1.雙曲線的漸近線方程為
A.B.C.D.
2.設(shè)集合,則
A.B.C.D.
3.已知圓錐的母線長(zhǎng)為6,其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形,則該圓錐的表面積為
A.B.C.D.
4.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖,發(fā)現(xiàn)了黃金分隔率,黃金分割率的值也可以用表示,即,設(shè),則
A.B.C.D.
5.已知實(shí)數(shù)a,b滿足,則
A.B.C.D.a,b的大小無法判斷
6.過點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn),則
A.4B.16C.D.17
7.若一個(gè)四位數(shù)的各位數(shù)字之和為4,則稱該四位數(shù)為“數(shù)”,這樣的“數(shù)”有
A.20個(gè)B.21個(gè)C.22個(gè)D.23個(gè)
8.C是橢圓上一點(diǎn),A,B是橢圓E的左、右頂點(diǎn),若:,則的離心率為
A.B.C.D.
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.
9.已知函數(shù).則
A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.對(duì)
C.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,所得到的函數(shù)是偶函數(shù)
10.復(fù)數(shù)滿足,且,則
A. B.
C. D.
11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為,若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,,且,則
A.為偶函數(shù)B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C.D.
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.
12.樣本數(shù)據(jù)5,11,6,8,14,8,10,5的分位數(shù)為_____________.
13.如圖,在正三棱錐中,側(cè)棱,過點(diǎn)作與棱DB,DC均相交的截面AEF.則周長(zhǎng)的最小值為_____________,記此時(shí)的面積為,則_____________.
14.若不等式在上恒成立,則的最大值為____________.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)設(shè)某廠有甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的,,并且各車間的次品率依次為.
(1)從該廠這批產(chǎn)品中任取一件,求取到次品的概率;
(2)從該廠這批產(chǎn)品中有放回地抽取100次,每次抽取1件,且每次抽取均相互獨(dú)立,用表示這100次抽取的零件中是次品的總件數(shù),試估計(jì)的數(shù)學(xué)期望EX.
16.(15分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.
(1)求的通項(xiàng)公式;
(2)已知,集合中元素個(gè)數(shù)為,求.
17.(15分)如圖,在三棱柱中,,側(cè)面是正方形,是平面上一點(diǎn),且.
(1)證明:點(diǎn)到直線和的距離相等.
(2)已知二面角的大小是,求直線AB與平面所成角的正弦值.
18.(17分)在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.
(1)求的方程;
(2)點(diǎn)A,B,C,D在上,A,B是關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn),點(diǎn)位于第一多限,點(diǎn)位于第三象限,直線AC與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),且B,H,D三點(diǎn)共線,證明:直線CD與直線AC的斜率之比為定值.
19.(17分)已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若≥0恒成立,求的取值集合;
(3)若存在,且,求的取值范圍.
高三數(shù)學(xué)試卷參考答案
1.D由題可知雙曲線的漸近線方程為.
2.B依題得,則.
3.C設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為,底面半徑為,由于圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng),則,解得,所以該圓錐的表面積為.
4.A.
5.A因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,且,所以.又,所以.
6.B圓,即圓的圓心為,半徑,點(diǎn)到圓心的距離,所以.
7.A易知,當(dāng)四位數(shù)由4,0,0,0構(gòu)成時(shí),共有1種情況,當(dāng)四位數(shù)由3,1,0,0構(gòu)成時(shí),共有種情況,當(dāng)四位數(shù)由2,2,0,0構(gòu)成時(shí),共有種情況,當(dāng)四位數(shù)由2,1,1,0構(gòu)成時(shí),共有種情況,當(dāng)四位數(shù)由1,1,1,1構(gòu)成時(shí),共有1種情況,所以這樣的“數(shù)”有20個(gè).
8.D由題可知,則.由題意不妨設(shè),又,,所以
,則的離心率為.
9.當(dāng)時(shí),,因?yàn)槭钦液瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,選項(xiàng)正確;
,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;,C選項(xiàng)正確;
將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得函數(shù)的圖象,其中,不是函數(shù)最值,軸不是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸,不是偶函數(shù),D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
10.由,可得,則,解得,所以|z|,故選項(xiàng)A,D正確.當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故選項(xiàng)B正確,選項(xiàng)C錯(cuò)誤.
11.BCD由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,可得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,即的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.由,可得,又,所以,所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,即為奇函數(shù),周期為.由,可得,因?yàn)榈闹芷跒?,所以,則,即,所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱,則,所以,所以,因?yàn)榈闹芷跒?,所以的周期也為4.由,可得,所以.由,可得,所以,即.
12.8,將樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為5,5,6,8,8,10,11,14,故分位數(shù)為8.
13.把正三棱錐的側(cè)面展開,兩點(diǎn)間的連接線是截面周長(zhǎng)的最小值.
正三棱錐中,,所以,
所以,故周長(zhǎng)的最小值為.
又,所以.則.
14.6由,可得,令函數(shù),則,故在[0,2]上單調(diào)遞增,即,所以.故6,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),上式成立.所以的最大值為6.
15.解:(1)記事件為“任取一件產(chǎn)品,恰好是次品”,事件為“取到甲車間生產(chǎn)的產(chǎn)品”,事件為“取到乙車間生產(chǎn)的產(chǎn)品”,事件為“取到丙車間生產(chǎn)的產(chǎn)品”,則,………………………..3分
所以由全概率公式得0.023,故從該廠這批產(chǎn)品中任取一件,取到次品的概率為0.023.……………………..……………………..…..…………..6分
(2)的可能取值為,且服從二項(xiàng)分布.
由(1)知,. ……..………………..………………..…………………………………..…………8分
因?yàn)?所以.……..………………..………………..………………..…………13分
16.解:(1)令,得.……..………………..………………..………………..……………………………..………………..…2分
當(dāng)時(shí),因?yàn)?所以,兩式相減得,……..………………..………………………..………………..…………3分
即,所以,……..………………..………………..………………..………………..……4分
所以,即,……..………………..………………..………………..…5分
所以.……..………………..……………………..………………..…………6分
又,符合上式,所以.……..………………..………………..………………..………………..…………7分
(2)由,可得,
所以.……..………………..………………..………………..…………11分
.……..………………..………………..…………15分
17.(1)證明:當(dāng)和重合時(shí),顯然符合題意,當(dāng)和不重合時(shí),連接,延長(zhǎng)交于點(diǎn),因?yàn)槭钦叫?所以,又因?yàn)?所以……..………………..…………2分
因?yàn)?所以平面.……..………………..………………..………4分
又平面,所以,則.……..………………..………..…………5分
因?yàn)?所以為的中點(diǎn),且為的角平分線. ……..………………..…6分
所以點(diǎn)到直線和的距離相等.……..………………..…………..…………7分
(2)解:取BC的中點(diǎn),連接,所以,
所以為二面角的平面角, ……..………………..………………..……………………8分
因?yàn)槎娼堑拇笮∈?所以.……..………………..………………..……9分
過作平面ABC的垂線,交于點(diǎn),分別以的方向?yàn)檩S,軸,軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,由題可得,所以,…………11分
設(shè)平面的法向量為,
則即令,則,所以,
直線AB與平面所成的角為,
則,
所以直線AB與平面所成角的正弦值為.…..………………..……………….15分
18.(1)解:設(shè),則,………………..………………..………………..……….3分
兩邊平方,化簡(jiǎn)得,
故的方程為.………………..…………..…………..………………..…………..……….5分
(2)證明:設(shè)點(diǎn)的方程為,則,因?yàn)?所以.………………..……………………………..…………..……….7分
從而直線BD的方程為.………………..………………..…..…………..……….8分
聯(lián)立可得,所以,則,
所以.………………..……………………………..………………..…………..……….10分
聯(lián)立可得,所以,則,所以.………………..………………………..………………..…………..……….12分
所以直線CD的斜率為.……………….……….15分
所以直線CD與直線AC的斜率之比為.……………..…………………..………….17分
19.解:(1).……………..……………………..…………..……………..………….1分
當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減.…..………..…………..………..………..……3分
當(dāng)時(shí),令,解得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增...………..…..……..………..………..………..………..………..……5分
(2)因?yàn)?所以.6分由(1)可知,……..…………..……8分
令函數(shù),
易知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,且,
要使得恒成立,則,即的取值集合為.……..…………..………..…………..……10分
(3)由,可得.
設(shè)函數(shù),即在和上存在零點(diǎn).記是的導(dǎo)數(shù),是的導(dǎo)數(shù),是的導(dǎo)數(shù).
,
在上,若,則,若,則,矛盾.分
因此,此為必要條件,下證充分性:
在上,,
即先負(fù)后正,因此先減后增,由,可知在區(qū)間上有唯一零點(diǎn). ……..…………..…………..…………..……..…………..…………..…………..…………..……15分
在上,.
由,可知先負(fù)后正,因此先減后增,,
可知先負(fù)后正,先減后增.
由,可知先正后負(fù),
因此先增后減,由,
可知在區(qū)間上有唯一零點(diǎn),符合題意.
所以的取值范圍為.……..…………..…………..…………..……………..…………..……17分

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