一、單選題（本大題共8小題）
1．在數(shù)列中，若，，則下列數(shù)不是中的項的是（ ）
A．B．C．D．3
2．?dāng)?shù)列滿足，且，則（ ）
A．1B．C．D．100
3．下列函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，則（ ）
A．B．C．D．
5．設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項和為，則“”是“為等比數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
6．已知數(shù)列滿足，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
7．已知函數(shù)，若存在，使得成立，則實數(shù)m的最小值是（ ）
A．B．C．D．4
8．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)， ，當(dāng)時， ，則使得成立的取值范圍是（ ）
A． B．
C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知{}是等差數(shù)列，其前n項和為，，則下列結(jié)論一定正確的有（ ）
A．B．最小C．D．
10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)存在兩個不同的零點
B．函數(shù)既存在極大值又存在極小值
C．當(dāng)時，方程有且只有兩個實根
D．若時，，則t的最小值為2
11．已知數(shù)列滿足，，且，則下列說法正確的是（ ）
A．，
B．是遞增數(shù)列
C．
D．，，
三、填空題（本大題共3小題）
12．若曲線的一條切線是直線，則實數(shù)b的值為
13．已知函數(shù)，其中無理數(shù)．若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)m的取值范圍是 ．
14．如圖數(shù)陣中，第一行有兩個數(shù)據(jù)圴為1，將上一行數(shù)據(jù)中每相鄰兩數(shù)的和插入到兩數(shù)中，得到下一行數(shù)據(jù)，形成數(shù)陣，則數(shù)陣第11行共有 個數(shù)，第行所有數(shù)據(jù)的和 .

四、解答題（本大題共5小題）
15．已知數(shù)列的前項和為，，點()在直線上.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，的前項和為，求.
16．如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點．

(1)證明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
17．已知函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值．
18．如圖，對于曲線，存在圓C滿足如下條件：
①圓C與曲線有公共點A，且圓心在曲線凹的一側(cè)；
②圓C與曲線在點A處有相同的切線；
③曲線的導(dǎo)函數(shù)在點A處的導(dǎo)數(shù)（即曲線的二階導(dǎo)數(shù)）等于圓C在點A處的二階導(dǎo)數(shù)（已知圓在點A處的二階導(dǎo)數(shù)等于）；
則稱圓C為曲線在點A處的曲率圓，其半徑稱為曲線在點A處的曲率半徑．
(1)求拋物線在原點處的曲率圓的方程；
(2)若曲線在和處有相同的曲率半徑，求證：
19．已知拋物線：，焦點為，過作軸的垂線，點在軸下方，過點作拋物線的兩條切線，，，分別交軸于，兩點，，分別交于，兩點．
(1)若，與拋物線相切于，兩點，求點的坐標(biāo)；
(2)證明：的外接圓過定點；
(3)求面積的最小值．
參考答案
1．【答案】B
【分析】由和，依次求出，即可得出結(jié)果.
【詳解】因為，，
所以，，，，
所以數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，故不是中的項.
故選B.
2．【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件可知為等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式基本量的計算即可求解.
【詳解】依題意，，則，
故是以為公比的等比數(shù)列，
所以，
所以.
故選B.
3．【答案】B
【分析】A中，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；
B中，利用導(dǎo)數(shù)判定在上是增函數(shù)；
C中，利用導(dǎo)數(shù)判定在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；
D中，利用導(dǎo)數(shù)判定在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．
【詳解】對于A，是周期函數(shù)，當(dāng)，即時，函數(shù)是減函數(shù)，所以不滿足題意；
對于B，，，
所以當(dāng)時，，在上是增函數(shù)；
對于C，，，
所以當(dāng)時，，是減函數(shù)；
時，，是增函數(shù)；所以不滿足題意；
對于D，，，
當(dāng)時，，是增函數(shù)，
當(dāng)時，，是減函數(shù)，所以不滿足題意．
綜上，在上為增函數(shù)的是B．
故選B．
4．【答案】C
【解析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，即可的解集為，即可得到、、的關(guān)系，從而得解；
【詳解】由題可得，則的解集為，即，，可得，所以，
故選C．
【關(guān)鍵點撥】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解能力及推理論證能力．
5．【答案】C
【分析】應(yīng)用等比中項的性質(zhì)，由為等比數(shù)列，解出值，即可判斷.
【詳解】依題，“為等比數(shù)列”，所以，
得，化簡得，
解得，則“”是“為等比數(shù)列”的充要條件.
故選C.
6．【答案】C
【分析】采用疊加法求出，由可得，結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)分析在或6取到最小值，代值運算即可求解.
【詳解】因為，所以，，，，式相加可得，
所以，，當(dāng)且僅當(dāng)取到，但，，所以時，當(dāng)時，，，所以的最小值為.
故選C.
7．【答案】D
【分析】分離參數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值即可.
【詳解】由能成立，
問題轉(zhuǎn)化為，
令，
由；由，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則，
故m的最小值為4．
故選D.
8．【答案】D
【分析】
根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，由求導(dǎo)公式和法則求出，結(jié)合條件判斷出的符號，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)奇函數(shù)判斷出是偶函數(shù)，由求出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，再轉(zhuǎn)化，由單調(diào)性求出不等式成立時的取值范圍．
【詳解】
由題意設(shè)，則
因為當(dāng)時，有，所以當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上為增函數(shù)，
因為函數(shù)是奇函數(shù)，
所以，
所以函數(shù)為定義域上的偶函數(shù)，
在上遞減，
由得，，
因為不等式，
所以或，
即有或，
所以使得成立的的取值范圍是：，
故選D.
9．【答案】AC
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，結(jié)合已知條件得到和的關(guān)系，然后對選項逐一分析即可.
【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列是等差數(shù)列，若
即
變形可得
，則故A正確；
不能確定和的符號，不能確定最小，故B錯誤；
由，
由二次函數(shù)圖象的性質(zhì)可知，故C正確；
當(dāng)公差不為0時，, 則 D 錯誤.
故選AC.
10．【答案】ABC
【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和極值以及函數(shù)的圖象，最后直接判斷選項．
【詳解】對于A，由，得，所以，故A正確；
對于B，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以是函數(shù)的極小值，是函數(shù)的極大值，故B正確；
對于C，當(dāng)時，，根據(jù)B可知，函數(shù)的最小值是，再根據(jù)單調(diào)性可知，當(dāng)時，方程有且只有兩個實根，所以C正確；
對于D：由圖象可知，t的最大值是2，所以D錯誤．
故選ABC.
【易錯警示】
本題考查了導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，極值點，以及函數(shù)的圖象，首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，判斷零點兩側(cè)的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，本題易錯的地方是是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，但當(dāng)時，，所以圖象是無限接近軸，如果這里判斷錯了，那選項容易判斷錯了．
11．【答案】ACD
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系得，進(jìn)而得到與同號判斷A；由即可判斷B；由，再用累加法判斷C；由C分析得，進(jìn)而，應(yīng)用累加、裂項相消判斷D.
【詳解】由已知，數(shù)列滿足，，且，
所以，
所以，
由，有，，故與同號，
因為，則，，…，
以此類推可知，對任意的，，故A正確；
因為，所以，
又，所以，則是遞減數(shù)列，故B錯誤；
因為，所以，，…，，
累加得，故C正確；
因為，又，，所以，
所以，則，
所以當(dāng)，時，，
所以當(dāng)，時，，
所以，故D正確．
故選ACD.
【關(guān)鍵點撥】對于D，利用遞推關(guān)系得到，結(jié)合放縮、累加、裂項相消證不等式.
12．【答案】
【分析】先設(shè)切點為，對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)切線斜率，求出切點坐標(biāo)，代入切線方程，即可得出結(jié)果.
【詳解】設(shè)切點為，對函數(shù)求導(dǎo)，得到，
又曲線的一條切線是直線，
所以切線斜率為，所以，
因此，即切點為，代入切線，可得.
故答案為：.
【方法總結(jié)】本題主要考查由曲線的切線求參數(shù)的問題，熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可.
13．【答案】
【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，由函數(shù)有兩個極值點可得導(dǎo)函數(shù)有兩個解，通過與1的大小比較，轉(zhuǎn)化求解的取值范圍.
【詳解】因為，令，，
因為函數(shù)有兩個極值點，所以有兩個不等的正實數(shù)根，
且，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，不符合題意；
當(dāng)時，時，，則單調(diào)遞減，
時，，則單調(diào)遞增，
又，當(dāng)時，，
所以，所以，
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是.
故答案為：.
14．【答案】
【分析】設(shè)第行數(shù)據(jù)有個，根據(jù)數(shù)陣的規(guī)律求得關(guān)于的遞推關(guān)系式，利用構(gòu)造法求得，進(jìn)而求得.根據(jù)數(shù)陣的規(guī)律求得關(guān)于的遞推關(guān)系式，利用構(gòu)造法求得.
【詳解】由數(shù)陣形成規(guī)律，設(shè)第行數(shù)據(jù)有個，
則，
則，
是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.
則，
，
設(shè)第行數(shù)據(jù)的和為，
第行數(shù)據(jù)為，
則第行數(shù)據(jù)為，
，
，
得從第二項起，是以為第二項，以3為公比的等比數(shù)列，
，
，
時，，
.
故答案為：；.
15．【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由條件可得，然后利用與的關(guān)系求解即可；
（2），然后利用錯位相減法求解即可.
【詳解】（1）∵點()在直線上，
∴，
當(dāng)時，，
兩式相減，并整理得，①
又，且，②
∴由①②可知，對任意都有，
∴數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
∴.
（2）由（1）可得，，
∴，③
，④
③-④得
，
∴.
16．【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）連接并延長交于點，連接、，根據(jù)三角形全等得到，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，即可得到為的中點從而得到，即可得證；
（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦的絕對值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得.
【詳解】（1）證明：連接并延長交于點，連接、，
因為是三棱錐的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以為的中點，又為的中點，所以，
又平面，平面，
所以平面.

（2）解：過點作，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
因為，，所以，
又，所以，則，，
所以，所以，，，，
所以，
則，，，
設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，，所以；
所以.
設(shè)二面角的大小為，則，
所以，即二面角的正弦值為.

17．【答案】（1）詳解見解析；（2）.
【分析】（1）先確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)后得，根據(jù)正負(fù)進(jìn)行討論，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）中可通過分離參數(shù)將問題轉(zhuǎn)化成在區(qū)間內(nèi)恒成立求解，令，結(jié)合函數(shù)零點存在定理可求得的最值．
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為．
由題意得，
當(dāng)時，，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，由，得或（舍去），
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減．
所以當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）由，
得，
因為，所以原命題等價于在區(qū)間內(nèi)恒成立．
令，
則，
令，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
又，
所以存在唯一的，使得，
且當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，，
所以當(dāng)時，有極大值，也為最大值，且 ，
所以，
又，所以,
所以，
因為，
故整數(shù)的最小值為2．
【方法總結(jié)】本題屬于導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題．第一問中要合理確定對進(jìn)行分類的標(biāo)準(zhǔn)；第二問利用分離參數(shù)的方法解題，但在求函數(shù)的最值時遇到了導(dǎo)函數(shù)零點存在但不可求的問題，此時的解法一般要用到整體代換，即由可得，在解題時將進(jìn)行代換以使問題得以求解．
18．【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）設(shè)拋物線在原點的曲率圓的方程為，求出導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)，結(jié)合所給定義求出即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即兩點求直線斜率得到一階導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)題中二階導(dǎo)數(shù)的公式求得二階導(dǎo)數(shù)，然后等價替換成含的式子，即可求得r，則函數(shù)的圖象在處的曲率半徑，即，設(shè)，由的單調(diào)性和極值情況，可得，可證，設(shè)函數(shù)（其中），由，可得單調(diào)遞增，則 ，故可得，所以．
【詳解】（1）記，設(shè)拋物線在原點的曲率圓的方程為，其中為曲率半徑．
則，，
故，即，
所以拋物線在原點的曲率圓的方程為.
（2）設(shè)曲線在的曲率半徑為，
則，
由知，，
所以，
所以函數(shù)的圖象在處的曲率半徑，
故.
設(shè)，則，
所以當(dāng)時，當(dāng)時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故有，
所以，
要證，即證，
即證，
下面證明，
當(dāng)時，有，
設(shè)函數(shù)（其中），
則，
故單調(diào)遞增， ，
故，所以．
【方法總結(jié)】極值點偏移法證明不等式，先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，找到極值點，分析兩根相等時兩根的范圍，根據(jù)范圍以及函數(shù)值相等構(gòu)造新的函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性及最值，判斷新函數(shù)小于或大于零恒成立，即可證明不等式.
19．【答案】(1)；
(2)證明見解析；
(3).
【分析】（1）由已知可得，兩點的坐標(biāo)，給函數(shù)求導(dǎo)可得切線的斜率，利用點斜式表示切線方程，聯(lián)立方程即可得點坐標(biāo)；
（2）設(shè)過的兩條切線分別與拋物線切于，，寫出直線，的方程，聯(lián)立可得點坐標(biāo)，設(shè)外接圓方程，求出圓心，整理變形即可得定點坐標(biāo)；
（3）由已知設(shè)，坐標(biāo)，表示和到的距離，然后表示,設(shè)，，，可得，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得最小值.
【詳解】（1）因為，與拋物線相切于，兩點，
設(shè)在左側(cè)，則，，
由得，所以，
所以的斜率為，的斜率為，
此時方程：，即．
方程：，即，聯(lián)立得；
（2）設(shè)過的兩條切線分別與拋物線切于，，
由（1）知直線的斜率為，所以直線方程為，即，
直線的斜率為，直線方程為，即，
所以且，，
設(shè)外接圓的圓心為，則在的垂直平分線上，而的中點為，所以，
設(shè)外接圓方程為：過，所以，
所以，所以，
所以，
整理得，
所以，
令即，所以的外接圓過定點.
（3）：，所以，，
所以，
到的距離為，所以，
設(shè)，，，由，
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．
所以，
令，，
在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
所以，所以面積的最小值.
【方法總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線的斜率，表示切線方程，聯(lián)立方程可表示點的坐標(biāo)；通過設(shè)，，，由，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，把三角形的面積表示為關(guān)于的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解最小值.

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