一、選擇題
1．( )
A.-1B.1C.D.i
2．已知全集,集合,則( )
A.B.C.D.
3．已知直線與圓相交于M,N兩點(diǎn),若,則( )
A.B.1C.D.2
4．高二年級(jí)進(jìn)行消防知識(shí)競(jìng)賽,統(tǒng)計(jì)所有參賽同學(xué)的成績(jī),成績(jī)都在內(nèi),估計(jì)所有參賽同學(xué)成績(jī)的第75百分位數(shù)為( )
A.65B.75C.85D.95
5．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則a的最小值為( )
A.eB.1C.D.
6．已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)棱長(zhǎng)都等于2,則該四棱錐的內(nèi)切球的表面積為( )
A.B.C.D.
7．如圖,已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,左、右頂點(diǎn)分別為A,B,過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓E交于M,N兩點(diǎn),橢圓上異于M,N的點(diǎn)P滿足,,,則橢圓E的離心率為( )
A.B.C.D.
8．甲、乙等6人去A,B,C三個(gè)不同的景區(qū)游覽,每個(gè)人去一個(gè)景區(qū),每個(gè)景區(qū)都有人游覽,若甲、乙兩人不去同一景區(qū)游覽,則不同的游覽方法的種數(shù)為( )
A.342B.390C.402D.462
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知函數(shù),,則( )
A.
B.
C.在上單調(diào)遞減
D.的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于y軸對(duì)稱
10．在中,,,,E為AC的中點(diǎn),點(diǎn)F在線段BC上,且,將以直線BC為軸順時(shí)針轉(zhuǎn)一周圍成一個(gè)圓錐,D為底面圓上一點(diǎn),滿足,則( )
A.
B.在上的投影向量是
C.直線與直線所成角的余弦值為
D.直線與平面所成角的正弦值為
11．已知非常數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽,且,則( )
A.B.或
C.是上的增函數(shù)D.是R上的增函數(shù)
三、填空題
12．已知向量,若,則____________.
13．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,過(guò)作一條漸近線的垂線交雙曲線C的左支于點(diǎn)P,已知,則雙曲線C的漸近線方程為___________.
四、雙空題
14．在中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a,b,c成等比數(shù)列,且,則__________,___________.
五、解答題
15．已知是等差數(shù)列,,且,,成等比數(shù)列.
（1）求的通項(xiàng)公式;
（2）若數(shù)列滿足,且,求的前n項(xiàng)和.
16．如圖,在直三棱柱中,已知,,
（1）當(dāng)時(shí),證明：平面.
（2）若,且,求平面與平面夾角的余弦值.
17．為建設(shè)“書香校園”,學(xué)校圖書館對(duì)所有學(xué)生開放圖書借閱,可借閱的圖書分為“期刊雜志”與“文獻(xiàn)書籍”兩類.已知該校小明同學(xué)的圖書借閱規(guī)律如下：第一次隨機(jī)選擇一類圖書借閱,若前一次選擇借閱“期刊雜志”,則下次也選擇借閱“期刊雜志”的概率為,若前一次選擇借閱“文獻(xiàn)書籍”,則下次選擇借閱“期刊雜志”的概率為.
（1）設(shè)小明同學(xué)在兩次借閱過(guò)程中借閱“期刊雜志”的次數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
（2）若小明同學(xué)第二次借閱“文獻(xiàn)書籍”,試分析他第一次借哪類圖書的可能性更大,并說(shuō)明理由.
18．已知P是拋物線上任意一點(diǎn),且P到的焦點(diǎn)F的最短距離為.直線l與交于,兩點(diǎn),與拋物線交于,兩點(diǎn),其中點(diǎn)A,C在第一象限,點(diǎn)B,D在第四象限.
（1）求拋物線的方程.
（2）證明：
（3）設(shè),的面積分別為,,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),若,求.
19．已知函數(shù).
（1）判斷的單調(diào)性;
（2）當(dāng)時(shí),求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
參考答案
1．答案：C
解析：.
2．答案：D
解析：因?yàn)?,所以,
又,
所以.
3．答案：B
解析：設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為d,
則,由,得,解得.
4．答案：C
解析：因?yàn)?所以.
參賽成績(jī)位于內(nèi)的頻率為,
第75百分位數(shù)在內(nèi),設(shè)為,
則,解得,即第75百分位數(shù)為85,所以C正確.
5．答案：D
解析：因?yàn)樵趨^(qū)間上恒成立,所以在區(qū)間上恒成立.
令,則,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,
所以,故.
6．答案：A
解析：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,的中點(diǎn)為O,易知,
則由等體積法可得,解得,
所以.
7．答案：A
解析：連接（圖略）,依題意可得,,所以,
所以,
所以,
所以,則M的坐標(biāo)為,所以,即,
可得,化簡(jiǎn)得,解得,即.
8．答案：B
解析：去A,B,C三個(gè)不同的景區(qū)游覽,每個(gè)人去一個(gè)景區(qū),每個(gè)景區(qū)都有人去游覽,
則三個(gè)景區(qū)的人數(shù)有3種情況：①1,1,4型,則不同種數(shù)為;
②1,2,3型,則不同種數(shù)為;
③2,2,2型,則不同種數(shù)為.
所以共有種.
9．答案：BCD
解析：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的一條對(duì)稱軸方程為,
所以,
因?yàn)?所以,即.
對(duì)于A,,A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,因?yàn)閳D象的一個(gè)對(duì)稱中心為,所以B正確;
對(duì)于C,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,C正確;
對(duì)于D,的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為,顯然是偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,D正確.
10．答案：ABD
解析：旋轉(zhuǎn)一周后所得圓錐的頂點(diǎn)為C,底面圓心為B,半徑,所以所對(duì)的圓心角為,A正確.易知B正確.以B為原點(diǎn),
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,
所以,,
所以,C錯(cuò)誤.
設(shè)平面的法向量為,則令,則.
設(shè)直線與平面所成的角為,則,D正確.
11．答案：AC
解析：在中,令,得,
即,.
因?yàn)楹瘮?shù)為非常數(shù)函數(shù),所以,A正確.
令,,則.
令,則,①
令,則,②
由①②,解得,從而,B錯(cuò)誤.
令,則,即,
因?yàn)?所以,所以C正確,D錯(cuò)誤.
12．答案：-1
解析：因?yàn)?所以,解得.
13．答案：
解析：由,可設(shè),
因?yàn)?所以,,
在中,,由余弦定理得,化簡(jiǎn)得,所以,解得,則雙曲線C的漸近線方程為.
14．答案：;
解析：因?yàn)?所以.
又,可得,所以.
因?yàn)閍,b,c成等比數(shù)列,所以,從而.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因?yàn)?,成等比數(shù)列,
所以,解得.
又是等差數(shù)列,,所以公差,
故.
（2）由,得,
所以.
當(dāng)時(shí),
.
又,上式也成立,所以.
所以.
16．答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）證明：當(dāng)時(shí),連接,交于點(diǎn)E,連接,
可知是的中位線,
所以.
又平面,平面,所以平面.
（2）易知,,兩兩垂直,以B為原點(diǎn),,,的方向分別為x,y,z軸的正方向,
建立空間直角坐標(biāo)系,
當(dāng)時(shí),,,
,,
設(shè)平面的法向量為,
則令,得.
易知為平面的一個(gè)法向量,
設(shè)平面與平面的夾角為,則.
17．答案：（1）
（2）小明第一次選擇借閱“期刊雜志”的可能性更大
解析：（1）設(shè)表示第i次借閱“期刊雜志”,表示第i次借閱“文獻(xiàn)書籍”,,
則,,
依題意,隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2.
,
,
.
隨機(jī)變量X的分布列為
所以.
（2）若小明第二次借閱“文獻(xiàn)書籍”,則他第一次借閱“期刊雜志”的可能性更大.理由如下：
.
（i）若第一次借閱“期刊雜志”,則.
（ii）若第一次借閱“文獻(xiàn)書籍”,則.
因?yàn)?所以小明第一次選擇借閱“期刊雜志”的可能性更大.
18．答案：（1）
（2）見解析
（3）
解析：（1）設(shè),易知,準(zhǔn)線方程為.
所以.
當(dāng)時(shí),取得最小值,由,解得.
所以拋物線的方程為.
（2）證明：設(shè)直線與軸交于點(diǎn),因?yàn)橹本€的斜率顯然不為0,所以設(shè)直線的方程為.
聯(lián)立消去得,
所以.
所以.
同理可得,所以.
（3）因?yàn)?所以,即.
因?yàn)?,所以,即.
所以.
由（2）知,所以,故.
所以,即,化簡(jiǎn)得,
解得或.
若,則,這與矛盾.
所以,,,
所以.
19．答案：（1）在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減
（2）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2
解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?.
令,則.
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,
所以,
所以在上恒成立,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減.
（2）且的零點(diǎn)等價(jià)于且的零點(diǎn)..
令,易知,
因?yàn)?,所以存在,,使得,,
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在,上不存在零點(diǎn).
取,則,
所以在上存在一個(gè)零點(diǎn),設(shè)為.
又,所以,因?yàn)?所以,因?yàn)?所以,因?yàn)?所以,所以在上存在一個(gè)零點(diǎn).
綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.
X
0
1
2
P

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