1．已知全集，集合，則
A．，B．，C．，D．，
2．若復(fù)數(shù)滿足，則
A．1B．5C．7D．25
3．若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則
A．B．C．1D．
4．已知函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，有
A．B．
C．D．
5．已知函數(shù)，則
A．在，上單調(diào)遞減
B．在，上單調(diào)遞增
C．在上單調(diào)遞減
D．在，上單調(diào)遞增
6．設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
7．在北京冬奧會(huì)上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn)．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與和的關(guān)系，其中表示溫度，單位是；表示壓強(qiáng)，單位是．下列結(jié)論中正確的是
A．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)
B．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)
C．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)
D．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)
8．若，則
A．40B．41C．D．
9．已知正三棱錐的六條棱長(zhǎng)均為6，是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合．設(shè)集合，則表示的區(qū)域的面積為
A．B．C．D．
10．在中，，，．為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。
11．（5分）函數(shù)的定義域是 ．
12．（5分）已知雙曲線的漸近線方程為，則 ．
13．（5分）若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則 ； ．
14．（5分）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則的一個(gè)取值為 ；的最大值為 ．
15．（5分）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足，2，．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①的第2項(xiàng)小于3；
②為等比數(shù)列；
③為遞減數(shù)列；
④中存在小于的項(xiàng)．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
16．（13分）在中，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．
17．（14分）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，，分別為，的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面所成角的正弦值．
條件①：；
條件②：．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
18．（13分）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到以上（含的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立．
（Ⅰ）估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）設(shè)是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）
19．（15分）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，直線，分別與軸交于點(diǎn)，．當(dāng)時(shí)，求的值．
20．（15分）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)，討論函數(shù)在，上的單調(diào)性；
（Ⅲ）證明：對(duì)任意的，，有．
21．（15分）已知，，，為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)，若對(duì)任意的，2，，，在中存在，，，，，使得，則稱為連續(xù)可表數(shù)列．
（Ⅰ）判斷，1，4是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；
（Ⅱ）若，，，為連續(xù)可表數(shù)列，求證：的最小值為4；
（Ⅲ）若，，，為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．
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《初高中數(shù)學(xué)教研微信系列群》簡(jiǎn)介：
目前有24個(gè)群（18個(gè)高中群，2個(gè)四川群，1個(gè)直播群，3個(gè)初中群），共10000多優(yōu)秀、特、高級(jí)教師，省、市、區(qū)縣教研員、教輔公司數(shù)學(xué)編輯、報(bào)刊雜志高中數(shù)學(xué)編輯等匯聚而成，是一個(gè)圍繞高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究展開教研活動(dòng)的微信群.
宗旨：腳踏實(shí)地、不口號(hào)、不花哨、接地氣的高中數(shù)學(xué)教研！
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2022年北京市高考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。
1．已知全集，集合，則
A．，B．，C．，D．，
【思路分析】由補(bǔ)集的定義直接求解即可．
【解析】因?yàn)槿?，集合?br>所以或，．
故選：．
【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查補(bǔ)集的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
2．若復(fù)數(shù)滿足，則
A．1B．5C．7D．25
【思路分析】把已知等式變形，再由商的模等于模的商求解．
【解析】由，得，
．
故選：．
【試題評(píng)價(jià)】本題考查復(fù)數(shù)模的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．
3．若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則
A．B．C．1D．
【思路分析】由圓的方程求得圓心坐標(biāo)，代入直線方程即可求得值．
【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，
直線是圓的一條對(duì)稱軸，
圓心在直線上，可得，即．
故選：．
【試題評(píng)價(jià)】本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，明確直線過圓心是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．
4．已知函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，有
A．B．
C．D．
【思路分析】根據(jù)題意計(jì)算的值即可．
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，
所以．
故選：．
【試題評(píng)價(jià)】本題考查了指數(shù)的運(yùn)算與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
5．已知函數(shù)，則
A．在，上單調(diào)遞減
B．在，上單調(diào)遞增
C．在上單調(diào)遞減
D．在，上單調(diào)遞增
【思路分析】利用二倍角公式化簡(jiǎn)得，周期，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可得的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為，，進(jìn)而逐個(gè)判斷各個(gè)選項(xiàng)的正誤即可．
【解析】，周期，
的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為，，
對(duì)于，在，上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤，
對(duì)于，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤，
對(duì)于，在上單調(diào)遞減，故正確，
對(duì)于，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤，
故選：．
【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查了二倍角公式，考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．
6．設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【思路分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義與性質(zhì)，結(jié)合充分必要條件的定義，判斷即可．
【解析】【解法一】：因?yàn)閿?shù)列是公差不為0的無窮等差數(shù)列，當(dāng)為遞增數(shù)列時(shí)，公差，
令，解得，表示取整函數(shù)，
所以存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，充分性成立；
當(dāng)時(shí)，，，則，必要性成立；
是充分必要條件．故選：．
【解法二】：（田昊補(bǔ)解）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的最大整數(shù).
若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，
若，則當(dāng)時(shí)，；若，則，
由（令或若）可得，取，則當(dāng)時(shí)，，
所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”；
若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，取且，，
假設(shè)，令可得，且，
當(dāng)時(shí)，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.
所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”.
所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的充分必要條件.
故選：C.
【試題評(píng)價(jià)】本題考查了等差數(shù)列與充分必要條件的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
7．在北京冬奧會(huì)上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn)．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與和的關(guān)系，其中表示溫度，單位是；表示壓強(qiáng)，單位是．下列結(jié)論中正確的是
A．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)
B．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)
C．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)
D．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)
【思路分析】計(jì)算每個(gè)選項(xiàng)的的值，結(jié)合與圖可判斷結(jié)論．
【解析】對(duì)于，當(dāng)，時(shí)，，由圖可知二氧化碳處于固態(tài)，故錯(cuò)誤；
對(duì)于：當(dāng)，時(shí)，，由圖可知二氧化碳處于液態(tài)，故錯(cuò)誤；
對(duì)于：當(dāng)，時(shí)，，由圖可知二氧化碳處于固態(tài)，故錯(cuò)誤；
對(duì)于：當(dāng)，時(shí)，，由圖可知二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故正確；
故選：．
【試題評(píng)價(jià)】本題考查對(duì)數(shù)的計(jì)算，考查看圖的能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬基礎(chǔ)題．
8．若，則
A．40B．41C．D．
【思路分析】由題意，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求出和，以及的值，可得結(jié)論．
【解析】【解法一】，
，故選：．
【解法二】：(田昊補(bǔ)解)賦值法：令x=1，原式為：--- = 1 \* GB3 ①，令x=-1，--- = 2 \* GB3 ②， = 1 \* GB3 ①+ = 2 \* GB3 ②得：，故選：．
【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．
9．已知正三棱錐的六條棱長(zhǎng)均為6，是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合．設(shè)集合，則表示的區(qū)域的面積為
A．B．C．D．
【思路分析】設(shè)點(diǎn)在面內(nèi)的投影為點(diǎn)，連接，根據(jù)正三角形的性質(zhì)求得的長(zhǎng)，并由勾股定理求得的長(zhǎng)，進(jìn)而知表示的區(qū)域是以為圓心，1為半徑的圓．
【解析】設(shè)點(diǎn)在面內(nèi)的投影為點(diǎn)，連接，則，
所以，
由，知表示的區(qū)域是以為圓心，1為半徑的圓，
所以其面積．
故選：．
【試題評(píng)價(jià)】本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，點(diǎn)的軌跡問題，考查空間立體感和運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
10．在中，，，．為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
【思路分析】根據(jù)條件，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，計(jì)算可得，進(jìn)而可利用參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題求解．
【解析】【解法一】：在中，，，，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在的直線為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：
則，，，
設(shè)，
因?yàn)椋?br>所以，
又，，
所以，
設(shè)，，
所以，其中，
當(dāng)時(shí)，有最小值為，
當(dāng)時(shí)，有最大值為6，
所以，，
故選：．
【解法二】：(田昊補(bǔ)解)在中，，
所以 （雷芳校對(duì)）




其中，（雷芳校對(duì)）
所以， 故選：
【解法三】：(田昊補(bǔ)解)在中，設(shè)M是AB的中點(diǎn)，
因?yàn)椋?br>所以, , , |CM|=

（雷芳校對(duì)）

因?yàn)?
所以，
故選：
【試題評(píng)價(jià)】本題考查了平面向量數(shù)量積的最值問題，屬于中檔題．
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。
11．（5分）函數(shù)的定義域是 ，， ．
【思路分析】由分母不為0，被開方數(shù)非負(fù)列不等式組，即可求解函數(shù)的定義域．
【解析】要使函數(shù)有意義，
則，解得且，
所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?br>故答案為：，，．
【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查函數(shù)定義域的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
12．（5分）已知雙曲線的漸近線方程為，則 ．
【思路分析】化雙曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而可得，求出漸近線方程，結(jié)合已知即可求解的值．
【解析】雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，
所以，雙曲線的漸近線方程，
又雙曲線的漸近線方程為，
所以，解得．故答案為：．
【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
13．（5分）若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則 1 ； ．
【思路分析】由題意，利用函數(shù)的零點(diǎn)，求得的值，再利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，可得的值．
【解析】函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，，
，函數(shù)，
，故答案為：1；．
【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查兩角差的正弦公式，函數(shù)的零點(diǎn)，求三角函數(shù)的值，屬于中檔題．
14．（5分）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則的一個(gè)取值為 0 ；的最大值為 ．
【思路分析】對(duì)函數(shù)分段函數(shù)的分界點(diǎn)進(jìn)行分類討論，研究其不同圖像時(shí)函數(shù)取最小值時(shí)的范圍即可．
【解析】【解法一】：當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像如圖所示，不滿足題意，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像如圖所示，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像如圖所示，要使得函數(shù)有最小值，需滿足，解得：；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像如圖所示，不滿足題意，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像如圖所示，要使得函數(shù)有最小值，需，無解，故不滿足題意；
綜上所述：的取值范圍是，，
故答案為：0，1．
【解法二】：（田昊補(bǔ)解）因?yàn)橐淮魏瘮?shù)，
= 1 \* GB3 ① 若時(shí)，當(dāng)時(shí)，上 QUOTE 單調(diào)遞增，
，故 QUOTE 沒有最小值，不符合題目要求，舍去；
= 2 \* GB3 ②若時(shí)，當(dāng)時(shí)，上 QUOTE QUOTE 單調(diào)遞 QUOTE 減，
所以 QUOTE QUOTE QUOTE ，
當(dāng) QUOTE 時(shí)，如果存在最小值，
有 QUOTE 解得，
= 3 \* GB3 ③ 若時(shí)， QUOTE ，∴ QUOTE ，符合題意。
綜上可得:.故答案為：0，1．
【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查利用分段函數(shù)圖像確定函數(shù)最小值是分界點(diǎn)的討論，屬于較難題目．
15．（5分）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足，2，．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①的第2項(xiàng)小于3；
②為等比數(shù)列；
③為遞減數(shù)列；
④中存在小于的項(xiàng)．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ①③④ ．
【思路分析】對(duì)于①，求出即可得出結(jié)論；對(duì)于②，假設(shè)為等比數(shù)列，推出矛盾即可得出結(jié)論；對(duì)于③，容易推得；對(duì)于④，假設(shè)所有項(xiàng)均大于等于，推出矛盾即可判斷．
【解析】對(duì)于①時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，由，可得，可得，故①正確；
對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，由得，于是可得，即，
若為等比數(shù)列，則時(shí)，，即從第二項(xiàng)起為常數(shù)，可檢驗(yàn)不成立，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，因?yàn)椋?，?br>當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以，
所以為遞減數(shù)列，故③正確；
對(duì)于④，假設(shè)所有項(xiàng)均大于等于，取，則，則與已知矛盾，故④正確；
故答案為：①③④．
【試題評(píng)價(jià)】本題考查命題的真假判斷，考查數(shù)列的遞推關(guān)系，考查邏輯推理能力，運(yùn)算求解能力，屬于較難題目．
三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
16．（13分）在中，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．
【思路分析】（Ⅰ）根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)可得，進(jìn)一步計(jì)算可得角；（Ⅱ）根據(jù)三角形面積求得，再根據(jù)余弦定理求得，相加可得三角形的周長(zhǎng)．
【解析】（Ⅰ），
，
又，，
，，
；
（Ⅱ）的面積為，
，
又，，
，
，
又，
，
，
，
的周長(zhǎng)為．
【試題評(píng)價(jià)】本題考查了三角形面積公式和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．
17．（14分）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，，分別為，的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面所成角的正弦值．
條件①：；
條件②：．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【思路分析】（1）通過證面面平證線面平行；
（2）通過證明，，兩兩垂直，從而建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角的正弦值．
【解析】證明一：取中點(diǎn)，連接，，
為的中點(diǎn)．，且，
四邊形是平行四邊形，故，
平面；平面，
平面，
是中點(diǎn)，是的點(diǎn)，
，平面；平面，
平面，又，
平面平面，
又平面，平面；
證明二：（田昊補(bǔ)解）：取的中點(diǎn)為，連接，
由三棱柱可得四邊形為平行四邊形，
而，（雷芳校對(duì)）則，
而平面，平面，故平面，
而，則，同理可得平面，
而平面，
故平面平面，而平面，故平面，
（雷芳校對(duì)）取BC的中點(diǎn)為D，連接B1D , ND,為的中點(diǎn)．，且，為的中點(diǎn)．,且，,.
四邊形是平行四邊形，故，
平面；平面，
平面，
側(cè)面為正方形，平面平面，平面平面，
平面，，又，，
若選①：；又，平面，
又平面，，又，
，，，兩兩垂直，
若選②：平面，，平面，平面，
，又，，，
，，
，又，，
，，兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，0，，，1，，，1，，，2，，
，1，，，1，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，
則，令，則，，
平面的一個(gè)法向量為，，，
又，2，，
設(shè)直線與平面所成角為，
，．
直線與平面所成角的正弦值為．
【試題評(píng)價(jià)】本題考查線面平行的證明，線面角的求法，屬中檔題．
18．（13分）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到以上（含的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立．
（Ⅰ）估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）設(shè)是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）
【思路分析】（Ⅰ）用頻率估計(jì)概率，即可求出甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率．
（Ⅱ）分別求出甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率，的所有可能取值為0，1，2，3，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式求出相應(yīng)的概率，再利用期望公式即可求出．
（Ⅲ）根據(jù)三位同學(xué)以往成績(jī)的平均值可知，甲獲得冠軍的概率估計(jì)值最大．
【解析】（Ⅰ）甲以往的10次成績(jī)中有4次獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)，用頻率估計(jì)概率，則甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率．
（Ⅱ）用頻率估計(jì)概率，則乙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為，丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為，
的所有可能取值為0，1，2，3，
則，
，
，
，
．
（Ⅲ）甲成績(jī)的平均值為9.479，乙成績(jī)的平均值為9.46，丙成績(jī)的平均值為9.465，
故甲獲得冠軍的概率估計(jì)值最大．
【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查了古典概型的概率公式，考查了離散型隨機(jī)變量的期望，屬于中檔題．
19．（15分）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，直線，分別與軸交于點(diǎn)，．當(dāng)時(shí)，求的值．
【思路分析】（Ⅰ）利用已知和，，的關(guān)系，可得，，進(jìn)而得到橢圓方程．
（Ⅱ）聯(lián)立直線與橢圓方程，再利用韋達(dá)定理求出，，再表示出，化簡(jiǎn)即可．
【解析】（Ⅰ）由題意得，
，，，，
橢圓的方程為．
（Ⅱ）【解法一】：設(shè)過點(diǎn)的直線為，，，，，
聯(lián)立得，即，
直線與橢圓相交，△，，
由韋達(dá)定理得，，
，直線為，
令，則，，，同理，，
，
，，
．
【解法二】：（田昊補(bǔ)解）因?yàn)辄c(diǎn)，在軸上，不妨設(shè)點(diǎn)位于點(diǎn)的左邊，
設(shè)
則 , 所以
設(shè)直線： ,
由得 ，
設(shè),得
代入直線： ,得, ,
，可得,
因?yàn)? ，
由得
把代入，得，即
【試題評(píng)價(jià)】本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查聯(lián)立法和韋達(dá)定理、方程思想和運(yùn)算能力，是一道綜合題．
20．（15分）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)，討論函數(shù)在，上的單調(diào)性；
（Ⅲ）證明：對(duì)任意的，，有．
【思路分析】（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，將代入原函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)得到縱坐標(biāo)和斜率即可；
（Ⅱ）對(duì)求導(dǎo)，并研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可．
（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性判斷與大小關(guān)系即可．
【解析】（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得：，
將代入原函數(shù)可得，將代入導(dǎo)函數(shù)可得：，
故在處切線斜率為1，故，化簡(jiǎn)得：；
（Ⅱ）【解法一】：由（Ⅰ）有：，
，
令，令，
設(shè)，恒成立，
故在，單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?br>故在，恒成立，故，
故在，單調(diào)遞增；
【解法二】：（田昊補(bǔ)解）由（Ⅰ）有：，
=
=
因?yàn)?，所?.
（雷芳校對(duì)）
故在，恒成立，
故在，單調(diào)遞增；
（Ⅲ）證明一：由（Ⅱ）有在，單調(diào)遞增，又，
故在，恒成立，故在，單調(diào)遞增，
設(shè)，，
由（Ⅱ）有在，單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以?br>故單調(diào)遞增，又因?yàn)?，故?br>即：，又因?yàn)楹瘮?shù)，
故，得證．
證明二：（田昊補(bǔ)解）由（Ⅱ）有在，單調(diào)遞增，
又因?yàn)閠>0,所以在，
即
所以在，單調(diào)遞增，
因?yàn)?，則，
而，，故，得證.
證明三：（田昊補(bǔ)解）設(shè),其中s>0,t>0.
由（Ⅱ）有在,單調(diào)遞增，
又因?yàn)閠>0,所以在，
即
所以在，單調(diào)遞增，
因?yàn)?，則,
而，，故，得證.
【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)切線，及證明函數(shù)不等式，屬于較難題目．
21．（15分）已知，，，為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)，若對(duì)任意的，2，，，在中存在，，，，，使得，則稱為連續(xù)可表數(shù)列．
（Ⅰ）判斷，1，4是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；
（Ⅱ）若，，，為連續(xù)可表數(shù)列，求證：的最小值為4；
（Ⅲ）若，，，為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．
【思路分析】（Ⅰ）直接根據(jù)連續(xù)可表數(shù)列的定義即可判斷；
（Ⅱ）采用反證法證明，即假設(shè)的值為3，結(jié)合是連續(xù)可表數(shù)列的定義推出矛盾，進(jìn)而得出證明；
（Ⅲ）首先連續(xù)可表數(shù)列的定義，證明得出，然后驗(yàn)證是否成立，進(jìn)而得出所證的結(jié)論．
【解析】（Ⅰ）若，則對(duì)于任意的，2，3，4，，
，，，，，
所以是連續(xù)可表數(shù)列；
由于不存在任意連續(xù)若干項(xiàng)之和相加為6，
所以不是連續(xù)可表數(shù)列；
（Ⅱ）假設(shè)的值為3，則，， 最多能表示，，，，，，共6個(gè)數(shù)字，
與是連續(xù)可表數(shù)列矛盾，故；
現(xiàn)構(gòu)造，2，3，4可以表達(dá)出1，2，3，4，5，6，7，8這8個(gè)數(shù)字，即存在滿足題意．
故的最小值為4．
（Ⅲ）【解法一】：先證明．
從5個(gè)正整數(shù)中，取一個(gè)數(shù)字只能表示自身，最多可表示5個(gè)數(shù)字，
取連續(xù)兩個(gè)數(shù)字最多能表示4個(gè)數(shù)字，取連續(xù)三個(gè)數(shù)字最多能表示3個(gè)數(shù)字，
取連續(xù)四個(gè)數(shù)字最多能表示2個(gè)數(shù)字，取連續(xù)五個(gè)數(shù)字最多能表示1個(gè)數(shù)字，
所以對(duì)任意給定的5個(gè)整數(shù)，最多可以表示個(gè)正整數(shù)，不能表示20個(gè)正整數(shù)，即．
若，最多可以表示個(gè)正整數(shù)，
由于為連續(xù)可表數(shù)列，且，
所以其中必有一項(xiàng)為負(fù)數(shù)．
既然5個(gè)正整數(shù)都不能連續(xù)可表的正整數(shù)，
所以至少要有6個(gè)正整數(shù)連續(xù)可表的正整數(shù)，
所以至少6個(gè)正整數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù)才能滿足題意，
故．
【解法二】：（田昊補(bǔ)解），若最多有種，若，最多有種，所以最多有種，
若，則至多可表個(gè)數(shù)，矛盾,
從而若,則，至多可表個(gè)數(shù)，
而，所以其中有負(fù)的，從而可表1~20及那個(gè)負(fù)數(shù)（恰 21個(gè)），這表明中僅一個(gè)負(fù)的，沒有0，且這個(gè)負(fù)的在中絕對(duì)值最小，同時(shí)中沒有兩數(shù)相同,設(shè)那個(gè)負(fù)數(shù)為 ，
則所有數(shù)之和，，
，再考慮排序，排序中不能有和相同，否則不足個(gè)，
（僅一種方式），
與2相鄰，
若不在兩端,則形式，
若，則（有2種結(jié)果相同，方式矛盾），
， 同理 ，故在一端，不妨為形式，
若,則 （有2種結(jié)果相同，矛盾），同理不行，
，則 （有2種結(jié)果相同，矛盾），從而，
由于,由表法唯一知3,4不相鄰,、
故只能，①或，②
這2種情形，
對(duì)①：，矛盾，
對(duì)②：，也矛盾，綜上
．
【試題評(píng)價(jià)】本題考查數(shù)列的新定義，考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬中檔題
————————————————————————————————————
《初高中數(shù)學(xué)教研微信系列群》簡(jiǎn)介：
目前有24個(gè)群（18個(gè)高中群，2個(gè)四川群，1個(gè)直播群，3個(gè)初中群），共10000多優(yōu)秀、特、高級(jí)教師，省、市、區(qū)縣教研員、教輔公司數(shù)學(xué)編輯、報(bào)刊雜志高中數(shù)學(xué)編輯等匯聚而成，是一個(gè)圍繞高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究展開教研活動(dòng)的微信群.
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教師格式：省+市+真實(shí)姓名，如：四川成都張三
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