?04一元二次方程解答題壓軸題-2022中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)沖刺（含答案）

46．先化簡，再求值：(a?2aa+1)÷a2?2a+1a2?1?a2，其中a是方程x2?x?72=0的解．
47．某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，為了擴(kuò)大銷售，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫降價1元，商場每天可多售5件．若商場平均每天要盈利1600元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？
48．等腰△ABC的直角邊AB＝BC＝10cm，點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，均以1cm/秒的相同速度作直線運動，已知P沿射線AB運動，Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D．設(shè)P點運動時間為t，△PCQ的面積為S．
（1）求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)點P運動幾秒時，S△PCQ＝S△ABC？
（3）作PE⊥AC于點E，當(dāng)點P、Q運動時，線段DE的長度是否改變？證明你的結(jié)論．

49．每年的3月8日是國際勞動婦女節(jié)，是世界各國婦女爭取和平、平等、發(fā)展的節(jié)日，沙坪壩某商店抓住這一機會，將A、B兩種巧克力進(jìn)行降價促銷活動，在這一天前來購買這兩種巧克力的顧客共有400名，每名顧客均購買了一盒巧克力，其中A、B兩種的巧克力的銷售單價分別為90元和50元．
（1）若選擇購買B種巧克力的人數(shù)不超過購買A種巧克力數(shù)的0.6倍．求至少有多少人選擇購買A種巧克力？
（2）“七夕”節(jié)是中國的情人節(jié)，該商店估計當(dāng)天購買巧克力的人會比較多，于是提高了A種巧克力的售價，結(jié)果發(fā)現(xiàn)“七夕”節(jié)當(dāng)天前來購買巧克力的顧客人數(shù)出現(xiàn)了下降，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)與（1）問中選擇A種巧克力的人數(shù)最少時相比，A種巧克力每上漲3元，購買A種巧克力的人數(shù)會下降5人，同時購買B種巧克力的人數(shù)也下降3人，但是B種巧克力的售價沒變，最終“七夕”節(jié)期間兩種巧克力的總銷售額與（1）問中選擇A種巧克力的顧客最少時的兩種巧克力的總銷售額持平，求“七夕”節(jié)當(dāng)天A種巧克力的售價．
50．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有實數(shù)根．
（1）求m的取值范圍
（2）若兩實數(shù)根分別為x1和x2，且x12+x22=11，求m的值．
51．如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED邊長，易知AE=2c，這時我們把關(guān)于x的形如ax2+2cx+b=0的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．
請解決下列問題：
（1）寫出一個“勾系一元二次方程”；
（2）求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0必有實數(shù)根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0的一個根，且四邊形ACDE的周長是62，求△ABC面積．

52．如圖，A、B、C、D為矩形的四個頂點，AB＝16cm，AD＝6cm，動點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，點P以3cm/s的速度向點B移動，一直到達(dá)B為止，點Q以2cm/s的速度向D移動．
（1）P、Q兩點從出發(fā)開始到幾秒時，四邊形PBCQ的面積為33cm2；
（2）P、Q兩點從出發(fā)開始到幾秒時，點P和點Q的距離是10cm．

53．已知關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有兩個正整數(shù)根（m是正整數(shù)）．△ABC的三邊a、b、c滿足c=23，m2+a2m﹣8a＝0，m2+b2m﹣8b＝0．求：
（1）m的值；
（2）△ABC的面積．
54．閱讀下列材料：求函數(shù)y=3x2+2xx2+x+0.25的最大值．
解：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成x的一元二次方程，得(y?3)x2+(y?2)x+14y=0．
∵x為實數(shù)，∴△=(y?2)2?4(y?3)×14y=?y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值為4．
根據(jù)材料給你的啟示，求函數(shù)y=3x2+x+2x2+2x+1的最小值．
55．菜農(nóng)李偉種植的某蔬菜計劃以每千克5元的單價對外批發(fā)銷售，由于部分菜農(nóng)盲目擴(kuò)大種植，造成該蔬菜滯銷．李偉為了加快銷售，減少損失，對價格經(jīng)過兩次下調(diào)后，以每千克3.2元的單價對外批發(fā)銷售．
（1）求平均每次下調(diào)的百分率；
（2）小華準(zhǔn)備到李偉處購買5噸該蔬菜，因數(shù)量多，李偉決定再給予兩種優(yōu)惠方案以供選擇：
方案一：打九折銷售；
方案二：不打折，每噸優(yōu)惠現(xiàn)金200元．
試問小華選擇哪種方案更優(yōu)惠，請說明理由．
56．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+14m2+1＝0的兩根是一個矩形兩鄰邊的長．
（1）m取何值時，方程有兩個正實數(shù)根．
（2）當(dāng)矩形的對角線長為5時，求m的值．
57．已知關(guān)于x的方程x2+2（k﹣3）x+k2＝0有兩個實數(shù)根x1、x2．
（1）求k的取值范圍；
（2）若|x1+x2﹣9|＝x1x2，求k的值．
58．觀察下面方程的解法
x4﹣13x2+36＝0
解：原方程可化為（x2﹣4）（x2﹣9）＝0
∴（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）＝0
∴x+2＝0或x﹣2＝0或x+3＝0或x﹣3＝0
∴x1＝2，x2＝﹣2，x3＝3，x4＝﹣3
你能否求出方程x2﹣3|x|+2＝0的解？
59．在前面的學(xué)習(xí)中，我們通過對同一面積的不同表達(dá)和比較，根據(jù)圖1和圖2發(fā)現(xiàn)并驗證了平方差公式和完全平方公式．
這種利用面積關(guān)系解決問題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因幾何直觀而形象化．

【研究速算】
提出問題：47×43，56×54，79×71，…是一些十位數(shù)字相同，且個位數(shù)字之和是10的兩個兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？
幾何建模：
用矩形的面積表示兩個正數(shù)的乘積，以47×43為例：
（1）畫長為47，寬為43的矩形，如圖3，將這個47×43的矩形從右邊切下長40，寬3的一條，拼接到原矩形上面．
（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式：47×43的矩形面積或（40+7+3）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021．
用文字表述47×43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運算結(jié)果．
歸納提煉：
兩個十位數(shù)字相同，并且個位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述） 　 ?。?br /> 【研究方程】
提出問題：怎樣圖解一元二次方程x2+2x﹣35＝0（x＞0）？
幾何建模：
（1）變形：x（x+2）＝35．
（2）畫四個長為x+2，寬為x的矩形，構(gòu)造圖4
（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，（x+x+2）2或四個長x+2，寬x的矩形面積之和，加上中間邊長為2的小正方形面積．
即（x+x+2）2＝4x（x+2）+22
∵x（x+2）＝35
∴（x+x+2）2＝4×35+22
∴（2x+2）2＝144
∵x＞0
∴x＝5
歸納提煉：求關(guān)于x的一元二次方程x（x+b）＝c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．
要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并注明相關(guān)線段的長）
【研究不等關(guān)系】
提出問題：怎樣運用矩形面積表示（y+3）（y+2）與2y+5的大小關(guān)系（其中y＞0）？
幾何建模：
（1）畫長y+3，寬y+2的矩形，按圖5方式分割
（2）變形：2y+5＝（y+3）+（y+2）
（3）分析：圖5中大矩形的面積可以表示為（y+3）（y+2）；陰影部分面積可以表示為（y+3）×1，畫點部分的面積可表示為y+2，由圖形的部分與整體的關(guān)系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5
歸納提煉：
當(dāng)a＞2，b＞2時，表示ab與a+b的大小關(guān)系．
根據(jù)題意，設(shè)a＝2+m，b＝2+n（m＞0，n＞0），要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖并注明相關(guān)線段的長）

60．“關(guān)愛留守兒童，關(guān)注農(nóng)民工子弟教育”已逐漸成為政府以及社會關(guān)心的一大民生問題，下表是某電視臺2011年一民生欄目組調(diào)查的數(shù)據(jù)：
類別
現(xiàn)狀
戶數(shù)
比例
A
父母常年在外打工，孩子留在老家由老人照顧
200

B
父母常年在外打工，孩子帶在身邊

10%
C
父母就近在城鎮(zhèn)打工，晚上回家照顧孩子

25%
D
父母在家務(wù)農(nóng)，并照顧孩子

15%
（1）請將統(tǒng)計表中的空缺數(shù)據(jù)填寫完整；
（2）若2013年此電視臺民生欄目組再次抽查，樣本容量不變，但B類所占比例提高到了12.1%，求B類戶數(shù)平均每年的增長率．
































【參考答案與解析】
46．先化簡，再求值：(a?2aa+1)÷a2?2a+1a2?1?a2，其中a是方程x2?x?72=0的解．
【解答】解：∵a是方程x2?x?72=0的解，
∴a2﹣a?72=0，
∴a﹣a2=?72
(a?2aa+1)÷a2?2a+1a2?1?a2
＝{a(a+1)?2aa+1}÷(a?1)2(a+1)(a?1)?a2
=a2?aa+1÷a?1a+1?a2
=a(a?1)a+1×a+1a?1?a2
＝a﹣a2，
∴代數(shù)式的值為?72．
47．某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，為了擴(kuò)大銷售，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫降價1元，商場每天可多售5件．若商場平均每天要盈利1600元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？
【解答】解：設(shè)每件襯衫應(yīng)降價x元，則銷售量為（20+5x）件，每件利潤為（44﹣x）元，
依題意，得（20+5x）（44﹣x）＝1600，
整理，得x2﹣40x+144＝0，
解得x＝36或x＝4（為了減少庫存，不符合題意舍去）．
故每件襯衫應(yīng)降價36元．
48．等腰△ABC的直角邊AB＝BC＝10cm，點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，均以1cm/秒的相同速度作直線運動，已知P沿射線AB運動，Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D．設(shè)P點運動時間為t，△PCQ的面積為S．
（1）求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)點P運動幾秒時，S△PCQ＝S△ABC？
（3）作PE⊥AC于點E，當(dāng)點P、Q運動時，線段DE的長度是否改變？證明你的結(jié)論．

【解答】解：（1）當(dāng)t＜10秒時，P在線段AB上，此時CQ＝t，PB＝10﹣t，
∴S=12×t（10﹣t）=12（10t﹣t2），
當(dāng)t＞10秒時，P在線段AB得延長線上，此時CQ＝t，PB＝t﹣10，
∴S=12×t（t﹣10）=12（t2﹣10t）．

（2）∵S△ABC=12AB?BC=50，
∴當(dāng)t＜10秒時，S△PCQ=12(10t?t2)=50，
整理得t2﹣10t+100＝0，此方程無解，
當(dāng)t＞10秒時，S△PCQ=12(t2?10t)=50，
整理得t2﹣10t﹣100＝0，解得t＝5±55（舍去負(fù)值），
∴當(dāng)點P運動5+55秒時，S△PCQ＝S△ABC．

（3）當(dāng)點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變．
證明：過Q作QM⊥AC，交直線AC于點M，
易證△APE≌△QCM，
∴AE＝PE＝CM＝QM=22t，
∴四邊形PEQM是平行四邊形，且DE是對角線EM的一半．
又∵EM＝AC＝102∴DE＝52
∴當(dāng)點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變．
同理，當(dāng)點P在點B右側(cè)時，DE＝52
綜上所述，當(dāng)點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變．


49．每年的3月8日是國際勞動婦女節(jié)，是世界各國婦女爭取和平、平等、發(fā)展的節(jié)日，沙坪壩某商店抓住這一機會，將A、B兩種巧克力進(jìn)行降價促銷活動，在這一天前來購買這兩種巧克力的顧客共有400名，每名顧客均購買了一盒巧克力，其中A、B兩種的巧克力的銷售單價分別為90元和50元．
（1）若選擇購買B種巧克力的人數(shù)不超過購買A種巧克力數(shù)的0.6倍．求至少有多少人選擇購買A種巧克力？
（2）“七夕”節(jié)是中國的情人節(jié)，該商店估計當(dāng)天購買巧克力的人會比較多，于是提高了A種巧克力的售價，結(jié)果發(fā)現(xiàn)“七夕”節(jié)當(dāng)天前來購買巧克力的顧客人數(shù)出現(xiàn)了下降，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)與（1）問中選擇A種巧克力的人數(shù)最少時相比，A種巧克力每上漲3元，購買A種巧克力的人數(shù)會下降5人，同時購買B種巧克力的人數(shù)也下降3人，但是B種巧克力的售價沒變，最終“七夕”節(jié)期間兩種巧克力的總銷售額與（1）問中選擇A種巧克力的顧客最少時的兩種巧克力的總銷售額持平，求“七夕”節(jié)當(dāng)天A種巧克力的售價．
【解答】解：（1）設(shè)購買A、B兩種巧克力的人數(shù)分別為x、y，
則y＝400﹣x≤0.6x，
解得：x≥250，
故至少有250人選擇購買A種巧克力；

（2）“七夕”節(jié)當(dāng)天A種巧克力漲價x元，
由題意得：購買甲乙巧克力的人數(shù)分別為250人、150人，
則（250?53x）（90+x）+（150?33x）×50＝250×90+150×50，
解得：x＝30或0（舍去0），
故“七夕”節(jié)當(dāng)天A種巧克力的售價為120元．
50．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有實數(shù)根．
（1）求m的取值范圍
（2）若兩實數(shù)根分別為x1和x2，且x12+x22=11，求m的值．
【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程 x2+3x﹣m＝0有實數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝32+4m≥0，
解得：m≥?94；

（2）∵x1+x2＝﹣3、x1x2＝﹣m，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1?x2＝11，
∴（﹣3）2+2m＝11，
解得：m＝1．
51．如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED邊長，易知AE=2c，這時我們把關(guān)于x的形如ax2+2cx+b=0的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．
請解決下列問題：
（1）寫出一個“勾系一元二次方程”；
（2）求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0必有實數(shù)根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0的一個根，且四邊形ACDE的周長是62，求△ABC面積．

【解答】（1）解：當(dāng)a＝3，b＝4，c＝5時
勾系一元二次方程為3x2+52x+4＝0；

（2）證明：根據(jù)題意，得
Δ＝（2c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab
∵a2+b2＝c2
∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0
即△≥0
∴勾系一元二次方程ax2+2cx+b=0必有實數(shù)根；

（3）解：當(dāng)x＝﹣1時，有a?2c+b＝0，即a+b=2c
∵2a+2b+2c＝62，即2（a+b）+2c＝62
∴32c＝62
∴c＝2
∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝22
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab
∴ab＝2
∴S△ABC=12ab＝1．
52．如圖，A、B、C、D為矩形的四個頂點，AB＝16cm，AD＝6cm，動點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，點P以3cm/s的速度向點B移動，一直到達(dá)B為止，點Q以2cm/s的速度向D移動．
（1）P、Q兩點從出發(fā)開始到幾秒時，四邊形PBCQ的面積為33cm2；
（2）P、Q兩點從出發(fā)開始到幾秒時，點P和點Q的距離是10cm．

【解答】解：（1）設(shè)P、Q兩點從出發(fā)開始到x秒時四邊形PBCQ的面積為33cm2，
則PB＝（16﹣3x）cm，QC＝2xcm，
根據(jù)梯形的面積公式得12（16﹣3x+2x）×6＝33，
解之得x＝5，

（2）設(shè)P，Q兩點從出發(fā)經(jīng)過t秒時，點P，Q間的距離是10cm，
作QE⊥AB，垂足為E，
則QE＝AD＝6，PQ＝10，
∵PA＝3t，CQ＝BE＝2t，
∴PE＝AB﹣AP﹣BE＝|16﹣5t|，
由勾股定理，得（16﹣5t）2+62＝102，
解得t1＝4.8，t2＝1.6．
答：（1）P、Q兩點從出發(fā)開始到5秒時四邊形PBCQ的面積為33cm2；
（2）從出發(fā)到1.6秒或4.8秒時，點P和點Q的距離是10cm．

53．已知關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有兩個正整數(shù)根（m是正整數(shù)）．△ABC的三邊a、b、c滿足c=23，m2+a2m﹣8a＝0，m2+b2m﹣8b＝0．求：
（1）m的值；
（2）△ABC的面積．
【解答】解：（1）∵關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有兩個正整數(shù)根（m是整數(shù)）．
∵a＝m2﹣1，b＝﹣9m+3，c＝18，
∴b2﹣4ac＝（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）＝9（m﹣3）2≥0，
設(shè)x1，x2是此方程的兩個根，
∴x1?x2=ca=18m2?1，
∴18m2?1也是正整數(shù)，即m2﹣1＝1或2或3或6或9或18，
又m為正整數(shù)，
∴m＝2；

（2）把m＝2代入兩等式，化簡得a2﹣4a+2＝0，b2﹣4b+2＝0
當(dāng)a＝b時，a=b=2±2
當(dāng)a≠b時，a、b是方程x2﹣4x+2＝0的兩根，而Δ＞0，由韋達(dá)定理得a+b＝4＞0，ab＝2＞0，則a＞0、b＞0．
①a≠b，c=23時，由于a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣4＝12＝c2
故△ABC為直角三角形，且∠C＝90°，S△ABC=12ab=1．
②a＝b＝2?2，c＝23時，因2(2?2)＜23，故不能構(gòu)成三角形，不合題意，舍去．
③a＝b＝2+2，c＝23時，因2(2+2)＞23，故能構(gòu)成三角形．
S△ABC=12×（23）×3+42=9+122
綜上，△ABC的面積為1或9+122．
54．閱讀下列材料：求函數(shù)y=3x2+2xx2+x+0.25的最大值．
解：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成x的一元二次方程，得(y?3)x2+(y?2)x+14y=0．
∵x為實數(shù)，∴△=(y?2)2?4(y?3)×14y=?y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值為4．
根據(jù)材料給你的啟示，求函數(shù)y=3x2+x+2x2+2x+1的最小值．
【解答】解：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成x的一元二次方程，得（y﹣3）x2+（2y﹣1）x+y﹣2＝0，
∵x為實數(shù)，
∴△＝（2y﹣1）2﹣4（y﹣3）（y﹣2）＝16y﹣23≥0，
∴y≥2316，
因此y的最小值為2316．
55．菜農(nóng)李偉種植的某蔬菜計劃以每千克5元的單價對外批發(fā)銷售，由于部分菜農(nóng)盲目擴(kuò)大種植，造成該蔬菜滯銷．李偉為了加快銷售，減少損失，對價格經(jīng)過兩次下調(diào)后，以每千克3.2元的單價對外批發(fā)銷售．
（1）求平均每次下調(diào)的百分率；
（2）小華準(zhǔn)備到李偉處購買5噸該蔬菜，因數(shù)量多，李偉決定再給予兩種優(yōu)惠方案以供選擇：
方案一：打九折銷售；
方案二：不打折，每噸優(yōu)惠現(xiàn)金200元．
試問小華選擇哪種方案更優(yōu)惠，請說明理由．
【解答】解 （1）設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x．
由題意，得5（1﹣x）2＝3.2．
解這個方程，得x1＝0.2，x2＝1.8（不符合題意），
符合題目要求的是x1＝0.2＝20%．
答：平均每次下調(diào)的百分率是20%．

（2）小華選擇方案一購買更優(yōu)惠．
理由：方案一所需費用為：3.2×0.9×5000＝14400（元），
方案二所需費用為：3.2×5000﹣200×5＝15000（元）．
∵14400＜15000，
∴小華選擇方案一購買更優(yōu)惠．
56．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+14m2+1＝0的兩根是一個矩形兩鄰邊的長．
（1）m取何值時，方程有兩個正實數(shù)根．
（2）當(dāng)矩形的對角線長為5時，求m的值．
【解答】解：（1）設(shè)矩形兩鄰邊的長為a，b，
∵關(guān)于x的一元二次方程x2?(m+1)x+14m2+1=0的兩根是一個矩形兩鄰邊的長，
∴△≥0，即（m+1）2﹣4（14m2+1）≥0，解得m≥32，
a+b＝m+1＞0，ab=14m2+1＞0，解得m＞﹣1，
∴m≥32時，方程有兩個正實數(shù)根；
（2）∵矩形的對角線長為5，
∴a2+b2＝（5）2，
∴（a+b）2﹣2ab＝5，
∴（m+1）2﹣2（14m2+1）＝5，
即m2+4m﹣12＝0，
解得m1＝2，m2＝﹣6，
∵m≥32，
∴m＝2，
所以當(dāng)矩形的對角線長為5時，m的值為2．
57．已知關(guān)于x的方程x2+2（k﹣3）x+k2＝0有兩個實數(shù)根x1、x2．
（1）求k的取值范圍；
（2）若|x1+x2﹣9|＝x1x2，求k的值．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，得△≥0，
即[2（k﹣3）]2﹣4k2≥0，
解得，k≤32；

（2）根據(jù)韋達(dá)定理，得
x1+x2＝﹣2（k﹣3），x1x2＝k2，
∴由|x1+x2﹣9|＝x1x2，得
|﹣2（k﹣3）﹣9|＝k2，即|2k+3|＝k2，
以下分兩種情況討論：
①當(dāng)2k+3≥0，即k≥?32時，2k+3＝k2，
即k2﹣2k﹣3＝0，
解得，k1＝﹣1，k2＝3；
又由（1）知，k≤32，
∴?32≤k≤32，
∴k2＝3不合題意，舍去，
即k1＝﹣1；
②當(dāng)2k+3＜0，即k＜?32時，﹣2k﹣3＝k2，
即k2+2k+3＝0，此方程無實數(shù)解．
綜合①②可知，k＝﹣1．
58．觀察下面方程的解法
x4﹣13x2+36＝0
解：原方程可化為（x2﹣4）（x2﹣9）＝0
∴（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）＝0
∴x+2＝0或x﹣2＝0或x+3＝0或x﹣3＝0
∴x1＝2，x2＝﹣2，x3＝3，x4＝﹣3
你能否求出方程x2﹣3|x|+2＝0的解？
【解答】解：原方程可化為
|x|2﹣3|x|+2＝0
∴（|x|﹣1）（|x|﹣2）＝0
∴|x|＝1或|x|＝2
∴x＝1，x＝﹣1，x＝2，x＝﹣2
59．在前面的學(xué)習(xí)中，我們通過對同一面積的不同表達(dá)和比較，根據(jù)圖1和圖2發(fā)現(xiàn)并驗證了平方差公式和完全平方公式．
這種利用面積關(guān)系解決問題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因幾何直觀而形象化．

【研究速算】
提出問題：47×43，56×54，79×71，…是一些十位數(shù)字相同，且個位數(shù)字之和是10的兩個兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？
幾何建模：
用矩形的面積表示兩個正數(shù)的乘積，以47×43為例：
（1）畫長為47，寬為43的矩形，如圖3，將這個47×43的矩形從右邊切下長40，寬3的一條，拼接到原矩形上面．
（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式：47×43的矩形面積或（40+7+3）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021．
用文字表述47×43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運算結(jié)果．
歸納提煉：
兩個十位數(shù)字相同，并且個位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述） 　十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以100，加上兩個個位數(shù)字的積，構(gòu)成運算結(jié)果?。?br /> 【研究方程】
提出問題：怎樣圖解一元二次方程x2+2x﹣35＝0（x＞0）？
幾何建模：
（1）變形：x（x+2）＝35．
（2）畫四個長為x+2，寬為x的矩形，構(gòu)造圖4
（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，（x+x+2）2或四個長x+2，寬x的矩形面積之和，加上中間邊長為2的小正方形面積．
即（x+x+2）2＝4x（x+2）+22
∵x（x+2）＝35
∴（x+x+2）2＝4×35+22
∴（2x+2）2＝144
∵x＞0
∴x＝5
歸納提煉：求關(guān)于x的一元二次方程x（x+b）＝c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．
要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并注明相關(guān)線段的長）
【研究不等關(guān)系】
提出問題：怎樣運用矩形面積表示（y+3）（y+2）與2y+5的大小關(guān)系（其中y＞0）？
幾何建模：
（1）畫長y+3，寬y+2的矩形，按圖5方式分割
（2）變形：2y+5＝（y+3）+（y+2）
（3）分析：圖5中大矩形的面積可以表示為（y+3）（y+2）；陰影部分面積可以表示為（y+3）×1，畫點部分的面積可表示為y+2，由圖形的部分與整體的關(guān)系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5
歸納提煉：
當(dāng)a＞2，b＞2時，表示ab與a+b的大小關(guān)系．
根據(jù)題意，設(shè)a＝2+m，b＝2+n（m＞0，n＞0），要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖并注明相關(guān)線段的長）

【解答】解：【研究速算】
歸納提煉：
十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以100，加上兩個個位數(shù)字的積，構(gòu)成運算結(jié)果．

【研究方程】
歸納提煉：
畫四個長為x+b，寬為x的矩形，構(gòu)造答圖1，則圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式：（x+x+b）2或四個長為x+b，寬為x的矩形面積之和，加上中間邊長為b的小正方形面積．

即：（x+x+b）2＝4x（x+b）+b2
∵x（x+b）＝c，
∴（x+x+b）2＝4c+b2
∴（2x+b）2＝4c+b2
∵x＞0，
∴x=4c+b2?b2．

【研究不等關(guān)系】
歸納提煉：
（1）畫長為2+m，寬為2+n的矩形，并按答圖2方式分割．

（2）變形：a+b＝（2+m）+（2+n）
（3）分析：圖中大矩形面積可表示為（2+m）（2+n），陰影部分面積可表示為（2+m）×1與（2+n）×1的和．由圖形的部分與整體的關(guān)系可知，（2+m）（2+n）＞（2+m）+（2+n），即ab＞a+b．
60．“關(guān)愛留守兒童，關(guān)注農(nóng)民工子弟教育”已逐漸成為政府以及社會關(guān)心的一大民生問題，下表是某電視臺2011年一民生欄目組調(diào)查的數(shù)據(jù)：
類別
現(xiàn)狀
戶數(shù)
比例
A
父母常年在外打工，孩子留在老家由老人照顧
200

B
父母常年在外打工，孩子帶在身邊

10%
C
父母就近在城鎮(zhèn)打工，晚上回家照顧孩子

25%
D
父母在家務(wù)農(nóng)，并照顧孩子

15%
（1）請將統(tǒng)計表中的空缺數(shù)據(jù)填寫完整；
（2）若2013年此電視臺民生欄目組再次抽查，樣本容量不變，但B類所占比例提高到了12.1%，求B類戶數(shù)平均每年的增長率．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：
父母常年在外打工，孩子留在老家由老人照顧所占的比例是：1﹣10%﹣25%﹣15%＝50%，
總?cè)藬?shù)是：200÷50%＝400（人），
父母常年在外打工，孩子帶在身邊的有：400×10%＝40（人），
父母就近在城鎮(zhèn)打工，晚上回家照顧孩子的有：400×25%＝100（人），
父母在家務(wù)農(nóng)，并照顧孩子的有：400×15%＝60 （人），
填表如下：
類別
現(xiàn)狀
戶數(shù)
比例
A
父母常年在外打工，孩子留在老家由老人照顧
200
50%
B
父母常年在外打工，孩子帶在身邊
40
10%
C
父母就近在城鎮(zhèn)打工，晚上回家照顧孩子
100
25%
D
父母在家務(wù)農(nóng)，并照顧孩子
60
15%
（2）設(shè)B類戶數(shù)平均每年的增長率為x%，根據(jù)題意得：
40（x%+1）2＝400×12.1%
（x%+1）2＝1.21，
x＝10%．
答：B類戶數(shù)平均每年的增長率是10%．





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