考生注意：
1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚．
3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)城內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷，草稿紙上作答無效．
4．本卷命題范圍：選擇性必修二至選擇性必修三7.2結(jié)束．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．某班5名同學(xué)去參觀4個(gè)紅色教育基地，每名學(xué)生可自由選擇其中的1個(gè)紅色教育基地，則不同選法的種數(shù)是（ ）
A．B．C．20D．9
2．在等比數(shù)列中，若，，則的值為（ ）
A．－64B．64C．－48D．48
3．若的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記{兩次的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)}，{兩次的點(diǎn)數(shù)之和為8}，則（ ）
A．B．C．D．
5．已知直線l與函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行，則直線l的斜率為（ ）
A．0B．－1C．2D．1
6．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布，且，則（ ）
A．B．C．D．
7．若點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：的距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．
8．某公司清明有三天假期，現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人只值班1天，每天至少有1人值班，且甲、乙不在同一天值班，則不同的值班安排共有（ ）
A．72種B．114種C．120種D．144種
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則q的值可能為（ ）
A．B．1C．D．－2
10，若一個(gè)三位數(shù)中十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字都小，則稱這個(gè)數(shù)為“凹數(shù)”，如213、435等都是“凹數(shù)”，用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則（ ）
A．組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為60
B．在組成的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為9的個(gè)數(shù)為6
C．在組成的三位數(shù)中，比300大的個(gè)數(shù)為36
D．在組成的三位數(shù)中，“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為24
11．已知函數(shù)，則（ ）
A．若，則函數(shù)的最小值為1
B．若，則
C．若，則方程僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根
D．若方程無實(shí)數(shù)根，則α的取值范圍是
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．若的展開式中的系數(shù)為______．（用數(shù)字作答）
13．已知為等差數(shù)列，且，，則______．
14．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足在R上恒成立，則不等式的解集是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．（13分）
某同學(xué)會(huì)做老師給出的6道題中的4道，現(xiàn)從這6道題中選3道讓該同學(xué)做，規(guī)定至少做出2道才能及格，試求：選出的3題中該同學(xué)會(huì)做的題目數(shù)的分布列．
16．（15分）
已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
17．（15分）
已知函數(shù)在處取得極小值－2．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
18．（17分）
已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
19．（17分）
設(shè)函數(shù)，．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：當(dāng)時(shí)，．
齊市普高聯(lián)誼校2023～2024學(xué)年下學(xué)期期中考試·高二數(shù)學(xué)
參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則
1．A 每名同學(xué)有4種選擇方法，故5名同學(xué)共有種不同的選法．
2．A ．
3．D 根據(jù)題意，，所以．
4．B ，其中AB表示：兩次點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)，且兩次點(diǎn)數(shù)之和為8，共有兩種情況，即，，故，而，所以．
5．D 由函數(shù)，可得，則，所以直線l的斜率為1．
6．C 因?yàn)閄的分布列服從兩點(diǎn)分布，所以，
因?yàn)椋?br>所以，∴，∴．
7．A 由函數(shù)，可得，，令，
解得或（舍去），則，
即平行于直線l：的直線與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，
由點(diǎn)到直線的距離公式，可得點(diǎn)P到直線l的距離為．
8．B 不考慮甲乙是否同一天加班的特殊情況，5位員工安排在3天加班，可分為與兩種情況：①：；②：，共有150種情況．若甲、乙在同一天加班，分他們都在2人組和都在3人組兩種情況，①都在2人組：；②都在3人組：，考慮兩人的特殊要求之后，共有（種）不同的值班安排方法．
9．BC 由題意，可知，即．又，∴，∴或．
10．AC 依題意，組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為，故A正確；各位數(shù)字之和為9的有；兩種組合，故各位數(shù)字之和為9的個(gè)數(shù)為，B錯(cuò)誤：比300大，則百位上的數(shù)可以為3，4，5，比300大的個(gè)數(shù)為，C正確：將這些“凸數(shù)”分為三類：①十位為1，則有（種）；②十位為2，則有（種）；③十位為3，則有（種），所以在組成的三位數(shù)中，“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為，故D錯(cuò)誤．
11．AB 若，則，，當(dāng)時(shí)，，可得在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，可得在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，函數(shù)取得最小值，，A、B正確；
若，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，可得在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，可得在上單調(diào)遞增，又，，，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程
有2個(gè)實(shí)數(shù)根，C錯(cuò)誤；
若方程無實(shí)數(shù)根，即無解，，
則，若，在上恒成立，
即在上單調(diào)遞減；，，在上有解，不合題意；
若，令，解得；
所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；
在處取得極小值，也是最小值；
即，
依題意可得，所以即可；
解得，即α的取值范圍是，D錯(cuò)誤．
12．－120 的通項(xiàng)公式為，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故的展開式中的系數(shù)為．
13． 因?yàn)?，所以?br>14． 令，則，所以在R上單調(diào)遞減，
由，得，即，
又在R上單調(diào)遞減，所以，
解得，所以不等式的解集是．
15．解：（1）記該同學(xué)會(huì)做的題目數(shù)為X，由題意，，2，3，
，，，
所以該同學(xué)會(huì)做的題目數(shù)的分布列為：
16．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，，
得
解得，，
所以．
（2）由（1）得，所以，
所以．
17．解：（1），
因?yàn)樵谔幦O小值－2，所以，得，
此時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在時(shí)取極小值，符合題意，
所以，．
又，所以．
（2）由（1）知，
所以，
列表如下：
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，所以即，
所以λ的取值范圍為．
18．解：（1）由題意得，即，
所以是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，故．
（2）由（1）知，
則，①
，②
①與②兩式相減得
，
故．
19．（1）解：由題意得：，，
由，得，由，得，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）證明：若，即，由（1）知在上單調(diào)遞增，
所以成立；
若，即，設(shè)，
則當(dāng)時(shí)，，所以，
所以，從而．
結(jié)合（1）可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
下面比較和的大小，
設(shè)，當(dāng)時(shí)，，
所以，即，
而，所以當(dāng)時(shí)，，
綜上所述：當(dāng)時(shí)，．X
1
2
3
P
x
1
3
＋
0
－
0
＋
y
極大值
極小值

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