1．下列四個圖形中是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人師傅在焊接立柱時，只用找到BC的中點D，這就可以說明豎梁AD垂直于橫梁BC了，工人師傅這種操作方法的依據(jù)是（ ）
A．等邊對等角
B．等角對等邊
C．垂線段最短
D．等腰三角形“三線合一”
3．交通法規(guī)人人遵守，文明城市處處安全．在通過橋洞時，我們往往會看到如圖所示的標(biāo)態(tài)．則通過該橋洞的車高x（m）的范圍在數(shù)軸上可表示為（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如圖，△ABC的頂點坐標(biāo)分別為A（1，4），B（﹣1，1），C（2，2），如果將△ABC先向左平移3個單位，再向上平移1個單位得到△A′B′C′，那么點B的對應(yīng)點B′的坐（ ）
A．（﹣4，0）B．（2，0）C．（﹣4，2）D．（2，2）
5．若a＜b，則下列不等式一定成立的是（ ）
A．a(chǎn)﹣6＞b﹣6B．3a＞3bC．﹣2a＜﹣2bD．a(chǎn)﹣b＜0
6．用反證法證明命題“三角形中必有一個內(nèi)角小于或等于60°”時，首先應(yīng)假設(shè)這個三角形中（ ）
A．每一個內(nèi)角都大于60°
B．每一個內(nèi)角都小于60°
C．有一個內(nèi)角大于60°
D．有一個內(nèi)角小于60°
7．已知點A（a﹣2，2a+6）在第二象限，則a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)＜﹣3或a＞2B．﹣3＜a＜2C．a(chǎn)＜2D．a(chǎn)＞﹣3
8．如圖，把△ABC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于點D，若∠A′DC＝90°，則∠A的度數(shù)（ ）
A．35°B．75°C．55°D．65°
9．如果不等式（a+1）x＞a+1的解集為x＜1，則a必須滿足（ ）
A．a(chǎn)＜0B．a(chǎn)≤1C．a(chǎn)＞﹣1D．a(chǎn)＜﹣1
10．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長為半徑作弧，兩弧在∠BAC的內(nèi)部相交于點G，作射線AG，交BC于點D，則BD的長為（ ）
A．B．C．D．
二.填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
11．如圖是環(huán)島行駛的交通標(biāo)志，表示在環(huán)形交叉路口中，車輛按逆時針方向繞行．將這個圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)一定角度后與自身重合，則旋轉(zhuǎn)的角度至少為 ．
12．某校舉行“學(xué)以致用，數(shù)你最行”數(shù)學(xué)知識搶答賽，共有20道題，規(guī)定答對一道題得10分，答錯或放棄扣4分，在這次搶答賽中，八年級1班代表隊被評為優(yōu)秀（88分或88分以上），則這個隊至少答對 道題．
13．如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與BC的垂直平分線交于點P，連接CP．若∠A＝75°，∠ABC＝62°，則∠ACP的度數(shù)為 °．
14．若不等式組的解集是x＞3，則m的取值范圍是 ．
15．如圖，已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，AM平分∠BAD交BC于點M，BE⊥AM于點E，EF⊥AD于點F，AB＝7，EF＝3，則△ABM的面積為 ．
16．如圖，函數(shù)y＝kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的圖象經(jīng)過點B（2，0），與函數(shù)y＝2x的圖象交于點A，下列結(jié)論：①點A的橫坐標(biāo)為2；②關(guān)于x的不等式kx+b＜0的解集為x＞2；③關(guān)于x的方程kx+b＝2x的解為x＝2；④關(guān)于x的不等式組0＜kx+b＜2x的解集為1＜x＜2．其中正確的是 （只填寫序號）．
三、作圖題（本大題滿分4分）用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．
17．（4分）已知：如圖，四邊形ABCD；
求作：點P，使點P在四邊形ABCD內(nèi)部，PD＝PC，且點P到∠BAD兩邊的距離相等．
四.解答題（本大題共7小題，共68分）
18．（20分）計算：
（1）解不等式x﹣1≥2x；
（2）解不等式，并把解集表示在數(shù)軸上；
（3）求不等式3（x﹣3）﹣6＜2x﹣10的非負(fù)整數(shù)解；
（4）解不等式組：；
（5）解不等式組：．
19．（6分）如圖，BD，CE是△ABC的高，且BD＝CE．
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）若∠A＝60°，AB＝2，求△ABC的高BD．
20．（6分）△ABC的各頂點坐標(biāo)分別為A（1，4），B（3，4），C（3，1），將△ABC先向下平移2個單位長度，再向左平移4個單位長度，得到△A1B1C1．
（1）如果將△A1B1C1看成是由△ABC經(jīng)過一次平移得到的，則平移的距離是 個單位長度；
（2）在y軸上有點D，則AD+CD的最小值為 個單位長度；
（3）作出△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2．
21．（8分）如圖，已知△ABC，以AC為邊構(gòu)造等邊△ACD，連接BD，在BD上取一點O，使∠AOD＝60°，在OD上取一點E，使AO＝AE，連接OC．
（1）求證：△AOC≌△AED；
（2）OA，OB，OC三條線段長度之和與圖中哪條線段的長度相等？請說明理由．
22．（9分）兩個家庭暑假結(jié)伴自駕到某景區(qū)旅游，該景區(qū)售出的門票分為成人票和兒童票，小鵬家購買3張成人票和1張兒童票共需350元，小波家購買1張成人票和2張兒童票共需200元．
（1）求成人票和兒童票的單價；
（2）售票處規(guī)定：一次性購票數(shù)量達(dá)到30張，可購買團體票，即每張票均按成人票價的八折出售．若干個家庭組團到該景區(qū)旅游，導(dǎo)游收到通知該團成人和兒童共30人，估計兒童8至16人．導(dǎo)游選擇哪種購票方式花費較少？
23．（9分）【問題情境】
如圖①，△ABC的內(nèi)角∠ABC，∠ACB的平分線BD，CD交于點D．
【建立模型】
（1）如圖②，過點D作BC的平行線分別交AB，AC于點E，F(xiàn)．請你寫出EF與BE，CF的數(shù)量關(guān)系并證明．
（2）如圖③，在圖①的基礎(chǔ)上，過點A作直線l∥BC，延長BD和CD，分別交l于點E，F(xiàn)，若AB＝4，AC＝3，請你直接寫出EF的長度（不需要證明）．
【類比探究】
如圖④，△ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線BD，與它的外角∠ACG的平分線CD交于點D，過點D作BC的平行線分別交AB，AC于點E，F(xiàn)．請你寫出EF與BE，CF的數(shù)量關(guān)系并證明．
24．（10分）如圖，在長方形ABCD中，DC＝3cm，AD＝6cm，延長BC至點E，使CE＝4cm，連接DE．點P從點A出發(fā)，沿AD方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點C出發(fā)，沿CB方向勻速運動，速度為2cm/s；連接PQ，DQ．當(dāng)點Q停止運動時，點P也停止運動．設(shè)運動時間為t（s）（0＜t≤3），解答下列問題：
（1）當(dāng)t為何值時，使點Q在∠PDC的平分線上？
（2）當(dāng)t為何值時，△DQE為等腰三角形？
（3）設(shè)四邊形PQED的面積為y（cm2），求y與t之間的關(guān)系式及四邊形PQED面積的最大值．
山東省青島市城陽區(qū)2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷
參考答案
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．下列四個圖形中是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，由此即可得到答案．
【解答】解：選項A、B、C中的圖形都不能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．
選項D中的圖形能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．
故選：D．
【點評】本題考查中心對稱圖形，關(guān)鍵是掌握中心對稱圖形的定義．
2．如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人師傅在焊接立柱時，只用找到BC的中點D，這就可以說明豎梁AD垂直于橫梁BC了，工人師傅這種操作方法的依據(jù)是（ ）
A．等邊對等角
B．等角對等邊
C．垂線段最短
D．等腰三角形“三線合一”
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
故工人師傅這種操作方法的依據(jù)是等腰三角形“三線合一”，
故選：D．
【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，熟知等腰三角形“三線合一”性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
3．交通法規(guī)人人遵守，文明城市處處安全．在通過橋洞時，我們往往會看到如圖所示的標(biāo)態(tài)．則通過該橋洞的車高x（m）的范圍在數(shù)軸上可表示為（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用已知圖表直接得出該橋洞的車高x（m）的取值范圍．
【解答】解：由題意可得：
通過該橋洞的車高x（m）的取值范圍是：0＜x≤4.5．
在數(shù)軸上表示如圖：．
故選：D．
【點評】此題主要考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集．根據(jù)圖表理解題意是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，△ABC的頂點坐標(biāo)分別為A（1，4），B（﹣1，1），C（2，2），如果將△ABC先向左平移3個單位，再向上平移1個單位得到△A′B′C′，那么點B的對應(yīng)點B′的坐（ ）
A．（﹣4，0）B．（2，0）C．（﹣4，2）D．（2，2）
【分析】根據(jù)左減右加，上加下減的規(guī)律解決問題即可．
【解答】解：∵將△ABC先向左平移3個單位，再向上平移1個單位得到△A′B′C′，
∴點B的對應(yīng)點B'的坐標(biāo)是（﹣1﹣3，1+1），即（﹣4，2）．
故選：C．
【點評】本題考查坐標(biāo)與圖形變化﹣平移，用到的知識點為：左右平移只改變點的橫坐標(biāo)，左減右加；上下平移只改變點的縱坐標(biāo)，上加下減．
5．若a＜b，則下列不等式一定成立的是（ ）
A．a(chǎn)﹣6＞b﹣6B．3a＞3bC．﹣2a＜﹣2bD．a(chǎn)﹣b＜0
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)分析判斷．
【解答】解：A、已知a＜b，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變，所以a﹣6＞b﹣6錯誤；
B、不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，所以3a＞3b錯誤；
C、不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變，所以﹣2a＜﹣2b錯誤；
D、a﹣b＜0即a＜b兩邊同時減去b，不等號方向不變．不等式一定成立的是a﹣b＜0．
故選：D．
【點評】此題主要考查了不等式的性質(zhì)：
（1）不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；
（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；
（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．
6．用反證法證明命題“三角形中必有一個內(nèi)角小于或等于60°”時，首先應(yīng)假設(shè)這個三角形中（ ）
A．每一個內(nèi)角都大于60°
B．每一個內(nèi)角都小于60°
C．有一個內(nèi)角大于60°
D．有一個內(nèi)角小于60°
【分析】熟記反證法的步驟，然后進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：用反證法證明“三角形中必有一個內(nèi)角小于或等于60°”時，應(yīng)先假設(shè)三角形中每一個內(nèi)角都不小于或等于60°，即都大于60°．
故選：A．
【點評】此題主要考查了反證法，反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．在假設(shè)結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．
7．已知點A（a﹣2，2a+6）在第二象限，則a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)＜﹣3或a＞2B．﹣3＜a＜2C．a(chǎn)＜2D．a(chǎn)＞﹣3
【分析】根據(jù)題意列出不等式組，解之即可得出答案．
【解答】解：由題意知，，
解得﹣3＜a＜2，
故選：B．
【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
8．如圖，把△ABC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于點D，若∠A′DC＝90°，則∠A的度數(shù)（ ）
A．35°B．75°C．55°D．65°
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ACA′＝35，∠A＝∠A′，結(jié)合∠A′DC＝90°，可求得∠A′，即可獲得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，把△ABC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)35°，得到△A′B′C，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得∠ACA′＝35，∠A＝∠A′，
∵∠A′DC＝90°，
∴∠A′＝90°﹣∠ADA′＝55°，
∴∠A＝∠A′＝55°．
故選：C．
【點評】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余等知識，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
9．如果不等式（a+1）x＞a+1的解集為x＜1，則a必須滿足（ ）
A．a(chǎn)＜0B．a(chǎn)≤1C．a(chǎn)＞﹣1D．a(chǎn)＜﹣1
【分析】根據(jù)不等式的解集，得到不等號方向改變，即a+1小于0，即可求出a的范圍．
【解答】解：∵不等式（a+1）x＞（a+1）的解為x＜1，
∴a+1＜0，
解得：a＜﹣1．
故選：D．
【點評】此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握不等式的解法是解本題的關(guān)鍵．
10．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長為半徑作弧，兩弧在∠BAC的內(nèi)部相交于點G，作射線AG，交BC于點D，則BD的長為（ ）
A．B．C．D．
【分析】由角平分線的性質(zhì)定理推出CD＝MD，由勾股定理求出AC的長，由△ABC的面積＝△ACD的面積+△ABD的面積，得到AC?BC＝AC?CD+AB?MD，因此4×3＝4CD+5CD，即可求出CD的長，得到DB的長．
【解答】解：作DM⊥AB于M，
由題意知AD平分∠BAC，
∵DC⊥AC，
∴CD＝DM，
∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝4，
∵△ABC的面積＝△ACD的面積+△ABD的面積，
∴AC?BC＝AC?CD+AB?MD，
∴4×3＝4CD+5CD，
∴CD＝，
∴BD＝BC﹣CD＝3﹣＝．
故選：D．
【點評】本題考查勾股定理，角平分線的性質(zhì)，作圖—基本作圖，三角形的面積，關(guān)鍵是由角平分線的性質(zhì)得到CD＝MD，由三角形面積公式得到AC?BC＝AC?CD+AB?MD．
二.填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
11．如圖是環(huán)島行駛的交通標(biāo)志，表示在環(huán)形交叉路口中，車輛按逆時針方向繞行．將這個圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)一定角度后與自身重合，則旋轉(zhuǎn)的角度至少為 120° ．
【分析】根據(jù)圖形的對稱性，用360°除以3計算即可得解．
【解答】解：∵360°÷3＝120°，
∴旋轉(zhuǎn)的角度是120°的整數(shù)倍，
∴旋轉(zhuǎn)的角度至少是120°．
故答案為：120°．
【點評】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計圖案，仔細(xì)觀察圖形求出旋轉(zhuǎn)角是120°的整數(shù)倍是解題的關(guān)鍵．
12．某校舉行“學(xué)以致用，數(shù)你最行”數(shù)學(xué)知識搶答賽，共有20道題，規(guī)定答對一道題得10分，答錯或放棄扣4分，在這次搶答賽中，八年級1班代表隊被評為優(yōu)秀（88分或88分以上），則這個隊至少答對 12 道題．
【分析】設(shè)這個隊答對了x道題，則答錯或放棄（20﹣x）道題，利用得分＝10×答對題目數(shù)﹣4×答錯或放棄題目數(shù)，結(jié)合得分不低于88分，可列出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)這個隊答對了x道題，則答錯或放棄（20﹣x）道題，
根據(jù)題意得：10x﹣4（20﹣x）≥88，
解得：x≥12，
∴x的最小值為12，即這個隊至少答對12道題．
故答案為：12．
【點評】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與BC的垂直平分線交于點P，連接CP．若∠A＝75°，∠ABC＝62°，則∠ACP的度數(shù)為 12 °．
【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到PB＝PC，得到∠PBC＝∠PCB，根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理及角的和差求解即可．
【解答】解：∵BP是∠ABC的平分線，∠ABC＝62°，
∴∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝31°，
∵P是線段BC的垂直平分線上一點，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
∴∠ABP＝∠CBP＝∠PCB＝31°，
∵∠A＝75°，∠ABC＝62°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝43°，
∴∠ACP＝∠ACB﹣∠PCB＝12°，
故答案為：12．
【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．
14．若不等式組的解集是x＞3，則m的取值范圍是 m≤3 ．
【分析】先解第一個不等式得到x＞3，由于不等式組的解集為x＞3，根據(jù)同大取大得到m≤3．
【解答】解：，
解①得x＞3，
∵不等式組的解集為x＞3，
∴m≤3．
故答案為m≤3．
【點評】本題考查了解一元一次不等式組：分別求出不等式組各不等式的解集，然后根據(jù)“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中間，大于大的小于小的無解”確定不等式組的解集．
15．如圖，已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，AM平分∠BAD交BC于點M，BE⊥AM于點E，EF⊥AD于點F，AB＝7，EF＝3，則△ABM的面積為 21 ．
【分析】過E作EG⊥AB于G，則EG＝EF＝3，即可求出△ABE的面積，證明BE是△ABM的中線，由三角形中線的性質(zhì)即可得出答案．
【解答】解：過E作EG⊥AB于G，如圖：
∵AM平分∠BAD，
∴EG＝EF＝3，∠DAM＝∠BAM，
∴S△ABE＝×7×3＝，
∵AD∥BC，
∴∠DAM＝∠AMB，
∴∠BAM＝∠AMB，
∴AB＝BM，
∵BE⊥AM，
∴BE是△ABM邊AM上的中線，
∴S△ABM＝2S△ABE＝2×＝21．
故答案為：21．
【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)等知識；熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．如圖，函數(shù)y＝kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的圖象經(jīng)過點B（2，0），與函數(shù)y＝2x的圖象交于點A，下列結(jié)論：①點A的橫坐標(biāo)為2；②關(guān)于x的不等式kx+b＜0的解集為x＞2；③關(guān)于x的方程kx+b＝2x的解為x＝2；④關(guān)于x的不等式組0＜kx+b＜2x的解集為1＜x＜2．其中正確的是 ②④ （只填寫序號）．
【分析】根據(jù)所給函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想及一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，對所給結(jié)論依次進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：由所給函數(shù)圖象可知，
A點的縱坐標(biāo)為2，
則2x＝2，
解得x＝1，
所以點A的橫坐標(biāo)為1．
故①錯誤．
因為點B坐標(biāo)為（2，0），
所以當(dāng)x＞2時，函數(shù)y＝kx+b的圖象在x軸下方，即kx+b＜0，
則不等式kx+b＜0的解集為x＞2．
故②正確．
因為函數(shù)y＝2x和函數(shù)y＝kx+b交點的橫坐標(biāo)為1，
所以方程kx+b＝2x的解為x＝1．
故③錯誤．
由函數(shù)圖象可知，
當(dāng)x＞1時，函數(shù)y＝kx+b的圖象在函數(shù)y＝2x圖象的下方，即kx+b＜2x，
當(dāng)x＜2時，函數(shù)y＝kx+b的圖象在x軸上方，即kx+b＞0，
所以關(guān)于x的不等式組0＜kx+b＜2x的解集為1＜x＜2．
故④正確．
故答案為：②④．
【點評】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式及一次函數(shù)與一元一次方程，數(shù)形結(jié)合思想的巧妙運用是解題的關(guān)鍵．
三、作圖題（本大題滿分4分）用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．
17．（4分）已知：如圖，四邊形ABCD；
求作：點P，使點P在四邊形ABCD內(nèi)部，PD＝PC，且點P到∠BAD兩邊的距離相等．
【分析】作∠BAD的角平分線，作CD的垂直平分線，兩條線交于點P即可．
【解答】解：如圖，點P即為所求．
【點評】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握角平分線和線段垂直平分線的作法．
四.解答題（本大題共7小題，共68分）
18．（20分）計算：
（1）解不等式x﹣1≥2x；
（2）解不等式，并把解集表示在數(shù)軸上；
（3）求不等式3（x﹣3）﹣6＜2x﹣10的非負(fù)整數(shù)解；
（4）解不等式組：；
（5）解不等式組：．
【分析】（1）先移項，再合并同類項，把x的系數(shù)化為1即可；
（2）先去分母，再去括號，移項，合并同類項，把x的系數(shù)化為1，并把解集表示在數(shù)軸上即可；
（3）先求出不等式的解集，再求出其非負(fù)整數(shù)解即可；
（4）（5）分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：（1）移項得，x﹣2x≥1，
合并同類項得，﹣x≥1，
x的系數(shù)化為1得，x≤﹣1；
（2）去分母得，4+3x≤2（1+2x），
去括號得，4+3x≤2+4x，
移項得，3x﹣4x≤2﹣4，
合并同類項得，﹣x≤﹣2，
x的系數(shù)化為1得，x≥2，
在數(shù)軸上表示為：
；
（3）去括號得，3x﹣9﹣6＜2x﹣10，
移項得，3x﹣2x＜﹣10+9+6，
合并同類項得，x＜5，
故其非負(fù)整數(shù)解為：0，1，2，3，4；
（4），
由①得，x≤1，
由②得，x＜3，
故不等式組的解集為：x≤1；
（5），
由①得，x＜，
由②得，x≥1．
故不等式組的解集為：1≤x＜．
【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，解一元一次不等式及在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解題的關(guān)鍵．
19．（6分）如圖，BD，CE是△ABC的高，且BD＝CE．
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）若∠A＝60°，AB＝2，求△ABC的高BD．
【分析】（1）由“HL”可證Rt△CDB≌Rt△BEC，可得∠ABC＝∠ACB，即可求解；
（2）由直角三角形的性質(zhì)可求AD的長，由勾股定理可求解．
【解答】（1）證明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
在Rt△CDB和Rt△BEC中，
，
∴Rt△CDB≌Rt△BEC（HL），
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：∵∠A＝60°，∠BDA＝90°，
∴∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝1，
∴BD＝＝＝．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
20．（6分）△ABC的各頂點坐標(biāo)分別為A（1，4），B（3，4），C（3，1），將△ABC先向下平移2個單位長度，再向左平移4個單位長度，得到△A1B1C1．
（1）如果將△A1B1C1看成是由△ABC經(jīng)過一次平移得到的，則平移的距離是 2 個單位長度；
（2）在y軸上有點D，則AD+CD的最小值為 5 個單位長度；
（3）作出△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2．
【分析】（1）利用網(wǎng)格根據(jù)勾股定理計算即可；
（2）取點A關(guān)于y軸的對稱點A′，連接A′C交y軸于點D，可得AD+CD的最小值即為A′C的長度；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可作出△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2．
【解答】解：（1）∵將△A1B1C1看成是由△ABC經(jīng)過一次平移得到的，
∴平移的距離是＝2個單位長度；
故答案為：2；
（2）如圖點D為所求，
∴AD+CD的最小值為＝5個單位長度；
故答案為：5；
（3）如圖，△A2B2C2即為所求．
【點評】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，平移變換，軸對稱﹣最短路線問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)．
21．（8分）如圖，已知△ABC，以AC為邊構(gòu)造等邊△ACD，連接BD，在BD上取一點O，使∠AOD＝60°，在OD上取一點E，使AO＝AE，連接OC．
（1）求證：△AOC≌△AED；
（2）OA，OB，OC三條線段長度之和與圖中哪條線段的長度相等？請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)SAS證明三角形全等即可；
（2）結(jié)論：BD＝OA+OB+OC，理由全等三角形的性質(zhì)證明．
【解答】（1）證明：∵∠AOE＝60°，AO＝AE，
∴△AOE是等邊三角形，
∴∠OAE＝60°，
∵△ACD是等邊三角形，
∴AC＝AD，∠CAD＝60°＝∠OAE，
∴∠OAC＝∠EAD，
在△OAC和△EAD中，
，
∴△AOC≌△AED（SAS）；
（2）解：結(jié)論：BD＝OA+OB+OC．
理由：∵△AOE是等邊三角形，
∴OA＝OE，
∵△AOC≌△AED，
∴OC＝DE，
∴BD＝OB+OE+ED＝OB+OA+OC．
【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．
22．（9分）兩個家庭暑假結(jié)伴自駕到某景區(qū)旅游，該景區(qū)售出的門票分為成人票和兒童票，小鵬家購買3張成人票和1張兒童票共需350元，小波家購買1張成人票和2張兒童票共需200元．
（1）求成人票和兒童票的單價；
（2）售票處規(guī)定：一次性購票數(shù)量達(dá)到30張，可購買團體票，即每張票均按成人票價的八折出售．若干個家庭組團到該景區(qū)旅游，導(dǎo)游收到通知該團成人和兒童共30人，估計兒童8至16人．導(dǎo)游選擇哪種購票方式花費較少？
【分析】（1）設(shè)成人票的單價是x元，兒童票的單價是y元，根據(jù)“小鵬家購買3張成人票和1張兒童票共需350元，小波家購買1張成人票和2張兒童票共需200元”，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)該團兒童有m人，則該團成人有（30﹣m）人，購買團體票所需費用為2400元，不購買團體票所需費用為（﹣50m+3000）元，分2400＜﹣50m+3000，2400＝﹣50m+3000及2400＞﹣50m+3000三種情況，求出x的取值范圍或x的值，再結(jié)合“估計兒童8至16人”，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)成人票的單價是x元，兒童票的單價是y元，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：成人票的單價是100元，兒童票的單價是50元；
（2）設(shè)該團兒童有m人，則該團成人有（30﹣m）人，購買團體票所需費用為100×0.8×30＝2400（元），不購買團體票所需費用為100（30﹣m）+50m＝（﹣50m+3000）元，
當(dāng)2400＜﹣50m+3000時，m＜12，
∴當(dāng)8≤m＜12時，購買團體票花費較少；
當(dāng)2400＝﹣50m+3000時，m＝12，
∴當(dāng)m＝12時，兩種購票方式花費一樣多；
當(dāng)2400＞﹣50m+3000時，m＞12，
∴當(dāng)12＜m≤16時，不購買團體票花費較少．
答：當(dāng)8≤m＜12時，購買團體票花費較少；當(dāng)m＝12時，兩種購票方式花費一樣多；當(dāng)12＜m≤16時，不購買團體票花費較少．
【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式（或一元一次方程）．
23．（9分）【問題情境】
如圖①，△ABC的內(nèi)角∠ABC，∠ACB的平分線BD，CD交于點D．
【建立模型】
（1）如圖②，過點D作BC的平行線分別交AB，AC于點E，F(xiàn)．請你寫出EF與BE，CF的數(shù)量關(guān)系并證明．
（2）如圖③，在圖①的基礎(chǔ)上，過點A作直線l∥BC，延長BD和CD，分別交l于點E，F(xiàn)，若AB＝4，AC＝3，請你直接寫出EF的長度（不需要證明）．
【類比探究】
如圖④，△ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線BD，與它的外角∠ACG的平分線CD交于點D，過點D作BC的平行線分別交AB，AC于點E，F(xiàn)．請你寫出EF與BE，CF的數(shù)量關(guān)系并證明．
【分析】（1）先由角平分線定義得∠DBC＝∠DBE，∠DCB＝∠DCF，再由平行線的性質(zhì)得∠BDE＝∠DBC，∠CDF＝∠DCB，則∠DBE＝∠BDE，∠CDF＝∠DCF，證出BE＝DE，CF＝DF，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）同（1）證出AE＝AB，AF＝AC，進(jìn)而得出結(jié)論；
（3）同（1）證出DE＝BE，DF＝CF，進(jìn)而得出結(jié)論．
【解答】解：（1）EF＝BE+CF，理由如下：
如圖②，
∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點D，
∴∠DBC＝∠DBE，∠DCB＝∠DCF，
∵EF∥BC，
∴∠BDE＝∠DBC，∠CDF＝∠DCB，
∴∠DBE＝∠BDE，∠CDF＝∠DCF，
∴BE＝DE，CF＝DF，
∴DE+DF＝BE+CF，
即EF＝BE+CF；
（2）EF＝7；理由如下：
如圖③，
∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點D，
∴∠EBC＝∠ABE，∠FCB＝∠ACF，
∵EF∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，∠FCB＝∠AFC，
∴∠ABE＝∠AEB，∠ACF＝∠AFC，
∴AE＝AB，AF＝AC，
∵AB＝4，AC＝3，
∴EF＝AE+AF＝4+3＝7；
（3）EF＝BE﹣CF，理由如下：
如圖④，
∵∠ABC的平分線BD與∠ACG的平分線CD交于點D，
∴∠DBC＝∠ABD，∠ACD＝∠DCG，
∵DE∥BC，
∴∠DBC＝∠BDE，∠CDF＝∠DCG，
∴∠ABD＝∠BDE，∠ACD＝∠CDF，
∴DE＝BE，DF＝CF，
∵EF＝DE﹣DF，
∴EF＝BE﹣CF．
【點評】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定、角平分線定義、平行線的性質(zhì)等知識；本題綜合性強，熟練掌握平行線的性質(zhì)和角平分線定義，證明三角形為等腰三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
24．（10分）如圖，在長方形ABCD中，DC＝3cm，AD＝6cm，延長BC至點E，使CE＝4cm，連接DE．點P從點A出發(fā)，沿AD方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點C出發(fā)，沿CB方向勻速運動，速度為2cm/s；連接PQ，DQ．當(dāng)點Q停止運動時，點P也停止運動．設(shè)運動時間為t（s）（0＜t≤3），解答下列問題：
（1）當(dāng)t為何值時，使點Q在∠PDC的平分線上？
（2）當(dāng)t為何值時，△DQE為等腰三角形？
（3）設(shè)四邊形PQED的面積為y（cm2），求y與t之間的關(guān)系式及四邊形PQED面積的最大值．
【分析】（1）由題意得：AP＝t cm，CQ＝2t cm，利用平行線的性質(zhì)，角平分線的定義和等腰三角形的判定定理解答即可；
（2）利用分類討論的思想方法解答，分三種情形，利用等腰三角形的性質(zhì)列出關(guān)于t的方程，解方程即可求得結(jié)論；
（3）利用t的代數(shù)式表示出線段PD，EQ，利用圖形的面積公式解答即可得出y與t之間的關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）由題意得：AP＝t cm，CQ＝2t cm．
∵點Q在∠PDC的平分線上，
∴∠ADQ＝∠CDQ，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADQ＝∠CQD，
∴∠CQD＝∠CDQ，
∴CQ＝CD，
∴2t＝3，
∴t＝．
∴當(dāng)t為s時，使點Q在∠PDC的平分線上．
（2）①當(dāng)ED＝EQ時，如圖，
∵DC＝3cm，CE＝4cm，DC⊥CE，
∴DE＝＝5（cm），
∴EQ＝ED＝5cm
∴CQ＝1cm．
∴2t＝1，
∴t＝．
②當(dāng)ED＝DQ時，如圖，
∵ED＝DQ，DC⊥CE，
∴CQ＝CE＝4 cm，
∴2t＝4，
∴t＝2．
③由于點Q在線段BC上，不存在QD＝QE的情形．
綜上，當(dāng)t為s或2s時，△DQE為等腰三角形．
（3）由題意得：AP＝t cm，CQ＝2t cm，
∴PD＝AD﹣AP＝（6﹣t）cm，QE＝CQ+CE＝（4+2t）cm，
∴y＝（PD+QE）?CD＝3（6﹣t+4+2t）＝t+15．
∵＞0，
∴y隨t的增大而增大，
∵0＜t≤3，
∴當(dāng)t＝3時，y的最大值＝3+15＝19.5（cm2）．
【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論的思想方法，梯形的面積，熟練掌握矩形的性質(zhì)和應(yīng)用分類討論的思想方法解得是解題的關(guān)鍵．

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