1．（5分）設集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，則（A∪B）∩C＝（ ）
A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，6}D．{x∈R|﹣1≤x≤5}
2．（5分）已知條件p：﹣1＜x＜1，q：x＞m，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1]
3．（5分）對任意實數(shù)x，不等式2kx2+kx﹣3＜0恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．（﹣24，0）B．（﹣24，0]C．（0，24]D．[24，+∞）
4．（5分）函數(shù)y＝x2﹣3|x|的一個單調遞減區(qū)間為（ ）
A．B．C．[0，+∞）D．
5．（5分）已知冪函數(shù)f（x）＝（3m2﹣2m）x﹣m滿足f（2）＞f（3），則m＝（ ）
A．B．C．﹣1D．1
6．（5分）已知奇函數(shù)y＝f（x）在x≤0時的表達式為f（x）＝x2+3x，則x＞0時f（x）的表達式為（ ）
A．f（x）＝x2+3xB．f（x）＝x2﹣3x
C．f（x）＝﹣x2+3xD．f（x）＝﹣x2﹣3x
7．（5分）設a∈R，已知函數(shù)y＝f（x）的定義域是[﹣4，4]且為奇函數(shù)且在[0，4]是減函數(shù)，且f（a+1）＞f（2a），則a的取值范圍是（ ）
A．[﹣4，1）B．（1，4]C．（1，2]D．（1，+∞）
8．（5分）已知函數(shù)f（x）的最小值為f（1），則a的取值范圍是（ ）
A．[1，5]B．[5，+∞）
C．（0，5]D．（﹣∞，1]∪[5，+∞）
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。
（多選）9．（5分）在下列四組函數(shù)中，f（x）與g（x）不表示同一函數(shù)的是（ ）
A．f（x）＝x﹣1，
B．f（x）＝|x+1|，
C．f（x）＝1，g（x）＝（x+1）0
D．，
（多選）10．（5分）下列命題正確的是（ ）
A．“a＞1“是“”的充分不必要條件
B．命題“?x＜1，x2＜1”的否定是“?x＜1，x2≥1”
C．設x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分條件
D．設a，b∈R，則“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分條件
（多選）11．（5分）已知定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：
①?x∈R，f（﹣x）＝f（x）；
②?x1，x2∈（0，+∞），當x1≠x2時，；
③f（﹣1）＝0．
則下列選項成立的是（ ）
A．f（3）＞f（4）
B．若f（m﹣1）＜f（2），則m∈（﹣1，3）
C．若，則x∈（﹣1，0）∪（1，+∞）
D．?x∈R，?m∈R，使得f（x）≥m
（多選）12．（5分）函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（x+1）為奇函數(shù)，f（x+2）為偶函數(shù)，則（ ）
A．f（﹣x﹣1）＝﹣f（x+1）B．f（4+x）＝f（﹣x）
C．f（x）為偶函數(shù)D．f（x﹣3）為偶函數(shù)
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．（5分）設U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U丨x2﹣mx＝0}，若?UA＝{1，2}，則實數(shù)m＝ ．
14．（5分）已知函數(shù)f（x）對于任意的x都有f（x）﹣2f（﹣x）＝1+2x，則f（x）＝ ．
15．（5分）命題“?x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍為 ．
16．（5分）不等式ax2，（a＞0）對?x＞﹣1恒成立，實數(shù)a的取值范圍是 ．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x2﹣5x+4≥0}．
（1）當a＝3時，求A∩B；
（2）若a＞0，且“x∈A”是“x∈?RB”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．
18．（12分）已知二次函數(shù)y＝f（x）滿足f（0）＝3，且f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)在區(qū)間[﹣2，t]（t＞﹣2）上的最大值g（t）．
19．（12分）已知函數(shù)，（a＞0）為奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）的最小值為2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）試討論關于x的方程|f（x）﹣3|＝k的根的個數(shù)情況．
20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝mx2﹣（3m﹣1）x+m﹣2，（m∈R）．
（1）若f（x）在區(qū)間[2，3]上為單調遞增，求m的取值范圍；
（2）解關于x不等式f（x）+m＞0．
21．（12分）2022年第24屆北京冬季奧林匹克運動會，于2022年2月4日星期五開幕，將于2月20日星期日閉幕．該奧運會激發(fā)了大家對冰雪運動的熱情，與冰雪運動有關的商品銷量持續(xù)增長．對某店鋪某款冰雪運動裝備在過去的一個月內（以30天計）的銷售情況進行調查發(fā)現(xiàn)：該款冰雪運動裝備的日銷售單價P（x）（元/套）與時間x（被調查的一個月內的第x天）的函數(shù)關系近似滿足（k為正常數(shù)）．該商品的日銷售量Q（x）（個）與時間x（天）部分數(shù)據(jù)如表所示：
已知第10天該商品的日銷售收入為121元．
（1）求k的值；
（2）給出兩種函數(shù)模型：（1）Q（x）＝ax+b，（2）Q（x）＝a|x﹣25|+b，請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認為最合適的一種函數(shù)來描述該商品的日銷售量Q（x）與時間x的關系，并求出該函數(shù)的解析式；
（3）求該商品的日銷售收入f（x）（1≤x≤30，x∈N*）（元）的最小值．
22．（12分）定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足下面三個條件：
①對任意正數(shù)a，b，都有f（a）+f（b）＝f（ab）；
②當x＞1時，f（x）＜0；
③f（2）＝﹣1．
（1）求f（1）和的值；
（2）試用單調性定義證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（3）若對?x∈[2，3]，f（4x2+4）+2＜f（ax）恒成立，求a的取值范圍．
2022-2023學年廣東省深圳市寶安中學高一（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．（5分）設集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，則（A∪B）∩C＝（ ）
A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，6}D．{x∈R|﹣1≤x≤5}
【解答】解：集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|﹣1≤x≤5}，
∴A∪B＝{1，2，4，6}，
則（A∪B）∩C＝{1，2，4}．
故選：B．
2．（5分）已知條件p：﹣1＜x＜1，q：x＞m，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1]
【解答】解：由p：﹣1＜x＜1，q：x＞m，
若p是q的充分不必要條件，
則{x|﹣1＜x＜1}?{x|x＞m}，
則m≤﹣1，
故選：D．
3．（5分）對任意實數(shù)x，不等式2kx2+kx﹣3＜0恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．（﹣24，0）B．（﹣24，0]C．（0，24]D．[24，+∞）
【解答】解：因為對任意實數(shù)x，不等式2kx2+kx﹣3＜0恒成立，
當k＝0時，不等式化為﹣3＜0恒成立，
當k≠0時，只需，解得﹣24＜k＜0，
綜上，實數(shù)k的范圍為（﹣24，0]，
故選：B．
4．（5分）函數(shù)y＝x2﹣3|x|的一個單調遞減區(qū)間為（ ）
A．B．C．[0，+∞）D．
【解答】解：y＝x2﹣3|x|＝|x|2﹣3|x|，其圖象相當于函數(shù)y＝x2﹣3x的圖象去掉x＜0部分的圖象，再將x≥0部分的圖象關于y軸對稱而得到，
其大致圖象如下：
由圖象可知，其一個單調遞減區(qū)間為．
故選：A．
5．（5分）已知冪函數(shù)f（x）＝（3m2﹣2m）x﹣m滿足f（2）＞f（3），則m＝（ ）
A．B．C．﹣1D．1
【解答】解：因為冪函數(shù)f（x）＝（3m2﹣2m）x﹣m，
故3m2﹣2m＝1，解得m＝1或m，
當m＝1時，f（x）＝x﹣1滿足f（2）＞f（3），
當m時，f（x）不滿足f（2）＞f（3）．
故選：D．
6．（5分）已知奇函數(shù)y＝f（x）在x≤0時的表達式為f（x）＝x2+3x，則x＞0時f（x）的表達式為（ ）
A．f（x）＝x2+3xB．f（x）＝x2﹣3x
C．f（x）＝﹣x2+3xD．f（x）＝﹣x2﹣3x
【解答】解：設x＞0，則﹣x＜0，
又x≤0時，f（x）＝x2+3x，
∴f（﹣x）＝（﹣x）2﹣3x＝x2﹣3x，
又f（x）為奇函數(shù)，則f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+3x．
故選：C．
7．（5分）設a∈R，已知函數(shù)y＝f（x）的定義域是[﹣4，4]且為奇函數(shù)且在[0，4]是減函數(shù)，且f（a+1）＞f（2a），則a的取值范圍是（ ）
A．[﹣4，1）B．（1，4]C．（1，2]D．（1，+∞）
【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)y＝f（x）的定義域是[﹣4，4]且為奇函數(shù)且在[0，4]上是減函數(shù)，
則f（x）在[﹣4，0]上也是減函數(shù)，
故函數(shù)y＝f（x）是定義在[﹣4，4]上的減函數(shù)，
若f（a+1）＞f（2a），則有﹣4≤a+1＜2a≤4，
解得：1＜a≤2，故a的取值范圍為（1，2]；
故選：C．
8．（5分）已知函數(shù)f（x）的最小值為f（1），則a的取值范圍是（ ）
A．[1，5]B．[5，+∞）
C．（0，5]D．（﹣∞，1]∪[5，+∞）
【解答】解：因為函數(shù)f（x）的最小值為f（1），
當x＞1時，f（x）＝x3a，由對勾函數(shù)的性質可知，函數(shù)在（1，4]上單調遞減，在（4，+∞）上單調遞增，
所以此時最小值為f（4）＝8﹣3a；
當x≤1時，f（x）＝x2﹣2ax+2，對稱軸為x＝a，
當a＜1時，則f（x）在（﹣∞，a]上單調遞減，在（a，1]上單調遞增，不滿足最小值為f（1），
當a＝1時，則f（x）在（﹣∞，1]上單調遞減，在（1，4]上單調遞減，在（4，+∞）上單調遞增，
又f（1）＝1，f（4）＝5，滿足題意；
當a＞1時，則f（x）在（﹣∞，1]上單調遞減，在（1，4]上單調遞減，在（4，+∞）上單調遞增，
要使函數(shù)的最小值為f（1），則必有f（1）≤f（4），
即3﹣2a≤8﹣3a，解得a≤5，
綜上所述，a的范圍為[1，5]．
故選：A．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。
（多選）9．（5分）在下列四組函數(shù)中，f（x）與g（x）不表示同一函數(shù)的是（ ）
A．f（x）＝x﹣1，
B．f（x）＝|x+1|，
C．f（x）＝1，g（x）＝（x+1）0
D．，
【解答】解：對于A，f（x）＝x﹣1的定義域是R，的定義域是{x|x≠﹣1}，
故A中f（x）與g（x）不表示同一函數(shù)；
對于B，f（x）＝|x+1|，的定義域和對應法則都相同，
故B中f（x）與g（x）表示同一函數(shù)；
對于C，f（x）＝1的定義域為R，g（x）＝（x+1）0的定義域是{x|x≠﹣1}，
故C中f（x）與g（x）不表示同一函數(shù)；
對于D，f（x）的定義域是{x|x≥0}，
故f（x）＝x，
而g（x）＝x的定義域是{x|x≥0}，
故D中f（x）與g（x）表示同一函數(shù)．
故選：AC．
（多選）10．（5分）下列命題正確的是（ ）
A．“a＞1“是“”的充分不必要條件
B．命題“?x＜1，x2＜1”的否定是“?x＜1，x2≥1”
C．設x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分條件
D．設a，b∈R，則“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分條件
【解答】解：對于A，當a＞1時，1，充分性成立；當1時，有a＜0或a＞1，必要性不成立，
所以“a＞1“是“”的充分不必要條件，故A正確；
對于B，命題“?x＜1，x2＜1”的否定是“?x＜1，x2≥1”，故B正確；
對于C，x，y∈R，則x≥2且y≥2時，x2+y2≥4，充分性成立；x2+y2≥4時，不能得出x≥2且y≥2，必要性不成立，
所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要條件，故C錯誤；
對于D，設a，b∈R，a≠0時，不能得出ab≠0，充分性不成立；“ab≠0”時，得出a≠0，必要性成立，
所以“a≠0”是“ab≠0”的是必要不充分條件，故D正確．
故選：ABD．
（多選）11．（5分）已知定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：
①?x∈R，f（﹣x）＝f（x）；
②?x1，x2∈（0，+∞），當x1≠x2時，；
③f（﹣1）＝0．
則下列選項成立的是（ ）
A．f（3）＞f（4）
B．若f（m﹣1）＜f（2），則m∈（﹣1，3）
C．若，則x∈（﹣1，0）∪（1，+∞）
D．?x∈R，?m∈R，使得f（x）≥m
【解答】解：∵定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象是連續(xù)不斷的，
又∵?x∈R，f（﹣x）＝f（x），?x1，x2∈（0，+∞），當x1≠x2時，，
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增，且f（x）為偶函數(shù)，
對于A，∵f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∴f（3）＜f（4），故A錯誤，
對于B，∵f（x）是偶函數(shù)，f（m﹣1）＜f（2），
∴|m﹣1|＜2，解得﹣1＜m＜3，故B正確，
對于C，∵是奇函數(shù)，且，f（﹣1）＝0
∴x∈（﹣1，0）∪（1，+∞），故C正確，
對于D，∵函數(shù)f（x）的圖象是連續(xù)不斷的且是偶函數(shù)，
又∵f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∴?x∈R，?m∈R，使得f（x）≥m，故D正確．
故選：BCD．
（多選）12．（5分）函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（x+1）為奇函數(shù)，f（x+2）為偶函數(shù)，則（ ）
A．f（﹣x﹣1）＝﹣f（x+1）B．f（4+x）＝f（﹣x）
C．f（x）為偶函數(shù)D．f（x﹣3）為偶函數(shù)
【解答】解：∵函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（x+1）為奇函數(shù)，f（x+2）為偶函數(shù)，
∴f（x）的圖像關于點（1，0）對稱，且關于直線x＝2對稱，
對于A，若f（﹣x﹣1）＝﹣f（x+1）成立，即f[﹣（x+1）]＝﹣f（x+1）成立，則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，不一定成立，故A錯誤；
對于B，∵f（x+2）為偶函數(shù)，∴f（2﹣x）＝f（2+x），用2+x替換x，得f（4+x）＝f（﹣x），故B正確；
對于C，∵f（x）的圖象關于點（1，0）對稱，∴f（2+x）+f（﹣x）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（2+x）；①
用﹣x替換x，得f（x）＝﹣f（2﹣x），②
又f（x+2）為偶函數(shù)，∴f（2﹣x）＝f（2+x），③
聯(lián)立①②③得f（﹣x）＝f（x），f（x）為偶函數(shù)，y軸是函數(shù)f（x）的對稱軸，故C正確；
對于D，由C知，f（x）為偶函數(shù)，結合①得f（2+x）＝﹣f（x）＝f（x）?f（x+4）＝f（x），即f（x）的周期為4，
又f（x+1）為奇函數(shù)，∴f（x﹣3）為奇函數(shù)，故D錯誤；
故選：BC．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．（5分）設U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U丨x2﹣mx＝0}，若?UA＝{1，2}，則實數(shù)m＝ 3 ．
【解答】解：∵U＝{0，1，2，3}，?UA＝{1，2}，
∴A＝{0，3}，
A中的方程變形得：x（x﹣m）＝0，即x＝0或x＝m，
則m＝3．
故答案為：3
14．（5分）已知函數(shù)f（x）對于任意的x都有f（x）﹣2f（﹣x）＝1+2x，則f（x）＝ x﹣1 ．
【解答】解：∵f（x）﹣2f（﹣x）＝1+2x，
將式子f（x）+2f（﹣x）＝1+2x，①中的x換上﹣x得到：
f（﹣x）+2f（x）＝1﹣2x②；
①②聯(lián)立解出f（x）x﹣1．
故答案為：x﹣1．
15．（5分）命題“?x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍為 [﹣2，2] ．
【解答】解：原命題的否定為“?x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”，且為真命題，
則開口向上的二次函數(shù)值要想大于等于0恒成立，
只需Δ＝9a2﹣4×2×9≤0，解得：﹣2a≤2．
故答案為：[﹣2，2]
16．（5分）不等式ax2，（a＞0）對?x＞﹣1恒成立，實數(shù)a的取值范圍是 （0，4] ．
【解答】解：不等式ax2，（a＞0）對?x＞﹣1恒成立，
即對?x＞﹣1恒成立，
只需即可，
因為x＞﹣1，，當且僅當即時等號成立，
所以，即，解得0＜a≤4．
故答案為：（0，4]．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x2﹣5x+4≥0}．
（1）當a＝3時，求A∩B；
（2）若a＞0，且“x∈A”是“x∈?RB”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．
【解答】解：（1）當a＝3時，A＝[﹣1，5]，又B＝（﹣∞，1]∪[4，+∞），
∴A∩B＝[﹣1，1]∪[4，5]；
（2）若a＞0，則A＝[2﹣a，2+a]，由（1）可知?RB＝（1，4），
∵“x∈A”是“x∈?RB”的充分不必要條件，
∴A??RB，∴，
∴0＜a＜1，
∴實數(shù)a的取值范圍為（0，1）．
18．（12分）已知二次函數(shù)y＝f（x）滿足f（0）＝3，且f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)在區(qū)間[﹣2，t]（t＞﹣2）上的最大值g（t）．
【解答】解：（1）因為f（0）＝3，則可設函數(shù)的解析式為f（x）＝ax2+bx+3（a≠0），
由f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1可得：a（x+1）2+b（x+1）+3﹣ax2﹣bx﹣3＝2ax+a+b＝2x﹣1，
則，解得a＝1，b＝﹣2，
所以函數(shù)的解析式為f（x）＝x2﹣2x+3；
（2）因為函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+3的對稱軸為x＝1，
則當1，即﹣2＜t≤4時，g（t）＝f（﹣2）＝4+4+3＝11，
當1，即t＞4時，g（t）＝f（t）＝t2﹣2t+3，
綜上，g（t）．
19．（12分）已知函數(shù)，（a＞0）為奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）的最小值為2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）試討論關于x的方程|f（x）﹣3|＝k的根的個數(shù)情況．
【解答】解：（1）因為f（x）為奇函數(shù)，所以f（﹣x）＝﹣f（x），
即，整理可得2b＝0，即b＝0，
所以當x＞0時，f（x），
設0＜x1＜x2，則f（x2）﹣f（x1），
由a＞0可得則x2﹣x1＞0，ax1x2＞0，
當0＜x1＜x2＜1時，x1x2﹣1＜0，所以0，
所以f（x2）﹣f（x1）＜0即f（x2）＜f（x1），f（x）為減函數(shù)，
當l＜x1＜x2時，x1x2﹣1＞0，所以0，
所以f（x2）﹣f（x1）＞0即f（x2）＞f（x1），f（x）為增函數(shù)，
因此f（x）≥f（1），又因為f（x）的最小值為2，所以2解得a＝1，
所以f（x）＝x，
（2）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，其增區(qū)間為（﹣∞，﹣1），（1，+∞），減區(qū)間為（﹣1，0），（0，1），
所以f（x）≥2或f（x）≤﹣2，所以f（x）﹣3≥﹣1或f（x）﹣3≤﹣5，
令g（x）＝|f（x）﹣3|，作出函數(shù)g（x）的圖像如圖所示，
由圖可知，當k＝0或l＜k＜5時，|f（x）﹣3|＝k有2個根，
當k＝1或k＝5時，|f（x）﹣3|＝k有3個根，
當0＜k＜1或k＞5時，lf（x）﹣3|＝k有4個根．
20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝mx2﹣（3m﹣1）x+m﹣2，（m∈R）．
（1）若f（x）在區(qū)間[2，3]上為單調遞增，求m的取值范圍；
（2）解關于x不等式f（x）+m＞0．
【解答】解：（1）當m＝0時，函數(shù)f（x）＝x﹣2滿足在[2，3]上單調遞增，
當m≠0時，函數(shù)的對稱軸為x，
當m＞0時，要滿足題意，只需，解得m≥﹣1，所以m＞0，
當m＜0時，要滿足題意，只需，解得，
綜上，實數(shù)m的范圍為[，+∞）；
（2）不等式f（x）+m＞0，即mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＞0，
當m＝0時，不等式化為x﹣2＞0，解得x＞2，
當m≠0時，不等式化為（x﹣2）[mx﹣（m﹣1）]＞0，
當2，即m＝﹣1時，不等式化為（x﹣2）2＜0，無解，
當，解得﹣1＜m＜0時，解不等式可得2，
當m＜﹣1，即，解不等式可得，
當m＞0時，，解不等式可得x＞2或x，
綜上，當m＝0時，不等式的解集為（2，+∞），
當m＞0時，不等式的解集為（）∪（2，+∞），
當﹣1＜m＜0時，不等式的解集為（2，），
當m＝﹣1時，不等式的解集為?，
當m＜﹣1時，不等式的解集為（）．
21．（12分）2022年第24屆北京冬季奧林匹克運動會，于2022年2月4日星期五開幕，將于2月20日星期日閉幕．該奧運會激發(fā)了大家對冰雪運動的熱情，與冰雪運動有關的商品銷量持續(xù)增長．對某店鋪某款冰雪運動裝備在過去的一個月內（以30天計）的銷售情況進行調查發(fā)現(xiàn)：該款冰雪運動裝備的日銷售單價P（x）（元/套）與時間x（被調查的一個月內的第x天）的函數(shù)關系近似滿足（k為正常數(shù)）．該商品的日銷售量Q（x）（個）與時間x（天）部分數(shù)據(jù)如表所示：
已知第10天該商品的日銷售收入為121元．
（1）求k的值；
（2）給出兩種函數(shù)模型：（1）Q（x）＝ax+b，（2）Q（x）＝a|x﹣25|+b，請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認為最合適的一種函數(shù)來描述該商品的日銷售量Q（x）與時間x的關系，并求出該函數(shù)的解析式；
（3）求該商品的日銷售收入f（x）（1≤x≤30，x∈N*）（元）的最小值．
【解答】解：（1）因為第10天該商品的日銷售收入為121元，
所以P（10）?Q（10）＝（1）?110＝121，
解得k＝1．
（2）由表中數(shù)據(jù)可得，當時間變化時，該商品的日銷售量有增有減，并不單調，
故只能選②Q（x）＝a|x﹣25|+b，
代入數(shù)據(jù)可得：，
解得a＝﹣1，b＝125，
所以Q（x）＝125﹣|x﹣25|（1≤x≤30，x∈N*）．
（3）由（2）可得，Q（x）＝125﹣|x﹣25|，
所以，f（x）＝P（x）?Q（x），
所以當1≤x＜25，x∈N*時，f（x）＝101+x在區(qū)間[1，10]上單調遞減，在區(qū)間[10，25）上單調遞增，所以當x＝10時，f（x）有最小值，且為121；
當25≤x≤30，x∈N*時，f（x）＝149x為單調遞減函數(shù)，所以當x＝30時，f（x）有最小值，且為124，
綜上，當x＝10時，f（x）有最小值，且為121元，
所以該商品的日銷售收入最小值為121元．
22．（12分）定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足下面三個條件：
①對任意正數(shù)a，b，都有f（a）+f（b）＝f（ab）；
②當x＞1時，f（x）＜0；
③f（2）＝﹣1．
（1）求f（1）和的值；
（2）試用單調性定義證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（3）若對?x∈[2，3]，f（4x2+4）+2＜f（ax）恒成立，求a的取值范圍．
【解答】解：（1）令a＝b＝1，可得2f（1）＝f（1），解得f（1）＝0；
令a＝b＝2，又f（2）＝﹣1，可得f（4）＝2f（2）＝﹣2，
令a＝4，b，可得f（4）+f（）＝f（1）＝0，則f（）＝﹣f（4）＝2；
（2）證明：設任意x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，
可得1，即有f（）＜0，
則f（x2）＝f（x1?）＝f（x1）+f（）＜f（x1），，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（3）若對?x∈[2，3]，f（4x2+4）+2＜f（ax）即為f（4x2+4）+f（）＝f（x2+1）＜f（ax）恒成立．
由（2）可得x2+1＞ax對x∈[2，3]恒成立，即為a＜（x）min．
而y＝x在[2，3]單調遞增，可得x＝2時，y取得最小值．
所以0＜a．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布日期：2023/10/31 9:17:57；用戶：高中數(shù)學朱老師；郵箱：rFmNt90mRiXzEYJeDrg1uSD0fc@；學號：37103942x
10
20
25
30
Q（x）
110
120
125
120
x
10
20
25
30
Q（x）
110
120
125
120

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