2023年江蘇省揚州市世明雙語學校中考數(shù)學四模模擬預測題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

1. 下列運算正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用二次根式性質(zhì)化簡，然后再根據(jù)二次根式的減法的法則可判定A，再利用乘方、冪的乘方以及合并同類項對各項運算判斷即可．
【詳解】解：A. ，故A正確，符合題意；
B. ，故B錯誤，不符合題意；
C. 和不是同類項，不能合并，故C錯誤，不符合題意；
D. ，故D錯誤，不符合題意．
故選：A．
【點睛】本題主要考查二次根式的運算、乘方、冪的乘方、合并同類項等知識點，解答的關(guān)鍵是靈活運用二次根式的性質(zhì)和相關(guān)運算法則．
2. 如圖，圖中的幾何體中，它的左視圖是（）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到從左面看所得的圖形即可．
【詳解】從左面看可得到1列正方形的個數(shù)為2．
故選B．
【點睛】本題考查了三視圖的知識，左視圖是從物體的左面看得到的圖形．
3. 下列二次根式中與是同類二次根式的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】同類二次根式的定義：化為最簡二次根式后被開方數(shù)相同的二次根式．
【詳解】解：A、，B、，C、，均不是同類二次根式，故錯誤；
D、，符合同類二次根式的定義，本選項正確；
故選D．
【點睛】本題主要考查最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式是解題的關(guān)鍵．
4. 的值為（）
A. 4B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了算術(shù)平方根．根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解即可．
【詳解】解：，
故選：A．
5. 下列調(diào)查中，適宜采用普查方式的是（）
A. 了解一批圓珠筆的壽命B. 了解全國九年級學生身高的現(xiàn)狀
C. 檢查神舟號載人飛船各零部件D. 考察人們保護海洋的意識
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查的是抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進行普查、普查的意義或價值不大，應選擇抽樣調(diào)查，對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查．
【詳解】解：A、了解一批圓珠筆的壽命適宜采用抽樣調(diào)查方式，本選項不符合題意；
B、了解全國九年級學生身高的現(xiàn)狀適宜采用抽樣調(diào)查方式，本選項不符合題意；
C、檢查神舟號載人飛船的各零部件適宜采用普查方式，本選項符合題意；
D、考察人們保護海洋的意識適宜采用抽樣調(diào)查方式，本選項不符合題意；
故選：C．
6. 若關(guān)于x的分式方程有正整數(shù)解，則整數(shù)m的值是（）
A. 3B. 5C. 3或5D. 3或4
【答案】D
【解析】
【分析】解帶參數(shù)m的分式方程，得到，即可求得整數(shù)m的值．
【詳解】解：，
兩邊同時乘以得：，
去括號得：，
移項得：，
合并同類項得：，
系數(shù)化為1得：，
若m為整數(shù)，且分式方程有正整數(shù)解，則或，
當時，是原分式方程的解；
當時，是原分式方程的解；
故選：D．
【點睛】本題考查分式方程的解，始終注意分式方程的分母不為0這個條件．
7. 如圖，中，A、B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標是．以點C為位似中心，在x軸的下方作的位似圖形，并把的邊長放大到原來的2倍．設點B的對應點的橫坐標是a，則點B的橫坐標是（）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】過點B作軸于D，過點作軸于，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出的長，得到點B的橫坐標．
詳解】解：如圖所示，過點B作軸于D，過點作軸于，

∵點C的橫坐標是，的橫坐標是，
∴，
由題意得，，相似比為1：2，
∴，
∴，
∴，
∴點B的橫坐標是．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，位似圖形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
8. 已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象在第二象限有兩個交點，且其中一個交點的橫坐標為，則二次函數(shù)的圖象可能是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的位置關(guān)系即可得到a，b，c和0的大小關(guān)系，從而判斷二次函數(shù)的圖像走向即可.
【詳解】一次函數(shù)和反比例函數(shù)的兩個交點在第二象限
，，
二次函數(shù)的圖像開口向上，與y軸交于正半軸，，對稱軸在y軸左側(cè)
其中一個交點的橫坐標為
，即
二次函數(shù)的圖像與x軸有一個交點為，
故選：A.
【點睛】本題主要考查了通過一次函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系判斷a、b、c和0的大小關(guān)系；得到三者的相關(guān)特性是判斷二次函數(shù)圖像走勢的關(guān)鍵.
錯因分析中等難度題.失分原因是：1.不會通過題干給出的一次函數(shù)和反比例函數(shù)的兩個交點在第二象限得出a、b、c和0的大小關(guān)系；2.不會運用題干給出的其中一個交點的橫坐標為得出a、b、c三者之間的關(guān)系.
二、填空題（本大題共10小題，共30.0分）
9. 若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是______
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式和分式有意義的條件進行求解即可．
【詳解】解：∵式子要有意義，
∴，
解得，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，熟知二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于零，分式有意義的條件是分母不為零是解題的關(guān)鍵．
10. 4月20日晚在中央電視臺“情系玉樹，大愛無疆——搞震救災大型募捐活動特別節(jié)目”．據(jù)統(tǒng)計，這臺募捐晚會共募得善款21.75億元人民幣．用科學記數(shù)法表示為________元人民幣．
【答案】
【解析】
【分析】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．
【詳解】解：將21.75億用科學記數(shù)法表示為：．
故答案為：．
11. 在對某樣本進行方差計算時，計算的公式是：，該樣本的樣本容量是________.
【答案】10
【解析】
【分析】根據(jù)方差的計算公式求出樣本容量．
【詳解】解：∵公式，
∴它的樣本容量是10，
故答案為：10．
【點睛】本題考查了方差公式中各字母的意義，一般地設n個數(shù)據(jù)，，，…的平均數(shù)為，則方差．
12. 若，，則的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】先由得到，再根據(jù)進行求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法的逆運算，冪的乘方和冪的乘方的逆運算，正確得到是解題的關(guān)鍵．
13. 若關(guān)于x的一元二次方程的一個根為1，則k的值為__________.
【答案】0
【解析】
【詳解】把x＝1代入方程得，，
即，
解得.
此方程為一元二次方程，
，
即，

故答案為0.
14. 若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則當時，x的取值范圍是______．
【答案】x4
【解析】
【分析】利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)的圖象，再根據(jù)圖象得出結(jié)論．
【詳解】解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
，
反比例函數(shù)的解析式為，圖象如圖所示．
由圖可知，當時，或．
故答案為或．
【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，反比例函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．
15. 中，，則________．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義．根據(jù)銳角的正切等于銳角的對邊比鄰邊，可得答案．
【詳解】解：在中，，
∴，
故答案為：．
16. 一個圓錐的高為3，側(cè)面展開圖是半圓，則圓錐的側(cè)面積是_________
【答案】18π
【解析】
【分析】設出圓錐的母線長和底面半徑，用兩種方式表示出全面積，即可求得圓錐底面半徑和母線長的關(guān)系，加上高利用勾股定理即可求得圓錐的母線長和底面半徑，那么圓錐的側(cè)面積=底面周長×母線長÷2．
【詳解】解：根據(jù)題意，設圓錐的底面半徑為，母線長為 .則
，
解得：
；
故答案為：
【點睛】本題利用了勾股定理，圓的面積公式，圓的周長公式和扇形面積公式，熟練掌握運用這些公式是解題關(guān)鍵．
17. 如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm，底面周長為32cm，在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為_____cm（杯壁厚度不計）．
【答案】20
【解析】
【詳解】分析：將杯子側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點A′，根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求．
詳解：如圖：
將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點A′，
連接A′B，則A′B即為最短距離，A′B=（cm）．
故答案為20．
點睛：本題考查了平面展開---最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是解題的關(guān)鍵．同時也考查了同學們的創(chuàng)造性思維能力．
18. 如圖，點A（-3,0）、點B（0，），直線與x軸、y軸分別交于點D、C，M是平面內(nèi)一動點，且∠AMB=60°，則?MCD面積的最小值是 ________．
【答案】
【解析】
【分析】由直線方程求出點D、C的坐標，由已知M是平面內(nèi)一動點，且∠AMB=60o知點M在ΔABM的外接圓上，由已知推導出AB∥CD，則可知要使ΔMCD面積最小，只需點M在AB的垂直平分線上，進而證得ΔABM是等邊三角形，通過推理求出點M坐標，即可求得面積最小值.
【詳解】∵M是平面內(nèi)一動點，且∠AMB=60o，
∴點M在ΔABM的外接圓上，
∵直線與x軸、y軸分別交于點D、C，
∴C（0，），D（4，0），
∴OC=，OD=4，
∴tan∠ODC=，
∴∠ODC=60o，
∵點A（-3,0）、點B（0，），
∴OA=3，OB=，
∴tan∠OAB=，且AB=，
∴∠OAB=60o，
∴AB∥CD ，
∴當M在AB的垂直平分線上時，ΔMCD的面積最小，此時AM=BM，
∵∠AMB=60o，
∴ΔAMB是等邊三角形，
∴∠BAM=60o，
∴點M在x軸上，且AM=AB=6，
∴點M（3,0）
∴MD=1，
∴ΔMCD的面積最小值為，
故答案為：.
【點睛】本題考查了一次函數(shù)與幾何的應用，涉及一次函數(shù)的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的距離求最值等相關(guān)知識，是一道綜合性很強的填空題，解答的關(guān)鍵是認真審題，提取相關(guān)有效信息，結(jié)合圖形，確定解題思路，并對相關(guān)信息探究、推理及計算.
三、計算題（本大題共2小題，共18.0分）
19. 先化簡再求值：，其中x是不等式組的一個整數(shù)解．
【答案】，1
【解析】
【分析】本題考查了分式的化簡求值，求不等式組的解集．先通分算括號內(nèi)的，同時把除法化為乘法，約分后解出不等式組，把滿足條件的整數(shù)x的值代入計算即可．
【詳解】解：
，
解不等式得，
解不等式得，
解不等式組的解集為，
符合不等式解集的整數(shù)是，，，
當或2時，分式無意義，
取，原式．
20. 某商場預測某種襯衫能夠暢銷，就用32000元購進了一批這種款式的襯衫，上市后很快脫銷，該商場又用68000元購進第二批這種款式的襯衫，所購數(shù)量是第一批購進數(shù)量的2倍，但每件進價多了10元．
（1）該商場兩次一共購進這種款式的襯衫多少件？
（2）如果這兩批襯衫每件的售價相同，且全部售完后總利潤率不低于20%，那么每件售價至少是多少元？
【答案】（1）該商場兩次一共購進這種款式的襯衫600件
（2）每件售價至少是200元
【解析】
【分析】本題考查分式方程的應用，以及一元一次不等式的應用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系或不等關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
（1）設該商場第一次購進這種襯衫x雙，則第二次購進數(shù)量為雙，根據(jù)關(guān)鍵語句“每雙進價多了元”可得等量關(guān)系：第一次購進運動鞋的單價第二次購進運動鞋的單價，根據(jù)等量關(guān)系列方程解題即可；
（2）設每雙售價是a元，由題意可得等量關(guān)系：總售價-總進價總進價，根據(jù)等量關(guān)系列出不等式，解不等式即可．
【小問1詳解】
設第一批購進襯衫件，則第二批購進襯衫件．
根據(jù)題意，得，
解得．
經(jīng)檢驗，是原方程的解．
（件）．
答：該商場兩次一共購進這種款式的襯衫600件．
【小問2詳解】
設每件售件是元．根據(jù)題意，得
，
解得．
答：每件售價至少是200元．
四、解答題（本大題共8小題，共78.0分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
21. 計算或化簡：
（1）；
（2）．
【答案】（1）-4；（2）3a﹣2
【解析】
【分析】（1）根據(jù)零指數(shù)冪的意義以及特殊角銳角三角函數(shù)值和絕對值分別化簡即可求出答案；
（2）根據(jù)平方差公式以及單項式乘以多項式的法則即可求出答案．
【小問1詳解】
解：原式=﹣4+1﹣2×+﹣1
=﹣4；
小問2詳解】
解：原式=
=
=3a﹣2．
【點睛】本題考查實數(shù)的運算以及整式的混合運算，正確地化簡各式是解題的關(guān)鍵．
22. 已知：如圖，D是△ABC的邊AB上一點，CN∥AB，DN交AC于點M，MA=MC．
①求證：CD=AN；
②若∠AMD=2∠MCD，求證：四邊形ADCN是矩形．
【答案】詳見解析
【解析】
【分析】
【詳解】證明：（1）∵CN∥AB，
∴∠DAC=∠NCA，
在△AMD和△CMN中，
∵，
∴△AMD≌△CMN（ASA），
∴AD=CN，
又∵AD∥CN，
∴四邊形ADCN是平行四邊形，
∴CD=AN；
（2）∵∠AMD=2∠MCD，
∠AMD=∠MCD+∠MDC，
∴∠MCD=∠MDC，
∴MD=MC，
由（1）知四邊形ADCN是平行四邊形，
∴MD=MN=MA=MC，
∴AC=DN，
∴四邊形ADCN是矩形．
【點睛】解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握判定兩個三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
23. 為了解決楊樹花絮污染環(huán)境的難題，某公司引進優(yōu)秀專利品種，建立新樹種實驗基地，研究組在甲、乙兩個實驗基地同時播下新樹種，同時隨機各抽取20株樹苗，記錄下每株樹苗的長度（單位：cm），進行整理、描述和分析（用表示樹苗長度，數(shù)據(jù)分成5組：A．；B．；C．；D．：E．．注：50cm及以上為優(yōu)等），下面給出了部分信息：
【數(shù)據(jù)收集】甲實驗基地抽取的20株樹苗的長度：
28，55，46，57，52，42，51，38，54，61，55，60，32，55，29，51，34，40，45，55．
乙實驗基地抽取的20株樹苗中，A，B，E三個等級的數(shù)據(jù)個數(shù)相同，C組的所有數(shù)據(jù)是：42，43，46，49，49．
【數(shù)據(jù)整理】
甲實驗基地抽取的樹苗長度統(tǒng)計表
【數(shù)據(jù)分析】
乙實驗基地抽取的樹苗長度扇形統(tǒng)計圖
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）填空：，，，；
（2）根據(jù)上述數(shù)據(jù)分析，你認為甲、乙兩基地哪個基地的樹苗好？請說明理由（寫出一條理由即可）；
（3）請估計2000棵乙基地的樹苗中，優(yōu)等樹苗有多少棵．
【答案】（1）3，55，49，15
（2）甲基地的樹苗更好．理由見解析
（3）估計2000棵乙基地的樹苗為優(yōu)等的樹苗株數(shù)大約是900棵．
【解析】
【分析】（1）用總數(shù)20乘組的頻率可得的值；根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的意義求解即可得，的值；用1分別減去、兩組所占百分百，然后除以3可得的值；
（2）根據(jù)平均數(shù)中位數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)以及方差的意義解答即可；
（3）用2000棵乘樣本中乙基地的樹苗為優(yōu)等所占比例即可．
【小問1詳解】
解：甲試驗基地抽取的樹苗數(shù)為20，；
甲試驗基地樹苗的長度中55出現(xiàn)的次數(shù)最多，故；
乙試驗基地抽出的20株樹苗的長度從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)是49、49，故，
組數(shù)據(jù)的數(shù)量是5，；
故答案為：3，55，49，15；
【小問2詳解】
解：甲基地的樹苗更好．
因為兩基地的樹苗長度的平均數(shù)相同，但甲基地的樹苗長度的中位數(shù)大于乙基地；
【小問3詳解】
解：（棵），
答：估計2000棵乙基地的樹苗為優(yōu)等的樹苗株數(shù)大約是900棵．
【點睛】本題考查頻數(shù)分布表，扇形統(tǒng)計圖，中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)以及樣本估計總體，理解中位數(shù)、眾數(shù)、樣本估計總體的方法是正確求解的前提．
24. “六一”兒童節(jié)期間，某兒童用品商店設置了如下促銷活動：如果購買該店100元以上的商品，就能參加一次游戲，即在現(xiàn)場拋擲一個正方體兩次（這個正方體相對的兩個面上分別畫有相同圖案），如果兩次都出現(xiàn)相同的圖案，即可獲得價值20元的禮品一份，否則沒有獎勵．求游戲中獲得禮品的概率是多少？
【答案】游戲中獲得禮品的概率為
【解析】
【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法求概率，列表法或樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
依據(jù)題意先用列表法分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出該事件的概率．
【詳解】解：設這三種圖案分別用A、B、C表示，則列表得
獲得禮品概率為：，
答：獲得禮品概率為．
25. 如圖，△ABC中，AB=AC，點D為BC上一點，且AD=DC，過A，B，D三點作⊙O，AE是⊙O的直徑，連結(jié)DE．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若sinC=，AC=6，求⊙O的直徑．
【答案】（1）答案見解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由AB=AC，AD=DC得∠C=∠B，∠1=∠C，則∠1=∠B，根據(jù)圓周角定理得∠E=∠B，∠ADE=90°，所以∠1+∠EAD=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到AC是⊙O的切線；
（2）過點D作DF⊥AC于點F，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得CF=AC=3，在Rt△CDF中，利用正弦定義得sinC==，則設DF=4x，DC=5x，利用勾股定理得CF=3x，所以3x=3，解得x=1，于是得到DC=AD=5，然后證明△ADE∽△DFC，再利用相似比可計算AE即可．
【詳解】解：（1）∵AB=AC，AD=DC，
∴∠C=∠B，∠1=∠C，
∴∠1=∠B，
又∵∠E=∠B，
∴∠1=∠E，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ADE=90°，
∴∠E+∠EAD=90°，
∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，
∴AE⊥AC，
∴AC是⊙O的切線；
（2）過點D作DF⊥AC于點F，如圖，
∵DA=DC，
∴CF=AC=3，
在Rt△CDF中，∵sinC==，
設DF=4x，DC=5x，
∴CF==3x，
∴3x=3，解得x=1，
∴DC=5，
∴AD=5，
∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，
∴△ADE∽△DFC，
∴，即，解得AE=，
即⊙O的直徑為．
26. 【尺規(guī)作圖】在中，點D、E、F分別在邊上，請嘗試用無刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，
（1）如圖1，連接，若是的中線，請作出點F，使平分線段；
（2）如圖2，當時，請作出點D，使；
【方案設計】如圖3，在問題（2）中，如果符合條件的點D有且僅有一個，請設計畫圖方案，畫出圖形（無需尺規(guī)作圖）
【答案】（1）見解析（2）見解析；見解析
【解析】
【分析】（1）以點E為頂點，以為一邊作，交于點F，即可求解；
（2）先作的垂直平分線，交于點O，以點O為圓心，以長為半徑畫圓，交于點D，即可求解；
方案設計：通過作的平分線，作的垂線，交于點N，作點的垂直平分線，交于點K，連接，交于點O，過點O作的垂線，交于點F，以點O為圓心，以長為半徑畫圓，交于點D，即為所求．
【小問1詳解】
如圖，點F即為所求；
【小問2詳解】
如圖，即為所求；
方案設計：
作的平分線，過點B作的垂線，交于點N，作的垂直平分線，交于點K，連接，交于點O，過點O作的垂線，交于點F，以點O為圓心，以長為半徑畫圓，交于點D，即為所求．
【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，涉及作一個角等于已知角，作角平分線，作垂線，圓周角定理，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
27. 我們定義：若一個三角形最大邊上的點將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等于這個點到最大邊所對頂點連線的平方，則稱這個點為這個三角形的“比例中點”．例如：如圖1，已知鈍角中，是鈍角，點是上的一點，連接，若，則稱點是的“比例中點”．
（1）如圖2，已知點的坐標為，點在軸上，，若點是的“比例中點”，則點的坐標為______；
（2）如圖3，已知中，，，，若點是的“比例中點”，求；
（3）如圖4，已知是等邊三角形，因為等邊三角形的三邊相等，所以其中任意一條邊都可以看成最大邊，試判斷等邊三角形有沒有“比例中點”？說明理由．
【答案】（1）、
（2）8或18 （3）不存在，見解析
【解析】
【分析】（1）過點作于點，連接，設,則，，，勾股定理得出，根據(jù)建立方程，解方程即可求解；
（2）設，則，過點作于點，勾股定理得出，根據(jù)新定義建立方程，解方程即可求解；
（3）同（2）的方法進行計算，得出方程無解即可求解．
【小問1詳解】
解：如圖所示，
過點作于點，連接，
∵已知點坐標為，點在軸上，，
∴，
設,則，
∴，
在中，
∵點是的“比例中點”，
∴，
∴
解得：或
∴或
當時，,，即；
當時，,，即，
【小問2詳解】
解：∵點是的“比例中點”，
∴
設，則，
如圖所示，過點作于點，
∵中，，，，
∴，，
設，則，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴，
解得：或，
∴或；
【小問3詳解】
設點是的“比例中點”設等邊三角形的邊長為
∴
設，則，
如圖所示，過點作于點，
∵中，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴此方程無解，
∴等邊三角形有沒有“比例中點”．
【點睛】本題考查了幾何新定義，坐標與圖形，已知正切求邊長，勾股定理，一元二次方程的應用，根據(jù)題意，建立方程解方程是解題的關(guān)鍵．
28. 如圖，二次函數(shù)與軸交于 (0，0)， (4，0)兩點，頂點為，連接、，若點是線段上一動點，連接，將沿折疊后，點落在點的位置，線段與軸交于點，且點與、點不重合．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）①求證：；
②求；
（3）當時，求直線與二次函數(shù)的交點橫坐標．
【答案】（1）
（2）①證明見解析，②
（3）或．
【解析】
【分析】（1）二次函數(shù)與軸交于 (0，0)，A(4，0)兩點，代入求得b，c的值，即可得到二次函數(shù)的表達式；
（2）①由＝，得到頂點C的坐標是（2，﹣2），拋物線和對稱軸為直線x＝2，由拋物線的對稱性可知OC＝AC，得到∠CAB＝∠COD，由折疊的性質(zhì)得到△ABC≌△BC，得∠CAB＝∠，AB＝B，進一步得到∠COD＝∠，由對頂角相等得∠ODC＝∠BD，證得結(jié)論；
②由，得到，設點D的坐標為（d，0），DC＝，在0＜d＜4的范圍內(nèi)，當d＝2時，DC有最小值為，得到的最小值，進一步得到的最小值；
（3）由和得到，求得B＝AB＝1，進一步得到點B的坐標是（3，0），設直線BC的解析式為y＝x＋，把點B（3，0），C（2，﹣2）代入求出直線BC的解析式為y＝2x－6，設點的坐標是（p，q），則線段A的中點為（，），由折疊的性質(zhì)知點（，）在直線BC上，求得q＝2p－4，由兩點間距離公式得B＝，解得p＝2或p＝，求得點的坐標，設直線的解析式為y＝x＋，由待定系數(shù)法求得直線的解析式為y＝x＋4，聯(lián)立直線和拋物線，解方程組即可得到答案．
【小問1詳解】
解：∵二次函數(shù)與軸交于 (0，0)， (4，0)兩點，
∴代入 (0，0)， (4，0)得，，
解得：，
∴二次函數(shù)的表達式為；
【小問2詳解】
①證明：∵ ＝，
∴頂點C的坐標是（2，﹣2），拋物線的對稱軸為直線x＝2，
∵二次函數(shù)與軸交于(0，0)，(4，0)兩點，
∴由拋物線的對稱性可知OC＝AC，
∴∠CAB＝∠COD，
∵沿折疊后，點落在點的位置，線段與軸交于點，
∴ △ABC≌△BC，
∴∠CAB＝∠，AB＝B，
∴∠COD＝∠，
∵∠ODC＝∠BD，
∴；
②∵，
∴，
設點D的坐標為（d，0），
DC＝，
∵點與、點不重合，
∴0＜d＜4，
對于＝來說，
∵ a＝1＞0，
∴拋物線開口向上，在頂點處取最小值，當d＝2時，的最小值是4，
∴當d＝2時，DC有最小值為，
OC＝，
∴有最小值為，
∴的最小值為；
【小問3詳解】
解：∵，
∴，
∵，
∴ ，
∵OC＝2，
∴B＝AB＝1，
∴點B的坐標是（3，0），
設直線BC的解析式為y＝x＋，
把點B（3，0），C（2，﹣2）代入得，
解得，
∴直線BC的解析式為y＝2x－6，
設點的坐標是（p，q），
∴線段A的中點為（，），
由折疊的性質(zhì)知點（，）在直線BC上，
∴＝2×－6，
解得q＝2p－4，
B＝，
整理得＝1，
解得p＝2或p＝，
當p＝2時，q＝2p－4＝0，此時點（2，0），很顯然不符合題意，
當p＝時，q＝2p－4＝，此時點（，），符合題意，
設直線的解析式為y＝x＋，
把點B（3，0），（，）代入得，，
解得，
∴直線的解析式為y＝x＋4，
聯(lián)立直線和拋物線得到，，
解得，，
∴直線與二次函數(shù)的交點橫坐標為或．
【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)求函數(shù)的表達式、兩點間距離公式、相似三角形的判定和性質(zhì)、中點坐標公式、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、圖形的折疊等知識，難度較大，屬于中考壓軸題，數(shù)形結(jié)合是解決此問題的關(guān)鍵．頻數(shù)
頻率
A
2
0.1
B
0.15
C
4
0.2
D
9
0.45
E
2
0.1
基地
平均數(shù)
眾數(shù)
中位數(shù)
E組所占百分比
甲
47
51
乙
47
56
第一次
第二次
A
B
C
A
B
C

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