1.(2024·浙江浙南名校聯(lián)盟聯(lián)考)雙曲線C：y2－eq \f(x2,3)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( D )
A．(±2,0) B．(±eq \r(2)，0)
C．(0，±eq \r(2)) D．(0，±2)
[解析] 由題意可知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，c2＝1＋3＝4，故焦點(diǎn)為(0，±2)，故選D.
2．(2023·福建福州一中模擬)已知雙曲線E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,4)＝1，過E的右頂點(diǎn)A且與一條漸近線平行的直線交y軸于點(diǎn)B，△OAB的面積為2，則E的焦距為( D )
A.eq \r(2) B．2eq \r(2)
C．4 D．4eq \r(2)
[解析] 由題意可得，A(a,0)，且直線AB與雙曲線的一條漸近線平行，所以kAB＝eq \f(2,a)，則可得直線AB的方程為y＝eq \f(2,a)(x－a)，令x＝0，可得y＝－2，即B(－2,0)，所以|OA|＝a，|OB|＝2，則S△OAB＝eq \f(1,2)|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)×a×2＝2，解得a＝2，所以c2＝a2＋b2＝4＋4＝8，即c＝2eq \r(2)，則E的焦距2c＝4eq \r(2).故選D.
【變式訓(xùn)練】
(2024·河南名校聯(lián)考)已知雙曲線C：x2－eq \f(y2,m)＝1的離心率為3，則C的虛軸長為 4eq \r(2) .
[解析] 由題意得eq \f(c,a)＝3，則c＝3，b＝eq \r(c2－a2)＝2eq \r(2)，故虛軸長2b＝4eq \r(2).
角度2 雙曲線的漸近線
1.(2022·北京)已知雙曲線y2＋eq \f(x2,m)＝1的漸近線方程為y＝±eq \f(\r(3),3)x，則m＝ －3 .
[解析] 對于雙曲線y2＋eq \f(x2,m)＝1，所以m0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在E上，且cs∠F1AF2＝eq \f(3,5)，|AF1|＝2|AF2|，則E的漸近線方程為( C )
A．y＝±eq \f(5,8)x B．y＝±eq \f(8,5)x
C．y＝±eq \f(2\r(10),5)x D．y＝±eq \f(\r(10),4)x
[解析] 由雙曲線的定義可得：|AF1|－|AF2|＝2|AF2|－|AF2|＝|AF2|＝2a，則|AF1|＝2|AF2|＝4a，在△AF1F2中由余弦定理得|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|·cs∠F1AF2，即4c2＝16a2＋4a2－2·4a·2a·eq \f(3,5)，即c2＝eq \f(13,5)a2?a2＋b2＝eq \f(13,5)a2?eq \f(b,a)＝eq \f(2\r(10),5)，E的漸近線方程為y＝±eq \f(2\r(10),5)x，故選C.
名師點(diǎn)撥：求雙曲線的漸近線方程的方法
求雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線的方法是令eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，即得兩漸近線方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0.或確定焦點(diǎn)位置并求出eq \f(b,a)或eq \f(a,b)的值，從而寫出漸近線方程．
注：如圖F為雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦點(diǎn)，l為漸近線；FH⊥l于H，則|FH|＝b，|OH|＝a.
提醒：兩條漸近線的傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù)．兩條漸近線關(guān)于坐標(biāo)軸對稱．
【變式訓(xùn)練】
(2024·福建泉州質(zhì)檢)已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,6)＝1的焦距為4eq \r(3)，則C的漸近線方程是( A )
A．y＝±x B．y＝±eq \r(3)x
C．y＝±eq \f(\r(3),3)x D．y＝±eq \f(\r(7),7)x
[解析] 由已知，可得b2＝6,2c＝4eq \r(3)，所以c＝2eq \r(3)，a2＝c2－b2＝12－6＝6，即C的方程為eq \f(x2,6)－eq \f(y2,6)＝1.所以C的漸近線方程是y＝±x.故選A.
角度3 雙曲線的離心率
1.(2023·河北衡水中學(xué)模擬)若雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2eq \r(3)，則C的離心率為 eq \f(2\r(3),3) .
[解析] 不妨設(shè)雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為bx＋ay＝0，因?yàn)閳A心到漸近線的距離為d＝eq \r(22－?\r(3)?2)＝1，故eq \f(|2b＋0|,\r(a2＋b2))＝1，整理得eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,3)，所以雙曲線C的離心率為e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \f(2\r(3),3).
2．(2024·湖南名校聯(lián)合體聯(lián)考)已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1的直線與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為A，在△AF1F2中，|F1A|＝|F1F2|，∠AF2F1＝30°，則雙曲線C的離心率是 eq \f(\r(3)＋1,2) .
[解析] 因?yàn)閨F1A|＝|F1F2|，所以|AF1|＝|F1F2|＝2c，由雙曲線的定義知|AF2|－|AF1|＝2a，所以|AF2|＝2a＋2c.如圖，取M為AF2的中點(diǎn)，所以|F2M|＝eq \f(1,2)|AF2|＝a＋c，又∠AF2F1＝30°，得|F1M|＝c，所以在直角ΔF1MF2中，|F1M|2＋|F2M|2＝|F1F2|2，即c2＋(a＋c)2＝(2c)2，得a2－2c2＋2ac＝0，所以1－2e2＋2e＝0，解得e＝eq \f(±\r(3)＋1,2)，因?yàn)閑>0，所以雙曲線C的離心率是eq \f(\r(3)＋1,2).
3．(2024·湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知圓C1：x2＋y2＝b2(b>0)與雙曲線C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，若在雙曲線C2上存在一點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P所作的圓C1的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，且∠APB＝eq \f(π,3)，則雙曲線C2的離心率的取值范圍是( B )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(5),2))) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，＋∞))
C．(1，eq \r(3)] D．[eq \r(3)，＋∞)
[解析] 連接OA、OB、OP，則OA⊥AP，OB⊥BP，由切線長定理可知，|PA|＝|PB|，又因?yàn)閨OA|＝|OB|，|OP|＝|OP|，所以，△AOP≌△BOP，所以，∠APO＝∠BPO＝eq \f(1,2)∠APB＝eq \f(π,6)，則|OP|＝2|OA|＝2b，設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則y2＝eq \f(b2x2,a2)－b2，且|x|≥a，所以|OP|＝2b＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(x2＋\f(b2x2,a2)－b2)＝eq \r(\f(c2x2,a2)－b2)≥eq \r(\f(c2,a2)·a2－b2)＝a，所以eq \f(b,a)≥eq \f(1,2)，故e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)≥eq \r(1＋\f(1,4))＝eq \f(\r(5),2)，故選B.
名師點(diǎn)撥：求雙曲線離心率或其范圍的方法
1．直接法：由題設(shè)條件求出a，c，從而得e.
2．等價轉(zhuǎn)化法：由e＝eq \f(c,a)或e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))等公式將已知條件轉(zhuǎn)化為e的等式，從而得e.
3．列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解．解題時要特別注意幾何特點(diǎn)，以簡化運(yùn)算或?qū)で蟛坏汝P(guān)系．
【變式訓(xùn)練】
1．(2023·廣東梅州一模)由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudi設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品．若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)下支的部分，且此雙曲線兩條漸近線方向向下的夾角為60°，則該雙曲線的離心率為( D )
A.eq \f(\r(3),3) B．eq \r(3)
C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(2\r(3),3)
[解析] 由題意知一條漸近線的傾斜角為60°.∴k＝eq \f(a,b)＝tan 60°＝eq \r(3)，∴e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \f(2\r(3),3).故選D.
2．(2024·廣西北海模擬)已知直線y＝x＋1與雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線交于A，B兩點(diǎn)，且A在第一象限．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OA|＝2|OB|，則雙曲線C的離心率為( B )
A.eq \r(5) B．eq \r(10)
C．2 D．5
[解析] 因?yàn)閨OA|＝2|OB|，所以xA＝－2xB，設(shè)B(m，m＋1)，則A(－2m，－2m＋1)，因?yàn)閗OA＋kOB＝0，所以eq \f(m＋1,m)＋eq \f(－2m＋1,－2m)＝0，解得m＝－eq \f(1,4)，所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2)))，所以eq \f(b,a)＝3，則e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(10).故選B.
3．(2024·河南頂尖名校聯(lián)盟期中)已知雙曲線C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，A為C的上頂點(diǎn)，B(0,5a)．若在C的漸近線上存在一點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則C的離心率的取值范圍為( D )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3\r(2),4))) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3\r(2),4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3\r(5),5))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3\r(5),5)))
[解析] 設(shè)AB的中點(diǎn)為D，A(0，a)，B(0,5a)，則D(0,3a)，依題意，以D(0,3a)為圓心，半徑為2a的圓與漸近線ax－by＝0有公共點(diǎn)，所以eq \f(3ab,\r(a2＋b2))＝eq \f(3ab,c)≤2a,3b≤2c,9b2≤4c2,9c2－9a2≤4c2,5c2≤9a2，eq \f(c2,a2)≤eq \f(9,5)，又e>1，所以1

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