1．（3分）發(fā)展新能源汽車是我國(guó)從汽車大國(guó)邁向汽車強(qiáng)國(guó)的必由之路，是應(yīng)對(duì)氣候變化、推動(dòng)綠色發(fā)展的戰(zhàn)略舉措.2023年，中國(guó)新能源汽車產(chǎn)銷量占全球比重超過(guò)60%，交出亮眼成績(jī)單．下列新能源汽車標(biāo)志是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）若a＞b，則下列式子不一定成立的是（ ）
A．a(chǎn)+4＞b+4B．2a＞2b
C．a(chǎn)c2＞bc2D．
3．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，1），B（﹣1，3），將線段AB平移后得到線段A′B′，若點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（a，﹣1），點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（1，1），則a的值為（ ）
A．﹣1B．1C．2D．0
4．（3分）如圖，直線y＝kx+7經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，4），則不等式kx+7＞4的解集為（ ）
A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＞4D．x＜4
5．（3分）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接CF．若∠A＝48°，∠ECF＝28°，則∠ADB的度數(shù)為（ ）
A．152°B．132°C．124°D．104°
6．（3分）房梁的一部分如圖所示，其中BC⊥AC，∠B＝60°，BC＝2，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，且DE⊥AC，垂足為E，則AE的長(zhǎng)是（ ）
A．B．2C．D．4
7．（3分）關(guān)于x的不等式組的解集為x＞1，則a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)≥1B．a(chǎn)＞1C．a(chǎn)≤1D．a(chǎn)＜1
8．（3分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到△AB′C′，點(diǎn)P是y軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)PA+PB′的值最小時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．（0，1）
二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）
9．（3分）等腰三角形一底角為50°，則頂角的度數(shù)為 度．
10．（3分）一個(gè)關(guān)于x的不等式的解集如圖所示，則這個(gè)不等式的解集為 ．
11．（3分）如圖，線段AB與CD相交于點(diǎn)O，且∠BOD＝60°，分別將AB和AC平移到CC′，BC′的位置．若AB＝CD＝a，則DC′的長(zhǎng)為 ．
12．（3分）風(fēng)箏又稱“紙鳶”、“風(fēng)鳶”、“紙鷂（yà）”等，起源于中國(guó)東周春秋時(shí)期，距今已有2000多年的歷史．如圖是一款風(fēng)箏骨架的簡(jiǎn)化圖，已知AB＝AD，BC＝CD，AC＝80cm，BD＝50cm，制作這個(gè)風(fēng)箏需要的布料至少為 cm2．
13．（3分）如圖，將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′C，連接AA′，若AB＝4，∠AA′B′＝15°，則AB′的長(zhǎng)度為 ．
14．（3分）已知關(guān)于x的方程3x+a＝x﹣8的根是負(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
15．（3分）國(guó)際航班免費(fèi)托運(yùn)行李箱的尺寸通常限制為長(zhǎng)、寬、高三邊之和不超過(guò)158厘米．某廠家生產(chǎn)符合免費(fèi)托運(yùn)的行李箱，已知行李箱的高為74厘米，長(zhǎng)與寬的比為9：5，則行李箱的寬的最大值為 厘米．
16．（3分）如圖，直線AB∥CD，∠AEF的平分線與∠EFC的平分線交于點(diǎn)P，與CD交于點(diǎn)M，若PE＝3，EF＝5，則△EMF的面積為 ．
三、作圖題（本題滿分4分）請(qǐng)用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．
17．（4分）已知：如圖，∠MON及邊ON上一點(diǎn)A．
求作：在∠MON內(nèi)部的點(diǎn)P，使得PA⊥ON，且點(diǎn)P到∠MON兩邊的距離相等．
四、解答題（本大題共8小題，共68分）
18．（13分）（1）解不等式：﹣2x﹣4≤x+8；
（2）解不等式：；
（3）解不等式組：，并寫出它的最小負(fù)整數(shù)解．
19．（5分）是否存在實(shí)數(shù)x，使得x﹣1＜2x，且+3＜﹣2？請(qǐng)說(shuō)明理由．
20．（6分）為深入踐行綠色發(fā)展理念，引導(dǎo)師生尊重自然、愛(ài)護(hù)自然，在第46個(gè)植樹(shù)節(jié)來(lái)臨之際，某校組織師生積極開(kāi)展了“'植‘此青綠，共‘樹(shù)’未來(lái)”主題植樹(shù)活動(dòng)．學(xué)校決定用不超過(guò)1800元的費(fèi)用購(gòu)買甲、乙兩種樹(shù)苗共60棵，已知甲種樹(shù)苗每棵36元，乙種樹(shù)苗每棵25元，則學(xué)校最多可以購(gòu)買多少棵甲種樹(shù)苗？
21．（8分）如圖，在△ABC中，∠B＝62°，∠BAC＝76°，D為BC上一點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)F，且AB＝AD＝DE，連接AE，∠E＝55°．請(qǐng)判斷△AFD的形狀，并說(shuō)明理由．
22．（8分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝60°，AC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)E同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．連接DE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜6）．
（1）當(dāng)t＝2時(shí)，求△DEC的面積；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEC為直角三角形？
23．（8分）如圖，在△ABC中，AD垂直平分BC，垂足為D，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，F(xiàn)D的延長(zhǎng)線與AC邊的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，∠E＝30°．
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）BF與AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．
24．（10分）2024年是中國(guó)農(nóng)歷甲辰龍年，某購(gòu)物中心有A，B兩種龍年吉祥物出售．B種每個(gè)售價(jià)比A種多2元；購(gòu)買20個(gè)A種龍年吉祥物和30個(gè)B種龍年吉祥物共需花費(fèi)360元．
（1）A，B兩種吉祥物每件售價(jià)各是多少？
（2）某愛(ài)心團(tuán)隊(duì)計(jì)劃購(gòu)買A種吉祥物送給特教學(xué)校的學(xué)生們作為新年禮物，且購(gòu)買數(shù)量超過(guò)50個(gè)，購(gòu)物中心給出兩種優(yōu)惠方案：
方案一：每個(gè)均按原售價(jià)的8折優(yōu)惠；
方案二：前30個(gè)按原售價(jià)付款，超過(guò)30個(gè)的部分每個(gè)按原售價(jià)的5折優(yōu)惠．
愛(ài)心團(tuán)隊(duì)選擇哪種方案購(gòu)買更合算？
（3）若購(gòu)買A，B兩種龍年吉祥物共60個(gè)，且購(gòu)買A種的數(shù)量不多于B種的3倍，購(gòu)買多少個(gè)A種龍年吉祥物花費(fèi)最少？最少花費(fèi)是多少？
25．（10分）【定義新知】
給定兩個(gè)不等式P和Q，若不等式P的任意一個(gè)解，都是不等式Q的一個(gè)解，則稱不等式P為不等式Q的“子集”．
例如：不等式P：x＞4是Q：x＞2的子集．
同理，給定兩個(gè)不等式組M和N，若不等式組M的任意一個(gè)解，都是不等式組N的一個(gè)解，則稱不等式組M為不等式組N的“子集”．
例如：不等式組M：是不等式組N：的子集．
【新知應(yīng)用】
（1）請(qǐng)寫出不等式x＜2的一個(gè)子集 ；
（2）若不等式組A：，不等式組B：，則其中不等式組 是不等式組M：的“子集”（填：A或B）；
（3）若關(guān)于x的不等式組是不等式組的“子集”，則a的取值范圍是 ；
（4）若a，b，c，d為互不相等的整數(shù)，a＜b，c＜d，下列三個(gè)不等式組D：a≤x≤b，E：c≤x≤d，F(xiàn)：4＜x＜9，滿足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，則a（b+c+d）的值為 ；
（5）已知不等式組G：有解，且不等式組H：1＜x≤3是不等式組G的“子集”，且m，n為正整數(shù)，則的最大值為 ．
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分）在每個(gè)題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（3分）發(fā)展新能源汽車是我國(guó)從汽車大國(guó)邁向汽車強(qiáng)國(guó)的必由之路，是應(yīng)對(duì)氣候變化、推動(dòng)綠色發(fā)展的戰(zhàn)略舉措.2023年，中國(guó)新能源汽車產(chǎn)銷量占全球比重超過(guò)60%，交出亮眼成績(jī)單．下列新能源汽車標(biāo)志是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：選項(xiàng)A、C、D均不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以不是中心對(duì)稱圖形，
選項(xiàng)B能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以是中心對(duì)稱圖形，
故選：B．
2．（3分）若a＞b，則下列式子不一定成立的是（ ）
A．a(chǎn)+4＞b+4B．2a＞2b
C．a(chǎn)c2＞bc2D．
【解答】解：A．∵a＞b，
∴a+4＞b+4，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．∵a＞b，
∴2a＞2b，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．當(dāng)c＝0時(shí)，ac2＝bc2，故本選項(xiàng)符合題意；
D．∵a＞b，c2+1≠0，
∴＝，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
3．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，1），B（﹣1，3），將線段AB平移后得到線段A′B′，若點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（a，﹣1），點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（1，1），則a的值為（ ）
A．﹣1B．1C．2D．0
【解答】解：∵B（﹣1，3）平移后得到點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（1，1），
∴向右平移2個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位，
∴a＝﹣2+2＝0．
故選：D．
4．（3分）如圖，直線y＝kx+7經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，4），則不等式kx+7＞4的解集為（ ）
A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＞4D．x＜4
【解答】解：由圖象可得：當(dāng)x＞﹣2時(shí)，kx+7＞4，
故選：A．
5．（3分）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接CF．若∠A＝48°，∠ECF＝28°，則∠ADB的度數(shù)為（ ）
A．152°B．132°C．124°D．104°
【解答】解：∵EF是BC的垂直平分線，
∴FB＝FC，
∴∠FBC＝∠ECF＝28°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠FBC＝28°，
∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣48°﹣28°＝104°，
故選：D．
6．（3分）房梁的一部分如圖所示，其中BC⊥AC，∠B＝60°，BC＝2，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，且DE⊥AC，垂足為E，則AE的長(zhǎng)是（ ）
A．B．2C．D．4
【解答】解：∵BC⊥AC，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4，
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，且DE⊥AC，
∴∠ADE＝90°，
AD＝AB＝2，
∴DE＝AD＝1，
∴AE＝＝＝，
故選：A．
7．（3分）關(guān)于x的不等式組的解集為x＞1，則a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)≥1B．a(chǎn)＞1C．a(chǎn)≤1D．a(chǎn)＜1
【解答】解：∵關(guān)于x的不等式組的解集為x＞1，
∴a的取值范圍是：a≤1．
故選：C．
8．（3分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到△AB′C′，點(diǎn)P是y軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)PA+PB′的值最小時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．（0，1）
【解答】解：由圖可知A（1，1），B（3，2），
將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到△AB′C′，
則B'（2，﹣1），
點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)A'（﹣1，1），
連接A'B'交y軸于點(diǎn)P，
則點(diǎn)P即為所求的點(diǎn)，
設(shè)直線A'B'的解析式為：y＝kx+b，
則，
解得，
∴直線A'B'的解析式為：y＝x+，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝，
∴P（0，），
故選：C．
二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）
9．（3分）等腰三角形一底角為50°，則頂角的度數(shù)為 80 度．
【解答】解：底角＝50°，那么頂角＝180°﹣2×50°＝80°．
故填80．
10．（3分）一個(gè)關(guān)于x的不等式的解集如圖所示，則這個(gè)不等式的解集為 x≤3 ．
【解答】解：∵3處是實(shí)心圓點(diǎn)，且折線向左，
∴這個(gè)不等式的解集為x≤3．
故答案為：x≤3．
11．（3分）如圖，線段AB與CD相交于點(diǎn)O，且∠BOD＝60°，分別將AB和AC平移到CC′，BC′的位置．若AB＝CD＝a，則DC′的長(zhǎng)為 a ．
【解答】解：∵將AB和AC平移到CC′，BC′的位置，
∴AB＝CC′，AB∥CC′，
∴∠CCO＝∠BOD＝60°，
∵AB＝CD＝a，
∴CD＝CC′，
∴△CDC′是等邊三角形，
∴DC′＝CD＝a，
故答案為：a．
12．（3分）風(fēng)箏又稱“紙鳶”、“風(fēng)鳶”、“紙鷂（yà）”等，起源于中國(guó)東周春秋時(shí)期，距今已有2000多年的歷史．如圖是一款風(fēng)箏骨架的簡(jiǎn)化圖，已知AB＝AD，BC＝CD，AC＝80cm，BD＝50cm，制作這個(gè)風(fēng)箏需要的布料至少為 2000 cm2．
【解答】解：在△ABC與△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAO＝∠DAO，
在△ABO與△ADO中，
，
∴△ABO≌△ADO（SAS），
∴OB＝OD，∠AOB＝∠AOD＝90°，
∴（cm2），
故答案為：2000．
13．（3分）如圖，將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′C，連接AA′，若AB＝4，∠AA′B′＝15°，則AB′的長(zhǎng)度為 2﹣2 ．
【解答】解：∵將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′C連接AA′，
∴AC＝CA'，∠BAC＝∠CA'B'，
∴∠CAA'＝∠CA'A＝45°，且∠AA′B′＝15°，
∴∠CA'B'＝30°，
∵AB＝A'B'＝4，∠A'CB'＝∠ACB＝90°，
∴BC＝2，
∴AC＝A'C＝＝2，
∴AB′＝AC﹣B'C＝2﹣2，
故答案為：2﹣2．
14．（3分）已知關(guān)于x的方程3x+a＝x﹣8的根是負(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 a＞﹣8 ．
【解答】解：∵3x+a＝x﹣8，
∴3x﹣x＝﹣8﹣a，
∴2x＝﹣8﹣a，
解得，
∵關(guān)于x的方程3x+a＝x﹣8的根是負(fù)數(shù)，
∴，
解得a＞﹣8，
故答案為：a＞﹣8．
15．（3分）國(guó)際航班免費(fèi)托運(yùn)行李箱的尺寸通常限制為長(zhǎng)、寬、高三邊之和不超過(guò)158厘米．某廠家生產(chǎn)符合免費(fèi)托運(yùn)的行李箱，已知行李箱的高為74厘米，長(zhǎng)與寬的比為9：5，則行李箱的寬的最大值為 30 厘米．
【解答】解：158﹣74＝84（厘米），
84×＝30（厘米）．
故答案為：30．
16．（3分）如圖，直線AB∥CD，∠AEF的平分線與∠EFC的平分線交于點(diǎn)P，與CD交于點(diǎn)M，若PE＝3，EF＝5，則△EMF的面積為 12 ．
【解答】解：∵EM平分∠AEF，
∴∠AEM＝∠FEM，
∵AB∥CD，
∴∠AEM＝∠FME，
∴∠FEM＝∠FME，
∴FE＝FM，
∵FP平分∠EFM，
∴FP⊥EM，PM＝PE＝3，
在Rt△PEF中，PF＝＝＝4，
∴△EMF的面積＝×6×4＝12．
故答案為：12．
三、作圖題（本題滿分4分）請(qǐng)用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．
17．（4分）已知：如圖，∠MON及邊ON上一點(diǎn)A．
求作：在∠MON內(nèi)部的點(diǎn)P，使得PA⊥ON，且點(diǎn)P到∠MON兩邊的距離相等．
【解答】解：如圖所示，點(diǎn)P即為所求．
四、解答題（本大題共8小題，共68分）
18．（13分）（1）解不等式：﹣2x﹣4≤x+8；
（2）解不等式：；
（3）解不等式組：，并寫出它的最小負(fù)整數(shù)解．
【解答】解：（1）∵﹣2x﹣4≤x+8，
∴﹣2x﹣x≤8+4，
﹣3x≤12，
則x≥﹣4；
（2）∵，
∴3（2x﹣1）≥4（﹣x+1），
6x﹣3≥﹣4x+4，
6x+4x≥4+3，
10x≥7，
則x≥0.7；
（3）由x+3＞0得：x＞﹣3，
由2（x﹣1）+3≥3x得：x≤1，
所以不等式組的解集為﹣3＜x≤1，
則不等式組的最小負(fù)整數(shù)解為﹣2．
19．（5分）是否存在實(shí)數(shù)x，使得x﹣1＜2x，且+3＜﹣2？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】解：不存在實(shí)數(shù)x，使得x﹣1＜2x，且+3＜﹣2，理由如下：
根據(jù)題意，
由①得x＞﹣1，
由②得x＜﹣10，
∴原不等式組無(wú)解，
∴不存在實(shí)數(shù)x，使得x﹣1＜2x，且+3＜﹣2．
20．（6分）為深入踐行綠色發(fā)展理念，引導(dǎo)師生尊重自然、愛(ài)護(hù)自然，在第46個(gè)植樹(shù)節(jié)來(lái)臨之際，某校組織師生積極開(kāi)展了“'植‘此青綠，共‘樹(shù)’未來(lái)”主題植樹(shù)活動(dòng)．學(xué)校決定用不超過(guò)1800元的費(fèi)用購(gòu)買甲、乙兩種樹(shù)苗共60棵，已知甲種樹(shù)苗每棵36元，乙種樹(shù)苗每棵25元，則學(xué)校最多可以購(gòu)買多少棵甲種樹(shù)苗？
【解答】解：設(shè)學(xué)校購(gòu)買x棵甲種樹(shù)苗，則購(gòu)買（60﹣x）棵乙種樹(shù)苗，
根據(jù)題意得：36x+25（60﹣x）≤1800，
解得：x≤，
又∵x為整數(shù)，
∴x的最大值為27．
答：學(xué)校最多可以購(gòu)買27棵甲種樹(shù)苗．
21．（8分）如圖，在△ABC中，∠B＝62°，∠BAC＝76°，D為BC上一點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)F，且AB＝AD＝DE，連接AE，∠E＝55°．請(qǐng)判斷△AFD的形狀，并說(shuō)明理由．
【解答】解：△AFD是直角三角形．
理由如下：
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝62°，
∴∠BAD＝180°﹣2×62°＝56°，∠DAC＝76°﹣56°＝20°．
∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠E＝55°，∠ADE＝180°﹣2×55°＝70°．
∵∠DAC+∠ADE＝90°，
∴△AFD是直角三角形．
22．（8分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝60°，AC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)E同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．連接DE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜6）．
（1）當(dāng)t＝2時(shí)，求△DEC的面積；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEC為直角三角形？
【解答】解：（1）由題意得AD＝t，CE＝2t，
當(dāng)t＝2時(shí)，AD＝2，CE＝4，
∴CD＝AC﹣AD＝6﹣2＝4，
過(guò)E作EH⊥AC于H，
在Rt△EHC中，∠EHC＝90°，∠BCA＝60°，
∴∠CEH＝30°，
∴CH＝2，EH＝2，
∴△DEC的面積為CD?EH＝×4×2＝4；
（2）當(dāng)∠EDC＝90°時(shí)，
∵AD＝t，CE＝2t，
∴CD＝AC﹣AD＝6﹣t，
在Rt△EDC中，∠EDC＝90°，∠BCA＝60°，
∴∠CED＝30°，
∴CE＝2CD．
∴2t＝2（6﹣t），解得t＝3，
∴當(dāng)t為2時(shí)，△DEC為直角三角形；
當(dāng)∠DEC＝90°時(shí)，
在Rt△EDC中，∠DEC＝90°，∠BCA＝60°，
∴∠CDE＝30°，
∴CD＝2CE．
∴6﹣t＝2×2t，解得t＝，
∴當(dāng)t為時(shí)，△DEC為直角三角形；
綜上所述，當(dāng)t為2或時(shí)，△DEC為直角三角形．
23．（8分）如圖，在△ABC中，AD垂直平分BC，垂足為D，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，F(xiàn)D的延長(zhǎng)線與AC邊的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，∠E＝30°．
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）BF與AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】（1）證明：∵AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∵EF⊥AB，∠E＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣∠E＝60°，
∴△ABC為等邊三角形；
（2）BF與AE的數(shù)量關(guān)系是：BF＝AE，理由如下：
過(guò)點(diǎn)C作CH⊥EF于H，如下圖所示：

設(shè)BF＝a，AB＝x，則AF＝AB﹣BF＝x﹣a，
由（1）可知：△ABC為等邊三角形，
∴AC＝AB＝x，
∵EF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CHD＝90°，
∵AD垂直平分BC，
∴BD＝CD，
在△BFD和△CHD中，
，
∴△BFD≌△CHD（AAS），
∴BF＝CH＝a，
在Rt△ECH中，∠E＝30°，
∴CE＝2CH＝2a，
∴AE＝AC+CE＝x+2a，
在Rt△AEF中，∠E＝30°，
∴AE＝2AF，
即x+2a＝2（x﹣a），
∴x＝4a，
∴AE＝x+2a＝6a，
∵BF＝a，
∴BF＝AE．
24．（10分）2024年是中國(guó)農(nóng)歷甲辰龍年，某購(gòu)物中心有A，B兩種龍年吉祥物出售．B種每個(gè)售價(jià)比A種多2元；購(gòu)買20個(gè)A種龍年吉祥物和30個(gè)B種龍年吉祥物共需花費(fèi)360元．
（1）A，B兩種吉祥物每件售價(jià)各是多少？
（2）某愛(ài)心團(tuán)隊(duì)計(jì)劃購(gòu)買A種吉祥物送給特教學(xué)校的學(xué)生們作為新年禮物，且購(gòu)買數(shù)量超過(guò)50個(gè)，購(gòu)物中心給出兩種優(yōu)惠方案：
方案一：每個(gè)均按原售價(jià)的8折優(yōu)惠；
方案二：前30個(gè)按原售價(jià)付款，超過(guò)30個(gè)的部分每個(gè)按原售價(jià)的5折優(yōu)惠．
愛(ài)心團(tuán)隊(duì)選擇哪種方案購(gòu)買更合算？
（3）若購(gòu)買A，B兩種龍年吉祥物共60個(gè)，且購(gòu)買A種的數(shù)量不多于B種的3倍，購(gòu)買多少個(gè)A種龍年吉祥物花費(fèi)最少？最少花費(fèi)是多少？
【解答】解：（1）設(shè)A種吉祥物每件售價(jià)a元，則B種吉祥物每件售價(jià)（a+2）元．
根據(jù)題意，得20a+30（a+2）＝360，
解得a＝6，
6+2＝8（元），
∴A種吉祥物每件售價(jià)6元，B種吉祥物每件售價(jià)8元．
（2）設(shè)購(gòu)買數(shù)量為x個(gè)，按方案一購(gòu)買需要y1元，按方案二購(gòu)買需要y2元．
根據(jù)題意，y1＝0.8×6x＝4.8x，y2＝6×30+0.5×6（x﹣30）＝3x+90．
y1﹣y2＝4.8x﹣（3x+90）＝1.8x﹣90，
∵x＞50，
∴1.8x﹣90＞0，
∴y1＞y2，
∴愛(ài)心團(tuán)隊(duì)選擇方案二購(gòu)買更合算．
（3）設(shè)購(gòu)買A種吉祥物m個(gè)，則購(gòu)買B種吉祥物（60﹣m）個(gè)．
根據(jù)題意，得m≤3（60﹣m），
解得m≤45．
設(shè)購(gòu)買A，B兩種龍年吉祥物共花費(fèi)W元，則W＝6m+8（60﹣m）＝﹣2m+480，
∵﹣2＜0，
∴W隨m的增大而減小，
∵m≤45，
∴當(dāng)m＝45時(shí)，W取最小值，W最?。僵?×45+480＝390，
∴購(gòu)買45個(gè)A種龍年吉祥物花費(fèi)最少，最少花費(fèi)是390元．
25．（10分）【定義新知】
給定兩個(gè)不等式P和Q，若不等式P的任意一個(gè)解，都是不等式Q的一個(gè)解，則稱不等式P為不等式Q的“子集”．
例如：不等式P：x＞4是Q：x＞2的子集．
同理，給定兩個(gè)不等式組M和N，若不等式組M的任意一個(gè)解，都是不等式組N的一個(gè)解，則稱不等式組M為不等式組N的“子集”．
例如：不等式組M：是不等式組N：的子集．
【新知應(yīng)用】
（1）請(qǐng)寫出不等式x＜2的一個(gè)子集 x＜1（答案不唯一） ；
（2）若不等式組A：，不等式組B：，則其中不等式組 A 是不等式組M：的“子集”（填：A或B）；
（3）若關(guān)于x的不等式組是不等式組的“子集”，則a的取值范圍是 a≥2 ；
（4）若a，b，c，d為互不相等的整數(shù)，a＜b，c＜d，下列三個(gè)不等式組D：a≤x≤b，E：c≤x≤d，F(xiàn)：4＜x＜9，滿足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，則a（b+c+d）的值為 120 ；
（5）已知不等式組G：有解，且不等式組H：1＜x≤3是不等式組G的“子集”，且m，n為正整數(shù)，則的最大值為 ．
【解答】解：（1）∵x＜1的任意一個(gè)解都是不等式x＜2的一個(gè)解，
∴不等式x＜2的一個(gè)子集為：x＜1．（答案不唯一）．
故答案為：x＜1．（答案不唯一）．
（2）解不等式組A得：3＜x＜6；
解不等式組B得：x＞1；
解不等式組M得：x＞2．
∵不等式組A的任意一個(gè)解，都是不等式組M的一個(gè)解，
∴不等式組A是不等式組M：的“子集”．
故答案為：A．
（3）∵不等式組的解集為：x＞2，關(guān)于x的不等式組是不等式組的“子集”，
∴關(guān)于x的不等式組的解集為x＞a．
∴．
∴a≥2．
故答案為：a≥2．
（4）∵E：c≤x≤d，F(xiàn)：4＜x＜9，E是F的“子集”，a，b，c，d為互不相等的整數(shù)，
∴5≤x≤8．
∴c＝5，d＝8．
∵D是E的“子集”，D：a≤x≤b，
∴6≤x≤7．
∴a＝6，b＝7．
∴a（b+c+d）＝6（7+8+5）＝120．
故答案為：120．
（5）∵不等式組G：有解，
∴解集為：≤x＜．
∵不等式組H：1＜x≤3是不等式組G的“子集”，
∴．
解得：．
∵m，n為正整數(shù)，求的最大值，
∴m最大為2，n最小為10．
∴的最大值＝．
故答案為：．

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