河南省部分高中2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.
3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.
4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合，，則（）
A. B. C. D.
2.若，則（）
A.2 B.1 C. D.
3.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“通近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)均在軸上，橢圓的面積為，且橢圓的離心率為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）
A. B.
C. D.
4.已知均為平面單位向量，若，則（）
A. B. C. D.
5.甲?乙?丙3名同學(xué)從4門課程中任選一門作為選修課，則3名同學(xué)所選課程不全相同的概率為（）
A. B. C. D.
6.函數(shù)的最小值為（）
A. B. C. D.
7.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，為等差數(shù)列，若，則（）
A.2 B. C. D.
8.在正方體中，為的中點(diǎn)，在棱上，且，則過(guò)且與垂直的平面截正方體所得截面的面積為（）
A.6 B.8 C.12 D.16
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.為提高學(xué)生的消防安全意識(shí)，某學(xué)校組織一次消防安全知識(shí)競(jìng)賽，已知該校高一?高二?高三三個(gè)年級(jí)的人數(shù)之比為1：2：3，根據(jù)各年級(jí)人數(shù)采用分層抽樣隨機(jī)抽取了樣本容量為的部分考生成績(jī)，并作出如圖所示的頻率分布直方圖，成績(jī)前的學(xué)生授予“安全標(biāo)兵”稱號(hào)，已知成績(jī)落在區(qū)間的人數(shù)為24，則（）
A.
B.估計(jì)樣本中高三年級(jí)的人數(shù)為75
C.估計(jì)安全知識(shí)競(jìng)賽考生的平均分為73
D.估計(jì)成績(jī)84分以上的學(xué)生將獲得“安全標(biāo)兵”稱號(hào)
10.已知函數(shù)，，為的兩個(gè)相鄰的對(duì)稱中心，則（）
A.的最小正周期為
B.的最大值為1
C.直線是曲線的一條對(duì)稱軸
D.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，，則（）
A. B.
C.的一個(gè)周期為3 D.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.若，則___________.
13.在正四棱臺(tái)中，平面，，則正四棱臺(tái)的體積為_(kāi)__________.
14.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，焦距為，A，B為上的兩點(diǎn)，，四邊形的面積為，若的周長(zhǎng)為，則的離心率為_(kāi)__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程及演算步驟.
15.（本小題滿分13分）
不透明的袋子中裝有3個(gè)黑球，2個(gè)紅球，1個(gè)白球，從中任意取出2個(gè)球，再放入1個(gè)紅球和1個(gè)白球.
（1）求取球放球結(jié)束后袋子里白球的個(gè)數(shù)為2的概率；
（2）設(shè)取球放球結(jié)束后袋子里紅球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.
16.（本小題滿分15分）
如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
17.（本小題滿分15分）
記，分別為數(shù)列，的前項(xiàng)和，，，.
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)記的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意，，求整數(shù)的最小值.
18.（本小題滿分17分）
設(shè)為拋物線準(zhǔn)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，.
（1）證明：直線過(guò)定點(diǎn)；
（2）當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，直線交的準(zhǔn)線于，設(shè)為線段的中點(diǎn)，求面積的最小值.
19.（本小題滿分17分）
已知函數(shù)，且.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）比較與的大小，并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)時(shí)，證明：.
2024年普通高等學(xué)校全國(guó)統(tǒng)一模擬招生考試
金科·新未來(lái)4月聯(lián)考·數(shù)學(xué)
參考答案?提示及評(píng)分細(xì)則
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.【答案】A
【解析】因?yàn)?，所以，故選A.
2.【答案】C
【解析】，，，故選C.
3.【答案】A
【解析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，則解得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選A.
4.【答案】B
【解析】?jī)蛇呁瑫r(shí)平方得，則，解得，即，故選B.
5.【答案】D
【解析】甲?乙?丙3名同學(xué)從4門課程中任選一門有（種）選法，3名同學(xué)所選課程全相同有4種，所以3名同學(xué)所選課程不全相同的概率為，故選D.
6.【答案】B
【解析】當(dāng)時(shí)，，顯然單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，所以，所以的最小值為，故選.
7.【答案】D
【解析】，故，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以，故，所以當(dāng)時(shí)，，所以，故選D.
8.【答案】C
【解析】如圖所示，取，因?yàn)槠矫?，所以，取為的中點(diǎn)，，則且，所以平面，，同理可得，所以等腰梯形為所得截面，又，則梯形的高為，
所以等腰梯形的面積為，故選C.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.【答案】ABD（全部選對(duì)得6分，選對(duì)1個(gè)得2分，選對(duì)2個(gè)得4分，有選錯(cuò)的得0分）
【解析】因?yàn)?，則，A選項(xiàng)正確；
估計(jì)樣本中高三年級(jí)人數(shù)為，B選項(xiàng)正確；
該?？忌煽?jī)的平均分估計(jì)值為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
考生成績(jī)的第90百分位數(shù)為，D選項(xiàng)正確，故選ABD.
10.【答案】AC（全部選對(duì)得6分，選對(duì)1個(gè)得3分，有選錯(cuò)的得0分）
【解析】依題意，，所以，，A選項(xiàng)正確；
因?yàn)?，即，所以，所以的?duì)稱中心為，所以，的最大值為2，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，所以直線是曲線的一條對(duì)稱軸，C選項(xiàng)正確；
將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度所得函數(shù)為，關(guān)于對(duì)稱，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選AC.
11.【答案】ABD（全部選對(duì)得6分，選對(duì)1個(gè)得2分，選對(duì)2個(gè)得4分，有選錯(cuò)的得0分）
【解析】令，則，所以，A選項(xiàng)正確；
令，則，即，所以，令，則，令，則，所以，所以，因?yàn)?，所以，，B選項(xiàng)正確；
令，則，所以，，所以，的一個(gè)周期為6，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
令，，令，，所以，由可知，，所以，因?yàn)?，所以，D選項(xiàng)正確，故選ABD.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.【答案及評(píng)分細(xì)則】（5分，其他結(jié)果均不得分）
【解析】由，可知，.
13.【答案及評(píng)分細(xì)則】（5分，其他結(jié)果均不得分）
【解析】設(shè)為底面的中心，則共面，因?yàn)槠矫?，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，，所以到底面的距離為，所以正四棱臺(tái)的體積為.
14.【答案及評(píng)分細(xì)則】（5分，如果答案是1.5也可得分，其他結(jié)果均不得分）
【解析】不妨設(shè)，則，
，解得，所以，
又的周長(zhǎng)為，所以，根據(jù)對(duì)稱性，，
所以，根據(jù)雙曲線定義，，解得，
根據(jù)勾股定理，，即，
所以，即.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程及演算步驟.
15.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，
【解析及評(píng)分細(xì)則】（1）設(shè)事件為“取球放球結(jié)束后袋子里白球的個(gè)數(shù)為2”，
設(shè)事件為“取出2個(gè)黑球”，，
事件為“取出2個(gè)紅球”，，
事件為“取出1個(gè)紅球1個(gè)黑球”，，
因?yàn)槭录﨎，C，D互斥，所以，
所以取球放球結(jié)束后袋子里白球的個(gè)數(shù)為2的概率為；
，，，
所以X的分布列為：
所以.
16.【答案】（1）略（2）
【解析及評(píng)分細(xì)則】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，所以，
因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊?
因?yàn)椋?，所以四邊形是正方形?br>則，，所以，
得到，
所以.
因?yàn)槠矫妫?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以平面；
（2）因?yàn)槠矫?，，，則兩兩垂直，
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.
則，，，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，
則所以即
令，則，所以平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
則所以即
令，則，，
所以平面的法向量為，
所以，
因?yàn)槎娼菫殁g角，
所以二面角的余弦值為.
17.【答案】（1），.（2）3
【解析及評(píng)分細(xì)則】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，
因?yàn)椋?，即?br>所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，
所以，所以，
因?yàn)椋裕?br>所以，；
（2）依題意，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>所以，
其中，當(dāng)時(shí)，，，無(wú)限接近，
所以整數(shù)的最小值為3.
18.【答案】（1）略（2）
【解析及評(píng)分細(xì)則】（1）證明：設(shè)直線，
與拋物線聯(lián)立可得，所以，
設(shè)，，
過(guò)點(diǎn)處的切線方程為，即，
同理可得，過(guò)點(diǎn)處的切線方程為，
聯(lián)立兩直線方程可得，
依題意，，所以，解得，
所以直線過(guò)定點(diǎn)；
（2）由（1）可知，直線，，，
所以，，
對(duì)于直線，令，解得，即，
點(diǎn)Q到直線的距離為，
所以的面積，
不妨設(shè)，則，
設(shè)，則，
所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，，
所以面積的最小值為.
19.【答案】（1）詳解見(jiàn)解析（2），理由略（3）略
【解析及評(píng)分細(xì)則】（1）易知.
①.
當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減；
②.
當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，，
取，，則有，
即，所以；
（3）證明：設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
即當(dāng)時(shí)，，
結(jié)合（1）可知，，
當(dāng)時(shí)，成立，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>所以，
即.
綜上所述，.題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
A
B
D
B
D
C
題號(hào)
9
10
11
答案
ABD
AC
ABD
X
1
2
3
P

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