浙江省杭州市西湖高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的
1. 已知集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由交集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>則.
故選：B
2. 若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再求共軛復(fù)數(shù).
【詳解】，則.
故選：D
3. 已知，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求得向量的坐標(biāo).
【詳解】因?yàn)椋?，則.
故選：A.
4. 如圖，一個(gè)水平放置的三角形的斜二測(cè)直觀圖是等腰直角三角形，若==2，那么原三角形的周長(zhǎng)是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)直觀圖的作圖法則，還原三角形，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，由直觀圖可知，，
所以還原平面圖形中，，，在中，,
則三角形的周長(zhǎng)為.
故選：D
5. 已知圓錐的母線長(zhǎng)為2，其側(cè)面展開圖為圓心角為的扇形，則該圓錐的底面半徑為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)圓錐的幾何量和展開圖幾何量的關(guān)系，以及扇形的弧長(zhǎng)公式，即可求解.
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，則圓錐的底面周長(zhǎng)為，
所以圓心角為，則.
故選：A
6. 已知非零向量滿足，且，則的夾角為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量的數(shù)量積和模長(zhǎng)求夾角即可.
【詳解】由已知可得，即，
又因?yàn)椋裕?br>所以?shī)A角為.
故選：C
7. 已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則不等式的解集為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由條件可得，再由函數(shù)的奇偶性可得時(shí)的解析式，然后分情況解出不等式即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，
所以，則，
則，即，
即當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，則，則，
則當(dāng)時(shí)，由可得，解得，
當(dāng)時(shí)，由可得，解得，
所以不等式得解集為.
故選：A
8. 已知的外接圓圓心為O，且則向量在向量上的投影向量為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件作圖可得為等邊三角形，根據(jù)投影向量的概念求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以外接圓圓心O為BC的中點(diǎn)，即BC為外接圓的直徑，如圖，
又，所以為等邊三角形，
則，故，
所以向量在向量上的投影向量為：．
故選：C．
二、多選題：本小題共3題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分
9. 設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，原點(diǎn)為，為虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 若，則或
B. 若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限
C. 若，則的模為
D. 若，則點(diǎn)的集合所構(gòu)成的圖形的面積為
【答案】BD
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)的模判斷AC；由復(fù)數(shù)的基本概念和幾何意義判斷BD．
【詳解】對(duì)A,由，可得，且，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B,若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第三象限，故B正確；
對(duì)C,若，則的模為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D,設(shè),若，則，
則點(diǎn)的集合所構(gòu)成的圖形的面積為，故D正確．
故選：BD．
10. 已知函數(shù)，其部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于的結(jié)論正確的是（）
A.
B. 區(qū)間上單調(diào)遞減
C. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D. 的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù)圖象
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)解析式，利用五點(diǎn)法作圖求出參數(shù)，再逐項(xiàng)分析判斷得解.
【詳解】對(duì)于A，觀察圖象，得，周期，則，
又，則，又，于是，
因此，A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，而正弦函數(shù)在是遞減，
因此在區(qū)間上單調(diào)遞減，B正確；
對(duì)于C，，的圖象關(guān)于直線不對(duì)稱，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得，D錯(cuò)誤.
故選：AB
11. 如圖，在直三棱柱中，，，，側(cè)面的對(duì)角線交點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）
A. 直三棱柱的側(cè)面積是
B. 直三棱柱的外接球表面積是
C. 三棱錐的體積與點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)
D. 的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先計(jì)算長(zhǎng)，再根據(jù)直棱柱的側(cè)面積公式，即可判斷A；首先計(jì)算外接圓的半徑，再根據(jù)幾何關(guān)系求外接球的半徑，代入公式，即可判斷B；根據(jù)體積公式，結(jié)合線與平面平行的關(guān)系，即可判斷C；利用展開圖，結(jié)合幾何關(guān)系，即可判斷D.
詳解】A.中，，
所以直棱柱的側(cè)面積為，故A正確；
B.外接圓的半徑，
所以直棱柱外接圓的半徑，
則直三棱柱外接球的表面積，故B錯(cuò)誤；
C.因?yàn)?，且平面，平面，所以平面?br>點(diǎn)在上，所以點(diǎn)到平面的距離相等，為等腰三角形底邊的高為，
且的面積為，
則三棱錐的體積為定值，與點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，故C正確；
D.將側(cè)面展開為如圖長(zhǎng)方形，連結(jié),交于點(diǎn)，
此時(shí)最小，最小值為，故D正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)解決的關(guān)鍵是將平面與展開到同一個(gè)面，利用兩點(diǎn)之間距離最短即可得解.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12 已知函數(shù)，則______．
【答案】0
【解析】
【分析】借助分段函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得.
【詳解】.
故答案為：.
13. 已知為的邊上一點(diǎn)，，，，則______．

【答案】##
【解析】
【分析】由已知可得，則，設(shè)，然后在中利用余弦定理可求出，再在中，利用正弦定理可求得結(jié)果
【詳解】因?yàn)椋裕?br>所以由，得，
所以．
設(shè)，則，，
在中，由余弦定理得，
即，解得．
所以，．
在中，由正弦定理得，
故．
故答案為：
14. 已知是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使的，則的值為______．
【答案】##
【解析】
【分析】以為基底，將表示出來(lái)，從而求得數(shù)量積.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)?，所以?br>所以.
因?yàn)椋?，?br>所以
.
故答案為：
四、解答題：本小題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟
15. 已知是虛數(shù)單位，當(dāng)實(shí)數(shù)滿足什么條件時(shí)，復(fù)數(shù)分別滿足下列條件？
（1）為實(shí)數(shù)；
（2）為虛數(shù)；
（3）為純虛數(shù)；
【答案】（1）或；
（2）且；
（3）.
【解析】
【分析】（1）（2）（3）利用復(fù)數(shù)分別表示實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的充要條件列式計(jì)算即得.
【小問1詳解】
復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則，
所以或 .
【小問2詳解】
復(fù)數(shù)是虛數(shù)，則，
所以且.
【小問3詳解】
復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，
所以.
16. 如圖，在菱形中，.
（1）若，求的值；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助平面向量線性運(yùn)算與平面向量基本定理計(jì)算即可得；
（2）借助平面向量線性運(yùn)算及數(shù)量積的計(jì)算公式計(jì)算即可得.
小問1詳解】
因?yàn)樵诹庑沃?，?br>故，
故，所以；
【小問2詳解】
，
在菱形，且，
故，，
所以.
故
17. 已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，D為BC的中點(diǎn)；
（1）求該三棱柱的體積與表面積；
（2）求三棱錐的內(nèi)切球半徑．
【答案】（1），；（2）．
【解析】
【分析】（1）直接利用體積公式求解即可，直接求解表面積，
（2）利用等體積法求法
【詳解】（1），
．
（2）
，
則三棱錐的表面積為．
設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半徑為r，則，
則
18. 的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若；
（1）求B；
（2）若，試判斷的形狀.
（3）若，求的面積的最大值．
【答案】（1）
（2）為等邊三角形
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合正弦定理分析求解；
（2）根據(jù)題意結(jié)合余弦定理分析求解；
（3）根據(jù)題意利用基本不等式可得，代入面積公式運(yùn)算求解.
【小問1詳解】
因?yàn)?，由正弦定理可得?br>因?yàn)?，則，可得，
即，所以.
【小問2詳解】
由（1）可知：，
由余弦定理可得：，
又因?yàn)椋矗?br>可得，整理得，即，
所以為等邊三角形.
【小問3詳解】
由（2）可知：，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的面積的最大值為.
19. 對(duì)于函數(shù)，，，如果存在實(shí)數(shù)a，b，使得，那么稱函數(shù)為與的生成函數(shù)．
（1）已知，，，是否存在實(shí)數(shù)a，b，使得為與的生成函數(shù)？若不存在，試說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)，時(shí)，是否存在奇函數(shù)，偶函數(shù)，使得為與的生成函數(shù)？若存在，請(qǐng)求出與的解析式，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）設(shè)函數(shù)，，，，生成函數(shù)，若函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）見解析（2）見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)兩角差的正弦化簡(jiǎn)后可得為與的生成函數(shù)；
（2）根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)可求與的解析式；
（3）根據(jù)生成函數(shù)的定義可求，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，結(jié)合二次函數(shù)的圖象可求參數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>取，故，
故存在實(shí)數(shù)，使得為與的生成函數(shù).
【小問2詳解】
若存在，則，故，
所以，
故.
【小問3詳解】
依題意可得，，

令，可得，即（或），
令（或），
結(jié)合圖象可知，
當(dāng)時(shí)，的圖象與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

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