2．答卷前，考生務必將姓名、準考證號填寫在試卷或答題卡相應位置上．
3．考生務必將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．
一、選擇題：（本大題有16個小題，每小題2分，共32分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的）
1. 如圖，同一平面內有兩條直線和，則與的位置關系是（ ）
A. 平行B. 相交C. 垂直D. 都不是
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查同一平面內兩直線的位置關系．掌握同一平面內兩直線的位置關系是相交或平行是解題的關鍵．
根據(jù)圖形直接判定即可．
【詳解】解：由圖可知，直線a與b的位置關系是相交．
故選：B．
2. 若，則“□”是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘除互化，由得到，從而得到答案．
詳解】解：，
，
“□”是，
故選：B．
【點睛】本題考查同底數(shù)冪的乘除運算，根據(jù)條件將同底數(shù)冪的乘法轉化為同底數(shù)冪的除法是解決問題的關鍵．
3. 如圖，直線，相交于，所形成的，，，中是對頂角的一組是（ ）
A. 和B. 和C. 和D. 和
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了對頂角，掌握對頂角概念：具有公共頂點，一角的兩邊是另一角兩的延長線的兩角叫對頂角是解題的關鍵．
根據(jù)對頂角概念判定出對楠頂角即可求解．
【詳解】解：由圖可知：和是對頂角，和是對頂角，
故選：D．
4. 下列命題是真命題的是（ ）
A. 內錯角相等B. 互為相反數(shù)的兩數(shù)之和等于1
C. 兩個偶數(shù)和一定能被4整除D. 若，則
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查判斷命題的真假，根據(jù)平行線的性質，相反數(shù)的性質，整除，以及等式的性質，逐一進行判斷即可．
【詳解】解：A、兩直線平行，內錯角相等，故選項為假命題；
B、互為相反數(shù)的兩數(shù)之和等于0，故選項為假命題；
C、，2不能被4整除，因此，兩個偶數(shù)和一定能被2整除，不一定能被4整除，故選項為假命題；
D、若，則，故選項為真命題；
故選：D．
5. 如圖，直線截直線，，下列說法正確的是（ ）
A. 與是同旁內角B. 與是同旁內角
C. 與是同位角D. 與是內錯角
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)對頂角、鄰補角、同位角、內錯角對選項進行判斷，即可求解，
此題主要考查了，鄰補角、同位角、內錯角、同旁內角，解題的關鍵是：熟練掌握相關判定方法．
【詳解】解：、與是同旁內角，該選項正確，符合題意；
、與是鄰補角，該選項錯誤，不符合題意；
、與是內錯角，該選項錯誤，不符合題意；
、與是同旁內角，該選項錯誤，不符合題意；
故選：A．
6. 下列運算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了積的乘方，同底數(shù)冪的乘除法，根據(jù)積的乘方，同底數(shù)冪的乘除法，逐項分析判斷即可求解．
【詳解】解：A. ，故該選項不正確，不符合題意；
B. ，故該選項正確，符合題意；
C. ，故該選項不正確，不符合題意；
D. ，故該選項不正確，不符合題意；
故選：B．
7. 如圖，，經過點，，則的度數(shù)（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了垂線，對頂角性質．根據(jù)題目的已知條件并結合圖形分析是解題的關鍵．
根據(jù)垂直定義可得，根據(jù)對頂角相等，得，從而求出的度數(shù)．
【詳解】解：，
，
，
，
故選：D．
8. 若是方程的一個解，則的值（ ）
A B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程的解的概念，將方程的解代入原方程中，解關于的一元一次方程即可求解．
【詳解】解：將代入得：
，
解得：，
故選：B．
9. 如圖，已知且被直線所截，交點為、，，求的度數(shù)．對說理過程中的理由表述不正確的是（ ）
（①）
（②）
（③）
（④）
A. ①表示同位角相等B. ②表示對頂角相等
C. ③等量代換D. ④表示已知
【答案】A
【解析】
【分析】據(jù)對頂角以及平行線的性質，即可得出結論，
本題考查了平行線的性質，解題的關鍵是：熟練掌握平行線的性質．
【詳解】解：
（兩直線平行，同位角相等）
（對頂角相等）
（等量代換）
（已知）
故選：．
10. 張大爺打算將長為米，寬為米的田地向外開墾一些，如圖，使得長再增加米，寬再增加米，擴建后的田地的面積，表述正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了多項式乘以多項式，根據(jù)題意列出代數(shù)式即可求解．
【詳解】解：依題意，擴建后的田地的長為，寬為，
∴擴建后的田地的面積為，
故選：C．
11. 已知，則的值是（ ）
A. B. 9C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘法運算，正確掌握運算法則是解題關鍵．
直接利用同底數(shù)冪的乘法運算法則計算得出答案．
【詳解】解：，
∴，
．
故選：B．
12. 將一個含有的三角板按如圖所示，擺放在一組平行線內，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查平行線判定和性質，與三角板有關的計算，過直角頂點作直線，得到，推出，求解即可．
【詳解】解：如圖，過直角頂點作直線，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故選C．
13. 解方程組的思路可用如圖的框圖表示，圈中應填寫的對方程①②所做的變形為( )
A. ①×2+②×3B. ①×2-②×3C. ①×3-②×2D. ①×3+②×2
【答案】C
【解析】
【分析】消去未知數(shù)x，變形思路是①×3-②×2，再得出選項即可．
【詳解】解：，
①×3，得6x+9y=24③，
②×2，得6x-4y=-2④，
③-④，得（6x+9y）-（6x-4y）=24-（-2），
即變形的思路是①×3-②×2，
故選：C．
【點睛】本題考查了解二元一次方程組，能把二元一次方程組轉化成一元一次方程是解此題的關鍵．
14. 若算式，推測算式表示的意義是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查乘方的意義．掌握表示n個a相乘是解題的關鍵．
根據(jù)乘方的意義解答即可．
【詳解】解：
故選：B．
15. 體育課上甲、乙、丙三位同學依次進行跳遠測試，他們都從點起跳，落腳點分別為、、，且它們三點在同一直線上，且平行于起跳板，如圖，則三位同學的成績（ ）
A. 甲最好B. 乙最好C. 丙最好D. 一樣好
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了平行線間的距離，根據(jù)題意，它們三點在同一直線上，且平行于起跳板，則成績一樣，即可求解．
【詳解】解：依題意，、、，且它們三點在同一直線上，且平行于起跳板，
∴三位同學的成績一樣，
故選：D．
16. 我國古典數(shù)學文獻《增刪算法統(tǒng)宗?六均輸》中有一個“隔溝計算”的問題：“甲乙隔溝牧放，二人暗里參詳．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙說得甲九只，兩家之數(shù)相當，二人閑坐惱心腸，畫地算了半響”其大意為：甲，乙兩人一起放牧，兩人心里暗中數(shù)羊．如果乙給甲9只羊，那么甲的羊數(shù)為乙的2倍；如果甲給乙9只羊，那么兩人的羊數(shù)相同．請問甲，乙各有多少只羊？設甲有羊只，則下列說法正確的是（ ）
A. 列方程：
B. 列方程組為：
C. 設乙有羊只，列方程組為：
D. 甲有羊27只，乙有羊18只
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，找等量關系列出方程（組）是解題的關鍵．
設甲有羊只，乙有羊只，根據(jù)“乙給甲9只羊，那么甲的羊數(shù)為乙的2倍；如果甲給乙9只羊，那么兩人的羊數(shù)相同”列出方程組為．可判定A、B錯誤，C正確，再解方程組求得x、y值，可判定D錯誤．
【詳解】解：設甲有羊只，乙有羊只，根據(jù)題意，得，
故A、B選項錯誤，C選項正確；
解方程組得：，即甲有羊63只，乙有羊45只．故D錯誤．
故選：C．
二、填空題（本大題共3小題，共10分；17、18題每空3分；19小題有2個空，每空2分，把答案寫在題中橫線上）
17. 如圖是釣魚馬孔示意圖，請根據(jù)圖中標注的數(shù)據(jù)，求___．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了對頂角相等，根據(jù)對頂角相等即可求解．
【詳解】解：根據(jù)對頂角相等可得：
故答案為：．
18. 計算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查有理數(shù)混合運算，逆用積的乘方法則簡便計算是解題的關鍵．
先逆用積的乘方運算法則變形為，再計算即可．
【詳解】解：原式
．
故答案為：．
19. 規(guī)定：若整式A與滿足（為整數(shù)）則稱A與為關于的和諧整式．例如，若，我們稱與為關于3的和諧整式 ．
（1）若與為關于1的和諧整式，的值____；
（2）若與為關于5的和諧整式，與為關于5的和諧整式，的值____．
【答案】 ①. ②. 1
【解析】
【分析】（1）讀懂題意根據(jù)新定義列式求值即可；
（2）根據(jù)新定義列方程組，求出x、y值，再代入求代數(shù)式的值．
【詳解】解：（1）根據(jù)題意可得：
解得：；
故答案為：．
（2）根據(jù)題意可得：，
解得：，
∴
故答案為：1．
【點睛】本題考查了新定義，解一元一次方程，解二元一次方程組，代數(shù)式求值．做題關鍵要讀懂題意，按照新定義列出方程或方程組．
三、解答題（本大題共6個小題，共58分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
20. 計算：
（1）
（2）
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】本題考查實數(shù)混合運算，整式混合運算．熟練掌握零指數(shù)冪與負整指數(shù)冪運算法則和冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪相除運算法則是解題的關鍵．
【小問1詳解】
解：原式
；
【小問2詳解】
解：原式
．
21. 已知二元一次方程．
（1）請直接寫出它的所有的自然數(shù)解；
（2）小紅寫出另一個二元一次方程，和已知方程具有相同的一組解，求兩個方程相同的解．
【答案】（1），，，
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)方程解為自然數(shù)解答即可；
（2）由（1）根據(jù)方程的解為自然數(shù)解答即可；
（2）由方程和已知方程組成方程組，然后利用加減消元法解方程組即可．
【小問1詳解】
解：∵，
∴，
當時， ；
當時， ；
當時， ；
當時， ；
∴二元一次方程的自然數(shù)解是：
，，，；
【小問2詳解】
解：由題意，得
∴
，得，
解得：，
把代入②，得，
∴．
22. 如圖，三角形的三個頂點都在每格為1個單位長度的格點上，點是三角形內任意一點，．將三角形先向右平移四個單位長度得到三角形，再向下平移三個單位長度后得到三角形．
（1）畫出平移后的三角形和三角形．
（2）連接，
①與形成的是__________
A．同位角 B．內錯角 C．同旁內角
②若點隨的平移而平移，經過兩次平移后，的對應點為，如果，則的長為__________；
③如果，求的度數(shù)．
【答案】（1）見解析 （2）①C；②5；③
【解析】
【分析】本題考查了平移作圖，平移的性質，平行線的性質；
（1）根據(jù)平移找到對應點，順次連接對應點即可求解；
（2）①根據(jù)與的位置關系進行加判斷，即可求解；
②根據(jù)平移的性質，即可求解；
③根據(jù)平移的性質可得，，進而根據(jù)平行線的性質即可求解．
【小問1詳解】
解：如圖所示，三角形和三角形即為所求；
【小問2詳解】
①根據(jù)圖形可得與是同旁內角，
故選：C．
②根據(jù)平移的性質可得，，
故答案為：．
③根據(jù)平移的性質可得，，
又∵，
∴
∴
23. 綜合實踐活動中，老師讓學生觀察日歷探索數(shù)字間的規(guī)律．小紅利用2024年4月份的日歷（如圖12），用方框任意圈出四個數(shù)，將4個位置上的數(shù)交叉相乘，再相減．例如：①；②；③．
【歸納總結】請你自己選擇一組數(shù)字模仿示例寫出算式并計算出結果：__________；
【推理驗證】①設方框任意框住的四個數(shù)字最小的為，則框住部分最大數(shù)字為__________；
②請在①的基礎上對你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律加以證明．
【答案】【歸納總結】（答案不唯一）；【推理驗證】①；②見解析
【解析】
【分析】本題考查整式的混合運算和列代數(shù)式；
[歸納總結]根據(jù)題意寫出一個等式即可求解；
[推理驗證] ①根據(jù)日歷中的數(shù)字規(guī)律即可求解；
②根據(jù)整式乘法公式，把化簡，即可證明．
【詳解】解：[歸納總結] 根據(jù)題意，，
故答案為：（答案不唯一）．
[推理驗證]①設方框任意框住的四個數(shù)字最小的為，則框住部分最大數(shù)字為，
故答案為：．
②設方框任意框住的四個數(shù)字最小的為，則其余三個數(shù)分別為，
依題意，
24. 如圖，已知，且．

（1）求證：；
（2）若平分，且，求的度數(shù)．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】本題考查平行線的判定與性質，與角平分線相關的角的計算．熟練掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵．
（1）利用補角的性質求，即可由平行線的判定定理得出結論；
（2）先證明，由平行線的性質得出，，再根據(jù)角平分線的定義求解即可．
小問1詳解】
解：∵，，
∴，
∴．
【小問2詳解】
解：∵
∴
∵
∴
∴
∴，，
∵平分，
∴
∴．
25. 甲、乙兩個玩具的成本共400元，商店老板為獲取利潤，并快速出售玩具，決定甲玩具按的利潤率標價出售，乙玩具按的利潤率標價出售，在實際出售時，應顧客要求，兩個玩具均按標價的9折出售，這樣商店共獲利158元．
（1）小麗按老師要求，勾畫了兩句等量關系句（題中帶橫線的句子），并把它們寫成等量關系式表述正確的是（ ）
①甲玩具按的利潤率標價：甲的標價=甲玩具成本價；
②乙玩具按標價的9折出售：乙玩具的售價=乙玩具的標價；
A．①正確，②不正確 B．①不正確，②正確 C．①②不正確 D．①②都正確
（2）甲的成本為元，乙的成本是元．用含，的代數(shù)式表示表格中字母處的代數(shù)式；
（3）在（2）的條件下，求甲、乙兩個玩具的成本各是多少元？
【答案】（1）B （2）；
（3）甲玩具的成本是200元，乙玩具的成本是200元
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程組的應用、列代數(shù)式，根據(jù)成本、利潤，標價、售價的關系列出代數(shù)式是解題的關鍵．
（1）利用標價成本價利潤率）及售價標價折扣率，即可用含，的代數(shù)式表示出甲、乙玩具的標價及售價，即可得出答案；
（2）根據(jù)甲的售價=甲玩具成本價利潤率）折扣率，乙玩具的標價=乙玩具的成本價利潤率），列式即可；
（3）根據(jù)“甲、乙兩個玩具的成本共400元，兩個玩具打折銷售后共獲利158元”，即可得出關于，的二元一次方程組，解之即可得出結論；
【小問1詳解】
解：甲的售價=甲玩具成本價，故①錯誤，
乙玩具的標價=乙玩具的成本價，故②正確，
故選：B．
【小問2詳解】
解：，
．
【小問3詳解】
解：根據(jù)題意：得
解得：，
答：甲玩具的成本是200元，乙玩具的成本是200元．玩具類型
成本價
標價
售價
甲玩具
乙玩具

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