?2022-2023學(xué)年北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（5分）設(shè)全集U＝{1，2，3，4，5}，若集合M滿(mǎn)足?UM＝{1，2}．則（　?。?br /> A．2∈M B．3∈M C．4?M D．5?M
2．（5分）若實(shí)數(shù)a，b，c∈R且a＞b，則下列不等式恒成立的是（　?。?br /> A．a(chǎn)2＞b2 B．a(chǎn)c＞bc C．a(chǎn)b＞1 D．a(chǎn)﹣c＞b﹣c
3．（5分）全稱(chēng)命題“?x∈R，x2﹣x+14≥0”的否定是（　?。?br /> A．?x?R，x2﹣x+14＜0 B．?x∈R，x2﹣x+14＜0
C．?x∈R，x2﹣x+14≥0 D．?x∈R，x2﹣x+14＜0
4．（5分）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減的是（　　）
A．y＝﹣x2 B．y=x12 C．y＝x﹣1 D．y＝x3
5．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=-x，x≤0x2，x＞0．若f（a）＝4，則實(shí)數(shù)a＝（　?。?br /> A．﹣4或﹣2 B．﹣4或2 C．﹣2或4 D．﹣2或2
6．（5分）已知f（x）是定義在[0，1]上的函數(shù)，那么“函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增”是“函數(shù)f（x）在[0，1]上的最大值為f（1）”的（　?。?br /> A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
7．（5分）如圖是函數(shù)y＝f（x）的圖象，f（f（2））的值為（　?。?br />
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（5分）函數(shù)f（x）=1-x2x3的圖象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．（5分）德國(guó)著名數(shù)學(xué)家、解析數(shù)論的創(chuàng)始人狄利克雷，對(duì)函數(shù)論、三角級(jí)數(shù)論等都有重要貢獻(xiàn)．狄利克雷函數(shù)就是以其名字命名的函數(shù)，其解析式為D(x)=1，x為有理數(shù)0，x為無(wú)理數(shù)，則下列關(guān)于狄利克雷函數(shù)D（x）的判斷錯(cuò)誤的是（　　）
A．對(duì)任意有理數(shù)t，D（x+t）＝D（x）
B．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，D（D（x））＝1
C．D（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
D．存在實(shí)數(shù)x，y，D（x+y）＝D（x）+D（y）
10．（5分）已知f（x）是定義域?yàn)镽的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f[f（x）﹣x]＝4，則f（3）的值為（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分．
11．（5分）計(jì)算：64-23的值是　 ?。?br /> 12．（5分）函數(shù)f（x）=xx-1的定義域?yàn)?　 ?。?br /> 13．（5分）已知集合A＝{x|x﹣a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠?，則a的取值范圍為 　 ?。?br /> 14．（5分）若函數(shù)f（x）＝x2+ax+1在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，則f（﹣1）的取值范圍是 　 ?。?br /> 15．（5分）若x＞1，則4x+1x-1的最小值是　 ?。?br /> 16．（5分）設(shè)集合X是實(shí)數(shù)集R的子集，如果實(shí)數(shù)x0滿(mǎn)足：對(duì)任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，稱(chēng)x0為集合X的聚點(diǎn)，則在下列集合中：
①{x|x∈R，x≠0}；②{x∈Z|x≠0}；③{x|x=1n，n∈N*}；④{x|x=nn+1，n∈N*}，以0為聚點(diǎn)的集合有 　 　．
三、解答題：本大題共5個(gè)小題，共70分．
17．（12分）設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{x|2x﹣4≥x﹣2}．
（1）求?U（A∩B）；
（2）若集合C＝{x|2x+a＞0}，滿(mǎn)足B∪C＝C，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
18．（14分）已知函數(shù)f（x）＝（ax﹣2）（x+1）．
（Ⅰ）當(dāng)a＝1時(shí)，求f（x）在[0，2]上的最值；
（Ⅱ）當(dāng)a≤0時(shí)，求關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集．
19．（14分）經(jīng)觀測(cè)，某公路段在某時(shí)段內(nèi)的車(chē)流量y（千輛/小時(shí)）與汽車(chē)的平均速度v（千/小時(shí)）之間有函數(shù)關(guān)系：y=920vv2+3v+1600(v＞0)．
（1）在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車(chē)的平均速度v為多少時(shí)車(chē)流量y最大？最大車(chē)流量為多少？（精確到0.01千輛）；
（2）為保證在該時(shí)段內(nèi)車(chē)流量至少為10千輛/小時(shí)，則汽車(chē)的平均速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？
20．（15分）已知定義在[﹣1，1]上的奇函數(shù)f(x)=ax+bx2+1，且f(1)=12．
（1）求a，b的值；
（2）判斷f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，并用定義證明之；
（3）解關(guān)于實(shí)數(shù)t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
21．（15分）已知集合S＝{1，2，3，?，1000}，設(shè)A是S的至少含有兩個(gè)元素的子集，對(duì)于A中的任意兩個(gè)不同的元素x，y（x＞y），若x﹣y都不能整除x+y，則稱(chēng)集合A是S的“好子集”．
（1）分別判斷數(shù)集P＝{2，4，6，8}與Q＝{1，4，7}是否是集合S的“好子集”，并說(shuō)明理由；
（2）證明：若A是S的“好子集”，則對(duì)于A中的任意兩個(gè)不同的元素x，y（x＞y），都有x﹣y≥3；
（3）求集合S的“好子集”A所含元素個(gè)數(shù)的最大值．

2022-2023學(xué)年北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5}，又?UM＝{1，2}，
∴M＝{3，4，5}，
故選：B．
2．【解答】解：因?yàn)閍，b，c為實(shí)數(shù)，且a＞b，則a﹣c＞b﹣c，故D正確，
當(dāng)a＝﹣1，b＝﹣2時(shí)，a2＜b2，ab=12＜1，故A，C錯(cuò)誤，
當(dāng)c＝0時(shí)，ac＝bc，故B錯(cuò)誤，
故選：D．
3．【解答】解：命題為全稱(chēng)命題，則全稱(chēng)命題“?x∈R，x2﹣x+14≥0”的否定是?x∈R，x2﹣x+14＜0，
故選：B．
4．【解答】解：A．函數(shù)為偶函數(shù)，不滿(mǎn)足條件．
B．函數(shù)的定義域?yàn)閇0，+∞），為非奇非偶函數(shù)，不滿(mǎn)足條件．
C．函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，y=1x為減函數(shù)，滿(mǎn)足條件．
D．函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)為增函數(shù)，不滿(mǎn)足條件．
故選：C．
5．【解答】解：∵f（x）=-x，x≤0x2，x＞0，f（a）＝4，
∴當(dāng)a＞0時(shí)，f（a）＝a2＝4，解得a＝2或a＝﹣2（舍）；
當(dāng)a≤0時(shí)，f（a）＝﹣a＝4，解得a＝﹣4．
∴a＝﹣4或a＝2．
故選：B．
6．【解答】解：若函數(shù)函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，由單調(diào)性的定義可知，此時(shí)函數(shù)f（x）在[0，1]上的最大值為f（1），即充分性成立；
若函數(shù)f（x）在[0，1]上的最大值為f（1），則函數(shù)f（x）在[0，1]上不一定單調(diào)遞增，比如函數(shù)f(x)=(x-14)2，故必要性不成立．
綜上，“函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增”是“函數(shù)f（x）在[0，1]上的最大值為f（1）”的充分不必要條件．
故選：A．
7．【解答】解：由圖象可得，當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y＝f（x）＝2x，∴f（2）＝4．
當(dāng)3＜x≤9時(shí)，由 y﹣0=6-03-9 （x﹣9），可得 y＝f（x）＝9﹣x，故 f（ f（2））＝f（4）＝9﹣4＝5，
故選：C．
8．【解答】解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，
又f（﹣x）=1-(-x)2(-x)3=-1-x2x3=-f(x)，∴f（x）為奇函數(shù)，排除B，C；
又f（12）=1-1418=6＞0，f（1）＝0，∴排除D．
故選：A．
9．【解答】解：A：若x為有理數(shù)，則x+t為有理數(shù)，D（x）＝D（x+t）＝1，D（D（x））＝D（1）＝1，
若x為無(wú)理數(shù)，則x+t為無(wú)理數(shù)，D（x）＝D（x+t）＝0，D（D（x））＝D（0）＝1，AB正確；
若x為有理數(shù)，則﹣x為有理數(shù)，D（x）＝D（﹣x），若x為無(wú)理數(shù)，﹣x為無(wú)理數(shù)，D（x）＝D（﹣x），即D（x）為偶函數(shù)，C錯(cuò)誤；
當(dāng)x，y無(wú)無(wú)理數(shù)且x+y也為無(wú)理數(shù)時(shí)，D（x+y）＝0，D（x）+D（y）＝0+0＝0，D正確．
故選：C．
10．【解答】解：由f[f（x）﹣x]＝4，且f（x）是單調(diào)函數(shù)可知f（x）﹣x必是常數(shù)，
設(shè)f（x）﹣x＝k（k為常數(shù)），得f（x）＝x+k，且f（k）＝k+k＝4，解得k＝2，
∴f（x）＝x+2，f（3）＝5．
故選：B．
二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分．
11．【解答】解：原式=(26)-23=2﹣4=116．
故答案為116．
12．【解答】解：要使函數(shù)有意義，則x≥0x-1≠0，
得x≥0x≠1，即x≥0且x≠1，
即函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≥0且x≠1}，
故答案為：{x|x≥0且x≠1}．
13．【解答】解：∵集合A＝{x|x﹣a≤0}＝{x|x≤a}，B＝{1，2，3}，A∩B≠?，
∴a≥1，
∴a的取值范圍為[1，+∞）．
故答案為：[1，+∞）．
14．【解答】解：函數(shù)f（x）＝x2+ax+1對(duì)稱(chēng)軸為x=-a2，
∵函數(shù)f（x）＝x2+ax+1在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，圖象開(kāi)口向上，
∴-a2≤1，解得a≥﹣2，
∵f（﹣1）＝2﹣a，
∴2﹣a≤4，
故f（﹣1）的取值范圍是（﹣∞，4]．
故答案為：（﹣∞，4]．
15．【解答】解：x＞1，則4x+1x-1=4（x﹣1）+1x-1+4≥24(x-1)?1x-1+4＝8，
當(dāng)且僅當(dāng)4（x﹣1）=1x-1即x=32時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值8．
故答案為：8．
16．【解答】解：對(duì)于①，集合{x|x∈R，x≠0}，對(duì)任意的a＞0，都存在x=a2（實(shí)際上任意比a小的數(shù)都可以），
使得0＜|x﹣0|=a2＜a，
∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚點(diǎn)；
對(duì)于②，{x|x∈Z，x≠0}，對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù)a＞0，比如a＝0.5，
此時(shí)對(duì)任意的x∈{x|x∈Z，x≠0}，都有|x﹣0|≥1，
也就是說(shuō)不可能0＜|x﹣0|＜0.5，從而0不是{x|x∈Z，x≠0}的聚點(diǎn)；
對(duì)于③，{x|x=1n，n∈N*}，對(duì)任意的a＞0，都存在n＞1a，即1n＜a，
使0＜|x﹣0|=1n＜a，∴0是集合{x|x=1n，n∈N*}的聚點(diǎn)；
對(duì)于④，{x|x=nn+1，n∈N*}，nn+1=1-1n+1，
∴nn+1隨著n增大而增大，
∴nn+1的最小值為11+1=12，故當(dāng)a＜12時(shí)，即不存在x，使得0＜|x﹣0|＜a，
∴0為聚點(diǎn)的集合有①③．
故答案為：①③．
三、解答題：本大題共5個(gè)小題，共70分．
17．【解答】解：（1）由集合B中的不等式2x﹣4≥x﹣2，解得x≥2，
∴B＝{x|x≥2}，又A＝{x|﹣1≤x＜3}，
∴A∩B＝{x|2≤x＜3}，又全集U＝R，
∴?U（A∩B）＝{x|x＜2或x≥3}；
（2）由集合C中的不等式2x+a＞0，解得x＞-12a，
∴C＝{x|x＞-12a}，
∵B∪C＝C，
∴B?C，
∴-12a＜2，解得a＞﹣4；
故a的取值范圍為（﹣4，+∞）．
18．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)=(x-2)(x+1)=x2-x-2=(x-12)2-94，x∈[0，2]．
在區(qū)間[0，12]上，f（x）單調(diào)遞減；在(12，2]上，f（x）單調(diào)遞增．
所以，當(dāng)x=12時(shí)，f(x)min=f(12)=-94；
又f（0）＝﹣2，f（2）＝0＞﹣2，
所以當(dāng)x＝2時(shí)，f（x）max＝0；
（Ⅱ）f（x）＞0，即（ax﹣2）（x+1）＞0，
當(dāng)a＝0時(shí)，得﹣2（x+1）＞0，x＜﹣1，解集為（﹣∞，﹣1）；
當(dāng)a≠0時(shí)，由（ax﹣2）（x+1）＝0，得x1=2a，x2＝﹣1，
①a＜﹣2時(shí)，2a＞-1，解集為(-1，2a)，
②﹣2＜a＜0時(shí)，2a＜-1，解集為(2a，-1)，
③a＝﹣2時(shí)，2a=-1，解集為?．
19．【解答】解：（1）函數(shù)可化為y=920v+1600v+3≤92080+3=92083
當(dāng)且僅當(dāng)v＝40時(shí)，取“＝”，即ymax=92083≈11.08千輛，等式成立；
（2）要使該時(shí)段內(nèi)車(chē)流量至少為10千輛/小時(shí)，即使920vv2+3v+1600≥10，
即v2﹣89v+1600≤0?v∈[25，64]
20．【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，
所以f(-x)=-ax+b(-x)2+1=-f(x)=-ax+bx2+1，
整理得﹣ax+b＝﹣ax﹣b，
解得b＝0，
又因?yàn)閒(1)=a1+1=12，
解得a＝1，
綜上所述，a＝1，b＝0；
（2）f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
證明如下：?x1＜x2∈（0，1），
則f(x1)-f(x2)=x1x12+1-x2x22+1=x1(x22+1)-x2(x12+1)(x12+1)(x22+1)=(x1-x2)+x1x2(x2-x1)(x12+1)(x22+1)=(x1-x2)(1-x1x2)(x12+1)(x22+1)，
∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，
又∵?x1，x2∈（0，1），
∴0＜x1x2＜1，即1﹣x1x2＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
（3）由f（x）是奇函數(shù)，
不等式f（t﹣1）+f（t）＜0，即f（t﹣1）＜﹣f（t）＝f（﹣t），
又f（x）在[﹣1，1]上是增函數(shù)，
則﹣1≤t﹣1＜﹣t≤1，
解得0≤t＜12．
所以t的取值范圍是[0，12)．
21．【解答】解（1）由于4﹣2＝2整除4+2＝6，所以集合P不是集合S的“好子集”；
由于4﹣1＝3不能整除4+1＝5，7﹣1＝6不能整除7+1＝8，7﹣4＝3不能整除7+4＝11，
所以集合Q是集合S的“好子集”；
（2）（反證）首先，由于A是S“好子集”，所以x﹣y≠1，
假設(shè)存在A中的任意兩個(gè)不同的元素x，y（x＞y），使得x﹣y＝2，
則x與y同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，從而x+y是偶數(shù)，
此時(shí)，x﹣y＝2能整除x+y，與A是S“好子集”矛盾，
故若A是S的“好子集”，則對(duì)于A中的任意兩個(gè)不同的元素x，y（x＞y），都有x﹣y≥3；
（3）設(shè)集合A＝{a1，a2，a3，?，an}（a1＜a2＜a3＜?＜an）是集合S的一個(gè)“好子集”，
令：ai+1﹣ai＝bi，（i＝1，2，3，…n﹣1），
由（2）知bi≥3，（i＝1，2，3，…n﹣1）
于是：an﹣a1＝b1+b2+?+bn﹣1≥3（n﹣1）．
從而：3（n﹣1）≤an﹣a1≤1000﹣1＝999
所以：n≤334．
另一方面：取A＝{1，4，7，?，997，1000}（證明是好子集），
此時(shí)集合A有334個(gè)元素，且是集合S的一個(gè)“好子集”，
故集合S的“好子集”A所含元素個(gè)數(shù)的最大值為334．
26 11:06:37

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