江西省宜春市高安市2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

本卷共有六個(gè)大題，23個(gè)小題，全卷滿分120分，考試時(shí)間120分鐘．
一、選擇題（每小題3分，共18分，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)）
1. 下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)同類二次根式的定義，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、，與不是同類二次根式，不符合題意；
B、與不是同類二次根式，不符合題意；
C、，與是同類二次根式，符合題意；
D、，與不是同類二次根式，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了同類二次根式，解題的關(guān)鍵是掌握同類二次根式的定義：將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式是同類二次根式；最簡(jiǎn)二次根式的特征：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．
2. 若，則代數(shù)式可化簡(jiǎn)為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)，先根據(jù)二次根式有意義的條件和已知條件推出，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．
【詳解】解：∵二次根式有意義，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：C．
3. 五根小木棒，其長(zhǎng)度（單位：）分別為，，，，，現(xiàn)將它們擺成兩個(gè)直角三角形，其中正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理逆定理的應(yīng)用，用勾股定理逆定理的條件去判斷圖中三角形是否為直角三角形即可，熟練掌握勾股定理的逆定理：若三角形三邊滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：、∵，，
∴它們不能擺成兩個(gè)直角三角形；
、∵，，
∴它們不能擺成兩個(gè)直角三角形；
、∵，，
∴它們能擺成兩個(gè)直角三角形；
、∵，，
∴它們不能擺成兩個(gè)直角三角形；
故選：．
4. 如圖，在四邊形中，，若添加一個(gè)條件，使四邊形為平行四邊形，則下列正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的判定以及平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
由平行四邊形的判定方法分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、由，，不能判定四邊形為平行四邊形，還有可能是等腰梯形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、∵，
∴，
不能判定四邊形為平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、由，，不能判定四邊形為平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、∵，
，
，
，
，
又∵，
四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
5. 在菱形中，對(duì)角線和相交于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，若，則度數(shù)為（）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可求出由直角三角形兩銳角互余得出從而得出，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，
∴，
∴
∴
∵，
∴
∴
∵菱形的對(duì)角線和相交于點(diǎn)，
∴
∴
∴
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的中線性質(zhì)；求出是解決問題的關(guān)鍵．
6. “趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖，是由四個(gè)全等的直角三角形拼成的“趙爽弦圖”，得到正方形與正方形，連結(jié)．若，且，則的長(zhǎng)為（）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等判定及性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)判定及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．由，可得正方形邊長(zhǎng)為，由正方形的性質(zhì)可證明，即可得，由此可證即可求解．
【詳解】解：，
，
四邊形與是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故選：A．
二、填空題（每小題3分，共18分）
7. 若式子有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是______
【答案】且
【解析】
【分析】本題考查了分式有意義的條件，二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式有意義的條件，
根據(jù)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，以及分式中分母不能為0，即可解答．
【詳解】解：式子有意義，
，
解得：且，
故答案為：且．
8. 化簡(jiǎn)計(jì)算：_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查二次根式的減法計(jì)算，解題過程中，我們一般先將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后再進(jìn)行后續(xù)計(jì)算．
先將式子里的每一項(xiàng)化為最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類項(xiàng)即可得出答案．
【詳解】解：
．
故答案為．
9. 兩個(gè)矩形的位置如圖所示，若，則的度數(shù)為________________．
【答案】##60度
【解析】
【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)．由補(bǔ)角的定義可得，由題意可得，，則有，即可得解．
【詳解】解：如圖，
由題意得：，
，，
，
．
故答案為：．
10. 如圖，在中，，，則邊上的高的長(zhǎng)為________．
【答案】
【解析】
【分析】本通主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積公式過作于點(diǎn)，由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理可解得，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算求解即可．
【詳解】解：過作于點(diǎn)，如下圖，
∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
在中，，
∴的面積為，
∴，即，
解得．
故答案為：．
11. 如圖，已知是正方形的邊中點(diǎn)，將正方形沿翻折，使點(diǎn)落在處，延長(zhǎng)交于，若正方形邊長(zhǎng)為6，則的長(zhǎng)是______________．
【答案】2
【解析】
【分析】由翻折的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、證明，設(shè)可得，，，在中，由勾股定理即可求解．
【詳解】解：是正方形的邊中點(diǎn)，正方形邊長(zhǎng)為6，
，
由折疊可得，，，
，
，
，
設(shè)，則，
，
，
在中，，
，
解得，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的證明，掌握翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12. 如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，O為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是射線BO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ACP為直角三角形時(shí)，則BP的長(zhǎng)為______．
【答案】或或
【解析】
【分析】分三種情況：①若∠ACP=90°，②若∠APC=90°，且點(diǎn)P在BO延長(zhǎng)線上，③若∠APC=90°，且點(diǎn)P在線段BO上時(shí)，分別根據(jù)圖形計(jì)算即可．
【詳解】解：在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，O為AC的中點(diǎn)，
∴AO=1，BO=，
①若∠ACP=90°時(shí)，
∵∠OCP=∠OAB=90°，CO=AO，∠COP=∠AOB，
∴△OCP≌△OAB，
∴OP=BO，
∴BP=OP+BO=2；
②若∠APC=90°，且點(diǎn)P在BO延長(zhǎng)線上時(shí)，
∵O為AC的中點(diǎn)，
∴OP=AC=1，
∴BP=OP+BO=；
③若∠APC=90°，且點(diǎn)P在線段BO上時(shí)，
∵O為AC的中點(diǎn)，
∴OP=AC=1，
∴BP= BO-OP=；
綜上，線段BP的長(zhǎng)為或或．
故答案為：或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線，分類討論是解題的關(guān)鍵．
三、（本大題共5個(gè)小題，每小題6分，共30分）
13. 計(jì)算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）本題考查了二次根式運(yùn)算的知識(shí)；根據(jù)二次根式的乘除混合運(yùn)算法則計(jì)算，即可得到答案；
（2）運(yùn)用二次根式混合運(yùn)算、完全平方公式、平方差公式的性質(zhì)計(jì)算，即可完成求解．
【小問1詳解】
【小問2詳解】
．
14. 已知實(shí)數(shù)，，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)．

【答案】
【解析】
【分析】利用數(shù)軸判斷得出：，，，，進(jìn)而化簡(jiǎn)即可．
【詳解】解：如圖所示：
∴，，
則原式
．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．
15. 如圖，在菱形中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接

（1）求證：；
（2）若，求的度數(shù)．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)的三角形全等即可證明．
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和已知條件可推出度數(shù)，再根據(jù)第一問的三角形全等和直角三角形的性質(zhì)可求出和度數(shù)，從而求出度數(shù)，證明了等邊三角形，即可求出的度數(shù)．
【小問1詳解】
證明：菱形，
，
又，
．
在和中，
，
．
．
【小問2詳解】
解：菱形，
，
，
．
又，
．
由（1）知，
．
．
，
等邊三角形．
．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握全等的方法和菱形的性質(zhì)．
16. 如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且，請(qǐng)僅用無刻度的直尺按要求作圖（保留畫圖痕跡，不寫作法）．
（1）在圖1中，作出邊BC的中點(diǎn)；
（2）在圖2中，作出邊CD中點(diǎn)．
【答案】（1）見解析（2）見解析
【解析】
【分析】（1）連接AC，BD交于O，連接EO并延長(zhǎng)交BC于F，點(diǎn)F即為所求；
（2）如圖所示，連接DF交AC于G，連接BG并延長(zhǎng)交CD于H，點(diǎn)H即為所求；
【小問1詳解】
解：如圖所示，點(diǎn)F即為所求；
連接AC，BD交于O，連接EO并延長(zhǎng)交BC于F，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OB=OC，即點(diǎn)C在BC的線段垂直平分線上，
同理可證E在線段BC垂直平分線上，
∴EO是BC的線段垂直平分線，
∴F即為BC的中點(diǎn)；
【小問2詳解】
解：如圖所示，連接DF交AC于G，連接BG并延長(zhǎng)交CD于H，點(diǎn)H即所求；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠BCG=∠DCG=45°，
又∵CG=CG，
∴△BCG≌△DCG（SAS），
∴∠BGC=∠DGC，
又∵∠BGF=∠DGH，
∴∠HGC=∠FGC，
∵CG=CG，∠CGH=∠CGF，
∴△CFG≌△CHG（ASA），
∴CH=CF，
∵F是BC的中點(diǎn)，即BC=2CF，
∴BC=CD=2CH，即點(diǎn)H為CD的中點(diǎn)；
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，熟知正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17. 小明和小亮學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)量風(fēng)箏的垂直高度，他們進(jìn)行了如下操作：
①測(cè)得水平距離的長(zhǎng)為15米：
②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線的長(zhǎng)為25米；
③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為1.6米．
（1）求風(fēng)箏的垂直高度；
（2）如果小明想風(fēng)箏沿方向下降12米，則他應(yīng)該往回收線多少米？
【答案】（1）21.6米
（2）8米
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)即可得出結(jié)果；
（2）根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)即可得出結(jié)果．
【小問1詳解】
解：由勾股定理得，（米，
（米；
【小問2詳解】
如圖，由勾股定理得，
（米，
（米，
他應(yīng)該往回收線8米．
四、（本大題共三個(gè)小題，每小題8分，共24分）
18. （1）已知，，求的值；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本題考查了求代數(shù)式的值，二次根式的混合運(yùn)算，完全平方公式變形求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．
（1）所求的式子可以化成，然后把和的值代入求解即可．
（2）所求的式子可以化成，進(jìn)而化成，然后把和的值代入求解即可．
【詳解】（1）解：∵，，
，，
，
答：的值為．
（2）解：，，
，，
．
答：的值為．
19. 如圖，在平行四邊形中，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊上，，連接．

（1）求證：四邊形是矩形；
（2）若平分，，求四邊形的面積．
【答案】（1）證明見解析
（2）20
【解析】
【分析】（1）根據(jù)有一個(gè)角是90度的平行四邊形是矩形即可判定；
（2）首先證明，求出和即可解決問題．
【小問1詳解】
證明：四邊形是平行四邊形，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∴四邊形是矩形；
【小問2詳解】
解：∵平分，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形的面積是：，
即矩形的面積是20．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
20. 如圖，在中，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)．同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是．過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．
（1）請(qǐng)你判斷四邊形的形狀，并說明理由；
（2）四邊形能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的值，如果不能，說明理由．
【答案】（1）四邊形是平行四邊形，理由見解析
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)，含度角的直角三角形的性質(zhì)，熟知菱形的性質(zhì)和平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
（1）由題意得到，求出，即可求出，再證明，即可證明四邊形為平行四邊形；
（2）當(dāng)，平行四邊形為菱形，由此建立方程求出的值，看是否滿足即可得到結(jié)論．
【小問1詳解】
解：四邊形是平行四邊形，理由如下：
，
，
由題意知，
，
．
，，
，
四邊形是平行四邊形．
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，平行四邊形是菱形，理由如下：
當(dāng)時(shí)，平行四邊形是菱形，
，
，
，
．
五、（本大題共兩個(gè)小題，每小題9分，共18分）
21. 定義：如圖，點(diǎn)M，N把線段分割成．若以為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M，N是線段的勾股分割點(diǎn)．
（1）已知點(diǎn)M，N把線段分割成，若，，，則點(diǎn)M，N 是線段的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說明理由；
（2）已知點(diǎn)M，N是線段的勾股分割點(diǎn)，且為直角邊，若，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）點(diǎn)M，N是線段的勾股分割點(diǎn)，見解析
（2）的長(zhǎng)為8或10
【解析】
【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理，即可判斷點(diǎn)M，N是線段的勾股分割點(diǎn)；
（2）設(shè)，則，分3種情況，分類討論：①當(dāng)是最長(zhǎng)邊時(shí)，，②當(dāng)是最長(zhǎng)邊時(shí)，，③當(dāng)是最長(zhǎng)邊時(shí)，這種情況不存在；分別進(jìn)行求解，即可．
【小問1詳解】
點(diǎn)M，N是線段的勾股分割點(diǎn)，理由如下：
∵，
又∵ ，
∴，
∴以為邊的三角形是直角三角形，
∴點(diǎn)M，N是線段的勾股分割點(diǎn)；
【小問2詳解】
設(shè)，
則，
①當(dāng)是斜邊時(shí)，
∵點(diǎn)M，N是線段的勾股分割點(diǎn)，
∴，
∴，
解得：；
②當(dāng)是斜邊時(shí)，
∵點(diǎn)M，N是線段的勾股分割點(diǎn)，
∴，
∴，
解得：
綜上所述，或10
【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，根據(jù)題意，分類討論，利用勾股定理列出方程，是解題的關(guān)鍵.
22. 如圖，點(diǎn)E為平行四邊形的邊上的一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，使，連接并延長(zhǎng)，使，連接，為的中點(diǎn)，連接，．
（1）若，，求的度數(shù)；
（2）求證：四邊形為平行四邊形；
（3）連接，交于點(diǎn)O，若，，直接寫出長(zhǎng)度．
【答案】（1）
（2）見解析（3）
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
（1）由平行四邊形的性質(zhì)和平行線的判定和性質(zhì)得出答案即可；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得，，，再證是的中位線，得，，證出，，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；
（3）連接，，，由三角形的中位線定理以及平行四邊形的判定和性質(zhì)解答即可．
【小問1詳解】
解：四邊形為平行四邊形，
，，
，
，
；
【小問2詳解】
證明：四邊形為平行四邊形，
，，，
，，
是的中位線，
，，
為的中點(diǎn)，
，
，，
，，
四邊形為平行四邊形；
【小問3詳解】
如圖，連接，，，
，，
，，
，
，
四邊形為平行四邊形，
，，
，
，
，
．
六、（本大題共一個(gè)小題，共12分）
23. 【問題探究】
（1）如圖1，在正方形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，在線段上任取一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），連接．
①求證：；
②將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處．當(dāng)點(diǎn)在線段上的位置發(fā)生變化時(shí)，請(qǐng)你判斷的大小是否發(fā)生變化，并請(qǐng)說明理由；
【遷移探究】
（2）如圖2，將正方形換成菱形，且，其他條件不變，請(qǐng)你探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】（1）①證明見解析；②的大小不變，；理由見解析（2）；理由見解析
【解析】
【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，即可得到結(jié)論；
②作，垂足分別偽點(diǎn)、，如圖，可得，證明四邊形是矩形，推出，證明，得出，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）先證明，作交于點(diǎn)交于點(diǎn)，如圖，則四邊形是平行四邊形，可得，都是等邊三角形，進(jìn)一步即可證得結(jié)論．
【詳解】解：（1）①證明：四邊形是正方形，
，
，
；
②解：的大小不變，；
理由如下：作于點(diǎn)，于點(diǎn)，如圖，
四邊形是正方形，
，
∴四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，，
，即；
（2）；
理由如下：四邊形是菱形，，
，
是等邊三角形，垂直平分，
，，
，
，
作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖，
則四邊形是平行四邊形，，，
，都是等邊三角形，
，
作于點(diǎn)，則，
，
．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形、菱形的性質(zhì)，矩形、平行四邊形、等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)圖形的判定和性質(zhì)、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．

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