1．（2分）肥皂屬于堿性，堿性會破壞細(xì)菌的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，對去除細(xì)菌有很強(qiáng)的效果，用肥皂洗手對預(yù)防傳染疾病起到很重要的作用．肥皂泡的泡壁厚度大約是0.0000007m，將數(shù)字0.0000007用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（ ）
A．7×10﹣6B．0.7×10﹣6C．7×10﹣7D．0.7×10﹣7
2．（2分）不等式x≤2的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）若是關(guān)于x，y的二元一次方程x+my＝5的解，則m的值為（ ）
A．2B．3C．5D．7
4．（2分）下列運算式中，正確的是（ ）
A．a(chǎn)2?a3＝a6B．（a3）3＝a9
C．（2a2）2＝2a4D．a(chǎn)6÷a3＝a2
5．（2分）若a＜b，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．a(chǎn)+4＜b+4B．a(chǎn)﹣3＜b﹣3C．﹣2a＞﹣2bD．
6．（2分）長方形的面積是12a2﹣6ab．若一邊長是3a，則另一邊長是（ ）
A．4a+2bB．4a﹣2bC．2a﹣4bD．2a+4b
7．（2分）我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何”，你能用二元一次方程組表示題中的數(shù)量關(guān)系嗎？設(shè)籠中雞有x只，兔有y只，則下面方程組正確的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2分）在“互聯(lián)網(wǎng)+”時代，利用二維碼可以進(jìn)行身份識別．某校建立了一個身份識別系統(tǒng)，如圖是某個學(xué)生的識別圖案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，將第一行數(shù)字從左到右依次記為a，b，c，d，那么可以轉(zhuǎn)換為該生所在班級序號，其序號為a×23+b×22+c×21+d×20．如圖中第一行數(shù)字從左到右依次為1，0，0，1，序號為1×23+0×22+0×21+1×20＝9（其中20＝1），表示該生為9班學(xué)生，下面表示5班學(xué)生的識別圖案是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題（共16分，每題2分）
9．（2分）計算：
（1）3﹣2＝ ；
（2）（﹣6）0＝ ．
10．（2分）x的3倍與5的差小于6，用不等式表示為 ．
11．（2分）寫出一個解是 的二元一次方程組： ．
12．（2分）若（x﹣4）2＝x2+kx+16，則k的值是 ．
13．（2分）已知xm＝2，xn＝3，則xm+n＝ ．
14．（2分）若|x﹣2|+（2x﹣3y+5）2＝0，則x+y＝ ．
15．（2分）不等式組的解集是x＞2，則m的取值范圍是 ．
16．（2分）A，B，C三種原料每袋的重量（單位：kg）依次是1，2，3，每袋的價格（單位：萬元）依次是3，2，5．現(xiàn)生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要A，B，C這三種原料的袋數(shù)依次為x1，x2，x3（x1，x2，x3均為正整數(shù)），則生產(chǎn)這種產(chǎn)品時需要的這三類原料的總重量W（單位：kg）＝ （用含x1，x2，x3的代數(shù)式表示）；為了提升產(chǎn)品的品質(zhì)，要求W≥13，當(dāng)x1，x2，x3的值依次是 時，這種產(chǎn)品的成本最低．
三、解答題（本題共12道小題，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27、28題，每小題5分，共68分）
17．（5分）計算：2x2+（3y2﹣xy）﹣（x2﹣3xy）．
18．（5分）a3?a4?a+（a2）4+（﹣2a4）2．
19．（5分）計算：（x+3）（x﹣2）+x（x+1）
20．（5分）解不等式：2（x﹣4）＞2﹣3x，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．
21．（5分）解方程組：．
22．（5分）解方程組：．
23．（6分）解不等式組，并寫出它的所有整數(shù)解．
24．（6分）已知a2﹣2a﹣1＝0，求代數(shù)式（2a+1）（2a﹣1）+（a﹣5）2的值．
25．（6分）在整式乘法的學(xué)習(xí)過程中，我們常常利用圖形的面積對運算結(jié)果加以說明．例如由圖①中圖形的面積可以得到等式：m（a+b+c）＝ma+mb+mc．
（1）利用圖②中圖形的面積關(guān)系，寫出一個正確的等式： ；
（2）計算（2a+b）（a+b）的值，并畫出幾何圖形進(jìn)行說明．
26．（6分）關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足x+y＞2．求m的取值范圍．
27．（7分）為鼓勵同學(xué)們參加主題為“閱讀潤澤心靈，文字見證成長”的讀書月活動，學(xué)校計劃購進(jìn)一批科技類和文學(xué)類圖書作為活動獎品．已知同類圖書中每本書價格相同，購買2本科技類圖書和3本文學(xué)類圖書需131元，購買4本科技類圖書和5本文學(xué)類圖書需237元．
（1）科技類圖書和文學(xué)類圖書每本各多少元？
（2）經(jīng)過評選有300名同學(xué)在活動中獲獎，學(xué)校對每位獲獎同學(xué)獎勵一本科技類或文學(xué)類圖書．如果學(xué)校用于購買獎品的資金不超過8000元，那么科技類圖書最多能買多少本？
28．（7分）對于二元一次方程x﹣2y＝2的任意一個解給出如下定義：若|m|≥|n|，則稱|m|為方程x﹣2y＝2的“關(guān)聯(lián)值”；若|m|＜|n|，則稱|n|為方程x﹣2y＝2的“關(guān)聯(lián)值”．
（1）寫出方程x﹣2y＝2的一個解，并指明此時方程的“關(guān)聯(lián)值”；
（2）若“關(guān)聯(lián)值”為4，寫出所有滿足條件的方程的解；
（3）直接寫出方程x﹣2y＝2的最小“關(guān)聯(lián)值”為 ；當(dāng)關(guān)聯(lián)值為|m|時，直接寫出x的取值范圍是 ．
參考答案與試題解析
一、選擇題（共8道小題，每小題2分，共16分）
1．（2分）肥皂屬于堿性，堿性會破壞細(xì)菌的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，對去除細(xì)菌有很強(qiáng)的效果，用肥皂洗手對預(yù)防傳染疾病起到很重要的作用．肥皂泡的泡壁厚度大約是0.0000007m，將數(shù)字0.0000007用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（ ）
A．7×10﹣6B．0.7×10﹣6C．7×10﹣7D．0.7×10﹣7
【解答】解：0.0000007＝7×10﹣7．
故選：C．
2．（2分）不等式x≤2的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：不等式x≤2的解集在數(shù)軸上表示時，數(shù)軸上表示2的點用實心點，然后選擇數(shù)軸上表示2是點的左邊的區(qū)域，如下圖所示：
，
故選：B．
3．（2分）若是關(guān)于x，y的二元一次方程x+my＝5的解，則m的值為（ ）
A．2B．3C．5D．7
【解答】解：將代入原方程得：2+m＝5，
解得：m＝3，
∴m的值為3．
故選：B．
4．（2分）下列運算式中，正確的是（ ）
A．a(chǎn)2?a3＝a6B．（a3）3＝a9
C．（2a2）2＝2a4D．a(chǎn)6÷a3＝a2
【解答】解：（A）原式＝a5，故A錯誤，
（C）原式＝4a4，故B錯誤，
（D）原式＝a3，故D錯誤，
故選：B．
5．（2分）若a＜b，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．a(chǎn)+4＜b+4B．a(chǎn)﹣3＜b﹣3C．﹣2a＞﹣2bD．
【解答】解：A、∵a＜b，
∴a+4＜b+4，故本選項不符合題意；
B、∵a＜b，
∴a﹣3＜b﹣3，故本選項不符合題意；
C、∵a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，故本選項不符合題意；
D、∵a＜b，
∴a＜b，故本選項符合題意；
故選：D．
6．（2分）長方形的面積是12a2﹣6ab．若一邊長是3a，則另一邊長是（ ）
A．4a+2bB．4a﹣2bC．2a﹣4bD．2a+4b
【解答】解：∵長方形的面積是12a2﹣6ab，一邊長是3a，
∴它的另一邊長是：（12a2﹣6ab）÷3a＝12a2÷3a﹣6ab÷3a＝4a﹣2b．
故選：B．
7．（2分）我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何”，你能用二元一次方程組表示題中的數(shù)量關(guān)系嗎？設(shè)籠中雞有x只，兔有y只，則下面方程組正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根據(jù)題意，可列方程組為．
故選：C．
8．（2分）在“互聯(lián)網(wǎng)+”時代，利用二維碼可以進(jìn)行身份識別．某校建立了一個身份識別系統(tǒng)，如圖是某個學(xué)生的識別圖案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，將第一行數(shù)字從左到右依次記為a，b，c，d，那么可以轉(zhuǎn)換為該生所在班級序號，其序號為a×23+b×22+c×21+d×20．如圖中第一行數(shù)字從左到右依次為1，0，0，1，序號為1×23+0×22+0×21+1×20＝9（其中20＝1），表示該生為9班學(xué)生，下面表示5班學(xué)生的識別圖案是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．∵a＝0，b＝0，c＝1，d＝1．
∴0×23+0×22+1×21+1×20＝3，
∴該生為3班學(xué)生，
B．∵a＝0，b＝1，c＝0，d＝1．
0×23+1×22+0×21+1×20＝5，
∴該生為5班學(xué)生，
C．∵a＝0，b＝1，c＝1，d＝0．
0×23+1×22+1×21+0×20＝6，
∴該生為6班學(xué)生，
D．∵a＝0，b＝1，c＝1，d＝1．
0×23+1×22+1×21+1×20＝7，
∴該生為7班學(xué)生，
則表示5班學(xué)生的識別圖案是B，
故選：B．
二、填空題（共16分，每題2分）
9．（2分）計算：
（1）3﹣2＝ ；
（2）（﹣6）0＝ 1 ．
【解答】解：（1）3﹣2＝；
（2）（﹣6）0＝1．
故答案為：（1）；（2）1．
10．（2分）x的3倍與5的差小于6，用不等式表示為 3x﹣5＜6 ．
【解答】解：根據(jù)題意可得：3x﹣5＜6．
故答案為：3x﹣5＜6．
11．（2分）寫出一個解是 的二元一次方程組： ．
【解答】解：根據(jù)題意得：．
故答案為：
12．（2分）若（x﹣4）2＝x2+kx+16，則k的值是 ﹣8 ．
【解答】解：∵（x﹣4）2＝x2+kx+16，（x﹣4）2＝x2﹣8x+16，
∴k＝﹣8．
故答案為：﹣8．
13．（2分）已知xm＝2，xn＝3，則xm+n＝ 6 ．
【解答】解：∵xm＝2，xn＝3，
∴xm+n＝xm?xn＝2×3＝6．
故答案為：6．
14．（2分）若|x﹣2|+（2x﹣3y+5）2＝0，則x+y＝ 5 ．
【解答】解：由題可知，
，
解得，
則x+y＝2+3＝5．
故答案為：5．
15．（2分）不等式組的解集是x＞2，則m的取值范圍是 m≤1 ．
【解答】解：，
由①得：x＞2，
由②得：x＞m+1，
∵不等式組的解集是 x＞2，
∴2≥m+1，
∴m≤1，
故答案為：m≤1．
16．（2分）A，B，C三種原料每袋的重量（單位：kg）依次是1，2，3，每袋的價格（單位：萬元）依次是3，2，5．現(xiàn)生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要A，B，C這三種原料的袋數(shù)依次為x1，x2，x3（x1，x2，x3均為正整數(shù)），則生產(chǎn)這種產(chǎn)品時需要的這三類原料的總重量W（單位：kg）＝ x1+2x2+3x3 （用含x1，x2，x3的代數(shù)式表示）；為了提升產(chǎn)品的品質(zhì)，要求W≥13，當(dāng)x1，x2，x3的值依次是 1，5，1 時，這種產(chǎn)品的成本最低．
【解答】解：∵總重＝各類型數(shù)量×單位重量之和，
∴W＝x1+2x2+3x3，
當(dāng)W≥13時，由題得：當(dāng)產(chǎn)品成本最低時，產(chǎn)品原料總重也應(yīng)最低，
∴W＝13，即x1+2x2+3x3＝13，
∵x1，x2，x3均為正整數(shù)，
由配湊試根得：x1＝1，x2＝5，x3＝1．
故答案為：x1+2x2+3x3；1，5，1．
三、解答題（本題共12道小題，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27、28題，每小題5分，共68分）
17．（5分）計算：2x2+（3y2﹣xy）﹣（x2﹣3xy）．
【解答】解：原式＝2x2+3y2﹣xy﹣x2+3xy＝x2+3y2+2xy．
18．（5分）a3?a4?a+（a2）4+（﹣2a4）2．
【解答】解：原式＝a3+4+1+a2×4+4a8，
＝a8+a8+4a8，
＝6a8．
19．（5分）計算：（x+3）（x﹣2）+x（x+1）
【解答】解：（x+3）（x﹣2）+x（x+1）
＝x2+x﹣6+x2+x
＝2x2+2x﹣6．
20．（5分）解不等式：2（x﹣4）＞2﹣3x，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．
【解答】解：去括號得，2x﹣8＞2﹣3x
移項，合并同類項得，5x＞10
系數(shù)化為1得，x＞2；
數(shù)軸表示如下：
．
21．（5分）解方程組：．
【解答】解：，
①代入②得，3x+2×2x＝7，
解得x＝1，
把x＝1代入①得，y＝2，
所以方程組的解為．
22．（5分）解方程組：．
【解答】解：，
①×2+②×3，可得17x＝17，
解得x＝1，
把x＝1代入①，可得：4×1+3y＝1，
解得y＝﹣1，
∴原方程組的解是．
23．（6分）解不等式組，并寫出它的所有整數(shù)解．
【解答】解：，
由①得，2x≤6，
x≤3，
由②得，2x+8＞3﹣3x，
5x＞﹣5，
x＞﹣1，
∴﹣1＜x≤3，
∴不等式組的整數(shù)解為0，1，2，3．
24．（6分）已知a2﹣2a﹣1＝0，求代數(shù)式（2a+1）（2a﹣1）+（a﹣5）2的值．
【解答】解：原式＝4a2﹣1+a2﹣10a+25
＝5a2﹣10a+24，
當(dāng)a2﹣2a﹣1＝0時，
a2﹣2a＝1，
原式＝5（a2﹣2a）+24
＝5×1+24
＝5+24
＝29．
25．（6分）在整式乘法的學(xué)習(xí)過程中，我們常常利用圖形的面積對運算結(jié)果加以說明．例如由圖①中圖形的面積可以得到等式：m（a+b+c）＝ma+mb+mc．
（1）利用圖②中圖形的面積關(guān)系，寫出一個正確的等式： （a+b）2＝a2+2ab+b2 ；
（2）計算（2a+b）（a+b）的值，并畫出幾何圖形進(jìn)行說明．
【解答】解：（1）整個正方形的面積為（a+b）2，四塊面積和為a2+2ab+b2，因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（2）（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，圖形如圖所示：
26．（6分）關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足x+y＞2．求m的取值范圍．
【解答】解：兩個方程相加可得3x+3y＝﹣2m+2，
∵x+y＞2，
∴3x+3y＞6，
則﹣2m+2＞6，
解得m＜﹣2．
27．（7分）為鼓勵同學(xué)們參加主題為“閱讀潤澤心靈，文字見證成長”的讀書月活動，學(xué)校計劃購進(jìn)一批科技類和文學(xué)類圖書作為活動獎品．已知同類圖書中每本書價格相同，購買2本科技類圖書和3本文學(xué)類圖書需131元，購買4本科技類圖書和5本文學(xué)類圖書需237元．
（1）科技類圖書和文學(xué)類圖書每本各多少元？
（2）經(jīng)過評選有300名同學(xué)在活動中獲獎，學(xué)校對每位獲獎同學(xué)獎勵一本科技類或文學(xué)類圖書．如果學(xué)校用于購買獎品的資金不超過8000元，那么科技類圖書最多能買多少本？
【解答】解：（1）設(shè)科技類圖書每本x元，文學(xué)類圖書每本y元，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：科技類圖書每本28元，文學(xué)類圖書每本25元；
（2）設(shè)購買科技類圖書m本，則購買文學(xué)類圖書（300﹣m）本，
根據(jù)題意得：28m+25（300﹣m）≤8000，
解得：m≤，
又∵m為正整數(shù)，
∴m的最大值為166．
答：科技類圖書最多能買166本．
28．（7分）對于二元一次方程x﹣2y＝2的任意一個解給出如下定義：若|m|≥|n|，則稱|m|為方程x﹣2y＝2的“關(guān)聯(lián)值”；若|m|＜|n|，則稱|n|為方程x﹣2y＝2的“關(guān)聯(lián)值”．
（1）寫出方程x﹣2y＝2的一個解，并指明此時方程的“關(guān)聯(lián)值”；
（2）若“關(guān)聯(lián)值”為4，寫出所有滿足條件的方程的解；
（3）直接寫出方程x﹣2y＝2的最小“關(guān)聯(lián)值”為 ；當(dāng)關(guān)聯(lián)值為|m|時，直接寫出x的取值范圍是 x≥或x≤﹣2． ．
【解答】解：（1）當(dāng)x＝0時，即0﹣2y＝2，
解得y＝﹣1，
∵|0|＜|﹣1|，
∴此時方程的“關(guān)聯(lián)值”為1，方程的解為（答案不唯一）；
（2）∵“關(guān)聯(lián)值”為4，
∴①當(dāng)x＝4時，即4﹣2y＝2，解得y＝1，
∴方程的解為；
②當(dāng)x＝﹣4時，即﹣4﹣2y＝2，解得y＝﹣3，
∴方程的解為；
③當(dāng)y＝﹣4時，即x﹣2×（﹣4）＝2，解得x＝﹣6，
∵|﹣6|＞|﹣4|，
∴不符合題意，應(yīng)舍去；
④當(dāng)y＝4時，即x﹣2×4＝2，解得x＝10，
∵|10|＞|﹣4|，
∴不符合題意，應(yīng)舍去；
綜上所述，所有滿足條件的方程的解有，；
（3）∵x﹣2y＝2，
∴，
∵當(dāng)x＝0時，y＝﹣1，
當(dāng)|x|增大時，|y|先減小到0，然后再增大，
∴當(dāng)|x|＝|y|時，方程x﹣2y＝2取得最小“關(guān)聯(lián)值”，
∴聯(lián)立，解得，
∴方程x﹣2y＝2的最小“關(guān)聯(lián)值”為；
當(dāng)關(guān)聯(lián)值為|m|時，即|m|≥|n|，
∴|x|≥|y|，
∴；
∴①當(dāng)x≥0，時，即x≥0，x≥2時，
∴，解得x≥﹣2，
∴x≥2；
②當(dāng)x≥0，時，即x≥0，x≤2時，
∴，解得，
∴；
③當(dāng)x≤0，時，即x≤0，x≤2時，
∴，解得x≤﹣2，
∴x≤﹣2；
④當(dāng)x≤0，時，即x≤0，x≥2時，
∴，解得，
∴x≤0；
綜上所述，當(dāng)或x≤﹣2時，關(guān)聯(lián)值為|m|．
故答案為：；x≥或x≤﹣2．

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北京市昌平區(qū)一中教育集團(tuán)2021-2022學(xué)年七年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

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