四川省內(nèi)江市資中縣第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.
1. 下列命題正確的是（）
A. 單位向量都相等B. 模為0的向量與任意非零向量共線
C. 平行向量不一定是共線向量D. 任一向量與它的相反向量不相等
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量的基本定義判斷即可.
【詳解】對A，單位向量模長相等方向不一定一致，故A錯誤；
對B，零向量與任意非零向量共線，故B正確；
對C，平行向量即共線向量，故C錯誤；
對D，零向量與它的相反向量相等，故D錯誤．
故選：B
2. 函數(shù)是（）
A. 以為最小正周期的偶函數(shù)B. 以為最小正周期的偶函數(shù)
C. 以為最小正周期的奇函數(shù)D. 以為最小正周期的奇函數(shù)
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角公式化簡函數(shù)，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】因為，
所以函數(shù)的最小正周期，且為偶函數(shù).
故選：B
3. 下列各式中不能化簡為的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量加、減運算法則及運算律計算可得.
【詳解】對于A：，故A不合題意；
對于B：，故B滿足題意；
對于C：，故C不合題意；
對于D：，故D不合題意.
故選：B
4. 設(shè)，角的終邊經(jīng)過點，則的值等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的定義求解的正余弦計算即可.
【詳解】因為，故，.
故.
故選：A
5. 若向量，滿足：，，且，則與的夾角是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題目條件直接利用平面向量數(shù)量積公式即可求解.
【詳解】設(shè)向量與的夾角是，，因為，，所以，又所以.
故選：D．
6. 若是不平行的兩個向量,其中,,則A、B、C三點共線的充要條件是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】將三點共線轉(zhuǎn)化為兩個向量共線，利用向量共線的充要條件求出兩參數(shù)的關(guān)系.
【詳解】A、B、C三點共線共線，
存在使

整理得
故選：C
【點睛】本題主要考查向量共線的充要條件以及充要條件的求法，在解決三點共線的問題時，可先證明兩向量共線.
7. 若函數(shù)是奇函數(shù)，則的值可以是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)求解
【詳解】若函數(shù)是奇函數(shù)，
則，得
故選：C
8. 已知函數(shù)的圖像可由函數(shù)(，，)的圖像先向左平移個單位長度，然后將每個點的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)得到，則函數(shù)圖像的對稱中心可能是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)三角函數(shù)的平移伸縮變換方式求出，再令()即可求解.
【詳解】將函數(shù)圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)，
得到的圖像，
再將所得圖像向右平移個單位長度，得到，
令()，則()，
故選：B.
二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
9. 下列結(jié)論正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式一一化簡各選項中三角函數(shù)式，判斷正誤，即可得答案.
【詳解】對于A，，A錯誤；
對于B，，B正確；
對于C，，C正確；
對于D，，D錯誤，
故選：BC
10. 已知平面向量，，，則下列說法正確的是（）
A.
B 若，則
C.
D 若，，則
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量的基本性質(zhì)判斷各選項即可.
【詳解】，故A正確；
可得，
，則，故B正確；
表示與共線的向量，表示與共線的向量，原等式兩邊不一定相等，故C錯誤；
當(dāng)均與垂直時，此時，但與不一定相等，故D錯誤.
故選：AB.
11. 中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊，一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，如圖，設(shè)扇形的面積為，其圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)與的比值為時，扇面為“美觀扇面”，下列結(jié)論正確的是（參考數(shù)據(jù)：）（）

A.
B. 若，扇形的半徑，則
C. 若扇面為“美觀扇面”，則
D. 若扇面為“美觀扇面”，扇形的半徑，則此時的扇形面積為
【答案】AC
【解析】
【分析】首先確定所在扇形的圓心角，結(jié)合扇形面積公式可確定A正確；由可求得，代入扇形面積公式可知B錯誤；由即可求得，知C正確；由扇形面積公式可直接判斷出D錯誤.
【詳解】對于A，與所在扇形的圓心角分別為，，
，A正確；
對于B，，，，B錯誤；
對于C，，，，C正確；
對于D，，D錯誤.
故選：AC.
12. 已知函數(shù)，有下列四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論為（）
A. 在區(qū)間上單調(diào)遞增B. 是的一個周期
C. 的值域為D. 的圖象關(guān)于軸對稱
【答案】CD
【解析】
【分析】
代入特殊值檢驗，可得A錯誤；求得的表達式，即可判斷B的正誤；分段討論，根據(jù)x的范圍，求得的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得的值域，即可判斷C的正誤；根據(jù)奇偶性的定義，即可判斷的奇偶性，即可判斷D的正誤，即可得答案.
【詳解】對于A：因為，所以，
，
所以，所以在區(qū)間上不是單調(diào)遞增函數(shù)，故A錯誤；
對于B：，
所以不是的一個周期，故B錯誤；
對于C：，所以的周期為，
當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，；
綜上：的值域為，故C正確；
對于D：，所以為偶函數(shù)，即的圖象關(guān)于軸對稱，故D正確，
故選：CD
【點睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的奇偶性、周期性求解，考查分類討論，化簡計算的能力，綜合性較強，屬中檔題.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知，，和的夾角是，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義計算可得.
【詳解】因為，，和的夾角是，
所以.
故答案：
14. 函數(shù)的圖象如圖所示，的解析式是______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)最低點的縱坐標(biāo)可得，根據(jù)周期可得，再代入最低點可得.
【詳解】最小值為，故，由圖可得，即，
則，故，即.
又，則，
即，又，故.
故.
故答案為：
15. 已知函數(shù)在處取到最大值，則的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】利用兩角和的余弦公式將函數(shù)化簡得到其中，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)及兩角差的正弦公式計算可得.
【詳解】因為，其中，
又函數(shù)在處取到最大值，
所以，
不妨令，則，
所以
.
故答案為：
16. 在三角形中，在上的投影向量為，則______．
【答案】
【解析】
【分析】首先根據(jù)投影公式求，再轉(zhuǎn)化向量，即可求解.
【詳解】由題意，，為中點，
由在上的投影向量為，
即，又，
所以，
所以.
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知向量與的夾角為，且，.
（1）求
（2）當(dāng)為何值時，向量與互相垂直．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再由數(shù)量積的運算律計算可得；
（2）依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得.
【小問1詳解】
因為向量與的夾角為，且，，
所以，
所以.
【小問2詳解】
因為與互相垂直，
所以，即，
即，解得.
18. 已知.
（1）化簡函數(shù)；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)關(guān)系化簡函數(shù)即可；
（2）分式中分子分母同除，化弦為切即可求解.
【小問1詳解】
；
【小問2詳解】
因為，所以，
所以.
19. 已知，，且向量與向量的夾角為，
（1）當(dāng)時，求向量在向量上的投影向量；
（2）當(dāng)時，求向量在向量上的投影向量．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先由定義法求出，再由投影向量的定義計算可得；
（2）首先由定義法求出，從而求出，再由計算可得.
【小問1詳解】
因為，且向量與向量的夾角，
所以，
所以向量在向量上的投影向量為.
【小問2詳解】
因為，且向量與向量的夾角，
所以，
所以，
所以向量在向量上的投影向量為.
20. 如圖，在梯形ABCD中，，，，G為對角線AC，BD的交點，E，F(xiàn)分別是腰AD，BC的中點，求向量和．
【答案】；
【解析】
【分析】利用封閉圖形向量加法、減法運算聯(lián)立方程組可得，再利用三角形相似求得比例關(guān)系即可得.
【詳解】因為E，F(xiàn)分別是腰AD，BC的中點，所以，
因為①，②，
可得，
因為，，，
所以，
，
因為，故，而，
故，故；
可得
21. 已知函數(shù)．
求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將所得的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求在上的值域．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和與差的正弦公式將函數(shù)化為，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性解不等式，可得到函數(shù)的遞減區(qū)間；利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，求得的解析式，由可得結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得的值域．
【詳解】函數(shù)，
當(dāng)時,解得：，
因此，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為．
將函數(shù)的圖象向左平移個單位，可得的圖象，
再將所得的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，
，，
的值域為．
【點睛】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法：若,把看作是一個整體，由求得函數(shù)的減區(qū)間，求得增區(qū)間.
22. 在ΔABC中，P為AB的中點，O在邊AC上，BO交CP于R，且，設(shè)AB=，AC=

（1）試用，表示；
（2）若，求∠ARB的余弦值
（3）若H在BC上，且RH⊥BC設(shè)，若，求的范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由，三點共線結(jié)合平面向量基本定理可得答案；（2）由（1）及題目條件，結(jié)合兩向量夾角余弦公式可得答案.（3）設(shè)，結(jié)合及（1）可得，即可得答案.
【小問1詳解】
因P,R,C共線，則存在使，
則，整理得.
由共線，則存在使，
則，整理得.
根據(jù)平面向量基本定理，有，
則.
【小問2詳解】
由（1），，，
則，，.
則；
【小問3詳解】
由（1）知，則.
由共線，設(shè).
又.
則
.
因，則，則.

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