1．（3分）圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史，下列由黑白棋子擺成的圖案是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）要使式子有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．x＞2B．x≤2且x≠1C．x＜2且x≠1D．x＜2
3．（3分）餐桌上的一蔬一飯來之不易，舌尖上的浪費讓人觸目驚心，據(jù)統(tǒng)計，中國每年浪費食物總量折合糧食約50000000000千克，此數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表示為（ ）
A．5×109B．50×109C．5×1010D．0.5×1011
4．（3分）如圖，足球的表面是由正五邊形和正六邊形拼接而成，其中黑皮的正五邊形有12塊，白皮的正六邊形有20塊．如圖，足球圖片中的一塊黑色皮塊的內(nèi)角和是（ ）
A．180°B．360°C．540°D．720°
5．（3分）在運動會上，小亮、小瑩、小剛和小勇四位同學代表九年級（3）班參加4×100米接力比賽，小勇跑最后一棒，其他三人抽簽排定序號，小亮和小剛進行接棒的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．a(chǎn)3?a3＝2a3B．（﹣a3b）2＝﹣a5b2
C．（a+b）2＝a2+b2D．﹣2a2+3a2＝a2
7．（3分）下列說法正確的是（ ）
A．“任意畫一個六邊形，它的內(nèi)角和是720度”，這是一個隨機事件
B．為了解全國中學生的心理健康情況，應(yīng)該采用全面調(diào)查的方式
C．一組數(shù)據(jù)6，8，7，9，7，10的眾數(shù)和中位數(shù)都是7
D．若甲組數(shù)據(jù)的方差S甲2＝0.04，乙組數(shù)據(jù)的方差S乙2＝0.05，則甲組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定
8．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A，B，C在坐標軸上，兩對角線交于點E．若點B的坐標為（﹣1，0），∠BCD＝120°，則點E的坐標為（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的y與x的部分對應(yīng)值如下表：
下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．a(chǎn)＞0
B．若點（﹣8，y1），點（8，y2）在二次函數(shù)圖象上，則y1＜y2
C．當x＝﹣2時，函數(shù)值最小，最小值為﹣6
D．方程ax2+bx+c＝﹣5有兩個不相等的實數(shù)根
10．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，點E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB、AC的中點，邊BC分別與DE、DF相交于點H，G，且DE⊥AB，DF⊥AC，連接AD、AG、AH，現(xiàn)在下列四個結(jié)論：①∠EDF＝60°，②AD平分∠GAH，③∠B＝∠ADF，④GD＝GH．則其中正確的結(jié)論有（ ）
A．①②③④B．②③④C．①②③D．①②④
二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）
11．（3分）計算：2sin60°﹣（）0＝ ．
12．（3分）如圖，把一個長方形紙條ABCD沿AF折疊，點B落在點E處．已知∠ADB＝24°，AE∥BD，則∠AFE的度數(shù)是 ．
13．（3分）不等式組的解是 ．
14．（3分）某手工作坊生產(chǎn)并銷售某種食品，假設(shè)銷售量與產(chǎn)量相等，如圖中的線段AB、OC分別表示每天生產(chǎn)成本y1（單位：元）、收入y2（單位：元）與產(chǎn)量x（單位：千克）之間的函數(shù)關(guān)系．若該手工作坊某一天既不盈利也不虧損，則這天的產(chǎn)量是 千克．
15．（3分）如圖，⊙O的直徑AB和弦CD垂直相交于點E，CD＝4，CF⊥AD于點F，交AB于點G，且OG＝1，則⊙O的半徑長為 ．
三．解答題（共8小題，滿分75分）
16．（8分）先化簡，再求值：，其中x滿足x2+x﹣2018＝0．
17．（8分）某校對八年級600名學生本學期參加藝術(shù)學習活動的情況進行評價，其中1班學生本學期參觀美術(shù)館的次數(shù)以及藝術(shù)評價等級和藝術(shù)賦分的統(tǒng)計情況，如下表所示：
（1）1班學生總數(shù)為 人，表格中m的值為 ．
（2）1班學生藝術(shù)賦分的平均分是多少？
（3）根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，估計八年級600名學生藝術(shù)評價等級為A級的人數(shù)是多少？
18．（8分）如圖，在△ABC中，∠A＞∠B．
（1）請用尺規(guī)作圖法，在BC邊上求作一點E，使得EA＝EB（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）的條件下，連接AE，若∠B＝48°，求∠AEC的度數(shù)．
19．（9分）為了創(chuàng)建國家衛(wèi)生城市，我縣某小區(qū)購進A型和B型兩種分類垃圾桶，購買A型垃圾桶花費了2500元，購買B型垃圾桶花費了2000元，且購買A型垃圾桶數(shù)量是購買B型垃圾桶數(shù)量的2倍，已知購買一個B型垃圾桶比購買一個A型垃圾桶多花30元．
（1）求購買一個A型垃圾桶需多少元？
（2）若小區(qū)一 次性購買A型，B型垃圾桶共60個，要使總費用不超過4000元，最少要購買多少個A型垃圾桶？
20．（9分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OCAB（OC＞OB）的對角線長為5，周長為14．已知反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過矩形頂點A．
（1）求反比例函數(shù)的表達式；
（2）若點（﹣a，y1）、（a+1，y2）在反比例函數(shù)的圖象上，試比較y1與y2的大??；
（3）若一次函數(shù)y＝kx+6的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于E（p，﹣3）、F（q，4）兩點，請直接寫出kx+b﹣≤0成立時，對應(yīng)x的取值范圍．
21．（9分）如圖，在矩形ABCD中，E是CD上的一點，沿AE將△ADE對折，點D的對稱點F剛好落在BC邊上．
（1）求證：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝8cm，tan∠DAE＝，求AD的長．
22．（12分）在直角坐標系中，矩形OABD的邊OA、OC在坐標軸上，B點坐標是（4，2），M、N分別是邊OA、OC上的點．將△OMN沿著直線MN翻折，若點O的對應(yīng)點是O′．
（1）①若N與C重合，M是OA的中點，則O′的坐標是 ；
②MN∥AC，若翻折后O′在AC上，求MN的解析式．
（2）已知M坐標是（3，0），若△MNO′的外接圓與線段BC有公共點，求N的縱坐標n的取值范圍．
23．（12分）如圖1（注：與圖2完全相同）所示，拋物線y＝﹣+bx+c經(jīng)過B、D兩點，與x軸的另一個交點為A，與y軸相交于點C．
（1）求拋物線的解析式．
（2）設(shè)拋物線的頂點為M，求四邊形ABMC的面積．（請在圖1中探索）
（3）設(shè)點Q在y軸上，點P在拋物線上．要使以點A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點P的坐標．（請在圖2中探索）
2023年廣東省梅州市大埔縣進光中學中考數(shù)學一模試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1． 解：A，B，C選項中的圖案都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
D選項中的圖案能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
故選：D．
2． 解：由題意得，2﹣x＞0，
解得x＜2．
故選：D．
3． 解：50000000000千克用科學記數(shù)法表示為5×1010，
故選：C．
4． 解：∵黑皮是正五邊形，
∴一塊黑色皮塊的內(nèi)角和＝（5﹣2）×180°＝540°．
故選：C．
5． 解：將小亮、小瑩、小剛和小勇四位同學分別記作甲、乙、丙、丁，
畫樹狀圖如圖：
由樹狀圖知，共有6個等可能的結(jié)果，小亮和小剛進行接棒的結(jié)果有4個，
∴小亮和小剛進行接棒的概率為＝，
故選：C．
6． 解：A．結(jié)果是a6，故本選項不符合題意；
B．結(jié)果是a6b2，故本選項不符合題意；
C．結(jié)果是a2+2ab+b，故本選項不符合題意；
D．結(jié)果是a2，故本選項符合題意；
故選：D．
7． 解：A、“任意畫一個六邊形，它的內(nèi)角和是720度”，這是一個必然事件，故A不合題意；
B、為了解全國中學生的心理健康情況，應(yīng)該采用抽樣調(diào)查的方式，故B不合題意；
C、一組數(shù)據(jù)6，8，7，9，7，10的眾數(shù)是7，中位數(shù)是7.5，故C不合題意；
D、甲乙兩人六次跳遠成績的方差S甲2＝0.4，乙組數(shù)據(jù)的方差S乙2＝0.05，則乙的成績更穩(wěn)定，故D符合題意；
故選：D．
8． 解：過E作EH⊥BC于H，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AE＝CE，AB＝BC，AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵AO⊥BC，
∴OC＝OB，
∵B的坐標是（﹣1，0），
∴OB＝1，
∴OC＝1，
∵∠ABO＝60°，∠AOB＝90°，
∴AO＝OB＝，
∵AO⊥BC，EH⊥BC，
∴EH∥AO，
∵AE＝EC，
∴CH＝OH＝OC＝，
∴EH是△AOC的中位線，
∴EH＝AO＝，
∴E的坐標是（，）．
故選：A．
9． 解：把（0，﹣4），（﹣4，0），（2，6）代入拋物線的解析式，
得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為y＝x2+3x﹣4，
∴a＞0，
∴A選項不合題意，
∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣，且拋物線開口向上，
∴y1＜y2，
∴B選項不合題意，
∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣，
∴當x＝﹣時，y最小，
∴C選項符合題意，
若x2+3x﹣4＝﹣5，
則Δ＝32﹣4×1×1＝5＞0，
∴x2+3x﹣4＝﹣5有兩個不同的根，
∴D選項不合題意，
故選：C．
10． 解：∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFA＝90°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠EDF＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
故①符合題意；
連接BD，CD，
∵E是AB的中點，ED⊥AB，
∴DE是AB的垂直平分線，
∵F是AC的中點，DF⊥AC，
∴DF是AC的垂直平分線，
∴AD＝BD＝CD，BH＝AH，AG＝CG，
∴∠DBA＝∠DAB，∠HBA＝∠HAB，∠DAC＝∠DCA，∠GAC＝∠GCA，
∴∠DBH＝∠DAH，∠DAG＝∠DCG，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴∠DAH＝∠DAG，
∴AD平分∠HAG，
故②符合題意；
∵BH＝HA，
∴∠HBA＝∠HAB，
∵∠GAC＝∠GCA，
∴∠B+∠C＝∠HAB+∠GAC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠B+∠C＝∠HAB+∠GAC＝60°，
∵AD平分∠HAG，
∴∠HAD＝∠DAG＝30°，
∴∠DAF＝30°+60°﹣∠B＝90°﹣∠B，
∵∠DFA＝90°，
∴∠ADF＝90°﹣∠DAF＝∠B，
故③符合題意；
∵ED⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DHG＝∠BHE＝90°﹣∠B，∠DGH＝∠CGF＝90°﹣∠C，
當AB≠AC時，∠B≠∠C，
∠DHG≠∠DGH，
∴DH≠DG，
∵∠HDG＝60°，
∴△DHG不是等邊三角形，
∴GD≠GH，
故④不符合題意；
故選：C．
二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）
11． 解：原式＝2×﹣1
＝﹣1，
故答案為：﹣1．
12． 解：由折疊得：∠BFA＝∠AFE，∠ABC＝∠E＝90°，
∵長方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠BFA＝∠MAF，
∴∠AFE＝∠MAF，
∵AE∥BD，
∴∠EAM＝∠ADB＝24°，
∴∠EMA＝90°﹣∠EAM＝90°﹣24°＝66°，
∴∠AFE＝∠MAF＝∠EMA＝×66°＝33°．
故答案為：33°．
13． 解：解不等式x＞，得：x＞﹣1，
解不等式2x≥3（x﹣2），得：x≤6，
∴不等式組的解集為﹣1＜x≤6，
故答案為：﹣1＜x≤6．
14． 解：設(shè)線段OC的函數(shù)表達式為y＝kx，則60k＝720，
解得：k＝12，
∴線段OC的函數(shù)表達式為y＝12x；
設(shè)線段AB的函數(shù)表達式為y＝mx+n，則：
解得：
∴線段AB的函數(shù)表達式為y＝4x+240，
解方程組，得，
即該手工作坊某一天既不盈利也不虧損，則這天的產(chǎn)量是30千克．
故答案為：30．
15． 解：連接AC，BC，OC，
∵⊙O的直徑AB和弦CD垂直相交于點E，CD＝4，
∴CE＝DE＝2，＝，∠ACB＝90°，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠CAB＝∠DAB，
∵CF⊥AD，
∴∠GFA＝90°，
∴∠DAB+∠AGF＝90°，
∴∠B＝∠AGF，
∵∠CGB＝∠AGF，
∴∠B＝∠CGB，
∴BC＝CG，
∵AB⊥CD，
∴GE＝EB，
設(shè)OE＝x，
∵OG＝1，
∴GE＝BE＝x+1，
∴OC＝OB＝x+x+1＝2x+1，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，
即（2x+1）2＝（2）2+x2，
解得：x＝1（x＝﹣舍去），
∴OC＝2×1+1＝3，
即⊙O的半徑長為3，
故答案為：3．
三．解答題（共8小題，滿分75分）
16． 解：原式＝?
＝x（x+1）
＝x2+x，
當x2+x＝2018時，
∴原式＝2018．
17． 解：（1）20÷40%＝50（人）；
∴1班學生總數(shù)為50人，表格中m＝50﹣10﹣20﹣5＝15（人）；
故答案為：50，15；
（2）解：設(shè)1班學生藝術(shù)賦分的平均分是，
，
∴甲班學生藝術(shù)賦分的平均分是 7.4 分．
（3）由題可知，A級占 ，
∴估計全校 600 名學生藝術(shù)評價等級為A級的人數(shù)是 600×20%＝120（人）．
18． 解：（1）如圖，點E即為所求；
（2）∵AE＝BE，
∴∠B＝∠BAE，
∵∠B＝48°，
∴∠BAE＝∠B＝48°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝48°+48°＝96°．
19． 解：（1）設(shè)購買一個A型垃圾桶需x元，則購買一個B型垃圾桶需（x+30）元，
由題意得：＝×2，
解得：x＝50，
經(jīng)檢驗：x＝50是原方程的解，且符合題意，
則x+30＝80，
答：購買一個A型垃圾桶需50元，一個B型垃圾桶需80元．
（2）設(shè)小區(qū)一次性購買y個A型垃圾桶，則購買（60﹣y）個B型垃圾桶，
由題意得：50y+80（60﹣y）≤4000，
解得：y≥27．
答：最少要購買27個A型垃圾桶．
20． 解：（1）根據(jù)題意得：OB+OC＝7，OB2+OC2＝52，
∵OC＞OB，
∴OB＝3，OC＝4，
∴A（3，4），
把A（3，4）代入反比例函數(shù)y＝中，得m＝3×4＝12，
∴反比例函數(shù)為：y＝；
（2）∵點（﹣a，y1）和（a+1，y2）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，
∴﹣a≠0，且a+1≠0，
∴a≠﹣1，且a≠0，
∴當a＜﹣1時，﹣a＞0，a+1＜0，則點（﹣a，y1）和（a+1，y2）分別在第一象限和第三象限的反比例函數(shù)的圖象上，于是有y1＞y2；
當﹣1＜a＜0時，﹣a＞0，a+1＞0，若﹣a＞a+1，即﹣1＜a＜﹣時，y1＜y2，若﹣a＝a+1，即a＝﹣時，y1＝y(tǒng)2，若﹣a＜a+1，即﹣＜a＜0時，y1＞y2；
當a＞0時，﹣a＜0，a+1＞0，則點（﹣a，y1）和（a+1，y2）分別在第三象限和第一象限的反比例函數(shù)的圖象上，于是有y1＜y2；
綜上，當a＜﹣1時，y1＞y2；當﹣1＜a＜﹣時，y1＜y2；當a＝﹣時，y1＝y(tǒng)2；當﹣＜a＜0時，y1＞y2；當a＞0時，y1＜y2．
（3）把E（p，﹣3）、F（q，4）代入y＝求得，p＝﹣4，q＝3，
∴一次函數(shù)y＝kx+6的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于兩點（﹣4，﹣3）和（3，4），
當一次函數(shù)y＝kx+6的圖象不在反比例函數(shù)y＝的圖象上方時，x≤﹣4或0＜x≤3，
∴kx+b﹣≤0成立時，對應(yīng)x的取值范圍：x≤﹣4或0＜x≤3．
21． （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵沿AE將△ADE對折，點D的對稱點F剛好落在BC邊上，
∴∠AFE＝∠D＝90°，
∴∠AFB＝90°﹣∠EFC＝∠FEC，
∴△ABF∽△FCE；
（2）解：∵tan∠DAE＝，
∴＝，
∵沿AE將△ADE對折，點D的對稱點F剛好落在BC邊上，
∴＝，
由（1）知△ABF∽△FCE，
∴＝，
∵AB＝8cm，
∴＝，
∴CF＝4，
設(shè)AD＝BC＝x，則BF＝x﹣4，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
∴82+（x﹣4）2＝x2，
解得x＝10，
答：AD的長是10cm．
22． 解：（1）①如圖1，
∵OM＝ON＝2，∠AOC＝90°，
∴∠OCM＝∠OMC＝45°，
由折疊知：∠MNO′＝∠OCM＝45°，OCM＝45°，CO′＝CO＝2，
∴∠OCO′＝90°，
∴點O′在BC上，
∴Q′（2，2），
故答案為：（2，2）；
②如圖2，
連接OO′，
由軸對稱的性質(zhì)可得：OO′⊥MN，OD＝DO′＝，
∵MN∥AC，
∴OO′⊥AC，△OMN∽△OAC，
∴＝，
∴ON＝，OM＝，
∴N（0，1），M（2，0），
設(shè)MN的解析式為：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣；
（2）如圖3，
設(shè)MN的中點為I，⊙I切BC于D，連接DI，DI的延長線交OA于E，
∴DI⊥BC，
∴∠IDC＝90°，
∵四邊形ABCO是矩形，
∴∠BCO＝∠COE＝90°，
∴∠IDC＝∠BCO＝∠COA＝90°，
∴四邊形DCOE是矩形，⊙I過點O，
∴DE＝OC＝2，OE＝EM＝OM＝，
∵IM＝IN，
∴ON＝2IE，
設(shè)IE＝x，則DI＝IM＝DE﹣IE＝2﹣x，
在Rt△IEM中，由勾股定理得，
IE2+EM2＝IM2，
∴x2+（）2＝（2﹣x）2，
∴x＝，
∴IE＝，
∴ON＝2IE＝，
當≤n≤2時，△MNO′的外接圓與線段BC有公共點．
23． 解：（1）把B（3，0）和D（﹣2，﹣）代入拋物線的解析式得，
，
解得，，
∴拋物線的解析式為：；
（2）令x＝0，得＝，
∴，
令y＝0，得＝0，
解得，x＝﹣1，或x＝3，
∴A（﹣1，0），
∵＝，
∴M（1，2），
∴S四邊形ABMC＝S△AOC+S△COM+S△MOB
＝
＝；
（3）設(shè)Q（0，n），
①當AB為平行四邊形的邊時，有AB∥PQ，AB＝PQ，
a）．P點在Q點左邊時，則P（﹣4，n），
把P（﹣4，n）代入，得
n＝，
∴P（﹣4，﹣）；
②當AB為平行四邊形的邊時，有AB∥PQ，AB＝PQ，
當P點在Q點右邊時，則P（4，n），
把P（4，n）代入，得
n＝，
∴P（4，﹣）；
③當AB為平行四邊形的對角線時，如圖2，AB與PQ交于點E，
則E（1，0），
∵PE＝QE，
∴P（2，﹣n），
把P（2，﹣n）代入，得
﹣n＝，
∴n＝﹣，
∴P（2，）．
綜上，滿足條件的P點坐標為：（﹣4，﹣）或（4，﹣）或（2，）．
x
﹣5
﹣4
﹣2
0
2
y
6
0
﹣6
﹣4
6
藝術(shù)評價等級
參觀次數(shù)（x）
藝術(shù)賦分
人數(shù)
A級
x≥6
10分
10人
B級
4≤x≤5
8分
20人
C級
2≤x≤3
6分
m人
D級
x≤1
4分
5人

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