5.1 矩形
第1課時 矩形的性質
基礎過關全練
知識點1 矩形的定義
1.【新獨家原創(chuàng)】在四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,若AO=OC,BO=DO,∠ABC=65°,要使四邊形ABCD是矩形,AB至少要繞點A逆時針旋轉( )
A.15° B.20° C.25° D.35°
知識點2 矩形的性質
2.【一題多變·利用矩形的性質求邊長】 如圖,矩形ABCD中,對角線AC,BD交于點O.若∠AOB=60°,BD=6,則AB的長為( )
A.4 B.43 C.3 D.5
[變式1·利用矩形的性質求度數] 如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD交于點O.若∠AOB=60°,則∠OCB的度數為( )
A.30° B.35° C.40° D.45°
[變式2·矩形的性質與勾股定理相結合]如圖,已知矩形ABCD的兩條對角線AC,BD相交于點O,∠AOD=120°,AB=4 cm,求BC的長.
3.如圖,O是矩形ABCD的對角線AC的中點,M是AD的中點.若AB=5,AC=13,則四邊形ABOM的周長為 .

4.如圖,矩形ABCD中,對角線交于點O.若點E為BC上一點,連結EO并延長,交AD于點F,則圖中全等三角形共有 對.
能力提升全練
5.(2023浙江杭州外國語學校期中,8,★★☆)如圖,矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,過點O作OE⊥AC交AD于點E,若AB=6,BC=8,則AE的長為( )
A.253 B.6 C.254 D.5
6.【一題多變·矩形中心在原點,求點的坐標】如圖,矩形ABCD的對角線交于點O,以點O為原點建立平面直角坐標系,AC所在直線為y軸,AB=2,∠ABD=60°,則點C的坐標為 .
[變式·矩形中心不在原點,求點的坐標]如圖,矩形ABCD在平面直角坐標系上,點E(1,0)和點F(0,1)在AB邊上,AE=EF,DF∥x軸,則點D的坐標為 .
7. (2023貴州中考,16,★★☆)如圖,在矩形ABCD中,點E為矩形內一點,且AB=1,AD=3,∠BAE=75°,∠BCE=60°,則四邊形ABCE的面積是 .
8.【一題多解】如圖,已知矩形ABCD中,F是BC上一點,且AF=BC,DE⊥AF,垂足是E,連結DF.
(1)求證:△ABF≌△DEA;
(2)求證:DF平分∠EDC.
素養(yǎng)探究全練
9.【推理能力】如圖,P是矩形ABCD內的任意一點,連結PA、PB、PC、PD,得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA,設它們的面積分別是S1、S2、S3、S4,給出如下結論:
①S1+S2=S3+S4;②S2+S4=S1+S3;③若S3=2S1,則S4=2S2;④若S1=S2,則P點在矩形的對角線上.其中正確的結論的序號是 .
第5章 特殊平行四邊形
5.1 矩形
第1課時 矩形的性質
答案全解全析
基礎過關全練
1.C ∵在四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,AO=OC,BO=DO,
∴四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠BAD+∠ABC=180°,
要使平行四邊形ABCD是矩形,只需∠BAD=90°,
∵∠BAD=180°-65°=115°,
∴AB至少要繞點A逆時針旋轉115°-90°=25°.
2.C ∵四邊形ABCD是矩形,∴OA=12AC,OB=12BD=3,AC=BD=6,∴OA=OB=3,
∵∠AOB=60°,∴△AOB是等邊三角形,
∴AB=OB=3.
[變式1]A ∵四邊形ABCD是矩形,
∴AC=BD,AO=CO,BO=DO,∴BO=CO,
∴∠OBC=∠OCB,
∵∠AOB=∠OBC+∠OCB=60°,∴∠OCB=30°.
[變式2]解析 ∵四邊形ABCD是矩形,
∴OA=12AC,OB=12BD,AC=BD.∴OA=OB=12AC,
∵∠AOD=120°,∴∠AOB=180°-∠AOD=180°-120°=60°,
∴△AOB是等邊三角形,
∴OA=AB=4 cm,∴AC=2OA=2×4=8(cm).
在Rt△ABC中,根據勾股定理得,BC=AC2-AB2=82-42=43(cm).
3.答案 20
解析 ∵在矩形ABCD中,∠ABC=∠D=90°,CD=AB=5,
∴AD=AC2-CD2=132-52=12.
∵O是矩形ABCD的對角線AC的中點,M是AD的中點,
∴OM=12CD=12AB=2.5,AM=12AD=6,
∵O是矩形ABCD的對角線AC的中點,
∴BO=12AC=6.5,∴四邊形ABOM的周長為AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20.
4.答案 10
解析 ∵四邊形ABCD為矩形,
∴AB=CD,AD=BC,AO=CO,BO=DO,AC=BD,∠ABC=∠BAD=∠ADC=∠DCB=90°,AD∥BC,
∴OA=OB=OC=OD,
在△ABC和△DCB中,AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB(SAS),
同理:△ABC≌△CDA(SAS),△ABC≌△BAD(SAS),
∴△ABC≌△DCB≌△CDA≌△BAD,
兩兩全等,共有6對;
在△DOC和△AOB中,OD=OA,∠DOC=∠AOB,OC=OB,
∴△DOC≌△AOB(SAS),
同理:△DOA≌△COB(SAS),共2對;
∵AD∥BC,∴∠OAF=∠OCE,
在△AOF和△COE中,∠OAF=∠OCE,OA=OC,∠AOF=∠COE,
∴△AOF≌△COE(ASA),
同理:△DOF≌△BOE(ASA),共2對.
綜上所述,題圖中全等三角形共有10對,
故答案為10.
能力提升全練
5.C 如圖,連結CE,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD=BC=8,CD=AB=6,∠ADC=90°,
∵O為矩形ABCD對角線的交點,
∴O為AC的中點,又∵OE⊥AC,∴OE垂直平分AC,∴AE=CE,設AE=x,則CE=x,DE=8-x,
在Rt△DEC中,∵CE2=DE2+CD2,
∴x2=(8-x)2+62,解得x=254,即AE=254,故選C.
6.答案 (0,-2)
解析 ∵四邊形ABCD是矩形,
∴OA=OB=OC=OD,
∵∠ABD=60°,∴△OAB是等邊三角形,
∴OA=OB=AB=OC=2,∴點C的坐標為(0,-2).
[變式]答案 (4,1)
解析 如圖,過點D作DH⊥x軸于點H,設AD交x軸于點G,
∵DF∥x軸,∴∠HOF=∠OFD=∠DHO=90°,∴四邊形OFDH是矩形,∴DF=OH,DH=OF,∵E(1,0),F(0,1),∴OE=OF=1,
∴∠OEF=45°,AE=EF=2,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=90°,∵∠AEG=∠OEF=45°,∴AG=AE=2,∴EG=2,∵DH=OF=1,∠DHG=90°,∠DGH=∠AGE=45°,∴GH=DH=1,∴DF=OH=OE+EG+GH=1+2+1=4,∴D(4,1).
7.答案 3-12
解析 如圖,連結AC,
在矩形ABCD中,∠B=90°,AB=1,AD=BC=3,
∴AC=AB2+BC2=2,∴AB=12AC,∴∠ACB=30°,∴∠BAC=60°,∵∠BAE=75°,∴∠CAE=15°,過E作EF⊥AC于H,交BC于F,連結AF,∵∠BCE=60°,∴∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°=∠ACB,∴∠CEF=60°,∴△CEF是等邊三角形,∴EH=FH,易知∠EAH=∠FAH=15°,∴∠BAF=45°,
∴△ABF是等腰直角三角形,∴BF=AB=1,∵BC=3,∴CF=EF=3-1,∴EH=12EF=3-12,∴四邊形ABCE的面積=S△ABC+S△AEC=12×3×1+12×2×3-12=3-12.
8.證明 (1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,AD=BC,AD∥BC.
∴∠DAE=∠AFB,
∵DE⊥AF,∴∠DEA=90°=∠B.
∵AF=BC,∴AF=AD.∴△ABF≌△DEA.
(2)證法一:由(1)知△ABF≌△DEA,∴DE=AB.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠C=90°,DC=AB.∴DC=DE.
∵DE⊥AF,∴∠DEF=90°=∠C.
∵DF=DF,∴Rt△DCF≌Rt△DEF,
∴∠CDF=∠EDF.∴DF平分∠EDC.
證法二:由(1)知△ABF≌△DEA,∴BF=EA.
∵AF=BC,∴EF=CF.
易知DC⊥CF,∵DE⊥AF,
∴DF平分∠EDC.
素養(yǎng)探究全練
9.答案 ②④
解析 過點P分別作△PAB、△PBC、△PCD、△PAD的高,分別記做h1、h2、h3、h4,如圖1,
由矩形的性質知AB=CD,AD=BC,
所以S1+S2=12AB·h1+12BC·h2,S3+S4=12CD·h3+12AD·h4,顯然①不一定成立;
S1+S3=12AB·h1+12CD·h3=12AB(h1+h3)=12AB·BC,
S2+S4=12BC·h2+12AD·h4=12BC(h2+h4)=12BC·AB,顯然②一定成立;
因為AB=DC,所以當S3=2S1時,h3=2h1,
因為點P到直線AD的距離與點P到直線BC的距離不確定,即h4與h2的長度不確定,所以S4與S2的關系不確定,故③不一定成立;
連結BD,過點A作AM⊥BD于M,過點C作CN⊥BD于N,在BD上截取BP'=BP,連結P'A、P'C,如圖2,易證△ABM≌△CDN,所以AM=CN,
由S1=S2,且△PAB、△PCB有一條公共邊PB可知,點A、C到直線BP的距離相等,
所以BP與BP'重合,即點P在對角線BD上,故④成立.
綜上,正確的結論的序號為②④.
圖1 圖2
單元大概念素養(yǎng)目標
對應新課標內容
理解矩形、菱形的概念,能運用矩形、菱形的性質定理解決相關問題
探索并證明矩形、菱形的性質定理【P66】
能運用矩形、菱形的判定定理解決相關問題
探索并證明矩形、菱形的判定定理【P66】
理解正方形的概念,知道正方形既是矩形,又是菱形,能用正方形的判定解決相關問題
正方形既是矩形,又是菱形【P66】
理解正方形具有矩形和菱形的一切性質
理解矩形、菱形、正方形之間的包含關系【P66】

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