1．（5分）若i（1﹣z）＝1，則復(fù)數(shù)z的虛部為（ ）
A．﹣1B．﹣iC．1D．i
2．（5分）平面向量，，，則與的夾角是（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）已知向量，的夾角為，且||＝2，＝（1，1），則在上投影向量的坐標(biāo)為（ ）
A．（，）B．（，）C．（，）D．（1，1）
4．（5分）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ為常數(shù)，ω＞0，A＞0）的部分圖像如圖所示，若將f（x）的圖像向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖像，則g（x）的解析式可以為（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）如圖，已知正四棱臺(tái)ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝6，A1B1＝4，BB1＝2，點(diǎn)M，N分別為A1B1，B1C1的中點(diǎn)，則下列平面中與BB1垂直的平面是（ ）
A．平面A1C1DB．平面DMNC．平面ACNMD．平面AB1C
6．（5分）在△ABC中，已知，則△ABC的形狀一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等邊三角形D．等腰或直角三角形
7．（5分）如圖所示的矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以B為圓心的圓與AC相切，P為圓上一點(diǎn)，且，若，則λμ的值為（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別為BD1，B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足MP∥平面CND1，則下列說法正確的是（ ）
A．點(diǎn)P可以是棱BB1的中點(diǎn)B．線段MP的最大值為
C．點(diǎn)P的軌跡是正方形D．點(diǎn)P軌跡的長度為
二、多選題
（多選）9．（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足z﹣2i＝zi+4，則下列說法中正確的是（ ）
A．復(fù)數(shù)z的模為
B．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限
C．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為﹣1+3i
D．
（多選）10．（5分）如圖，點(diǎn)A，B，C，M，N是正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則滿足MN∥平面ABC的有（ ）
A．B．C．D．
（多選）11．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sinxcsx，g（x）＝sinx+csx，則（ ）
A．f（x）與g（x）均在（0，）單調(diào)遞增
B．f（x）的圖象可由g（x）的圖象平移得到
C．f（x）圖象的對(duì)稱軸均為g（x）圖象的對(duì)稱軸
D．函數(shù)y＝f（x）+g（x）的最大值為
（多選）12．（5分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長分別為a，b，c，已知b＝4，c＝6，△ABC的面積S滿足，點(diǎn)O為△ABC的外心，滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．S＝6B．C．D．
三、填空題
13．（5分）計(jì)算：＝ ．
14．（5分）將邊長為20的正三角形ABC，按“斜二測(cè)”畫法在水平放置的平面上畫出為△A′B′C′，則A′C′＝ ．
15．（5分）濕地公園是國家濕地保護(hù)體系的重要組成部分，某市計(jì)劃在如圖所示的四邊形ABCD區(qū)域建一處濕地公園．已知∠DAB＝90°，∠DBA＝45°，∠BAC＝30°，∠DBC＝60°，千米，則CD＝ 千米．
16．（5分）如圖，矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，M為BC的中點(diǎn)，將△ABM沿直線AM翻折，構(gòu)成四棱錐B1﹣AMCD，N為B1D的中點(diǎn)，則在翻折過程中，
①對(duì)于任意一個(gè)位置總有CN∥平面AB1M；
②存在某個(gè)位置，使得CN⊥AB1；
③存在某個(gè)位置，使得AD⊥MB1；
④四棱錐B1﹣AMCD的體積最大值為．
上面說法中所有正確的序號(hào)是 ．
四、解答題
17．（10分）已知向量＝（5，﹣12），＝（﹣3，4）．
（1）求與夾角θ的余弦值；
（2）若向量+t與﹣垂直，求實(shí)數(shù)t的值．
18．（12分）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和對(duì)稱軸．
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
19．（12分）如圖，在Rt△PAB中，PA⊥AB，且，AB＝2，將△PAB繞直角邊PA旋轉(zhuǎn)到△PAC處，得到圓錐的一部分，點(diǎn)D是底面圓弧BC（不含端點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）是否存在點(diǎn)D，使得BC⊥PD？若存在，求出∠CAD的大小；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（2）當(dāng)四棱錐P﹣ABDC體積最大時(shí)，求C沿圓錐側(cè)面到達(dá)點(diǎn)D的最短距離．
20．（12分）在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且c﹣2bcsA＝b．
（1）求證：A＝2B；
（2）若A的角平分線交BC于D，且c＝2，求△ABD面積的取值范圍．
21．（12分）如圖，在多面體ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，△ABC和△ACD均為正三角形，AC＝4，BE＝．
（1）求多面體ABCDE的體積．
（2）在線段AC上是否存在點(diǎn)F，使得BF∥平面ADE？說明理由；
22．（12分）深圳別稱“鵬城”，是中國的窗口，“深圳之光”摩天輪是中國之眼，如圖（1），代表著開拓創(chuàng)新、包容開放的精神，向世界展示著中國自信．摩天輪的半徑為6（單位：10m），圓心O在水平地面上的射影點(diǎn)為A，摩天輪上任意一點(diǎn)P在水平地面上的射影點(diǎn)都在直線l上．水平地面上有三個(gè)觀景點(diǎn)B、C、D，如圖（2）所示．在三角形ABC中，AB＝AC，BD＝8DC，∠BAD＝90°，BC∥l，∠OBA＝45°，記OA＝a（單位：10m）．
（1）在△ABC中，求cs∠ABC的值；
（2）若摩天輪上任意一點(diǎn)P與O點(diǎn)連線與水平正方向所成的角為θ（0≤θ＜2π）如圖（3）所示，點(diǎn)P在水平地面上的投影為P0．
①用θ表示PP0，BP0，BP的長；
②因安全因素考慮，觀景點(diǎn)B與摩天輪上任意一點(diǎn)P的之間距離不超過（單位：10m），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
2022-2023學(xué)年廣東省深圳市寶安中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單選題
1．（5分）若i（1﹣z）＝1，則復(fù)數(shù)z的虛部為（ ）
A．﹣1B．﹣iC．1D．i
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及虛部的定義，即可求解．
【解答】解：i（1﹣z）＝1，
則1﹣z＝，
故z＝1+i，其虛部為1．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）平面向量，，，則與的夾角是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可求解．
【解答】解：設(shè)與的夾角是θ，θ∈[0，π]，
∵，
∴＝，
∵，，
∴2+1×4×csθ＝0，解得csθ＝，
∴與的夾角是．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）已知向量，的夾角為，且||＝2，＝（1，1），則在上投影向量的坐標(biāo)為（ ）
A．（，）B．（，）C．（，）D．（1，1）
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合投影向量的公式，即可求解．
【解答】解：向量，的夾角為，且||＝2，＝（1，1），
則，＝，
故＝＝．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題．
4．（5分）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ為常數(shù)，ω＞0，A＞0）的部分圖像如圖所示，若將f（x）的圖像向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖像，則g（x）的解析式可以為（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由圖知，最小正周期T＝，從而知ω＝3，由f（）＝A，推出φ＝2kπ﹣，k∈Z，不妨取k＝1，φ＝﹣，再由f（）＝﹣2，求出A的值，得f（x）的解析式，然后根據(jù)函數(shù)圖象的平移法則，得解．
【解答】解：由圖知，最小正周期T＝（﹣）＝，
所以ω＝＝3，
又f（）＝A，所以Asin（3?+φ）＝A，即sin（+φ）＝1，
所以+φ＝+2kπ，k∈Z，即φ＝2kπ﹣，k∈Z，
當(dāng)k＝1時(shí)，φ＝﹣，此時(shí)f（x）＝Asin（3x﹣），
因?yàn)閒（）＝﹣2，所以Asin（3?﹣）＝﹣2，即Asin＝﹣A＝﹣2，
所以A＝2，
所以f（x）＝2sin（3x﹣），
因?yàn)閷（x）的圖像向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖像，
所以g（x）＝2sin[3（x+）﹣]＝2sin（3x+）．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用函數(shù)的圖象求解析式，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
5．（5分）如圖，已知正四棱臺(tái)ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝6，A1B1＝4，BB1＝2，點(diǎn)M，N分別為A1B1，B1C1的中點(diǎn)，則下列平面中與BB1垂直的平面是（ ）
A．平面A1C1DB．平面DMNC．平面ACNMD．平面AB1C
【分析】延長AA1，BB1，CC1，DD1交于一點(diǎn)P，取PB中點(diǎn)Q，連接AQ，CQ，根據(jù)三角形相似及長度關(guān)系可得△PAB為等邊三角形，即可得AQ⊥PB，CQ⊥PB，由長度關(guān)系及平行可證明△QB1M∽△QBA，△QB1N∽△QBC，即可證明M在AQ上，N在CQ上，再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得出結(jié)果．
【解答】解：延長AA1，BB1，CC1，DD1交于一點(diǎn)P，取PB中點(diǎn)Q，連接AQ，CQ，如圖所示：
因?yàn)檎睦馀_(tái)ABCD﹣A1B1C1D1，所以P﹣A1B1C1D1為正四棱錐，
因?yàn)锳B＝6，A1B1＝4，BB1＝2，且△PA1B1∽△PAB，
所以，即，解得PB1＝4，
所以PB＝PA＝AB＝6，即△PAB為等邊三角形，
因?yàn)镼為PB中點(diǎn)，所以AQ⊥PB，且QB＝3，同理可得CQ⊥PB，
因?yàn)锽B1＝2，所以QB1＝1，即，
因?yàn)镸，N為A1B1，B1C1中點(diǎn)，所以MB1＝NB1＝2，
故，，
因?yàn)椤螿B1M＝∠QBA，∠QB1N＝∠QBC，
所以△QB1M∽△QBA，△QB1N∽△QBC，
所以∠QMB1＝∠QAB，∠QNB1＝∠QCB，
因?yàn)镸B1∥AB，NB1∥CB，
所以M在AQ上，N在CQ上，
因?yàn)锳Q⊥PB，CQ⊥PB，所以AM⊥PB，CN⊥PB，
即AM⊥BB1，CN⊥BB1，因?yàn)锳M?平面AMCN，CN?平面AMCN，AM∩CN＝Q，所以BB1⊥平面AMCN．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線面垂直的判定，棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．
6．（5分）在△ABC中，已知，則△ABC的形狀一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等邊三角形D．等腰或直角三角形
【分析】先通過“邊化角”，再通過輔助角公式即可求解．
【解答】解：因?yàn)椋?br>所以sinA+sinB＝+＝csA+csB，整理可得sinA﹣csA＝﹣sinB+csB，
所以sin（A﹣）＝﹣sin（B﹣），
又因?yàn)锳，B∈（0，π），
所以A﹣∈（﹣，），B﹣∈（﹣，），
所以A﹣＝﹣（B﹣），可得A+B＝，
所以△ABC的形狀一定是直角三角形．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的正弦公式以及正弦函數(shù)的性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，屬于中檔題．
7．（5分）如圖所示的矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以B為圓心的圓與AC相切，P為圓上一點(diǎn)，且，若，則λμ的值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】過點(diǎn)P做PE⊥AB交AB延長線于點(diǎn)E，先根據(jù)相切及等面積法求出圓的半徑即BP的長度，再根據(jù)，求出BE，PE的長度，根據(jù)長度之間的比例及向量共線定理分別可得與之間的等式關(guān)系，代入中，故可得λ，μ的值，即可選出結(jié)果．
【解答】解：過點(diǎn)P做PE⊥AB交AB延長線于點(diǎn)E，如圖所示：
因?yàn)榫匦蜛BCD中，AB＝4，AD＝3，所以，
因?yàn)镻為圓上一點(diǎn)，所以BP為圓的半徑，
因?yàn)閳A與AC相切，根據(jù)△ACB面積相等可得：，即，
解得，因?yàn)?，所以?br>所以，
因?yàn)镻E⊥AB，
所以PE∥AD，
因?yàn)锳D＝3，，
所以，
所以，
因?yàn)椋珹B＝4，
所以，
所以，
所以，
所以，
故，所以．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量基本定理，屬于中檔題．
8．（5分）在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別為BD1，B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足MP∥平面CND1，則下列說法正確的是（ ）
A．點(diǎn)P可以是棱BB1的中點(diǎn)
B．線段MP的最大值為
C．點(diǎn)P的軌跡是正方形
D．點(diǎn)P軌跡的長度為
【分析】取棱BC的中點(diǎn)E，連接DE，B1E，ME，進(jìn)而證明平面B1EM平面CND1，再結(jié)合題意可知直線B1M必過D點(diǎn)，進(jìn)而取A1D1中點(diǎn)F，連接B1F，F(xiàn)D，DE，證明F∈平面B1EM即可得四邊形B1EDF為點(diǎn)P的軌跡，再根據(jù)幾何關(guān)系依次判斷各選項(xiàng)即可．
【解答】解：如圖，取棱BC的中點(diǎn)E，連接DE，B1E，ME，
因?yàn)镸，N分別為BD1，B1C1的中點(diǎn)，
所以在△BCD1中，ME∥CD1，由于ME?平面CND1，CD1?平面CND1，
所以ME∥平面CND1，
因?yàn)锽1N∥CE，B1N＝CE，所以，四邊形CNB1E為平行四邊形，
所以CN∥B1E，因?yàn)镃N?平面CND1，B1E?平面CND1，
所以B1E∥平面CND1，
因?yàn)锽1E∩ME＝E，B1E，ME?平面B1EM，
所以平面B1EM∥平面CND1，
由于M為體對(duì)角線BD1的中點(diǎn)，
所以，連接B1M并延長，直線B1M必過D點(diǎn)，
故取A1D1中點(diǎn)F，連接B1F，F(xiàn)D，DE，
所以由正方體的性質(zhì)易知FD1∥CE，F(xiàn)D1＝CE，
所以四邊形CD1FE是平行四邊形，EF∥CD1，EF＝CD1，
因?yàn)镸E∥CD1，，
所以E，F(xiàn)，M共線，即F∈平面B1EM，
所以四邊形B1EDF為點(diǎn)P的軌跡，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由正方體的棱長為1，所以四邊形B1EDF的棱長均為，且對(duì)角線為，
所以四邊形B1EDF為菱形，周長為，故CD選項(xiàng)錯(cuò)誤，
由菱形的性質(zhì)知，線段MP的最大值為，故B選項(xiàng)正確．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了直線與平面平行的判定定理，屬于中檔題．
二、多選題
（多選）9．（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足z﹣2i＝zi+4，則下列說法中正確的是（ ）
A．復(fù)數(shù)z的模為
B．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限
C．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為﹣1+3i
D．
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和幾何意義求解即可．
【解答】解：因?yàn)閦﹣2i＝zi+4，
所以（1﹣i）z＝4+2i，，
有，故A正確；
復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1，3），位于第一象限，故B錯(cuò)誤；
復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z＝1﹣3i，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)?，故D正確．
故選：AD．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）10．（5分）如圖，點(diǎn)A，B，C，M，N是正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則滿足MN∥平面ABC的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】結(jié)合線面的位置關(guān)系以及線面平行的判定定理確定正確選項(xiàng)．
【解答】解：對(duì)于A選項(xiàng)，由下圖可知MN∥DE∥AC，MN?平面ABC，AC?平面ABC，所以MN∥平面ABC，A正確．
對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)H是EG的中點(diǎn)，由下圖，結(jié)合正方體的性質(zhì)可知，AB∥NH，MN∥AH∥BC，AM∥CH，所以A，B，C，H，N，M六點(diǎn)共面，B錯(cuò)誤．
對(duì)于C選項(xiàng)，如下圖所示，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知MN∥AD，由于AD?平面ABC，所以MN?平面ABC，所以C錯(cuò)誤．

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)AC∩NE＝D，由于四邊形AECN是矩形，所以D是NE中點(diǎn)，由于B是ME中點(diǎn)，所以MN∥BD，
由于MN?平面ABC，BD?平面ABC，所以MN∥平面ABC，D正確．
故選：AD．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間中直線和平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）11．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sinxcsx，g（x）＝sinx+csx，則（ ）
A．f（x）與g（x）均在（0，）單調(diào)遞增
B．f（x）的圖象可由g（x）的圖象平移得到
C．f（x）圖象的對(duì)稱軸均為g（x）圖象的對(duì)稱軸
D．函數(shù)y＝f（x）+g（x）的最大值為
【分析】利用二倍角公式化簡可得f（x）＝sin2x，利用輔助角公式化簡可得g（x）＝sin（x+），再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐一分析選項(xiàng)，即可．
【解答】解：f（x）＝sinxcsx＝sin2x，g（x）＝sinx+csx＝sin（x+），
選項(xiàng)A，由x∈（0，）知，2x∈（0，），x+∈（，），
又函數(shù)y＝sinx在（0，）上單調(diào)遞增，
所以f（x）與g（x）均在（0，）單調(diào)遞增，即A正確；
選項(xiàng)B，f（x）的圖象需由g（x）的圖象經(jīng)過平移和伸縮變換得到，即B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C，令2x＝+k1π，k1∈Z，則x＝+，k1∈Z，
所以f（x）圖象的對(duì)稱軸為x＝+，k1∈Z，
令x+＝+k2π，k2∈Z，則x＝+k2π，k2∈Z，
所以g（x）圖象的對(duì)稱軸為x＝+k2π，k2∈Z，
所以g（x）圖象的對(duì)稱軸均為f（x）圖象的對(duì)稱軸，即C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D，f（x）max＝，g（x）max＝，
而當(dāng)x＝時(shí)，f（x）max＝與g（x）max＝可同時(shí)成立，
所以y＝f（x）+g（x）的最大值為，即D正確．
故選：AD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
（多選）12．（5分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長分別為a，b，c，已知b＝4，c＝6，△ABC的面積S滿足，點(diǎn)O為△ABC的外心，滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．S＝6B．C．D．
【分析】根據(jù)及b＝4，c＝6及余弦定理可得出，兩邊平方即可求出，，然后根據(jù)三角形面積公式可求出S＝6，A正確；根據(jù)及向量數(shù)量積的計(jì)算公式可求出的值，從而判斷B的正誤；由可得出，然后可得出關(guān)于λ，μ的方程組，解出λ即可判斷D的正誤；根據(jù)余弦定理可求出a，根據(jù)正弦定理可求出的值，從而判斷C的正誤．
【解答】解：∵，且b＝4，c＝6，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，解得或﹣1（舍去），∴，
∴，A正確；
如圖，O為△ABC的外心，則：
＝＝＝＝，B正確；
∵，∴，且，，
∴，化簡得，解得，，D正確；
根據(jù)余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bccsA＝16+36﹣＝，∴，
根據(jù)正弦定理，＝，∴，C錯(cuò)誤．
故選：ABD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理和余弦定理，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，三角形外心的定義，考查了計(jì)算能力，屬于難題．
三、填空題
13．（5分）計(jì)算：＝ ．
【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）將邊長為20的正三角形ABC，按“斜二測(cè)”畫法在水平放置的平面上畫出為△A′B′C′，則A′C′＝ 5（﹣1） ．
【分析】先在直角坐標(biāo)系中得出各邊的數(shù)值，再按“斜二測(cè)”畫法作圖，得出相關(guān)關(guān)系，再利用余弦定理，求出邊A′C′
【解答】解：由題意，在平面直角坐標(biāo)系中，三角形ABC是邊長為20的正三角形，
∴AB＝BC＝20，BC邊上的高為，
按“斜二測(cè)”畫法如下圖所示：
∴，，
在三角形A'C'D'中，∠A'D'C'＝45°，
由余弦定理得，．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查斜二測(cè)畫法相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．
15．（5分）濕地公園是國家濕地保護(hù)體系的重要組成部分，某市計(jì)劃在如圖所示的四邊形ABCD區(qū)域建一處濕地公園．已知∠DAB＝90°，∠DBA＝45°，∠BAC＝30°，∠DBC＝60°，千米，則CD＝ 千米．
【分析】在△BAC中由正弦定理可得AC，在△DAC中由余弦定理可得CD．
【解答】解：由題意可知，，
所以，
即，
所以，
所以，
又∠DAB＝90°，∠DBA＝45°，
所以△ABD為等腰直角三角形，
所以，
在△DAC中由余弦定理得
＝，
所以．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形中的幾何計(jì)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
16．（5分）如圖，矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，M為BC的中點(diǎn)，將△ABM沿直線AM翻折，構(gòu)成四棱錐B1﹣AMCD，N為B1D的中點(diǎn)，則在翻折過程中，
①對(duì)于任意一個(gè)位置總有CN∥平面AB1M；
②存在某個(gè)位置，使得CN⊥AB1；
③存在某個(gè)位置，使得AD⊥MB1；
④四棱錐B1﹣AMCD的體積最大值為．
上面說法中所有正確的序號(hào)是 ①④ ．
【分析】證明EM∥NC，結(jié)合線面平行判定判斷①；由EM∥NC結(jié)合AB1與EM不垂直，判斷②；由線面垂直的判定得出點(diǎn)B1與點(diǎn)F重合，從而判斷③；取AM的中點(diǎn)為G，連接B1G，當(dāng)B1G⊥平面AMCD時(shí)，四棱錐B1﹣AMCD的體積最大，從而判斷④．
【解答】解：如圖，分別取AB1，AD的中點(diǎn)為E，F(xiàn)，連接EN，EM，B1F，F(xiàn)M，
因?yàn)锳B1，B1D的中點(diǎn)分別為E，N，所以EN∥AD∥MC，且EN＝AD＝MC，
即四邊形ENCM為平行四邊形，故EM∥NC，由線面平行的判定可知對(duì)于任意一個(gè)位置總有CN∥平面AB1M，故①正確；
因?yàn)椤螦B1M＝90°，所以AB1與EM不垂直，由EM∥NC可知，AB1與NC不垂直，故②錯(cuò)誤；
由題意AB1⊥B1M，若AD⊥MB1，則由線面垂直的判定可得MB1⊥平面AB1D，則MB1⊥B1D，
因?yàn)锳M＝MD，所以△AMB1與△MB1D全等，則AB1＝B1D＝1，此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)F重合，不能形成四棱錐B1﹣AMCD，故③錯(cuò)誤；
如圖，取AM的中點(diǎn)為G，連接B1G，B1G＝，
當(dāng)B1G⊥平面AMCD時(shí)，四棱錐B1﹣AMCD的體積最大，最大值為（1+2）×1×＝，故④正確；
故答案為：①④．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線線、線面位置關(guān)系的判斷，棱錐體積的求法，考查邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
四、解答題
17．（10分）已知向量＝（5，﹣12），＝（﹣3，4）．
（1）求與夾角θ的余弦值；
（2）若向量+t與﹣垂直，求實(shí)數(shù)t的值．
【分析】（1）結(jié)合向量數(shù)量積性質(zhì)夾角公式的坐標(biāo)表示即可求解；
（2）由向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解．
【解答】解：（1）∵，
∴，
（2）∵，
又與垂直，
∴，
即8（5﹣3t）﹣16（﹣12+4t）＝0，解得．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．
18．（12分）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和對(duì)稱軸．
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
【分析】（Ⅰ）先由誘導(dǎo)公式、二倍角公式及變形公式、輔助角公式等進(jìn)行三角變換，將f（x）化為Asin（ωx+φ）+b形式，再利用周期公式求出周期；
（Ⅱ）由x的范圍求出2x+的范圍，進(jìn)而求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
【解答】解：（Ⅰ）
＝
＝，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期；
由2x+＝kπ+，解得x＝+，k∈Z；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)即時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
即函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[﹣，]．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查誘導(dǎo)公式、二倍角公式及變形公式、輔助角公式等進(jìn)行三角變換，以及函數(shù)性質(zhì)的求解，屬于基礎(chǔ)題．
19．（12分）如圖，在Rt△PAB中，PA⊥AB，且，AB＝2，將△PAB繞直角邊PA旋轉(zhuǎn)到△PAC處，得到圓錐的一部分，點(diǎn)D是底面圓弧BC（不含端點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）是否存在點(diǎn)D，使得BC⊥PD？若存在，求出∠CAD的大?。蝗舨淮嬖?，請(qǐng)說明理由；
（2）當(dāng)四棱錐P﹣ABDC體積最大時(shí)，求C沿圓錐側(cè)面到達(dá)點(diǎn)D的最短距離．
【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理進(jìn)行判斷求解即可．
（2）根據(jù)條件得到四棱錐P﹣ABDC體積最大時(shí)對(duì)應(yīng)的等價(jià)條件，利用扇形的弧長公式以及余弦定理進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：（1）∵在圓錐中，PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC，
若BC⊥PD，
∵PD∩PA＝P，∴BC⊥平面PAD即可，
則BC⊥AD，即可，
∵AB＝AC，即△ABC是等腰三角形，∴AD是BC邊上的中垂線即可，
即當(dāng)D是弧BC的中點(diǎn)時(shí)，滿足BC⊥PD，此時(shí)∠CAD＝＝．
（2）在四棱錐P﹣ABDC，高PA＝2是定值，要使四棱錐P﹣ABDC體積最大，則只需要四邊形ABCB的面積最大即可，
設(shè)∠CAD＝θ，（0＜θ＜），則∠BAD＝﹣θ，
設(shè)圓錐底面半徑為R，則R＝AB＝2，
則ABCB的面積S＝S△CAD+S△BAD＝R2sinθ+R2sin（﹣θ）＝2sinθ+2sin（﹣θ）＝2sinθ+csθ+sinθ＝3sinθ+csθ＝2（sinθ+csθ）＝2sin（θ+），
∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，
則當(dāng)θ+＝時(shí)，即θ＝時(shí)，ABCB的面積S最大，此時(shí)四棱錐P﹣ABDC體積最大，此時(shí)D為的中點(diǎn)，
其中＝×AC＝，
將圓錐的側(cè)面展開后得到扇形如圖：
∵，AB＝2，
∴母線PB＝＝4，
則圓心角∠CPB＝＝，
∵D是的中點(diǎn)，
∴∠CPD＝∠CPB＝，
則CD2＝PC2+PB2﹣2PC?PBcs＝16+16﹣2×4×4×＝32﹣16＝8（4﹣2）＝8（﹣1）2，
則CD＝×（）＝2（）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間直線垂直的判定，利用線面垂直的判定定理以及扇形的弧長公式，余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．
20．（12分）在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且c﹣2bcsA＝b．
（1）求證：A＝2B；
（2）若A的角平分線交BC于D，且c＝2，求△ABD面積的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，以及三角函數(shù)的恒等變換，即可求證；
（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，推得AD＝BD＝，再結(jié)合三角形的面積公式，以及角B的取值范圍，即可求解．
【解答】證明：（1）∵c﹣2bcsA＝b，
∴由正弦定理可得，sinC﹣2sinBcsA＝sinB，
∵A+B+C＝π，
∴sin（A+B）＝sinC，
∴sin（A+B）﹣2sinBcsA＝sinAcsB+csAsinB﹣2sinBcsA＝sinB，
∴sin（A﹣B）＝sinB，
∵△ABC為銳角三角形，
∴A∈（0，），B∈（0，），
∴A﹣B∈，
∵y＝sinx在（﹣，）上單調(diào)遞增，
∴A﹣B＝B，即A＝2B；
（2）解：∵A＝2B，
∴在△ABD中，∠ABC＝∠BAD，
由正弦定理可得，＝，
∴AD＝BD＝，
∴＝，
∵△ABC為銳角三角形，
∴，解得，
∴，
∴△ABD面積的取值范圍為（）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
21．（12分）如圖，在多面體ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，△ABC和△ACD均為正三角形，AC＝4，BE＝．
（1）求多面體ABCDE的體積．
（2）在線段AC上是否存在點(diǎn)F，使得BF∥平面ADE？說明理由；
【分析】（1）在平面ABC內(nèi)，過B作BH⊥AC，垂足點(diǎn)為H，則易得BH⊥平面ACD，同理可得DH⊥平面ABC，從而易得E到平面ACD的距離等于B到平面ACD的距離，即為BH，又多面體ABCDE的體積為：VE﹣ABC+VE﹣ACD，最后根據(jù)錐體的體積公式，計(jì)算即可求解；
（2）取DH的中點(diǎn)G，取AH的中點(diǎn)F，則易證平面BGF∥平面ADE，從而得BF∥平面ADE．
【解答】解：（1）如圖，在平面ABC內(nèi)，過B作BH⊥AC，垂足點(diǎn)為H，
又平面ACD⊥平面ABC，且平面ACD∩平面ABC＝AC，
∴BH⊥平面ACD，
∵△ABC和△ACD均為正三角形，∴H為AC中點(diǎn)，DH⊥AC，
又平面ACD⊥平面ABC，且平面ACD∩平面ABC＝AC，
∴DH⊥平面ABC，又BE⊥平面ABC，
∴DH∥EB，又EB?平面ACD，DH?平面ACD，
∴EB∥平面ACD，
∴E到平面ACD的距離等于B到平面ACD的距離，即為BH，
又AC＝4，BE＝，∴BH＝DH＝，
∴多面體ABCDE的體積為：
VE﹣ABC+VE﹣ACD＝+＝12；
（2）由（1）可知四邊形DHBE為直角梯形，DH＝2EB，且H為AC中點(diǎn)，
取DH的中點(diǎn)G，連接GB，則易知GB∥DE，
又GB?平面ADE，DE?平面ADE，∴GB∥平面ADE，
再取AH的中點(diǎn)F，連接GF，F(xiàn)B，則GF∥AD，
同理可證GF∥平面ADE，又GF∩GB＝G，
∴平面BGF∥平面ADE，又BF?平面BGF，
∴BF∥平面ADE，
∵H為AC中點(diǎn)，F(xiàn)為AH的中點(diǎn)，
∴AC＝4AF，
故AC上存在點(diǎn)F，且AC＝4AF，使得BF∥平面ADE．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查多面體的體積的求解，線面平行的證明，面面垂直的性質(zhì)定理，面面平行的判定定理與性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
22．（12分）深圳別稱“鵬城”，是中國的窗口，“深圳之光”摩天輪是中國之眼，如圖（1），代表著開拓創(chuàng)新、包容開放的精神，向世界展示著中國自信．摩天輪的半徑為6（單位：10m），圓心O在水平地面上的射影點(diǎn)為A，摩天輪上任意一點(diǎn)P在水平地面上的射影點(diǎn)都在直線l上．水平地面上有三個(gè)觀景點(diǎn)B、C、D，如圖（2）所示．在三角形ABC中，AB＝AC，BD＝8DC，∠BAD＝90°，BC∥l，∠OBA＝45°，記OA＝a（單位：10m）．
（1）在△ABC中，求cs∠ABC的值；
（2）若摩天輪上任意一點(diǎn)P與O點(diǎn)連線與水平正方向所成的角為θ（0≤θ＜2π）如圖（3）所示，點(diǎn)P在水平地面上的投影為P0．
①用θ表示PP0，BP0，BP的長；
②因安全因素考慮，觀景點(diǎn)B與摩天輪上任意一點(diǎn)P的之間距離不超過（單位：10m），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【分析】（1）設(shè)DC＝m，則BD＝8m，進(jìn)而由余弦定理求解即可得答案，要注意OA⊥平面ABC；（2）過點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，連接BQ，PB，要使PB盡可能的大，結(jié)合幾何關(guān)系得PB，利用三角換元求解得，最后解不等式 即可得答案．
【解答】解：設(shè)DC＝m，則BD＝8m，所以在△ABD和△ABC中，
分別利用余弦定理得：，
所以a2＝36m2，所以a＝6m，則 ；
（2）根據(jù)題意，觀景點(diǎn)B與摩天輪上任意一點(diǎn)P的之間距離不超過，
即 ，過點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，連接BQ，PB，
要使PB盡可能的大，則點(diǎn)P在直線m的上方部分，
且Q在點(diǎn)A的右側(cè)，如圖，設(shè)PQ＝h，AQ＝x，a≤h≤a+6，由于PQ垂直底面ABC，
在Rt△OPE中，（h﹣a）2+x2＝36，則h2+a2+x2﹣2ah＝36，
所以
＝＝，令，
則2h+x＝2a+12csθ+9sinθ＝2a+15sn（θ+φ）≤2a+15（其中tanφ＝），
所以 ，即2a2+15a﹣203≤0，
所以（a﹣7）（2a+29）≤0，解得a≤7，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍（6，7]．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查三角的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/4/18 11:24:05；用戶：1848518485；郵箱：1848518485@qq.cm；學(xué)號(hào)：20021486

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