一、單選題
1．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．拋物線過(guò)點(diǎn)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
5．設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為，前項(xiàng)和為，若也是等比數(shù)列，則（ ）
A．B．C．1D．2
6．設(shè)，函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則（ ）
A．B．C．D．
7．已知角終邊上點(diǎn)坐標(biāo)為，則（ ）
A．B．C．D．
8．設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、多選題
9．已知函數(shù)，則（ ）
A．函數(shù)在上單調(diào)遞增
B．函數(shù)是奇函數(shù)
C．函數(shù)與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
D．
10．?dāng)?shù)學(xué)中有個(gè)著名的“角谷猜想”，其中數(shù)列滿(mǎn)足：（為正整數(shù)），
，則（ ）
A．時(shí)，
B．時(shí)，在所有的值組成的集合中，任選2個(gè)數(shù)都是偶數(shù)的概率為
C．時(shí)，的所有可能取值組成的集合為
D．若所有的值組成的集合有5個(gè)元素，則
11．已知點(diǎn)，直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之和是2．設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，則（ ）
A．曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
B．的范圍是的范圍是
C．曲線與直線無(wú)限接近，但永不相交
D．曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，其中，則
三、填空題
12．已知雙曲線的漸近線方程為，則其離心率為 ；
13．正方體的棱長(zhǎng)為2，內(nèi)壁是光滑的鏡面．一束光線從點(diǎn)射出，在正方體內(nèi)壁經(jīng)平面反射，又經(jīng)平面反射后到達(dá)點(diǎn)，則從點(diǎn)射出的入射光線與平面的夾角的正切值為 ；
14．已知五個(gè)點(diǎn)，滿(mǎn)足：，，則的最小值為 ．
四、解答題
15．已知，曲線在處的切線方程為．
(1)求；
(2)證明．
16．如圖，在矩形中，，將沿對(duì)角線進(jìn)行翻折，得到三棱錐是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，在線段上，且平面．
(1)求；
(2)若，求平面與平面的夾角的余弦值．
17．某果園產(chǎn)蘋(píng)果，其中一堆蘋(píng)果中大果與小果的比例為．
(1)若選擇分層抽樣，抽出100個(gè)蘋(píng)果，其中大果的單果平均重量為240克，方差為300，小果的單果平均重量為190克，方差為320，試估計(jì)果園蘋(píng)果的單果平均重量、方差；
(2)現(xiàn)用一臺(tái)分選機(jī)進(jìn)行篩選，已知這臺(tái)分選機(jī)把大果篩選為小果的概率為，把小果篩選為大果的概率為，經(jīng)過(guò)分選機(jī)篩選后，現(xiàn)從篩選出來(lái)的“大果”里隨機(jī)抽取一個(gè)，問(wèn)這個(gè)“大果”是真的大果的概率．
18．在中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，．
(1)若，求中線的長(zhǎng)；
(2)若是銳角三角形，求四邊形面積的取值范圍．
19．在平面直角坐標(biāo)系中，重新定義兩點(diǎn)之間的“距離”為，我們把到兩定點(diǎn)的“距離”之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫“橢圓”．
(1)求“橢圓”的方程；
(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對(duì)稱(chēng)性，并說(shuō)明理由；
(3)設(shè)，作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為的左頂點(diǎn)為，過(guò)作直線交于兩點(diǎn)，的外心為，求證：直線與的斜率之積為定值．
參考答案：
1．D
【分析】先求出，再寫(xiě)出坐標(biāo)，即可得到答案
【詳解】
則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，
故選：D
2．B
【分析】
先求出集合N，再根據(jù)交集直接運(yùn)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以，
故選：B.
3．B
【分析】由且可得解.
【詳解】，
“”是“”不充分條件；
又，
“”是“”的必要條件.
綜上，“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了充分條件和必要條件，屬于基礎(chǔ)題.
4．C
【分析】代入所過(guò)的點(diǎn)可求的值，從而可求焦點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)，所以，故，
故，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
故選：C.
5．D
【分析】由是等比數(shù)列，得，故可求.
【詳解】由題意可知，，，，
若為常數(shù)列，則，不為等比數(shù)列，與題意不合；
若，則，
若也是等比數(shù)列，則 ，.
即
，
解得或（舍去）.
故選：．
6．A
【分析】由題意分別為函數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可得解.
【詳解】分別令，
則，
則分別為函數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
分別作出函數(shù)的圖象，如圖所示，

由圖可知，.
故選：A.
7．B
【分析】先確定角的終邊所在的位置，再根據(jù)誘導(dǎo)公式及商數(shù)關(guān)系即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以角的終邊在第二象限，
又因?yàn)?br>，
且，
所以.
故選：B.
8．C
【分析】先求導(dǎo)，再結(jié)合已知條件與韋達(dá)定理即可求出結(jié)果.
【詳解】由題意得，又是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，
則是方程的兩個(gè)根，
故，
又，則，即，則，
則，所以，解得，
此時(shí).
故選：C．
9．ABD
【分析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷A的正誤，根據(jù)奇函數(shù)的定義可判斷B的正誤，根據(jù)過(guò)原點(diǎn)可判斷C的正誤，將化簡(jiǎn)后可判斷D的正誤.
【詳解】對(duì)于A，均為上的增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，
故A正確.
對(duì)于B，令，其中，
而，故為上的奇函數(shù)，故B正確.
對(duì)于C，，故的圖象過(guò)原點(diǎn)，
若函數(shù)與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則的圖象也過(guò)原點(diǎn)，
但，矛盾，故函數(shù)與的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故C錯(cuò)誤.
對(duì)于D，，
故D正確，
故選：ABD.
10．ABD
【分析】
將代入遞推公式即可判斷A；寫(xiě)出所有的值組成的集合中的元素，再根據(jù)古典概型即可判斷B；根據(jù)遞推公式，討論前一項(xiàng)的奇偶即可判斷C；若所有的值組成的集合有5個(gè)元素，則集合中的元素為，再驗(yàn)證即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，
則，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，
則，
所以數(shù)列從第項(xiàng)起，是以為周期的周期數(shù)列，
所以所有的值組成的集合為，
從中任選2個(gè)數(shù)都是偶數(shù)的概率為，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，
若為奇數(shù)，則，故，
若為偶數(shù)，則，故，
若，則或，所以或（舍去），
由，得或，所以或（舍去），
由，得或，所以或，
若，則或，所以或（舍去），
由，得或，所以或（舍去），
由，得或，所以或（舍去），
由，得或，所以或（舍去），
綜上所述，或或或，
所以的所有可能取值組成的集合為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若所有的值組成的集合有5個(gè)元素，則集合中的元素為，
若，則，
所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，
此時(shí)所有的值組成的集合只有3個(gè)元素，不符題意；
若，則，
所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，
此時(shí)所有的值組成的集合只有3個(gè)元素，不符題意；
若，則，
所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，
此時(shí)所有的值組成的集合只有3個(gè)元素，不符題意；
若，則，
所以數(shù)列從第項(xiàng)起，是以為周期的周期數(shù)列，
此時(shí)所有的值組成的集合只有4個(gè)元素，不符題意；
若，則，
所以數(shù)列從第項(xiàng)起，是以為周期的周期數(shù)列，
此時(shí)所有的值組成的集合有5個(gè)元素，符合題意，
所以若所有的值組成的集合有5個(gè)元素，則，故D正確.
故選：ABD.
11．ACD
【分析】設(shè)，根據(jù)題意求出曲線的軌跡方程，再將代入即可判斷A；結(jié)合直線的斜率都存在即可判斷B；判斷趨于無(wú)窮大時(shí)，是否趨于即可判斷C；求出最小時(shí)，的關(guān)系，再結(jié)合基本不等式即可判斷D.
【詳解】設(shè)，由題意，
即，化簡(jiǎn)得，
即且，
對(duì)于A，將代入得，即，
所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故A正確；
對(duì)于B，由A選項(xiàng)知，的范圍是且，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由，得，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
所以曲線與直線無(wú)限接近，但永不相交，故C正確；
對(duì)于D，要使最小，則曲線在兩點(diǎn)的切線平行，
由，得，則，所以，
因?yàn)椋裕?br>則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以，故D正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程有如下幾種方法：
（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（2）定義法：如果能確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿(mǎn)足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫(xiě)出方程；
（3）相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿(mǎn)足的曲線方程，整理化簡(jiǎn)可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（4）參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（5）交軌法：將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程.
12．
【分析】根據(jù)漸近線方程求出，再根據(jù)雙曲線的離心率公式即可得解.
【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，
所以，
所以離心率.
故答案為：.
13．/
【分析】利用對(duì)稱(chēng)性可求入射光線與平面的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求線面角的正切值.
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，則關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，
而關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)直線與平面的交點(diǎn)分別為，則入射光線為，
設(shè)，則存在實(shí)數(shù)，使得，
所以，故，故，
故，故，
因?yàn)槠矫?，故與平面所成的角為，
而平面，故，故.
故答案為：,
14．
【分析】根據(jù)題意設(shè)出合理的向量模，再將其置于坐標(biāo)系中，利用坐標(biāo)表示出，再用基本不等式求解出最值即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，，，
由題意設(shè)，則，，
設(shè)，如圖，因?yàn)榍蟮淖钚≈担?br>則，，，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：首先是對(duì)向量模的合理假設(shè)，然后為了進(jìn)一步降低計(jì)算的復(fù)雜性，我們選擇利用坐標(biāo)法將涉及的各個(gè)點(diǎn)用坐標(biāo)表示，最后得到，再利用基本不等式即可求出最值.
15．(1)
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線方程即可得，的值；
（2）要證明，只要證，令，求出其單調(diào)性證明即可.
【詳解】（1）由可得，
則，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，
又因?yàn)?，所以切線方程為：，即.
所以.
（2）要證明，只要證，
設(shè)，則，
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，又，
所以當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，
所以，所以.
16．(1)
(2)
【分析】
（1）取的中點(diǎn)，連接，證明平面平面，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)證得，即可得解；
（2）先證明平面，再以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.
【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，
又平面，平面，
所以平面，
又平面，平面，
所以平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，
所以；
（2）因?yàn)槠矫妫?br>所以平面，
又平面，所以，
則，
則，所以，
如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
則，，
如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
故，
設(shè)平面的法向量為，
則有，令，則，
所以，
因?yàn)檩S平面，則可取為平面的一條法向量，
故，
所以平面與平面的夾角的余弦值為．
17．(1)果園蘋(píng)果的單果平均重量為、方差為；
(2)
【分析】
（1）根據(jù)各層均值、方差與總體均值、方差的關(guān)系式可求果園蘋(píng)果的單果平均重量、方差；
（2）根據(jù)全概率公式可求“大果”是真的大果的概率.
【詳解】（1）個(gè)蘋(píng)果中，大果的個(gè)數(shù)為，小果的個(gè)數(shù)為，
設(shè)大果的單果平均重量為，方差為，小果的單果平均重量為，方差為，
則，，，，
則100個(gè)蘋(píng)果的平均重量為，
100個(gè)蘋(píng)果的方差為：
.
故估計(jì)果園蘋(píng)果的單果平均重量為、方差為；
（2）記事件放入水果分選機(jī)的蘋(píng)果為大果，事件放入水果分選機(jī)的蘋(píng)果為小果，
記事件水果分選機(jī)篩選的蘋(píng)果為“大果”，則“大果是真大果”為，
則，，，，
由全概率公式可得：
，
，
因此，.
18．(1)
(2)
【分析】（1）對(duì)兩邊同時(shí)平方可得，再由平面向量的運(yùn)算法則得，對(duì)其兩邊同時(shí)平方即可得出答案.
（2）由分析知，再分別討論為銳角，由數(shù)量積的定義求出的范圍，即可得出答案.
【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，
則，即，
即，解得：或（舍去），
又因?yàn)椋?br>，即，
所以.

（2）,
,
因?yàn)槭卿J角三角形，所以是銳角，即，
即，所以，得，
是銳角，即，即，
所以，得，
是銳角，即，即，
所以，得，
所以，綜上：，
所以.
19．(1)
(2)答案見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）設(shè)“橢圓”上任意一點(diǎn)為，則，再根據(jù)兩點(diǎn)之間的“距離”得新定義即可得解；
（2）將點(diǎn)分別代入即可判斷其對(duì)稱(chēng)性，取絕對(duì)值符號(hào)，進(jìn)而可得出范圍；
（3）先求出橢圓方程，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，分別求出直線的方程，設(shè)，再次求出的關(guān)系，進(jìn)而求出，從而可得出結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)“橢圓”上任意一點(diǎn)為，則，
即，即，
所以“橢圓”的方程為；
（2）由方程，得，
因?yàn)?，所以，即?br>所以或或，
解得，
由方程，得，
即，所以，所以，
所以“橢圓”的范圍為，，
將點(diǎn)代入得，，
即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，
將點(diǎn)代入得，，
即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，
將點(diǎn)代入得，，
即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
所以“橢圓”關(guān)于軸，軸，原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；

（3）由題意可設(shè)橢圓的方程為，
將點(diǎn)代入得，解得，
所以橢圓的方程為，，
由題意可設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，得，
恒成立，
則，
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，
所以直線的中垂線的方程為，
同理直線的中垂線的方程為，
設(shè)，則是方程的兩根，
即是方程的兩根，
所以，
又因，
所以，
兩式相比得，所以，
所以，
所以直線與的斜率之積為定值．

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．

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