，，則的幾何意義是兩條漸近線之間的距離2，．故答案為：2．【試題評價】本題考查極限的求法，考查函數(shù)的周期性、函數(shù)圖象、極限的幾何意義等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個正確選項，考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13．下列函數(shù)定義域為的是　　A． B． C． D．【思路分析】化分數(shù)指數(shù)冪為根式，分別求出四個選項中函數(shù)的定義域得答案．【解析】，定義域為，，定義域為，，定義域為，，定義域為．定義域為的是．故選：．【試題評價】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，是基礎題．14．若，則下列不等式恒成立的是　　A． B． C． D．【思路分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解．【解析】對于，令，，，，滿足，但，故錯誤，對于，，即，，由不等式的可加性可得，，故正確，對于，令，，，，滿足，但，故錯誤，對于，令，，，，滿足，但，故錯誤．故選：．【試題評價】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，掌握特殊值法是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎題．15．上海海關(guān)大樓的頂部為逐級收攏的四面鐘樓，如圖，四個大鐘分布在四棱柱的四個側(cè)面，則每天0點至12點（包含0點，不含12點）相鄰兩鐘面上的時針相互垂直的次數(shù)為　　A．0 B．2 C．4 D．12【思路分析】3點時和9點時相鄰兩鐘面上的時針相互垂直．【解析】3點時和9點時相鄰兩鐘面上的時針相互垂直，每天0點至12點（包含0點，不含12點），相鄰兩鐘面上的時針相互垂直的次數(shù)為2，故選：．【試題評價】本題考查兩條異面直線垂直的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查推理論證能力，是中檔題．16．已知等比數(shù)列的前項和為，前項積為，則下列選項判斷正確的是　　A．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列 B．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列 C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則 D．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則【思路分析】反例判斷；反例判斷；構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)判斷；推出數(shù)列公比以及數(shù)列項的范圍，即可判斷．【解析】如果數(shù)列，公比為，滿足，但是數(shù)列不是遞增數(shù)列，所以不正確；如果數(shù)列，公比為，滿足，但是數(shù)列不是遞增數(shù)列，所以不正確；如果數(shù)列，公比為，，數(shù)列是遞增數(shù)列，但是，所以不正確；數(shù)列是遞增數(shù)列，可知，可得，所以，可得正確，所以正確；故選：．【試題評價】本題考查數(shù)列的應用，等比數(shù)列的性質(zhì)的應用，是中檔題．三、簡答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.17．（14分）如圖，圓柱下底面與上底面的圓心分別為、，為圓柱的母線，底面半徑長為1．（1）若，為的中點，求直線與上底面所成角的大?。唬ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）（2）若圓柱過的截面為正方形，求圓柱的體積與側(cè)面積．【思路分析】（1）轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題求解；（2）用圓柱體積和側(cè)面積公式求解．【解析】（1）因為為圓柱的母線，所以垂直于上底面，所以是直線與上底面所成角，，所以．（2）因為圓柱過的截面為正方形，所以，所以圓柱的體積為，圓柱的側(cè)面積為．【試題評價】本題考查了直線與平面成角問題，考查了圓柱的體積與側(cè)面積計算問題，屬于中檔題．18．（14分）已知在數(shù)列中，，其前項和為．（1）若是等比數(shù)列，，求；（2）若是等差數(shù)列，，求其公差的取值范圍．【思路分析】（1）由已知求得等比數(shù)列的公比，再求出前項和，求極限得答案；（2）求出等差數(shù)列的前項和，代入，對分類分析得答案．【解析】（1）在等比數(shù)列中，，，則，公比，則，；（2）若是等差數(shù)列，則，即，當時，；當時，恒成立，，，．綜上所述，，．【試題評價】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列前項和，考查數(shù)列極限的求法，考查數(shù)列的函數(shù)特性及應用，是中檔題．19．（14分）為有效塑造城市景觀、提升城市環(huán)境品質(zhì)，上海市正在努力推進新一輪架空線入地工程的建設．如圖是一處要架空線入地的矩形地塊，，．為保護處的一棵古樹，有關(guān)部門劃定了以為圓心、為半徑的四分之一圓的地塊為歷史古跡封閉區(qū)．若空線入線口為邊上的點，出線口為邊上的點，施工要求與封閉區(qū)邊界相切，右側(cè)的四邊形地塊將作為綠地保護生態(tài)區(qū)．（計算長度精確到，計算面積精確到（1）若，求的長；（2）當入線口在上的什么位置時，生態(tài)區(qū)的面積最大？最大面積是多少？【思路分析】（1）作，然后結(jié)合銳角三角函數(shù)定義表示出，（2）設，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義可表示，，然后表示出面積，結(jié)合同角基本關(guān)系進行化簡，再由基本不等式可求．【解析】（1）作，垂足為，則；（2）設，則，，，，當且僅當，即時取等號，此時，最大面積為．【試題評價】本題主要考查了利用基本不等式在求解最值中的應用，解題的關(guān)鍵是由實際問題抽象出數(shù)學問題，屬于中檔題．20．（16分）已知橢圓，、兩點分別為的左頂點、下頂點，、兩點均在直線上，且在第一象限．（1）設是橢圓的右焦點，且，求的標準方程；（2）若、兩點縱坐標分別為2、1，請判斷直線與直線的交點是否在橢圓上，并說明理由；（3）設直線、分別交橢圓于點、點，若、關(guān)于原點對稱，求的最小值．【思路分析】（1）根據(jù)條件可得，解出，利用，求得，即可求得答案；（2）分別表示出此時直線、直線的方程，求出其交點，驗證即可；（3）設，，表示出直線、直線方程，解出、坐標，表示出，再利用基本不等式即可求出答案．【解析】（1）由題可得，，因為，所以，解得，所以，故的標準方程為；（2）直線與直線的交點在橢圓上，由題可得此時，，，，則直線，直線，交點為，，滿足，故直線與直線的交點在橢圓上；（3），，則直線，所以，，，則直線，所以，所以，設，則，因為，所以，則，即的最小值為6．【試題評價】本題考查直線與橢圓的綜合，涉及橢圓方程的求解，直線交點求解，基本不等式的應用，屬于中檔題．21．（18分）已知函數(shù)的定義域為，現(xiàn)有兩種對變換的操作：變換：；變換：，其中為大于0的常數(shù)．（1）設，，為做變換后的結(jié)果，解方程：；（2）設，為做變換后的結(jié)果，解不等式：；（3）設在上單調(diào)遞增，先做變換后得到，再做變換后得到；先做變換后得到，再做變換后得到．若恒成立，證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增．【思路分析】（1）推導出，由此能求出．（2）推導出，當時，恒成立；當時，，由此能求出的解集．（3）先求出，從而，先求出，從而，由，得，再由在上單調(diào)遞增，能證明函數(shù)在上單調(diào)遞增．【解析】（1），，為做變換后的結(jié)果，，，解得．（2），為做變換后的結(jié)果，，，當時，恒成立；當時，，解得，或，綜上，不等式：的解集為，，．（3）證明：先做變換后得到，再做變換后得到，，，先做變換后得到，再做變換后得到，，，，在上單調(diào)遞增，，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．【試題評價】本題考查方程、不等式的解的求法，考查函數(shù)是增函數(shù)的證明，考查函數(shù)變換的性質(zhì)、抽象函數(shù)性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．    ————————————————————————————————————《初高中數(shù)學教研微信系列群》簡介：    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