精品解析：廣東省廣州市白云中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期零模（3月月考）數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2024．03
本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時120分鐘
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 若角的終邊過點，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)定義結(jié)合誘導(dǎo)公式求解即得.
【詳解】角的終邊過點，則，
所以.
故選：A
2. 已知為虛數(shù)單位，若，則（）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的定義即可求出結(jié)果.
【詳解】因為，所以，
.
故選：B.
3. 若集合，集合，則的子集個數(shù)為（）
A. 16B. 15C. 32D. 31
【答案】A
【解析】
【分析】解對數(shù)不等式和一元二次不等式可得集合，利用交集運(yùn)算計算，進(jìn)而可得子集個數(shù).
【詳解】對于集合可得，解得，
所以，
對于集合可得，解得，
所以，
所以，故的子集個數(shù)為.
故選: A.
4. 已知函數(shù)在上為減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)列式求解.
【詳解】由題意可得：，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故選：D.
5. 已知是夾角為的兩個單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則（）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由投影向量計算公式可得答案.
【詳解】在向量上的投影向量為.
.
故選：A
6. 已知某圓臺的上、下底面半徑分別為，且，若半徑為2的球與圓臺的上、下底面及側(cè)面均相切，則該圓臺的體積為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圓臺的軸截面圖，結(jié)合圓臺和球的結(jié)構(gòu)特征求解，然后代入圓臺體積公式求解即可.
【詳解】如圖，
設(shè)圓臺上、下底面圓心分別為，則圓臺內(nèi)切球的球心O一定在的中點處，
設(shè)球O與母線切于M點，所以，所以，
所以與全等，所以，同理，所以，
過A作，垂足為G，則，，
所以，所以，所以，所以，
所以該圓臺的體積為.
故選：C
7. 由0，2，4組成可重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，按從小到大的順序排成的數(shù)列記為，即，若，則（）
A. 34B. 33C. 32D. 30
【答案】B
【解析】
【分析】由題意可知一位自然數(shù)有3個，兩位自然數(shù)有6個，三位自然數(shù)有18個，利用列舉法列出符合題意得自然數(shù)，即可求解.
【詳解】由0,2,4組成可重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，按從小到大的順序排成數(shù)列，
則一位自然數(shù)有3個，兩位自然數(shù)有個，
三位自然數(shù)有個，四位自然數(shù)有個，
又四位自然數(shù)為
2024為四位自然數(shù)中的第6個，所以.
故選：B
8. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的直線與雙曲線的右支交于兩點，若，且雙曲線的離心率為，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由雙曲線的定義結(jié)合已知條件求得，從而再得，由余弦定理求得，由誘導(dǎo)公式得，設(shè)，則，再由余弦定理求得，從而利用余弦定理求解即可.
【詳解】因為雙曲線的離心率為，所以，因為，
所以，由雙曲線的定義可得，
所以，
在中，由余弦定理得，
在中，，設(shè)，則，
由得
，解得，所以，
所以.
故選：D
.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是利用，結(jié)合余弦定理與雙曲線的定義，從而得解.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. “體育強(qiáng)則中國強(qiáng)，國運(yùn)興則體育興”．為備戰(zhàn)2024年巴黎奧運(yùn)會，已知運(yùn)動員甲特訓(xùn)的成績分別為：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，則這組數(shù)據(jù)的（）
A. 眾數(shù)為12B. 平均數(shù)為14C. 中位數(shù)為14.5D. 第85百分位數(shù)為16
【答案】BC
【解析】
【分析】由眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，第百分位數(shù)的定義求出即可.
【詳解】成績從小到大排列為：.
A：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)為，故A錯誤；
B：平均數(shù)，故B正確；
C：中位數(shù)為：，故C正確；
D：第85百分位數(shù)為第，即第位，為，故D錯誤；
故選：BC.
10. 已知等差數(shù)列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列，以下說法正確的是（）
A.
B. 當(dāng)時，
C. 當(dāng)時，不是數(shù)列中的項
D. 若是數(shù)列中的項，則的值可能為7
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出通項判斷A；求出公差、通項判斷BC；探討數(shù)列與的下標(biāo)關(guān)系判斷D.
【詳解】對于A，由題意得，A正確；
對于B，新數(shù)列的首項為2，公差為2，故，B正確；
對于C，由B選項知，令，則，即是數(shù)列的第8項，C錯誤；
對于D，插入個數(shù)，則，
則等差數(shù)列中的項在新的等差數(shù)列中對應(yīng)的下標(biāo)是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，
于是，而是數(shù)列的項，令，當(dāng)時，，D正確.
故選：ABD
11. 如圖，八面體每一個面都是邊長為4的正三角形，且頂點在同一個平面內(nèi)．若點在四邊形內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動，為的中點，則（）
A. 當(dāng)為的中點時，異面直線與所成角為
B. 當(dāng)平面時，點的軌跡長度為
C. 當(dāng)時，點到的距離可能為
D. 存在一個體積為的圓柱體可整體放入內(nèi)
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于AC：建立空間直角坐標(biāo)系計算求解；對于B：過作面的平行平面，進(jìn)而可得點的軌跡；對于D：由于圖形的對稱性，我們可以先分析正四棱錐內(nèi)接最大圓柱的體積，表示出體積，然后利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可.
【詳解】對于A，因為為正方形，如圖，連接與，相交于點，連接，
則兩兩垂直，故以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
為的中點，則，
當(dāng)為的中點時，，
設(shè)異面直線與所成角為，
則，故，故正確；
對于B，如圖，設(shè)為的中點，為的中點，
則，平面，平面，
則平面，又平面，又，設(shè)，
故平面平面，平面平面，平面平面，
則，則為的中點，點在四邊形內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動，則，
點的軌跡是過點與平行的線段，長度為4，故B錯誤；
對于C，當(dāng)時，設(shè)，
，得，即，
即點的軌跡以中點為圓心，半徑為的圓在四邊內(nèi)（包含邊界）的一段?。ㄈ缦聢D），
到的距離為3，弧上的點到的距離最小值為，
因為，所以存在點到的距離為，故C正確；
對于D，如圖，由于圖形的對稱性，我們可以先分析正四棱錐內(nèi)接最大圓柱的體積，
設(shè)圓柱底面半徑為，高為，為的中點，為的中點，，
根據(jù)，得，即，
則圓柱體積，
設(shè)，求導(dǎo)得，
令得，或，因為，所以舍去，即，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即當(dāng)時，，
則，
所以，
故存在一個體積為的圓柱體可整體放入內(nèi)，故D正確．
故選：ACD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 若函數(shù)的最小正周期為，其圖象關(guān)于點中心對稱，則______．
【答案】
【解析】
【分析】由三角函數(shù)的周期公式求出，再由正弦型函數(shù)的對稱中心即可求出.
【詳解】由得，，所以，
又的圖象關(guān)于點中心對稱，
所以,解得，又，
所以，.
故答案為：
13. 已知隨機(jī)變量，且，則的展開式中常數(shù)項為__________.
【答案】
【解析】
【分析】由正態(tài)分布求出參數(shù)后再利用二項式定理計算即可.
【詳解】由題意得隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，由，所以，
即求的常數(shù)項，由二項式定理得常數(shù)項為.
故答案為：
14. 已知函數(shù)，設(shè)曲線在點處切線的斜率為，若均不相等，且，則的最小值為______．
【答案】18
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得的表達(dá)式，由此化簡推出，結(jié)合說明，繼而利用基本不等式，即可求得答案.
【詳解】由于，
故，
故，，
則
，
由，得，
由，即，知位于之間，
不妨設(shè)，則，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
故則的最小值為18，
故答案為：18
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及不等式求最值的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式推出，并說明，然后利用基本不等式求最值即可.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 設(shè)為數(shù)列的前項和，已知，且為等差數(shù)列．
（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）若數(shù)列滿足，且，設(shè)為數(shù)列的前項和，集合，求（用列舉法表示）．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可得、，解得，結(jié)合求得，即可證明；
（2）由（1）可得，根據(jù)累乘法可得，結(jié)合裂項相消求和法計算即可求解.
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，即，①
因，所以由，得．②
由①、②解得，所以，即，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，上式也成立，所以，
所以數(shù)列等差數(shù)列．
【小問2詳解】
由（1）可知，
當(dāng)時，，
因為滿足上式，所以．
，
因為當(dāng)時，，所以．
16. 多巴胺是一種神經(jīng)傳導(dǎo)物質(zhì)，能夠傳遞興奮及開心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通過服裝搭配來營造愉悅感的著裝風(fēng)格，通過色彩艷麗的時裝調(diào)動正面的情緒，是一種“積極化的聯(lián)想”.小李同學(xué)緊跟潮流，她選擇搭配的顏色規(guī)則如下：從紅色和藍(lán)色兩種顏色中選擇，用“抽小球”的方式?jīng)Q定衣物顏色，現(xiàn)有一個箱子，里面裝有質(zhì)地、大小一樣的4個紅球和2個白球，從中任取4個小球，若取出的紅球比白球多，則當(dāng)天穿紅色，否則穿藍(lán)色.每種顏色的衣物包括連衣裙和套裝，若小李同學(xué)選擇了紅色，再選連衣裙的可能性為0.6，而選擇了藍(lán)色后，再選連衣裙的可能性為0.5.
（1）寫出小李同學(xué)抽到紅球個數(shù)的分布列及期望；
（2）求小李同學(xué)當(dāng)天穿連衣裙的概率.
【答案】（1）分布列見解析，
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)超幾何分布求出的概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望即可；
（2）設(shè)A表示穿紅色衣物，則表示穿藍(lán)色衣物，B表示穿連衣裙，則表示穿套裝.求出，結(jié)合條件概率和計算即可求解.
【小問1詳解】
設(shè)抽到紅球的個數(shù)為X，則X的取值可能為4，3，2，
，，，
所以X的分布列為：
故.
【小問2詳解】
設(shè)A表示穿紅色衣物，則表示穿藍(lán)色衣物，B表示穿連衣裙，則表示穿套裝.
因為穿紅色衣物的概率為，
則穿藍(lán)色衣物的概率為，
穿紅色連衣裙概率為，穿藍(lán)色連衣裙的概率為，
則當(dāng)天穿連衣裙的概率為.
所以小李同學(xué)當(dāng)天穿連衣裙的概率為.
17. 如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，平面平面，點在上，且．
（1）求證：平面；
（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
分析】（1）由余弦定理結(jié)合勾股定理逆定理可得，后結(jié)合平面平面，可得，后結(jié)合可得結(jié)論；
（2）由（1）結(jié)合題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，即可得答案.
【小問1詳解】
不妨設(shè)，
，
由余弦定理得，
在中，，
平面平面，平面平面平面，
平面．
平面，
四邊形是菱形，，
又，且平面平面平面．
【小問2詳解】
在平面內(nèi)，過點作的垂線，垂足為，
平面平面，平面平面，
平面，
又四邊形是菱形，，
均為等邊三角形，
以點A為坐標(biāo)原點，及過點A平行于的直線分別為軸，
建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），
則，
由（1）平面，
為平面的一個法向量，
設(shè)平面的法向量為，
則即．
令，可得，，
平面與平面的夾角的余弦值為．
18. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
（2）討論函數(shù)的極值點個數(shù)；
（3）當(dāng)函數(shù)無極值點時，求證：．
【答案】（1）
（2）答案見解析（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）對求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)后再求導(dǎo)，由二次導(dǎo)數(shù)得到在上單調(diào)遞減，再由零點存在定理確定的最小值.
（2）求導(dǎo)后令得，再利用換元法設(shè)，得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性和極值，畫出圖像，再由方程根的個數(shù)討論函數(shù)零點的個數(shù).
（3）先證明當(dāng)時，，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后分析單調(diào)性得到最小值可證明之；再由（2）知，當(dāng)函數(shù)無極值點時，，則，取最小值取，則有，即可證明.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，
則，
令，則，
因為，所以．則在上單調(diào)遞減，
又因為，
所以使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
因此，在上的最小值是與兩者中的最小者．
因為，
所以函數(shù)在上的最小值為．
【小問2詳解】
，
由，解得，
易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且值域為，
令，由，解得，
設(shè)，則，
因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
根據(jù)時，，
得的大致圖像如圖所示．
因此有：
（?。┊?dāng)時，方程無解，即無零點，沒有極值點；
（ⅱ）當(dāng)時，，
設(shè)，則，令，
則在上時單調(diào)遞增函數(shù)，即，
得，此時沒有極值點；
（ⅲ）當(dāng)時，方程有兩個解，即有兩個零點，有兩個極值點；
（ⅳ）當(dāng)時，方程有一個解，即有一個零點，有一個極值點．
綜上，當(dāng)時，有一個極值點；當(dāng)時，有兩個極值點；當(dāng)時，沒有極值點．
【小問3詳解】
先證明當(dāng)時，．
設(shè)，則，
記，則在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，，
即當(dāng)時，不等式成立．
由（2）知，當(dāng)函數(shù)無極值點時，，則，
在不等式中，取，則有，
即不等式成立．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：
（1）求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值時，通常求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性分析最值，若在給定區(qū)間上不是單調(diào)的，常用零點存在定理分析其單調(diào)性，再比較區(qū)間的端點值找到最值.
（2）討論函數(shù)的極值點個數(shù)值，通常轉(zhuǎn)化為分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像交點的個數(shù)或兩函數(shù)相等時方程根的個數(shù)問題.用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，求最值，再數(shù)形結(jié)合分析交點個數(shù)或方程根個數(shù).
（3）證明不等式成立問題時可采用構(gòu)造函數(shù)，找到不等式一邊的最小值大于另一邊，或最大值小于另一邊，即函數(shù)不等式恒成立問題.
19. 已知動點與定點的距離和到定直線的距離的比為常數(shù)．其中，且，記點的軌跡為曲線．
（1）求的方程，并說明軌跡的形狀；
（2）設(shè)點，若曲線上兩動點均在軸上方，，且與相交于點．
①當(dāng)時，求證：的值及的周長均為定值；
②當(dāng)時，記的面積為，其內(nèi)切圓半徑為，試探究是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）答案見解析
（2）① 證明見解析；②存在；
【解析】
【分析】（1）設(shè)，由題意可得，結(jié)合橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解；
（2）設(shè)點，其中且.
（?。┯煽芍c共且，設(shè)：，聯(lián)立的方程，利用韋達(dá)定理表示，進(jìn)而表示出，結(jié)合（1）化簡計算即可；由橢圓的定義，由得，，進(jìn)而表示出，化簡計算即可；（ii）由（ⅰ）可知三點共線，且，設(shè)：，聯(lián)立的方程，利用韋達(dá)定理表示，計算化簡可得，結(jié)合由內(nèi)切圓性質(zhì)計算即可求解.
【小問1詳解】
設(shè)點，由題意可知，
即，
經(jīng)化簡，得的方程為，
當(dāng)時，曲線是焦點在軸上的橢圓；
當(dāng)時，曲線是焦點在軸上的雙曲線．
【小問2詳解】
設(shè)點，其中且，
（?。┯桑?）可知的方程為，
因為，所以，
因此，三點共線，且，
（法一）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立的方程，得，
則，
由（1）可知，
所以
，
所以為定值1；
（法二）設(shè)，則有，解得，
同理由，解得，
所以，
所以為定值1；
由橢圓定義，得，
，
解得，同理可得，
所以
．
因為，所以的周長為定值．
（ⅱ）當(dāng)時，曲線的方程為，軌跡為雙曲線，
根據(jù)（?。┑淖C明，同理可得三點共線，且，
（法一）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立的方程，
得，
，（*）
因為，
所以
，
將（*）代入上式，化簡得，
（法二）設(shè)，依條件有，解得，
同理由，解得，
所以．
由雙曲線的定義，得，
根據(jù)，解得，
同理根據(jù)，解得，
所以
，
由內(nèi)切圓性質(zhì)可知，，
當(dāng)時，（常數(shù)）．
因此，存在常數(shù)使得恒成立，且．
【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：
(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．
(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
X
4
3
2
P

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