四川省涼山州民族中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的班級(jí)、姓名、考號(hào)填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．
3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．
一、單項(xiàng)選擇題（本題共8個(gè)題，每個(gè)題5分，每個(gè)題只有一個(gè)答案是正確的．）
1. 化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量的加減運(yùn)算法則即可求解.
【詳解】解：，
故選：A.
2. 若，那么的值為（）．
A. 0B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，可得，代入計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)值，考查三角函數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
3. 已知向量，若，則m的值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平行向量的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.
【詳解】且，
解得，
故選：D.
4. 已知向量，，向量在向量方向上的投影向量的模為（）
A. B. C. 3D. －3
【答案】C
【解析】
【分析】求出，根據(jù)投影向量的概念求出向量在向量方向上的投影向量，根據(jù)模的計(jì)算公式，即可求得答案.
【詳解】由題意知向量，，則
故向量在向量方向上的投影向量為，
故向量在向量方向上的投影向量的模為，
故選：C
5. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)平移變換求出的解析式.
【詳解】由圖可知；設(shè)周期為，則，所以；
又，所以
由，，令，得.
所以；
因?yàn)閷D象向右平移單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，
所以.
故選：C.
6. 已知，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用換元法可得，結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式計(jì)算即可.
【詳解】令，故，，
故.
故選：B
7. 在中，為的中點(diǎn)，為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量加法的三角形法則，轉(zhuǎn)化為和即可．
【詳解】.
故選：B
8. 已知角，的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，角的終邊過(guò)點(diǎn)，將角的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由三角函數(shù)的定義求出，，由題知，然后利用兩角差的正弦公式即可求出的值.
【詳解】由題知，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，，，.
故選：C.
二、多選題（本題共4個(gè)題，每個(gè)題5分，每個(gè)題有多個(gè)答案是正確的．）
9. 在中，設(shè)，，，,則下列等式中成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】可畫出圖形，從而得出，再結(jié)合模長(zhǎng)逐項(xiàng)判斷.
【詳解】如圖，
；
由得，；
選項(xiàng)A，D都正確；
由得，；即
選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)C不正確．
故選：ABD．
10. 已知函數(shù)和，則下列正確的是（）
A. 的圖像可由的圖像向右平移個(gè)單位得到
B. 時(shí)，
C. 的對(duì)稱軸方程為：
D. 若動(dòng)直線與函數(shù)和的圖像分別交于，兩點(diǎn).則的最大值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對(duì)A，求出平移后的解析式即可判斷；對(duì)B，根據(jù)范圍得出范圍即可判斷；對(duì)C，化簡(jiǎn)得出，求出對(duì)稱軸即可判斷；對(duì)D，可得.
【詳解】對(duì)A，的圖像向右平移個(gè)單位得到，故A正確；
對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，，即，故B正確；
對(duì)C，，令，解得，即對(duì)稱軸為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，，則的最大值為，故D正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查正余弦函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確理解正余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì).
11. 已知梯形ABCD中，，，，，，點(diǎn)P，Q在線段BC上移動(dòng)，且，則的值可能為（）
A. 3B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，利用坐標(biāo)表示向量，計(jì)算向量的數(shù)量積的范圍即可求解．
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則，不妨設(shè)，，則；
所以，，
，
因?yàn)椋裕?br>故選：AD．
12. 下列是有關(guān)的幾個(gè)命題，其中正確命題有（）
A. 若，則是銳角三角形
B. 若，則是等腰三角形；
C. 若，則是等腰三角形
D. 若，則是直角三角形
【答案】AC
【解析】
【分析】A根據(jù)兩角和差的正切公式進(jìn)行判斷．B根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)判斷．C根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用判斷．D根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)判斷．
【詳解】對(duì)A,，
，
，，是內(nèi)角，故內(nèi)角都是銳角，故A正確；
對(duì)B,
或
或
或，
若，則是等腰三角形或是直角三角形；故B錯(cuò)誤
對(duì)C,若，
則，
即，
則，即，
則，則是等腰三角形；故C正確，
對(duì)D,若，則，或，
即或，則不一定為直角三角形，故D錯(cuò)誤，
故選：AC．
三、填空題（本題共4個(gè)題，每個(gè)題5分．）
13. 已知向量，，則______．
【答案】5
【解析】
【分析】先利用向量加法坐標(biāo)運(yùn)算求出，再求模長(zhǎng).
【詳解】已知向量，，則,
故.
故答案：5.
14. 已知，，，，則______.
【答案】
【解析】
【分析】利用兩角和的正弦公式即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，，所以?br>由，，可得，，
所以.
故答案為：.
15. 如圖所示，已知，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，，和交于點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)______．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，可得，，又因?yàn)椋纯汕蠼猓?br>【詳解】如圖所示：
設(shè)，由于，所以，
由于點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，則為中點(diǎn)，
所以，得
所以
由于，又因?yàn)?
得．
故答案為：
【點(diǎn)睛】(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．
(2)用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．
16. 已知點(diǎn)P是所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，射線與邊交于點(diǎn)D，若，，則的最小值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】由題意可判斷為的角平分線，由正弦定理求出，利用基本不等式，結(jié)合三角恒等變換，即可求得答案.
【詳解】由，得,
即點(diǎn)P在的角平分線上，即為的角平分線，
在中，，則，
在中，，則，
故，而，即有，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
而
，
，當(dāng)，即時(shí)，取最大值，
取到最小值，即的最小值為，
則當(dāng)時(shí)，的最小值為，
故答案：
四、解答題（本題共6個(gè)題，17題10分，18-22題每個(gè)題12分，需要在答題卡上寫出解答步驟．）
17. 已知，.
（1）若與的夾角為，求；
（2）若與不共線，當(dāng)為何值時(shí)，向量與互相垂直？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算與運(yùn)算律計(jì)算求解即可；
（2）根據(jù)解方程即可得答案.
【小問(wèn)1詳解】
解：
【小問(wèn)2詳解】
解：∵向量與互相垂直，
∴，整理得，又，，
∴，解得.
∴當(dāng)時(shí)，向量與互相垂直.
18. 已知函數(shù)．
（1）求的最小正周期和對(duì)稱軸；
（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．
【答案】（1）；
（2），1
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的周期公式以及對(duì)稱軸，即可求得答案；
（2）根據(jù)x的范圍，確定的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案.
【小問(wèn)1詳解】
由題意得
，
故的最小正周期為；
令，即，
故的對(duì)稱軸為；
【小問(wèn)2詳解】
由于，故，則，
故，
即在區(qū)間上當(dāng)時(shí)，取到最大值，當(dāng)時(shí)，取到最小值1.
19. 如圖，在邊長(zhǎng)為1的正△ABC中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，若＝m，＝n，m，n∈(0，1)．設(shè)EF的中點(diǎn)為M，BC的中點(diǎn)為N．
（1）若A，M，N三點(diǎn)共線，求證：m＝n；
（2）若m+n=1，求的最小值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）由向量共線定理及平面向量基本定理即得；
（2）由題可得，再利用模長(zhǎng)公式及二次函數(shù)的性質(zhì)即得.
【詳解】（1）由A，M，N三點(diǎn)共線，得∥，設(shè)＝λ (λ∈R)，
即，
∴，
所以m＝n．
（2）因?yàn)椋絤，＝n，EF的中點(diǎn)為M，BC的中點(diǎn)為N ,
∴,
又m＋n＝1，所以，
∴
，
故當(dāng)m＝時(shí)，．
20. 已知．
（1）若，求的值；
（2）若，且，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用弦化切進(jìn)行求值即可．
（2）由兩角和差的三角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
，
由已知，，得，
所以．
【小問(wèn)2詳解】
，
，得，
由，得，
則，
，，
．
．．
．
而，
．
．
．
21. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，
又由得，所以，
從而.
（2）
由得，
，
所以，得．
22. 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義非零向量的“相伴函數(shù)”為，稱為函數(shù)的“相伴向量”．
（1）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的相伴向量；
（2）記的“相伴函數(shù)”為，若方程在區(qū)間上有且僅有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【答案】（1）
（2）,
【解析】
【分析】（1）由相伴向量的定義，即可得出；
（2）化簡(jiǎn)方程，令，，作出在區(qū)間上的圖象，由圖象即可得得范圍.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?br>，
所以函數(shù)的相伴向量為
【小問(wèn)2詳解】
由題意，的“相伴函數(shù)” ，
方程為，，
則方程，有四個(gè)實(shí)數(shù)解，
所以，有四個(gè)實(shí)數(shù)解，
令，，
①當(dāng)，，
②當(dāng)，，
據(jù)此作出的圖像：
由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與有四個(gè)交點(diǎn)，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為,.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正弦函數(shù)圖像及應(yīng)用，關(guān)鍵是分離參數(shù)并正確畫出函數(shù)圖像.

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