北京市陳經(jīng)綸中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期階段性診斷（3月）數(shù)學(xué)試卷（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

(考試時(shí)間60分鐘滿分100分)
一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1．已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（）
A．B．C．1D．-1
2．已知向量，.若，則向量（）
A．B．C．D．
3．在中，若，則（）
A．1B．C．2D．
4．如圖，在平行四邊形ABCD中，已知，，，，則的值是（）
A．8B．12C．22D．24
5．在中，若，則的形狀一定是（）
A．等邊三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
6．已知向量，是兩個(gè)單位向量，則“與的夾角為銳角”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
7．已知，是兩個(gè)夾角為的單位向量，則的最小值為（）
A．B．C．D．
8．在中，，當(dāng)時(shí)，的最小值為.若，，其中，則的最大值為（）
A．B．C．D．
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.
9．已知復(fù)數(shù)滿足，則 .
10．已知向量，，在坐標(biāo)紙中的位置如圖所示，若每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，則； .
11．已知兩燈塔A和B與海洋觀測(cè)站C的距離都為，燈塔A在觀測(cè)站C的北偏東方向上，燈塔B在觀測(cè)站C的南偏東方向上，則燈塔A與燈塔B的距離為．
12．在中，，，，則．
13．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a＝4，b＝，,則該三角形的面積等于．
14．《數(shù)書九章》是中國南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書十八卷共八十一個(gè)問題，分為九類，每類九個(gè)問題，《數(shù)書九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊a，b，c求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價(jià)，其求法是:“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)，一為從隅，開平方得積."若把以上這段文字寫成公式，即.現(xiàn)有滿足，且的面積.給出下列四個(gè)結(jié)論:①周長(zhǎng)為；②三個(gè)內(nèi)角A，C，B滿足關(guān)系；③外接圓半徑為；④中線CD的長(zhǎng)為，其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是 .
三、解答題共2小題，共30分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
15．如圖，在平面四邊形中，，，，，.
（1）求的值；
（2）求，的值.
16．已知銳角，同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：
①②③④
（1）請(qǐng)指出這三個(gè)條件，并說明理由；
（2）求的面積.
1．D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，可得復(fù)數(shù)的虛部.
【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的虛部為：.
故選：D
2．B
【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算直接求解可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>故選：B
3．A
【分析】由題意可得，再由正弦定理即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>由正弦定理可得.
故選:A
4．C
【分析】以為基底，表示出向量，，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算可得結(jié)果.
【詳解】易知：，，且，.
由.
故選：C
5．B
【分析】先利用數(shù)量積運(yùn)算化簡(jiǎn)得到，再利用余弦定理化簡(jiǎn)得解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>所以，所以，
所以，所以三角形是直角三角形.
故選：B
6．A
【分析】根據(jù)向量的夾角得出差向量的模長(zhǎng)判斷充分條件,舉反例判斷是不是必要條件即得
【詳解】由向量，是兩個(gè)單位向量，且與的夾角為銳角，可設(shè).
則，
因?yàn)椋?，所以?br>故“與的夾角為銳角”是“”的充分條件；
若，則，但此時(shí)，不是銳角，
所以“與的夾角為銳角”是“”的不必要條件.
總之，“與的夾角為銳角”是“”的充分不必要條件.
故選：A
7．D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的數(shù)量積運(yùn)算求向量的模.
【詳解】因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）.
故選：D
8．C
【分析】由的最小值為可得的形狀為等腰直角三角形，建立平面直角坐標(biāo)系將向量坐標(biāo)化，利用平面向量共線定理以及的取值范圍表示出的表達(dá)式，再由二次函數(shù)單調(diào)性即可求得.
【詳解】如下圖所示：
在直線上取一點(diǎn)，使得，
所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，即；
又，所以可得是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：
又可得為的中點(diǎn)，
由以及可得在上，
可得，
所以，可得，
則，
令，由可得，
所以，，
由二次函數(shù)在上單調(diào)遞增可得，.
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用的最小值為判斷出的形狀，將向量坐標(biāo)化并表示出模長(zhǎng)表達(dá)式利用函數(shù)單調(diào)性可求得結(jié)果.
9．
【分析】利用復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.
【詳解】由.
故答案為：
10． 0 3
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，再用坐標(biāo)運(yùn)算求值.
【詳解】如圖：建立如圖坐標(biāo)系.
則，，.
則.
故答案為：；
11．
【分析】易得角，再利用余弦定理即可得解.
【詳解】如圖，由題意得，
則，
所以，
即燈塔A與燈塔B的距離為.
故答案為：.
12．
【詳解】試題分析：
考點(diǎn)：正余弦定理解三角形
13．或
【分析】利用余弦定理求出，再根據(jù)三角形面積公式可求出結(jié)果.
【詳解】由余弦定理得，即，
即，解得或，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，.
所以該三角形的面積等于或.
故答案為：或
14．①②④
【分析】結(jié)合正弦定理，求出三邊長(zhǎng)之比，在根據(jù)已知三角形的面積，可求出三邊長(zhǎng)，再用正弦定理、余弦定理，向量的模的運(yùn)算判斷各選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)椋鶕?jù)正弦定理可得：，
可設(shè)：，，.
代入得.
所以的周長(zhǎng)：，故①正確；
有余弦定理：，所以，故②正確；
由（為三角形外接圓半徑）得：，故③錯(cuò)誤；
因?yàn)榍遥?，?br>所以，故④正確.
故答案為：①②④
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：用向量的方法求三角形中線長(zhǎng)是一個(gè)常用的簡(jiǎn)單方法.
15．（1）；（2），
【解析】（1）由同角三角函數(shù)基本關(guān)系得，利用兩角和的正弦及內(nèi)角和定理展開求解即可
（2）利用正弦定理得，再利用余弦定理求解
【詳解】（1）∵，，∴
在△中，，
∴
（2）在△中，由正弦定理得，即
解得，∵，，∴，
在△中，，根據(jù)余弦定理，
解得
【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
16．（1）同時(shí)滿足①，②，③，理由見解析.（2）
【分析】（1）判斷三角形的滿足條件，推出結(jié)果即可.
（2）利用余弦定理求出，利用面積公式求解的面積.
【詳解】（1）同時(shí)滿足①，②，③.
理由如下：
若同時(shí)滿足①，④，則在銳角中，
，所以
又因?yàn)?，所?br>所以，這與是銳角三角形矛盾，
所以不能同時(shí)滿足①，④，
所以同時(shí)滿足②，③.
因?yàn)樗匀魸M足④.
則，則，這與是銳角三角形矛盾.
故不滿足④.
故滿足①，②，③.
（2）因?yàn)椋?
所以.
解得或.
當(dāng)時(shí)，
所以為鈍角，與題意不符合，所以.
所以的面積.
【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形中余弦定理的應(yīng)用及面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題目.

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