注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（ ）
A．B．1C．D．i
2．已知全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．1C．D．2
4．高二年級(jí)進(jìn)行消防知識(shí)競(jìng)賽，統(tǒng)計(jì)所有參賽同學(xué)的成績(jī)，成績(jī)都在內(nèi)，估計(jì)所有參賽同學(xué)成績(jī)的第75百分位數(shù)為（ ）
A．65B．75C．85D．95
5．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（ ）
A．eB．1C．D．
6．已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)都等于2，則該四棱錐的內(nèi)切球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，橢圓上異于的點(diǎn)滿足，，，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
8．甲、乙等6人去三個(gè)不同的景區(qū)游覽，每個(gè)人去一個(gè)景區(qū)，每個(gè)景區(qū)都有人游覽，若甲、乙兩人不去同一景區(qū)游覽，則不同的游覽方法的種數(shù)為（ ）
A．342B．390C．402D．462
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知函數(shù)，則（ ）
A．
B．
C．在上單調(diào)遞減
D．的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于軸對(duì)稱
10．在中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，將以直線為軸順時(shí)針轉(zhuǎn)一周圍成一個(gè)圓錐，為底面圓上一點(diǎn)，滿足，則（ ）
A．
B．在上的投影向量是
C．直線與直線所成角的余弦值為
D．直線與平面所成角的正弦值為
11．已知非常數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則（ ）
A．B．或
C．是上的增函數(shù)D．是上的增函數(shù)
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知向量，若，則_______．
13．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若成等比數(shù)列，且，則_______，_______．
14．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作一條漸近線的垂線交雙曲線的左支于點(diǎn)，已知，則雙曲線的漸近線方程為_(kāi)______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15．（13分）
已知是等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足，且，求的前項(xiàng)和．
16．（15分）
如圖，在直三棱柱中，已知．
（1）當(dāng)時(shí)，證明：平面．
（2）若，且，求平面與平面夾角的余弦值．
17．（15分）
為建設(shè)“書香校園”，學(xué)校圖書館對(duì)所有學(xué)生開(kāi)放圖書借閱，可借閱的圖書分為“期刊雜志”與“文獻(xiàn)書籍”兩類．已知該校小明同學(xué)的圖書借閱規(guī)律如下：第一次隨機(jī)選擇一類圖書借閱，若前一次選擇借閱“期刊雜志”，則下次也選擇借閱“期刊雜志”的概率為，若前一次選擇借閱“文獻(xiàn)書籍”，則下次選擇借閱“期刊雜志”的概率為．
（1）設(shè)小明同學(xué)在兩次借閱過(guò)程中借閱“期刊雜志”的次數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（2）若小明同學(xué)第二次借閱“文獻(xiàn)書籍”，試分析他第一次借哪類圖書的可能性更大，并說(shuō)明理由．
18．（17分）
已知是拋物線上任意一點(diǎn)，且到的焦點(diǎn)的最短距離為．直線與交于兩點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限．
（1）求拋物線的方程．
（2）證明：
（3）設(shè)的面積分別為，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求．
19．（17分）
已知函數(shù)．
（1）判斷的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
高三數(shù)學(xué)考試參考答案
1．C 【解析】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
．
2．D 【解析】本題考查集合的基本運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
因?yàn)?，所以，又，所以?br>3．B 【解析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，則，由，得，解得．
4．C 【解析】本題考查統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，考查數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
因?yàn)?，所以．參賽成?jī)位于內(nèi)的頻率為，第75百分位數(shù)在內(nèi)，設(shè)為，則，解得，即第75百分位數(shù)為85，所以C正確．
5．D 【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，考查邏輯推理的核心素養(yǎng)．
因?yàn)樵趨^(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立．令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，故．
6．A 【解析】本題考查四棱錐的體積公式、內(nèi)切球的表面積公式，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
設(shè)內(nèi)切球的半徑為的中點(diǎn)為，易知，則由等體積法可得，解得，所以．
7．A 【解析】本題考查橢圓的性質(zhì)以及向量的數(shù)量積與模，考查直觀想象的核心素養(yǎng)．
連接（圖略），依題意可得，所以，所以，所以，
所以，則的坐標(biāo)為，所以，即，
可得，化簡(jiǎn)得，解得，即．
8．B 【解析】本題考查用排列組合解決實(shí)際問(wèn)題，考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)和應(yīng)用意識(shí)．
去三個(gè)不同的景區(qū)游覽，每個(gè)人去一個(gè)景區(qū)，每個(gè)景區(qū)都有人去游覽，
則三個(gè)景區(qū)的人數(shù)有3種情況：①1，1，4型，則不同種數(shù)為；
②1，2，3型，則不同種數(shù)為；
③2，2，2型，則不同種數(shù)為．
所以共有種．
9．BCD 【解析】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的一條對(duì)稱軸方程為，
所以．
因?yàn)?，所以，即?br>對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)閳D象的一個(gè)對(duì)稱中心為，所以B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，C正確；對(duì)于D，的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，顯然是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，D正確．
10．ABD 【解析】本題考查平面圖形旋轉(zhuǎn)組成幾何體中的相關(guān)知識(shí)，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
旋轉(zhuǎn)一周后所得圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，半徑，所以所對(duì)的圓心角為，A正確．易知B正確．以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，所以，C錯(cuò)誤．
設(shè)平面的法向量為，則令，則．
設(shè)直線與平面所成的角為，則，D正確．
11．AC 【解析】本題考查抽象函數(shù)，考查數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理的核心素養(yǎng)．
在中，令，得，即．因?yàn)楹瘮?shù)為非常數(shù)函數(shù)，所以，A正確．
令，則．
令，則，①
令，則，②
由①②，解得，從而，B錯(cuò)誤．
令，則，即，
因?yàn)?，所以，所以C正確，D錯(cuò)誤．
12． 【解析】本題考查平面向量的垂直，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
因?yàn)?，所以，解得?br>13．； 【解析】本題考查解三角形的知識(shí)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
因?yàn)?，所以?br>又，可得，所以．
因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，從而．
14． 【解析】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
由，可設(shè)，因?yàn)?，所以，在中，，由余弦定理得，化?jiǎn)得，所以，解得，則雙曲線的漸近線方程為．
15．解：（1）因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，
所以，解得．
又是等差數(shù)列，，所以公差，
故．
（2）由，得，
所以．
當(dāng)時(shí)，
．
又，上式也成立，所以．
所以．
評(píng)分細(xì)則：
【1】第一問(wèn)，寫出，得2分，求出，累計(jì)得4分，求出，累計(jì)得5分．
【2】第二問(wèn)，求出，累計(jì)得7分，求出，累計(jì)得11分，直到給出正確結(jié)論得13分．
16．（1）證明：當(dāng)時(shí)，連接，交于點(diǎn)，連接，
可知是的中位線，
所以．
又平面平面，所以平面．
（2）解：易知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
當(dāng)時(shí)，．
．
設(shè)平面的法向量為，
則令，得．
易知為平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面與平面的夾角為，則．
評(píng)分細(xì)則：
【1】第一問(wèn)中，判斷是的中位線，得2分，證出，累計(jì)得4分，證出平面，累計(jì)得5分．
【2】第二問(wèn)中，正確建立空間直角坐標(biāo)系，累計(jì)得7分，寫出相關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)，累計(jì)得8分，計(jì)算出所求平面的法向量，累計(jì)得13分，直至正確求出平面與平面的夾角的余弦值，累計(jì)得15分．
17．解：設(shè)表示第次借閱“期刊雜志”，表示第次借閱“文獻(xiàn)書籍”，，
則．
（1）依題意，隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2．
，
，
．
隨機(jī)變量的分布列為
所以．
（2）若小明第二次借閱“文獻(xiàn)書籍”，則他第一次借閱“期刊雜志”的可能性更大．理由如下：
．
（1）若第一次借閱“期刊雜志”，則．
（2）若第一次借閱“文獻(xiàn)書籍”，則．
因?yàn)?，所以小明第一次選擇借閱“期刊雜志”的可能性更大．
評(píng)分細(xì)則：
【1】給相應(yīng)事件命名，得1分，寫出已知事件的概率，累計(jì)得2分．
【2】第一問(wèn)，求出，累計(jì)得3分，求出，累計(jì)得5分，求出，累計(jì)得6分，寫出隨機(jī)變量的分布列，累計(jì)得7分，求出，累計(jì)得8分．
【3】第二問(wèn)，求出，累計(jì)得10分，求出，累計(jì)得12分，求出，累計(jì)得14分，直到給出正確結(jié)論得15分．
18．（1）解：設(shè)，易知，準(zhǔn)線方程為．
所以．
當(dāng)時(shí)，取得最小值，由，解得．
所以拋物線的方程為．
（2）證明：設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，因?yàn)橹本€的斜率顯然不為0，所以設(shè)直線的方程為．
聯(lián)立消去得，
所以．
所以．
同理可得，所以．
（3）解：因?yàn)?，所以，即?br>因?yàn)?，所以，即?br>所以．
由（2）知，所以，故．
所以，即，化簡(jiǎn)得，
解得或．
若，則，這與矛盾．
所以，
所以．
評(píng)分細(xì)則：
【1】第一問(wèn)，寫出，得3分，求出，累計(jì)得5分，求出的方程，累計(jì)得6分．
【2】第二問(wèn)，寫出直線的方程為，累計(jì)得7分，根據(jù)韋達(dá)定理寫出，，累計(jì)得8分，求出，累計(jì)得9分，直到證出，累計(jì)得11分．
【3】第三問(wèn)，寫出，累計(jì)得12分，寫出，累計(jì)得13分，寫出，累計(jì)得14分，求出或，累計(jì)得15分，直至求出，累計(jì)得17分．
【4】第二問(wèn)，直線的方程也可以設(shè)為，參照上述步驟給分．
19．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>令，則．
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以，
所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減．
（2）且的零點(diǎn)等價(jià)于且的零點(diǎn)．．
令，易知，
因?yàn)?，所以存在，使得?br>所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，上不存在零點(diǎn)．
取，則，
所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為．
又，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．
評(píng)分細(xì)則：
【1】第一問(wèn)，寫出的定義域和，各得1分，求出，累計(jì)得3分，求出，累計(jì)得5分，正確求出的單調(diào)區(qū)間，累計(jì)得7分．
【2】第二問(wèn)，求出，累計(jì)得9分，判斷出的單調(diào)性，累計(jì)得11分，證出在上不存在零點(diǎn)，累計(jì)得12分，證出在上存在零點(diǎn)，累計(jì)得14分，證出在上存在零點(diǎn)，累計(jì)得16分，直至求出正確答案，累計(jì)得17分．
【3】采用其他方法，參照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)依步驟給分．0
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2

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