1．（3分）的算術平方根是（ ）
A．B．﹣C．D．±
2．（3分）2024年初春，全國范圍內(nèi)迎來了大降雪，“忽如一夜春風來，千樹萬樹梨花開”，這是唐代詩人岑參描寫雪花最新奇的詩句．據(jù)悉單片雪花很輕，只有0.00003kg左右，0.00003用科學記數(shù)法可以表示為（ ）
A．3×10﹣5B．3×10﹣4C．0.3×10﹣4D．0.3×10﹣5
3．（3分）已知，那么（a+b）2024的值為（ ）
A．1B．﹣1C．32024D．﹣32024
4．（3分）下列運算中，計算正確的是（ ）
A．a(chǎn)3+a3＝a6B．（2a2）3＝6a6
C．a(chǎn)2?a3＝a6D．（2a3）2＝4a6
5．（3分）下列說法正確的是（ ）
A．0沒有平方根
B．兩個整數(shù)相除，如果永遠除不盡，那么結(jié)果一定是個無理數(shù)
C．無理數(shù)可以用分數(shù)來表示，例如
D．任意一個無理數(shù)的絕對值都是正數(shù)
6．（3分）若關于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)＜1B．a(chǎn)≤1C．a(chǎn)≥1D．a(chǎn)≤1且a≠0
7．（3分）若a，b是方程的兩個根，則的值為（ ）
A．﹣16B．16C．﹣20D．20
8．（3分）若分式有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．x＞1B．x≥1C．x＜1D．x≠1
9．（3分）如圖，已知P，Q分別是反比例函數(shù)與圖象上的點，且PQ∥x軸，點P的坐標為，分別過點P，Q作PM⊥x軸于點M，QN⊥x軸于點N．若四邊形PMNQ的面積為2，則k2的值為（ ）
A．5B．﹣5C．1D．﹣1
10．（3分）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)）的圖象關于直線x＝﹣1對稱，則下列五個結(jié)論：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＜0；④a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m為任意實數(shù)）；⑤3a+c＜0．其中正確的是（ ）
A．①②③B．②③⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．（3分）比較大小： ．
12．（3分）寫出一個系數(shù)是﹣1，次數(shù)是3的單項式 ．
13．（3分）若不等式組無解，則m的取值范圍為 ．
14．（3分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，A（0，4），B（﹣4，0），C為AB的中點，P為OB上的一個動點，當△ACP的周長最小時，點P的橫坐標為 ．
15．（3分）如果關于x的方程＝2無解，則a的值為 ．
三、解答題（本大題共8小題，共75分）
16．（10分）計算．
（1）；
（2）[（ab+1）（ab﹣2）﹣2a2b2+2]÷（﹣ab）．
17．（8分）先化簡：，再從﹣1≤x≤1中選取一個你喜歡的整數(shù)作為x的值代入求值．
18．（9分）閱讀與思考：
若m+n＝1，mn＝﹣6，則由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2可得：m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝12﹣2×（﹣6）＝13．請根據(jù)你的理解完成下列計算：
已知，．求代數(shù)式的值．
19．（9分）如圖，反比例函數(shù)的圖象與過點（1，0）的直線AB相交于A，B兩點．已知點A的坐標為（﹣1，3）．
（1）求直線AB的解析式及反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點P在x軸上，且S△PAB＝9，求點P的坐標．
20．（9分）“三分天下諸葛亮，一通天下劉伯溫”．如圖是三國時期諸葛亮躬耕地臥龍崗，為更好地了解歷史文化，某學校準備去此地參觀學習．甲、乙兩家旅行社原價都是每人30元，且都對學生優(yōu)惠．甲旅行社表示：全部八折收費；乙旅行社表示：若人數(shù)不超過30人，全部九折收費；若人數(shù)超過30人，則超過部分按五折收費，未超過部分按原價收費．
（1）分別寫出甲、乙兩家旅行社實際收取的總費用y（元）與參加學習的學生人數(shù)x（人）之間的函數(shù)關系式；
（2）試討論選擇哪家旅行社較合算．
21．（10分）大學生小麗暑假期間從小商品批發(fā)市場批發(fā)了一種新商品，新商品的進價為30元/件，經(jīng)過一段時間的試銷，她發(fā)現(xiàn)每月的銷售量會因售價的調(diào)整而不同．若設每月的銷售量為y件，售價為x元/件，每月的總利潤為ω元．
（1）當售價在40﹣50元/件時，每月的銷售量都為60件，則此時每月的總利潤最多是多少元？
（2）當售價在50﹣70元/件時，每月的銷售量與售價的關系如圖所示．小麗決定每賣出一件商品就向福利院捐贈m（m為整數(shù)）元，若要保證小麗每月獲利仍隨x的增大而增大，請你幫她計算m的最小值是多少，并求此時售價為多少元時，她每月獲利最大．
22．（10分）操作與探究：已知點P是拋物線y＝﹣x2﹣2x+3上的一個動點．
（1）在如圖的平面直角坐標系xOy中畫出函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3的圖象；
（2）仔細觀察圖象，結(jié)合所學知識解答下列問題：
①當函數(shù)值y≥0時，自變量x的取值范圍是 ；
②方程的根是 （結(jié)果保留一位小數(shù)）；
③當x＜m時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是 ；
④當﹣2≤x≤n時，函數(shù)值3≤y≤4，直接寫出n的取值范圍 ．
23．（10分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c與拋物線y＝﹣x2+x﹣1的形狀相同，且與x軸交于點（﹣1，0）和（4，0）．直線y＝kx+2分別與x軸、y軸交于點A，B，交拋物線y＝ax2+bx+c于點C，D（點C在點D的左側(cè)）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是直線y＝kx+2上方拋物線上的任意一點，當k＝2時，求△PCD面積的最大值；
（3）若拋物線y＝ax2+bx+c與線段AB有公共點，結(jié)合函數(shù)圖象請直接寫出k的取值范圍．
2024年河南省安陽市中考數(shù)學人才選拔測評試卷（一）
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共30分）下面各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的。
1．（3分）的算術平方根是（ ）
A．B．﹣C．D．±
【答案】C
【分析】直接利用算術平方根的定義得出答案．
【解答】解：＝的算術平方根是：．
故選：C．
【點評】此題主要考查了算術平方根，正確把握定義是解題關鍵．
2．（3分）2024年初春，全國范圍內(nèi)迎來了大降雪，“忽如一夜春風來，千樹萬樹梨花開”，這是唐代詩人岑參描寫雪花最新奇的詩句．據(jù)悉單片雪花很輕，只有0.00003kg左右，0.00003用科學記數(shù)法可以表示為（ ）
A．3×10﹣5B．3×10﹣4C．0.3×10﹣4D．0.3×10﹣5
【答案】A
【分析】絕對值小于1的數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)n由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．
【解答】解：0.00003＝3×10﹣5．
故選：A．
【點評】此題主要考查了用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．
3．（3分）已知，那么（a+b）2024的值為（ ）
A．1B．﹣1C．32024D．﹣32024
【答案】A
【分析】根據(jù)絕對值和偶次方的非負數(shù)的性質(zhì)列出方程求出a、b的值，代入所求代數(shù)式計算即可．
【解答】解：∵，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴（a+b）2024＝（﹣2+1）2024＝（﹣1）2024＝1，
故選：A．
【點評】本題考查了算術平方根和絕對值的非負性，解題的關鍵是正確理解幾個非負數(shù)的和為0時，則這幾個非負數(shù)都為0．
4．（3分）下列運算中，計算正確的是（ ）
A．a(chǎn)3+a3＝a6B．（2a2）3＝6a6
C．a(chǎn)2?a3＝a6D．（2a3）2＝4a6
【答案】D
【分析】分別根據(jù)合并同類項法則，冪的乘方與積的乘方運算法則，同底數(shù)冪的乘法法則逐一判斷即可．
【解答】解：A．a(chǎn)3+a3＝2a3，故本選項不合題意；
B．（2a2）3＝8a6，故本選項不合題意；
C．a(chǎn)2?a3＝a5，故本選項不合題意；
D．（2a3）2＝4a6，故本選項符合題意．
故選：D．
【點評】本題主要考查了合并同類項，同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方與積的乘方，熟記冪的運算法則是解答本題的關鍵．
5．（3分）下列說法正確的是（ ）
A．0沒有平方根
B．兩個整數(shù)相除，如果永遠除不盡，那么結(jié)果一定是個無理數(shù)
C．無理數(shù)可以用分數(shù)來表示，例如
D．任意一個無理數(shù)的絕對值都是正數(shù)
【答案】D
【分析】根據(jù)平方根，無理數(shù)的定義逐項判斷即可．
【解答】解：A．0的平方根是0，因此選項A不符合題意；
B．兩個整數(shù)相除，結(jié)果可能是循環(huán)小數(shù)，而循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，因此選項B不符合題意；
C．無理數(shù)不可以用分數(shù)來表示，例如不是分數(shù)，因此選項C不符合題意；
D．任意一個無理數(shù)的絕對值都是正數(shù)，因此選項D符合題意．
故選：D．
【點評】本題考查平方根，無理數(shù)，熟練掌握相關定義是解題的關鍵．
6．（3分）若關于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)＜1B．a(chǎn)≤1C．a(chǎn)≥1D．a(chǎn)≤1且a≠0
【答案】D
【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出△≥0，解得即可．
【解答】解：∵關于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有實數(shù)根，
∴a≠0，且Δ＝（﹣2）2﹣4a×1≥0，
解得：a≤1且a≠0，
故選：D．
【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當△≥0時，方程有實數(shù)根”是解題的關鍵．
7．（3分）若a，b是方程的兩個根，則的值為（ ）
A．﹣16B．16C．﹣20D．20
【答案】C
【分析】利用根與系數(shù)的關系求出a+b和ab的值，據(jù)此可解決問題．
【解答】解：由題知，
因為a，b是方程的兩個根，
所以a+b＝，ab＝，
所以＝＝．
故選：C．
【點評】本題考查根與系數(shù)的關系，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．
8．（3分）若分式有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．x＞1B．x≥1C．x＜1D．x≠1
【答案】A
【分析】根據(jù)分式有意義的條件，二次根式有意義的條件和零指數(shù)冪的定義得出x﹣1≠0且x﹣1＞0，再求出答案即可．
【解答】解：要使分式有意義，必須x﹣1≠0且x﹣1＞0，
解得：x＞1，
所以x的取值范圍是x＞1．
故選：A．
【點評】本題考查了分式有意義的條件，二次根式有意義的條件和零指數(shù)冪的定義等知識點，能根據(jù)分式有意義的條件，二次根式有意義的條件和零指數(shù)冪的定義得出x﹣1≠0且x﹣1＞0是解此題的關鍵．
9．（3分）如圖，已知P，Q分別是反比例函數(shù)與圖象上的點，且PQ∥x軸，點P的坐標為，分別過點P，Q作PM⊥x軸于點M，QN⊥x軸于點N．若四邊形PMNQ的面積為2，則k2的值為（ ）
A．5B．﹣5C．1D．﹣1
【答案】D
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy＝k．先求出過點P時，與坐標軸圍成的矩形的面積；再根據(jù)四邊形PMNQ的面積，求出過點Q時，k2的值．
【解答】解：∵點P是反比例函數(shù)上的點，
∴過點P與坐標軸圍成的矩形的面積：|﹣×2|＝3，
∴過點Q與坐標軸圍成的矩形的面積：3﹣2＝1，
∵反比例函數(shù)在第二象限，
∴k2＝﹣1，
故選：D．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題的關鍵是運用數(shù)形結(jié)合的思想來解答．
10．（3分）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)）的圖象關于直線x＝﹣1對稱，則下列五個結(jié)論：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＜0；④a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m為任意實數(shù)）；⑤3a+c＜0．其中正確的是（ ）
A．①②③B．②③⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤
【答案】D
【分析】根據(jù)所給函數(shù)圖象可得出a，b，c的正負，再結(jié)合拋物線的對稱性及增減性，利用數(shù)形結(jié)合的思想對所給結(jié)論依次進行判斷即可．
【解答】解：由函數(shù)圖象可知，
a＜0，b＜0，c＞0，
所以abc＞0．
故①正確．
因為拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，
所以，
即2a﹣b＝0．
故②正確．
因為拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，且x＝1時，函數(shù)值小于零，
所以x＝﹣3時，函數(shù)值小于零，
則9a﹣3b+c＜0．
故③正確．
因為拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，且開口向下，
所以當x＝m時，am2+bm+c≤a﹣b+c，
即am2﹣a+bm+b≤0，
所以a（m2﹣1）+b（m+1）≤0．
故④正確．
由函數(shù)圖象可知，
當x＝1時，函數(shù)值小于零，
則a+b+c＜0，
又因為b＝2a，
所以3a+c＜0．
故⑤正確．
故選：D．
【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及巧用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關鍵．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．（3分）比較大?。? ＞ ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】比較兩者平方后的值即可．
【解答】解：∵（）2＝，（）2＝，
∴＞．
故答案為：＞．
【點評】本題考查了實數(shù)的大小比較，解答本題的關鍵是靈活變通，比較兩者平方后的結(jié)果．
12．（3分）寫出一個系數(shù)是﹣1，次數(shù)是3的單項式 ﹣a3（答案不唯一） ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)單項式系數(shù)、次數(shù)的定義來求解．單項式中數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)，所有字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù)．依此寫出一個系數(shù)是﹣1，次數(shù)是3的單項式．
【解答】解：系數(shù)是﹣1，次數(shù)是3的單項式有：﹣a3．（答案不唯一）
故答案為：﹣a3．
【點評】本題考查了單項式的定義，屬于開放性試題．注意確定單項式的系數(shù)和次數(shù)時，把一個單項式分解成數(shù)字因數(shù)和字母因式的積，是找準單項式的系數(shù)和次數(shù)的關鍵．
13．（3分）若不等式組無解，則m的取值范圍為 m＜2 ．
【答案】m＜2．
【分析】求出第一個不等式的解集，根據(jù)口訣：大大小小找不到，結(jié)合不等式組的解集可得答案．
【解答】解：由得x≥8，
又x≤4m且不等式組無解，
∴4m＜8，
解得m＜2，
故答案為：m＜2．
【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．
14．（3分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，A（0，4），B（﹣4，0），C為AB的中點，P為OB上的一個動點，當△ACP的周長最小時，點P的橫坐標為 ．
【答案】．
【分析】取點A'（0，﹣4），連接A'C，A'P，推出△ACP的周長最小時，點P位于A'C與x軸的交點P'處，再求出直線A'C的解析式，令y＝0求出x的值即可解決問題．
【解答】解：取點A'（0，﹣4），連接A'C，A'P，
則BO垂直平分AA'，
∴PA'＝PA，
∵A（0，4），B（﹣4，0），
∴AB＝＝4，
∵C為AB的中點，
∴C（﹣2，2），AC＝AB＝2，
∴△ACP的周長＝AC+PA+PC＝2+PA'+PC≥2+A'C，
∴△ACP的周長最小時，點P為A'C與x軸的交點P'，
設A'C的解析式為：y＝kx+b，過點A'（0，﹣4），C（﹣2，2），
∴，
解得，
∴A'C的解析式為：y＝﹣3x﹣4，
當y＝0時，即0＝﹣3x﹣4，
解得x＝，
∴P'的橫坐標為：．
【點評】本題考查軸對稱﹣最短路線，解答中涉及勾股定理，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)圖象上點的坐標特征，兩點之間線段最短，能將兩條線段和的最小值用一條線段的長表示是解題的關鍵．另外本題在確定A'位置后，也可通過相似三角形性質(zhì)求出OP'的長來解決問題．
15．（3分）如果關于x的方程＝2無解，則a的值為 2或1 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程無解，或解這個整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【解答】解：去分母得，ax﹣1＝2（x﹣1）
ax﹣2x＝﹣1，
（a﹣2）x＝﹣1，
當a﹣2＝0時，
∴a＝2，
此時方程無解，滿足題意，
當a﹣2≠0時，
∴x＝﹣，
將x＝﹣代入x﹣1＝0，
解得：a＝1，
綜上所述，a＝1或a＝2，
故答案為：1或2．
【點評】本題考查分式方程的解法，解題的關鍵是熟練運用分式方程的解法，本題屬于基礎題型．
三、解答題（本大題共8小題，共75分）
16．（10分）計算．
（1）；
（2）[（ab+1）（ab﹣2）﹣2a2b2+2]÷（﹣ab）．
【答案】（1）﹣3；
（2）ab+1．
【分析】（1）先化簡各式，然后再進行計算即可解答；
（2）先利用多項式乘多項式的法則計算括號里，再算括號外，即可解答．
【解答】解：（1）
＝2+（﹣3）﹣（2﹣）
＝2﹣3﹣2+
＝﹣3；
（2）[（ab+1）（ab﹣2）﹣2a2b2+2]÷（﹣ab）
＝（a2b2﹣2ab+ab﹣2﹣2a2b2+2）÷（﹣ab）
＝（﹣a2b2﹣ab）÷（﹣ab）
＝ab+1．
【點評】本題考查了整式的混合運算，整式的除法，負整數(shù)指數(shù)冪，實數(shù)的運算，多項式乘多項式，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
17．（8分）先化簡：，再從﹣1≤x≤1中選取一個你喜歡的整數(shù)作為x的值代入求值．
【答案】﹣x，1，
【分析】先通分括號內(nèi)的式子，然后計算除法，再從﹣1≤x≤1中選取一個使得原分式有意義的整數(shù)代入化簡后的式子計算即可，
【解答】解：
＝?
＝?
＝?
＝﹣x，
∵x＝0或1時，原分式無意義，﹣1≤x≤1，
∴x＝﹣1，
當x＝﹣1時，原式＝1，
【點評】本題考查分式的化簡求值、一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵，
18．（9分）閱讀與思考：
若m+n＝1，mn＝﹣6，則由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2可得：m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝12﹣2×（﹣6）＝13．請根據(jù)你的理解完成下列計算：
已知，．求代數(shù)式的值．
【答案】5．
【分析】先根據(jù)已知條件，利用完全平方公式，求出答案即可．
【解答】解：∵，，
∴，
，
，
∴代數(shù)式的值為5．
【點評】本題主要考查了完全平方公式，解題關鍵是熟練掌握完全平方公式的運用．
19．（9分）如圖，反比例函數(shù)的圖象與過點（1，0）的直線AB相交于A，B兩點．已知點A的坐標為（﹣1，3）．
（1）求直線AB的解析式及反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點P在x軸上，且S△PAB＝9，求點P的坐標．
【答案】（1）反比例函數(shù)為y＝﹣；直線AB為y＝﹣x+；
（2）點P的坐標為（﹣3，0）或（5，0）．
【分析】利用待定系數(shù)法求得兩函數(shù)的解析式，然后解析式聯(lián)立成方程組，解方程組求得點B的坐標，根據(jù)S△ACP+S△BCP＝S△ABP＝9，求得CP的長度，進而即可求得點P的坐標．
【解答】解：（1）把點A（﹣1，3）代入y＝（k＞0）得，3＝，
解得k＝﹣3，
∴反比例函數(shù)為y＝﹣；
設直線AB為y＝ax+b，
代入點（1，0），A（﹣1，3）得，
解得，
∴直線AB為y＝﹣x+；
（2）聯(lián)立方程組，
解得或，
∴A（﹣1，3），B（2，﹣），
設直線AB與x軸相交于點C（1，0），如圖，
∵S△ABP＝9，
∴S△ACP+S△BCP＝PC?（3+）＝9，
∴CP＝4，
∴點P的坐標為（﹣3，0）或（5，0）．
【點評】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點的求法，三角形面積，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關鍵．
20．（9分）“三分天下諸葛亮，一通天下劉伯溫”．如圖是三國時期諸葛亮躬耕地臥龍崗，為更好地了解歷史文化，某學校準備去此地參觀學習．甲、乙兩家旅行社原價都是每人30元，且都對學生優(yōu)惠．甲旅行社表示：全部八折收費；乙旅行社表示：若人數(shù)不超過30人，全部九折收費；若人數(shù)超過30人，則超過部分按五折收費，未超過部分按原價收費．
（1）分別寫出甲、乙兩家旅行社實際收取的總費用y（元）與參加學習的學生人數(shù)x（人）之間的函數(shù)關系式；
（2）試討論選擇哪家旅行社較合算．
【答案】（1）：y甲＝24x；y乙＝；
（2）當0＜x＜50時，選擇甲旅行社較合算；x＝50時，兩家旅行社費用相同；當x＞50時，擇乙旅行社較合算．
【分析】（1）y甲＝30×0.8x＝24x；當x≤30時，y乙＝30×0.9x＝27x；當x＞30時，y乙＝30×30+30×0.5（x﹣30）＝15x+450；
（2）①當x≤30時，由24x＜27x，可知選擇甲旅行社較合算；②當x＞30時，由24x＝15x+450得：x＝50，故當30＜x＜50時，選擇甲旅行社較合算；當x＝50時，兩家旅行社費用相同；當x＞50時，擇乙旅行社較合算．
【解答】解：（1）根據(jù)優(yōu)惠方案可得：y甲＝30×0.8x＝24x；
當x≤30時，y乙＝30×0.9x＝27x；
當x＞30時，y乙＝30×30+30×0.5（x﹣30）＝15x+450；
∴y乙＝；
（2）①當x≤30時，
∵24x＜27x，
∴選擇甲旅行社較合算；
②當x＞30時，
由24x＝15x+450得：x＝50，
∴當30＜x＜50時，選擇甲旅行社較合算；
當x＝50時，兩家旅行社費用相同；
當x＞50時，擇乙旅行社較合算；
綜上所述，當0＜x＜50時，選擇甲旅行社較合算；x＝50時，兩家旅行社費用相同；當x＞50時，擇乙旅行社較合算．
【點評】本題考查一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關系式．
21．（10分）大學生小麗暑假期間從小商品批發(fā)市場批發(fā)了一種新商品，新商品的進價為30元/件，經(jīng)過一段時間的試銷，她發(fā)現(xiàn)每月的銷售量會因售價的調(diào)整而不同．若設每月的銷售量為y件，售價為x元/件，每月的總利潤為ω元．
（1）當售價在40﹣50元/件時，每月的銷售量都為60件，則此時每月的總利潤最多是多少元？
（2）當售價在50﹣70元/件時，每月的銷售量與售價的關系如圖所示．小麗決定每賣出一件商品就向福利院捐贈m（m為整數(shù)）元，若要保證小麗每月獲利仍隨x的增大而增大，請你幫她計算m的最小值是多少，并求此時售價為多少元時，她每月獲利最大．
【答案】（1）每月的總利潤最多是1200元；
（2）m的最小值是30，此時售價為70元時，她每月獲利最大．
【分析】（1）根據(jù)總利潤＝單件的利潤×銷售量求解即可；
（2）首先求出當售價在50≤x≤70元時每月銷售量與售價的關系式，再根據(jù)小麗每月獲利仍隨x的增大而增大，求出m的取值范圍，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．
【解答】解：（1）當售價在40≤x≤50元時，總利潤ω＝60（x﹣30）＝60x﹣1800，
∵60＞0，
∴當x＝50時，總利潤最多，為60×50﹣1800＝1200（元），
∴每月的總利潤最多是1200元；
（2）當售價在50≤x≤70元時，設每月銷售量y＝kx+b，
∴，
解得
∴每月銷售量y＝﹣2x+160（50≤x≤70），
∴每月的總利潤ω＝（x﹣30﹣m）（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800+2mx﹣160m＝﹣2x2+（220+2m）x﹣4800﹣160m，
∴二次函數(shù)的對稱軸為直線x＝﹣＝55+，
∵﹣2＜0，且要保證小麗每月獲利仍隨x的增大而增大，
∴55+≥70，
解得m≥30，
∴m的最小值是30，
此時ω＝﹣2x2+280x﹣9600＝﹣2（x﹣70）2+200，
∴當x＝70時，ω取得最大值，最大值為200元，
∴m的最小值是30，此時售價為70元時，她每月獲利最大．
【點評】本題考查了一次函數(shù)應用和二次函數(shù)的應用，解題關鍵是理清題意，列出函數(shù)關系式．
22．（10分）操作與探究：已知點P是拋物線y＝﹣x2﹣2x+3上的一個動點．
（1）在如圖的平面直角坐標系xOy中畫出函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3的圖象；
（2）仔細觀察圖象，結(jié)合所學知識解答下列問題：
①當函數(shù)值y≥0時，自變量x的取值范圍是 ﹣3≤x≤1 ；
②方程的根是 （2.4，0）、（﹣0.4，0）（答案不唯一） （結(jié)果保留一位小數(shù)）；
③當x＜m時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是 m≤4 ；
④當﹣2≤x≤n時，函數(shù)值3≤y≤4，直接寫出n的取值范圍 ﹣1≤n≤0 ．
【答案】（1）描點連線繪制函數(shù)圖象見解答；
（2）﹣3≤x≤1，（2.4，0）、（﹣0.4，0）（答案不唯一），m≤4，﹣1≤n≤0．
【分析】（1）取點描點連線即可繪制函數(shù)圖象；
（2）①當函數(shù)值y≥0時，觀察函數(shù)圖象即可求解；
②方程的根，可以看成y＝﹣x2﹣2x+1和x軸的交點，即可求解；
③觀察函數(shù)圖象即可求解；
④觀察函數(shù)圖象即可求解．
【解答】解：（1）對于y＝﹣x2﹣2x+3，當x＝0時，y＝3，
令y＝﹣x2﹣2x+3＝0，則x＝﹣3或1，
當x＝0或﹣2時，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
拋物線的頂點坐標為：（﹣1，4），
利用上述5個點：（﹣3，0）、（1，0）、（0，3）、（﹣2，3）、（﹣1，4），描點連線繪制函數(shù)圖象如下：
（2）①當函數(shù)值y≥0時，從圖象看，自變量x的取值范圍是﹣3≤x≤1；
②方程的根，可以看成y＝﹣x2﹣2x+1和x軸的交點，如下圖：
將y＝﹣x2﹣2x+3向下平移兩個單位，即為y＝﹣x2﹣2x+1，
該函數(shù)的x軸的交點坐標近似為：（2.4，0）、（﹣0.4，0）（答案不唯一）；
③當x＜m時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是m≤4；
④當﹣2≤x≤n時，函數(shù)值3≤y≤4，此時x＝n在對稱軸和y軸之間，即﹣1≤n≤0；
故答案為：﹣3≤x≤1，（2.4，0）、（﹣0.4，0）（答案不唯一），m≤4，﹣1≤n≤0．
【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，涉及到函數(shù)的圖象和性質(zhì)、圖象的平移，函數(shù)思想是解題的關鍵．
23．（10分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c與拋物線y＝﹣x2+x﹣1的形狀相同，且與x軸交于點（﹣1，0）和（4，0）．直線y＝kx+2分別與x軸、y軸交于點A，B，交拋物線y＝ax2+bx+c于點C，D（點C在點D的左側(cè)）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是直線y＝kx+2上方拋物線上的任意一點，當k＝2時，求△PCD面積的最大值；
（3）若拋物線y＝ax2+bx+c與線段AB有公共點，結(jié)合函數(shù)圖象請直接寫出k的取值范圍．
【答案】（1）拋物線的解析式為y＝﹣x2+3x+4；
（2）△PCD面積的最大值為；
（3）k的取值范圍為0＜k＜2或﹣＜k＜0．
【分析】（1）根據(jù)題意直接求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）求出直線與拋物線的交點C，D坐標，過點P作y軸的平行線交CD于點H，交x軸于點G，設點P坐標為（m，﹣m2+3m+4）（﹣1＜m＜2），則點H（m，2m+2），求出PH，由三角形的面積公式求出關于m的函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值；
（3）分k＞0和k＜0兩種情況討論即可．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c與拋物線y＝﹣x2+x﹣1的形狀相同，
∴a＝﹣1，
∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點（﹣1，0）和（4，0），
∴拋物線的解析式為y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+3x+4；
（2）當k＝2時，聯(lián)立方程組，
解得或，
∴C（﹣1，0），D（2，6），
過點P作y軸的平行線交CD于點H，交x軸于點G，如圖，
設點P坐標為（m，﹣m2+3m+4）（﹣1＜m＜2），
∴點H（m，2m+2），
∴PH＝﹣m2+3m+4﹣（2m+2）＝﹣m2+m+2，
∴S△PCD＝PH×3＝（﹣m2+m+2）＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，﹣1＜m＜2，
∴當m＝時，S有最大值，最大值為．
∴△PCD面積的最大值為；
（3）令x＝0，則y＝2，
∴點B坐標為（0，2），
令y＝0，則kx+2＝0，
解得x＝﹣，
∴點A坐標為（﹣，0），
若拋物線y＝ax2+bx+c與線段AB有公共點，
當k＞0時，如圖所示，
則﹣＜﹣1，
解得0＜k＜2；
當k＜0時，如圖所示：
則﹣＞4，
解得﹣＜k＜0；
綜上所述，k的取值范圍為0＜k＜2或﹣＜k＜0．
【點評】本題考查拋物線與x軸的交點，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的最值等知識，關鍵是對這些知識的掌握和運用．

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