四川省成都市西北中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月階段性考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

滿分150分，時(shí)間120分鐘
命題人：劉政審題人：李白
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）
1. 已知等比數(shù)列，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）
A. 55B. 110C. 511D. 1023
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件求得公比，再利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，即可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和，則，
故.
故選：D.
2. 已知為等差數(shù)列，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得公差，進(jìn)而確定通項(xiàng)及.
【詳解】由，，
可得，，則，，
所以，解得，
所以，
所以，
故選：C.
3. 已知函數(shù)的圖像如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖像可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖像、單調(diào)性以及導(dǎo)數(shù)等知識(shí)確定正確答案.
【詳解】由圖可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，由此排除BD選項(xiàng).
當(dāng)時(shí)，從左向右，是遞增、遞減、遞增，
對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)符號(hào)為，由此排除C選項(xiàng)，
所以A選項(xiàng)正確.
故選：A
4. 任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圖，這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰霓猜想”（又稱“角谷猜想”等）．已知數(shù)列滿足：，則（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)“冰霓猜想”結(jié)合遞推關(guān)系，可知數(shù)列從開始，是以3為周期的數(shù)列，進(jìn)而即可求解.
【詳解】由題意可知，，，，，，
，，，，，……，
所以根據(jù)“冰霓猜想”可知.
故選：B
5. 已知函數(shù)在處取得極值5，則（）
A. B. C. 3D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于,的方程組，解出即可．
【詳解】函數(shù)，
則，
因?yàn)樵谔幦O值5，
所以，解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.
故.
故選：A
6. 若點(diǎn)在橢圓上，，分別是橢圓的兩焦點(diǎn)，且，則面積是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在使用余弦定理后用橢圓的基本定義化簡(jiǎn)即可計(jì)算出結(jié)果.
【詳解】首先我們需要確定橢圓的基本參數(shù)，對(duì)于橢圓
故.
根據(jù)橢圓定義，對(duì)于橢圓上的任意一點(diǎn) 有：
……①，……②
由題知……③
在中使用余弦定理有：
……④
將①②③代入④式得到：……⑤
現(xiàn)在我們可以計(jì)算三角形的面積：
因此，的面積是 .
故選：B.
7. 設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由條件先確定數(shù)列的公比，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可得，再結(jié)合求和公式求的值.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
若，則，，
則，與已知矛盾，所以，
因?yàn)椋裕?br>所以，
所以，即，
所以.
故選：C.
8. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，若線段交雙曲線于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，不妨取點(diǎn)在第二象限，題中條件，得到，記，求出，根據(jù)雙曲線定義，得到，，在中，由余弦定理，即可得出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)橐詾橹睆降膱A與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，不妨取點(diǎn)在第二象限，
所以，則，
因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，則，所以；
記，則，由解得，
因?yàn)椋呻p曲線的定義可得，所以，，
由余弦定理可得：，
則，所以，整理得，解得，
所以雙曲線的離心率為.
故選：C.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：
求橢圓或雙曲線的離心率的問題時(shí)，通常需要根據(jù)橢圓或雙曲線的定義，以及題中條件，結(jié)合余弦定理，建立關(guān)于之間關(guān)系式，即可求解.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有個(gè)球，第二層有個(gè)球，第三層有個(gè)球，…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則（）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)示意圖，結(jié)合題意找到各層球的數(shù)量與層數(shù)的關(guān)系，可得，即可判斷各項(xiàng)的正誤.
【詳解】由題意知：，故，
∴，故A錯(cuò)誤；
，故B正確；
，故C正確；
，，顯然，故D錯(cuò)誤；
故選：BC
10. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 函數(shù)存在二個(gè)不同的零點(diǎn)
B. 函數(shù)既存在極大值又存在極小值
C. 若時(shí)，，則t的最小值為2
D. 若方程有兩個(gè)實(shí)根，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義解方程可得其零點(diǎn)，知A正確；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求其極值點(diǎn)，可知B正確；采用數(shù)形結(jié)合的方式可判斷CD.
【詳解】對(duì)于A，令，可得，
所以，解得或
所以函數(shù)存在二個(gè)不同的零點(diǎn)，A正確；
對(duì)于B，定義域?yàn)?，?br>令，可得或，
當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極小值，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值，B正確；
對(duì)于C，，作出圖象如下圖所示，
可知方程存在另一個(gè)解，，
若當(dāng)時(shí)，，則，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，方程有兩個(gè)實(shí)根等價(jià)于與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
作出圖象如下圖所示，
結(jié)合圖象可知：，D正確.
故選：ABD.
11. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，下列說法正確的是（）
A.
B. 成等差數(shù)列，公差為
C. 取得最大值時(shí)
D. 時(shí)，的最大值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】依題意可得，從而得到是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，求出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷C，再由，作差即可求出，從而判斷A，最后由判斷B、D.
【詳解】因?yàn)?，即?br>所以，即，又，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以，即，
而開口向下的二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，
所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于A，由，當(dāng)時(shí)，可得，
當(dāng)時(shí)，
所以，
而，所以，故A正確；
對(duì)于B，由，得，，，
所以，，成等差數(shù)列，公差為，故B正確，
對(duì)于D，由得，，
所以時(shí)，的最大值為，故D正確；
故選：ABD.
三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分．
12. 等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則__________.
【答案】10
【解析】
【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果
【詳解】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，
所以，
所以
故答案為：10
13. 已知函數(shù)，則在處的導(dǎo)數(shù)是______．
【答案】##
【解析】
【分析】求導(dǎo)可得，則，求出即可求解.
【詳解】由題意知，，
令，得，解得，
所以在的導(dǎo)數(shù)為.
故答案為：
14. 已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為______．
【答案】
【解析】
【分析】因?yàn)榈膶?dǎo)函數(shù)為，故考慮構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析得出函數(shù)在上為增函數(shù)，分別在條件下化簡(jiǎn)不等式，并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式可得結(jié)論.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，
所以函數(shù)在上為增函數(shù)，
且.
①當(dāng)時(shí)，由可得，
即，
即，可得，解得，此時(shí)；
②當(dāng)時(shí)，由可得，
即
即，可得，解得，此時(shí).
綜上所述，不等式的解集為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)不等式求解函數(shù)不等式，思路如下：
（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造原函數(shù)；
（2）分析原函數(shù)的奇偶性，并利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)的單調(diào)性；
（3）將所求不等式變形為或（偶函數(shù)）；
（4）利用函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于、的不等式進(jìn)行求解.
四、解答題：本題共5個(gè)小題，共77分．
15. （1）已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求．
（2）已知函數(shù)，過點(diǎn)作曲線的切線，求此切線的方程．
【答案】（1）；
（2）函數(shù)過點(diǎn)的切線方程為或.
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在點(diǎn)處的切線方程，由條件列等式可求；
（2）設(shè)函數(shù)的過點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為，結(jié)合導(dǎo)數(shù)幾何意義列方程求切點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得結(jié)論.
【詳解】（1）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，
所以，
所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，
所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，
由已知，
所以；
（2）函數(shù)的過點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為，
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以函數(shù)過點(diǎn)的切線斜率為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，
所以，，
所以，
解得或，
當(dāng)時(shí)，，，
此時(shí)切線方程為，
當(dāng)時(shí)，，，
此時(shí)切線方程為，
所以函數(shù)過點(diǎn)切線方程為或.
16. 已知數(shù)列，若，且．
（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；
（2）若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．
【答案】（1）證明見解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）依題意可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義證明即可，求出的通項(xiàng)，即可得到的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得，則，利用裂項(xiàng)相消法求和即可.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，又，所以，
所以是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，
所以，則.
【小問2詳解】
由（1）可得，
所以，
所以.
17. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的在上的最大值和最小值；
（2）討論的單調(diào)性．
【答案】（1）最大值為9，最小值為（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)可得，令即可得出單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出最大、小值；
（2）求導(dǎo)可得，分類討論當(dāng)、、時(shí)函數(shù)對(duì)應(yīng)的單調(diào)性，即可求解.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，則，
令或，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，
所以在上的最大值為9，最小值為.
【小問2詳解】
，則，
令，解得或，
當(dāng)即時(shí)，
，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)即時(shí)，，在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)即時(shí)，
，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
18. 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足_____．給出下列三個(gè)條件：
①，； ②；
③．
請(qǐng)從其中任選一個(gè)將題目補(bǔ)充完整，并求解以下問題．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）所選條件見解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）選①：先利用對(duì)數(shù)運(yùn)算和等比中項(xiàng)判定數(shù)列為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求其通項(xiàng)；選②：先利用及求出，再利用和的關(guān)系進(jìn)行求解；選③：先利用求出，再類似利用和的關(guān)系進(jìn)行求解；
（2）用錯(cuò)位相減求和.
【小問1詳解】
選①：由得：
，所以，
又因?yàn)椋虼藬?shù)列為等比數(shù)列，
設(shè)數(shù)列的公比為，則，由，
解得或（舍去），
所以；
選②：因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，又，
所以，即，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得，
即，
所以數(shù)列是，公比為2的等比數(shù)列，
所以；
選③：因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，
所以，即，
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減，得，
即，
當(dāng)時(shí)，滿足上式．
所以；
【小問2詳解】
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，
故，
兩式相減得：，
化簡(jiǎn)得，．
故數(shù)列的前項(xiàng)和.
19. 定義：如果函數(shù)和的圖像上分別存在點(diǎn)M和N關(guān)于x軸對(duì)稱，則稱函數(shù)和具有C關(guān)系．
（1）判斷函數(shù)和是否具有C關(guān)系；
（2）若函數(shù)和不具有C關(guān)系，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)和在區(qū)間上具有C關(guān)系，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】（1）是（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)C關(guān)系的理解，令，解得，從而得以判斷；
（2）利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到在上恒成立，分類討論與，利用基本不等式即可求得a的取值范圍；
（3）構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為在上存在零點(diǎn)，分類討論與，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系證得時(shí)，在上有零點(diǎn)，從而得解.
【小問1詳解】
與是具有C關(guān)系，理由如下：
根據(jù)定義，若與具有C關(guān)系，則在與的定義域的交集上存在，使得，
因?yàn)?，，?br>所以，
令，即，解得，
所以與具有C關(guān)系.
【小問2詳解】
令，
因?yàn)?，，所以?br>令，則，故，
因?yàn)榕c不具有C關(guān)系，所以在上恒為負(fù)或恒為正，
又因?yàn)殚_口向下，所以在上恒為負(fù)，即在上恒成立，
當(dāng)時(shí)，顯然成立；
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以，所以，
綜上：，即.
【小問3詳解】
因?yàn)楹停?br>令，則，
因?yàn)榕c在上具有C關(guān)系，所以在上存在零點(diǎn)，
因?yàn)椋?br>當(dāng)且時(shí)，因?yàn)椋裕?br>所以在上單調(diào)遞增，則，
此時(shí)在上不存在零點(diǎn)，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，顯然當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，
故在上存在唯一零點(diǎn)，設(shè)，則，
所以當(dāng)；當(dāng)；又當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上存在唯一極小值點(diǎn)，
因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?，所以在上存在唯一零點(diǎn)，
所以函數(shù)與在上具有C關(guān)系，
綜上：，即.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是理解新定義，得到與具有C關(guān)系，則在定義域上存在，使得，從而得解.

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