1．（5分）下列結(jié)論中，正確的是
A．零向量只有大小沒有方向
B．
C．對任一向量，總是成立的
D．與線段的長度不相等
2．（5分）復(fù)數(shù)，將復(fù)數(shù)的對應(yīng)向量按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，所得向?qū)?yīng)的復(fù)數(shù)為
A．B．C．1D．
3．（5分）如圖所示，△是水平放置的的直觀圖，軸，軸，，，則中，
A．2B．5C．4D．
4．（5分）下列命題中，正確的是
A．三點(diǎn)確定一個平面
B．垂直于同一直線的兩條直線平行
C．若直線與平面上的無數(shù)條直線都垂直，則
D．若、、是三條直線，且與都相交，則直線、、在同一平面上
5．（5分）已知向量，且，則向量
A．B．C．D．
6．（5分）把一個鐵制的底面半徑為4，側(cè)面積為的實(shí)心圓柱熔化后鑄成一個球，則這個鐵球的表面積為
A．B．C．D．
7．（5分）如圖，在直三棱柱中，，為的中點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是
A．B．平面C．D．平面
8．（5分）如圖，點(diǎn)是半徑為1的扇形圓弧上一點(diǎn)，且，若，則的最大值是
A．1B．C．D．4
二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）
9．（5分）已知，是兩條不重合的直線，，，是三個兩兩不重合的平面，則下列命題正確的是
A．若，，，則B．若，，則
C．若，，，，則D．若，，則
10．（5分）已知復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的為
A．
B．
C．的虛部為
D．在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)在第一象限
11．（5分）關(guān)于平面向量，有下列四個命題，其中說法正確的是
A．若，則
B．若向量，，則向量在向量上的投影向量為
C．非零向量和滿足，則與的夾角為
D．點(diǎn)，，與向量同方向的單位向量為
12．（5分）如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，下列命題正確的是
A．異面直線與所成角的大小為定值
B．二面角的大小為定值
C．若是對角線上一點(diǎn)，則長度的最小值為
D．若是線段上一動點(diǎn)，則直線與直線不可能平行
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13．（5分）是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) ．
14．（5分）設(shè)，是兩個不共線的非零向量，若向量與的方向相反，則 ．
15．（5分）如圖，在三棱錐中，，且，，分別是棱，的中點(diǎn)，則和所成的角等于 ．
16．（5分）在中，角，，所對的邊為，，，若，且的面積，則的取值范圍是 ．
四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（10分）在中，已知，，在線段上，且，，設(shè)，．
（1）用向量，表示；
（2）若，求．
18．（12分）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，已知，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的面積．
19．（12分）已知，，，．
（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求函數(shù)在區(qū)間，上的最大值和最小值．
20．（12分）如圖，在棱長為2的正方體中，截去三棱錐，求：
（1）截去的三棱錐的表面積；
（2）剩余的幾何體的體積．
21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，．
（Ⅰ）設(shè)，分別為，的中點(diǎn)，求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．
22．（12分）已知函數(shù)是偶函數(shù)．
（1）求的值；
（2）設(shè)函數(shù)，若有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
2022-2023學(xué)年廣東省深圳市羅湖高級中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．（5分）下列結(jié)論中，正確的是
A．零向量只有大小沒有方向
B．
C．對任一向量，總是成立的
D．與線段的長度不相等
【答案】
【分析】根據(jù)平面向量的概念，逐一判斷即可得出答案．
【解答】解：既有大小又有方向的量叫向量，則零向量既有大小又有方向，故錯誤；
由于與方向相反，長度相等，故正確；
因?yàn)榱阆蛄康哪?，故錯誤；
與線段的長度相等，故錯誤．
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查向量的有關(guān)概念，向量的模，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）復(fù)數(shù)，將復(fù)數(shù)的對應(yīng)向量按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，所得向?qū)?yīng)的復(fù)數(shù)為
A．B．C．1D．
【答案】
【分析】化簡，從而由可得新復(fù)數(shù)為．
【解答】解：，
將復(fù)數(shù)的對應(yīng)向量按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為
，
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）如圖所示，△是水平放置的的直觀圖，軸，軸，，，則中，
A．2B．5C．4D．
【答案】
【分析】由斜二測的畫圖法則，結(jié)合△的邊長，可求出原的邊長．
【解答】解：在直觀圖△中，，，
由斜二測畫法知，在中，，，且；
所以．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的斜二測法，是基礎(chǔ)題．
4．（5分）下列命題中，正確的是
A．三點(diǎn)確定一個平面
B．垂直于同一直線的兩條直線平行
C．若直線與平面上的無數(shù)條直線都垂直，則
D．若、、是三條直線，且與都相交，則直線、、在同一平面上
【答案】
【分析】利用平面的基本性質(zhì)及推論可知，錯誤，正確，再利用直線與平面垂直的判定定理可知選項(xiàng)錯誤．
【解答】解：對于：不共線的三點(diǎn)確定一個平面，故錯誤，
對于：由墻角模型可知，兩條直線可能是相交直線，也可能是異面直線，顯然錯誤，
對于：根據(jù)線面垂直的判定定理，若直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則直線與平面垂直，若直線與平面內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，則直線與平面不垂直，故錯誤，
對于：因?yàn)?，所以與唯一確定一個平面，設(shè)為平面，又與和都相交，所以也在平面內(nèi)，即直線、、共面，故選項(xiàng)正確，
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查了平面的基本性質(zhì)及推論，考查了空間中線與線的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．
5．（5分）已知向量，且，則向量
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，求出，再結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解．
【解答】解：，且，
則，解得，、
，，，．
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查平面向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
6．（5分）把一個鐵制的底面半徑為4，側(cè)面積為的實(shí)心圓柱熔化后鑄成一個球，則這個鐵球的表面積為
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先求出圓柱的高，由圓柱和球的體積關(guān)系即可得出半徑，最后求出表面積即可．
【解答】解：因?yàn)閷?shí)心圓柱的底面半徑為4，側(cè)面積為，
所以圓柱的高為，
則圓柱的體積為，
設(shè)球的半徑為，則，解得，
故這個鐵球的表面積為．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查球的表面積，屬于中檔題．
7．（5分）如圖，在直三棱柱中，，為的中點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是
A．B．平面C．D．平面
【答案】
【分析】取的中點(diǎn)，連結(jié)，．只需證明，即可證明平面；只需證明平面，即可證明平面，可判斷各選項(xiàng)．
【解答】解：取的中點(diǎn)，連結(jié)，．在中，因?yàn)?，分別為，中點(diǎn)，所以，且，
直三棱柱中，，．因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，且，
于是，．所以四邊形為平行四邊形，從而．
又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，正確；
在直三棱柱中，平面．又平面，所以．
，，，項(xiàng)正確；
因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以．
又，所以，．
又因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面．，項(xiàng)正確；
項(xiàng)錯誤，由于四邊形為平行四邊形，在，平面，平面，則，不可能有平面．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查線面平行的判定，線面垂直的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．
8．（5分）如圖，點(diǎn)是半徑為1的扇形圓弧上一點(diǎn)，且，若，則的最大值是
A．1B．C．D．4
【答案】
【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合兩角和的正弦公式，求三角函數(shù)的最值即可．
【解答】解：如圖所示，以為軸，過作與垂直的線作為軸，
，，
設(shè)，
，，
，
其中，
時，取得最大值是．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和兩角和的正弦公式，屬于中檔題．
二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）
9．（5分）已知，是兩條不重合的直線，，，是三個兩兩不重合的平面，則下列命題正確的是
A．若，，，則B．若，，則
C．若，，，，則D．若，，則
【答案】
【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系逐一核對四個選項(xiàng)得答案．
【解答】解：對于，，，則，又，則，故正確；
對于，由，，得或與相交，故錯誤；
對于，由，，，，若與相交，則，若，則可能平行，也可能與相交，故錯誤；
對于，由平面與平面垂直的判定，可得若，，則，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定及其應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．
10．（5分）已知復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的為
A．
B．
C．的虛部為
D．在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)在第一象限
【答案】
【分析】利用復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)、虛部及復(fù)數(shù)與平面內(nèi)點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系即可判斷出正誤．
【解答】解：復(fù)數(shù)，則．故正確；
，故正確；
的虛部為1，故錯誤；
在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第一象限，故正確．
命題中正確的個數(shù)為3．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)、虛部及復(fù)數(shù)與平面內(nèi)點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
11．（5分）關(guān)于平面向量，有下列四個命題，其中說法正確的是
A．若，則
B．若向量，，則向量在向量上的投影向量為
C．非零向量和滿足，則與的夾角為
D．點(diǎn)，，與向量同方向的單位向量為
【答案】
【分析】選項(xiàng)：未考慮時情況，選項(xiàng)：先計算出向量夾角為，再利用投影計算公式計算即可；
選項(xiàng)：將已知平方可得向量夾角為為，再計算與的夾角即可；
選項(xiàng)：設(shè)出與同向的向量為，利用單位向量概念計算即可．
【解答】解：選項(xiàng)：當(dāng)時，左式成立，此時不一定成立，故選項(xiàng)錯誤；
選項(xiàng)：，，，
設(shè)向量夾角為，，則向量夾角為，
故在上的投影為，故投影向量為，
故選項(xiàng)正確；
選項(xiàng)：將已知平方可得：，由此可得：，
設(shè)向量夾角為，則，即，
設(shè)與的夾角為，則，將代入可得：，
即，故選項(xiàng)錯誤；
選項(xiàng)：，故設(shè)與同向的向量為，
由已知有，故，解得：，
故與同向的向量為，故選項(xiàng)正確．
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查平面向量數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算公式，屬于中檔題．
12．（5分）如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，下列命題正確的是
A．異面直線與所成角的大小為定值
B．二面角的大小為定值
C．若是對角線上一點(diǎn)，則長度的最小值為
D．若是線段上一動點(diǎn)，則直線與直線不可能平行
【答案】
【分析】證明平面后得線線垂直，從而判斷，根據(jù)二面角的定義判斷，把△和△沿攤平得平面四邊形，在平面四邊形中求得到直線的距離后判斷，取中點(diǎn)，連接交于，連接交于，連接，證明判斷．
【解答】解：對選項(xiàng)，如圖，
由平面，平面，
得，又，，，平面，
所以平面，平面，
所以，即異面直線與所成角是為定值，所以選項(xiàng)正確；
對選項(xiàng)，由題意可知二面角即為二面角，為定值，正確；
對選項(xiàng)，把△和△沿攤平，得平面四邊形，如圖．
作于，，此時最小，
四邊形中，，，，
由對稱性知，，，
，，
所以的最小值是，所以選項(xiàng)正確；
對選項(xiàng)，取中點(diǎn)，連接交于，連接交于，連接，如圖，
則，所以，所以選項(xiàng)錯誤．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查空間直線、平面間的位置關(guān)系，異面直線所成的角，二面角的定義，空間想象能力，屬難題．
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13．（5分）是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) ．
【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得出．
【解答】解：復(fù)數(shù)，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）設(shè)，是兩個不共線的非零向量，若向量與的方向相反，則 ．
【分析】向量與的方向相反，直接列出關(guān)系式，根據(jù)向量相等，求出的值．
【解答】解：向量與的方向相反，可得，
，，得，
．
故答案為：
【點(diǎn)評】本題考查相等向量與相反向量，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．
15．（5分）如圖，在三棱錐中，，且，，分別是棱，的中點(diǎn)，則和所成的角等于 ．
【答案】．
【分析】取中點(diǎn)為，連接、，推導(dǎo)出是等腰三角形，且是異面直線與所成角或其補(bǔ)角，由此能求出和所成的角．
【解答】解：取中點(diǎn)為，連接、，如圖，
，分別是棱，的中點(diǎn)，，，且，，
，為異面直線和所成角或其補(bǔ)角，
在三棱錐中，，且，
，
和所成角為或其補(bǔ)角，
和所成的角為．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查異面直線所成角的求法，考查異面直線所甩角的定義、中位線定理等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
16．（5分）在中，角，，所對的邊為，，，若，且的面積，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由正弦定理及余弦定理可得：，，結(jié)合三角恒等變換可得：，得解．
【解答】解：已知的面積，
則，
即，
即，
即，
在中，角，，所對的邊為，，，由，
可得：，
即，
即，
則，
又，
即，
由正弦定理可得，
即，
又，
則，
即，
則
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了正弦定理及余弦定理，重點(diǎn)考查了三角恒等變換，屬中檔題．
四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（10分）在中，已知，，在線段上，且，，設(shè)，．
（1）用向量，表示；
（2）若，求．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則，平面向量基本定理，即可得解；
（2）根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則，可得，再結(jié)合（1）中結(jié)論，推出，代入數(shù)據(jù)運(yùn)算，即可．
【解答】解：（1）由題意得，．
（2），
所以．
【點(diǎn)評】本題考查平面向量的混合運(yùn)算，熟練掌握平面向量的線性運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
18．（12分）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，已知，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的面積．
【答案】（Ⅰ）2．
（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理即可求解的值．
（Ⅱ）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)椋?，?br>所以由余弦定理可得，可得．
（Ⅱ）因?yàn)椋?br>所以的面積．
【點(diǎn)評】本題主要考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
19．（12分）已知，，，．
（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求函數(shù)在區(qū)間，上的最大值和最小值．
【分析】（1）由．根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)用可得的解析式，化簡，利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的減區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2），上時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得出的最大值和最小值．
【解答】解：，，，
由
（1）的最小正周期．
由，．
得：，．
的單調(diào)遞減區(qū)間為，，．
（2），上時，
可得：，
當(dāng)時，函數(shù)取得最小值為．
當(dāng)時，函數(shù)取得最小值為．
故得函數(shù)在區(qū)間，上的最大值3，最小值0．
【點(diǎn)評】本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．
20．（12分）如圖，在棱長為2的正方體中，截去三棱錐，求：
（1）截去的三棱錐的表面積；
（2）剩余的幾何體的體積．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）直接由三角形面積公式求三棱錐的表面積；
（2）由正方體體積減去棱錐體積公式得答案．
【解答】解：（1）正方體的棱長為2，
△的邊長為，可得三棱錐的表面積：
；
（2）正方體的體積為，三棱錐的體積為，
剩余的幾何體的體積為．
【點(diǎn)評】本題考查多面體體積與表面積的求法，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．
21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，．
（Ⅰ）設(shè)，分別為，的中點(diǎn)，求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）連結(jié)，由題意得，，由，得，由此能證明平面．
（Ⅱ）取棱中點(diǎn)，連結(jié)，推導(dǎo)出，從而平面，進(jìn)而，再上，能證明平面．
（Ⅲ）連結(jié)，由平面，知是直線與平面所成角，由此能求出直線與平面所成角的正弦值．
【解答】證明：（Ⅰ）連結(jié)，由題意得，，
又由，得，
平面，平面，
平面．
（Ⅱ）取棱中點(diǎn)，連結(jié)，
依題意得，
又平面平面，平面平面，
平面，
又平面，，
又，，
平面．
解：（Ⅲ）連結(jié)，由（Ⅱ）中平面，
知是直線與平面所成角，
是等邊三角形，，且為中點(diǎn)，
，又，
在中，．
直線與平面所成角的正弦值為．
【點(diǎn)評】本題考查直線與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力．
22．（12分）已知函數(shù)是偶函數(shù)．
（1）求的值；
（2）設(shè)函數(shù)，若有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）或．
【分析】（1）根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的定義可得，變形分析可得答案；
（2）根據(jù)題意，求出的解析式，令，整理得，令，可得，分情況討論函數(shù)的零點(diǎn)情況，求出的值，綜合可得答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)，其定義域?yàn)椋?br>函數(shù)是偶函數(shù)．則有，
即，變形可得，必有；
（2）根據(jù)題意，由（1）的結(jié)論，，
函數(shù)，
令，整理得，其中，
令，則得，
①當(dāng)時，，即，所以方程在區(qū)間上有唯一解，
則方程對應(yīng)的二次函數(shù)，恒有，，，
所以當(dāng)時，方程在區(qū)間上有唯一解．
②當(dāng)時，，即，方程在區(qū)間上有唯一解，
因?yàn)榉匠虒?yīng)的二次函數(shù)的開口向下，恒有，，
所以滿足恒有，解得
綜上所述，當(dāng)或時，有唯一零點(diǎn)．
【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，涉及函數(shù)奇偶性的判斷，屬于中檔題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/3/15 18:27:44；用戶：初中數(shù)學(xué)；郵箱：szjmjy@xyh.cm；學(xué)號：29841565

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