（卷面分值：150分；考試時間：120分鐘）
注意事項：
1．本試卷分為問卷（4頁）和答卷（4頁），答案務必書寫在答卷（或答題卡）的指定位量上．
2．答題前，先將答卷密封線內(nèi)的項目（或答題卡中的相關(guān)信息）填寫清楚．
第I卷（選擇題 共58分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．
1．若復數(shù)，則（ ）
A．B．C．1D．
2．命題“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知向量，，則（ ）
A．B．
C．D．
4．已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A．3B．2或C．3或D．2
5．的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．B．C．20D．30
6．設拋物線的焦點為，過點且傾斜角為的直線與交于A，B兩點，以為直徑的圓與準線切于點，則的方程為（ ）
A．B．C．D．
7．在中，，，，則下列各式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
8．在滿足，的實數(shù)對中，使得成立的正整數(shù)的最大位為（ ）
A．15B．16C．22D．23
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．
9．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則（ ）
A．在上單調(diào)遞增
B．在上有4個零點
C．
D．將的圖祭向右平移個單位，可得的圖急
10．若函數(shù)的定義域為，且，，則（ ）
A．B．為偶函數(shù)
C．的圖象關(guān)于點對稱D．
11．某廣場設置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由棱長為40cm的正方體截去八個一樣的四面體得到的，則（ ）
A．該幾何體的頂點數(shù)為12
B．該幾何體的棱數(shù)為24
C．該幾何體的表面積為
D．該幾何體外接球的表面積是原正方體內(nèi)切球、外接球表面積的等差中項
第II卷（非選擇題 共92分）
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分．
12．已知集合，，則的子集個數(shù)為_________；
13．在工業(yè)生產(chǎn)中軸承的直徑服從，購買者要求直徑為，不在這個范圍的將被拒絕，要使拒絕的概率控制在之內(nèi)，則至少為_________；（若，則）
14．設雙曲線的左、右焦點分別為，，A是右支上一點，滿足，直線交雙曲線于另一點，且，則雙曲線離心率的一個值為_________．
四、解答題：本大題共5小題，共計77分．解答應在答卷的相應各題中寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．（13分）設等比數(shù)列的前項和為，已知，．
（I）求的通項公式；
（II）設，求的前項和．
16．（15分）我們平時常用的視力表叫做對數(shù)視力表，視力呈現(xiàn)為4.8，4.9，5.0，5.1．視力為正常視力．否則就是近視．某地區(qū)對學生視力與學習成結(jié)進行調(diào)查，隨機抽查了100名近視學生的成績，得到頻率分布直方圖：
（I）能否據(jù)此判斷學生的學習成績與視力狀況相關(guān)？（不需說明理由）
（II）估計該地區(qū)近視學生學習成纜的第85百分位數(shù)；（精確到0.1）
（III）已知該地區(qū)學生的近視率為54%，學生成績的優(yōu)秀率為36%（成績分為優(yōu)秀），從該地區(qū)學生中任選一人，若此人的成績?yōu)閮?yōu)秀，求此人近視的概率．（以樣本中的頻率作為相應的概率）
17．（15分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，點E，F(xiàn)分別是棱，的中點．
（I）求直線與平面所成角的正弦值；
（II）在截面內(nèi)是否存在點．使平面，并說明理由．
18．（17分）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，過點的兩條直線，分別與橢圓交于另一點A，B，且直線，，的斜率滿足．
（I）求橢圓的方程；
（II）證明直線過定點；
（III）橢圓C的焦點分別為，，求凸四邊形面積的取值范圍．
19．（17分）已知函數(shù)．
（I）證明曲線在處的切線過原點；
（II）討論的單調(diào)性；
（III）若，求實數(shù)的取值范圍．
烏魯木齊地區(qū)2024年高三年級第一次質(zhì)量監(jiān)測
數(shù)學（答案）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分．
1~4ACDC5~8ABBD
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．
9．ABC10．BCD11．ABD
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分．
12．413．0.114．或5
四、解答題：本大題共5小題，共計77分．解答應在答卷的相應各題中寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．（13分）（I）由題設得，故，
因為數(shù)列為等比數(shù)列，所以數(shù)列，所以；
（II）由（I）得，
所以．
16．（15分）（I）不能據(jù)此判斷；
（II）由頻率分布直方圖可知，成績90分以下所占比例為，因此第85百分位數(shù)一定位于 內(nèi)，由，可以估計該地區(qū)近視學生的學習成績的第85百分位數(shù)約為95．8；
（III）設“該地區(qū)近視學生”，“該地區(qū)優(yōu)秀學生”，
由題設得，，，
所以．
17．（15分）（I）以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，
不妨設，則，，，，，，，，，，
設平面的法向量，則，即，可取，
因為，所以與平面所成角的正弦值為；
（II）假設截面內(nèi)存在點滿足條件，設，，，，
所以，，，
因為平面，所以，所以，解得，
這與假設矛盾矛盾，所以不存在點，使平面．
18．（17分）（I）由題設得，解得，所以的方程為；
（II）由題意可設，設，，
由，整理得，
．
由韋達定理得，，
由得，即，
整理得，因為，得，解得或，
時，直線過定點舍去；
時，滿足，所以直線過定點．
（III）由（II）得直線，所以，
由，整理得，，
由題意得，
因為，所以，所以，令，，
所以，在上單調(diào)遞減，
所以的范圍是．
19．（17分）（I）由題設得，所以，
又因為，所以切點為，斜率，
所以切線方程為，即，恒過原點．
（II）由（I）得，
①時，，
當時，，在上單調(diào)遞增，
當時，，在上單調(diào)遞減；
②時，，時，，，在上單調(diào)遞增，
時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
③時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（III）當時，，即，
下面證明當時，，，即證，
令，因為，所以，只需證，
即證，令，，，令，，
令，，與在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，，，
所以存在，使得，即，
所以，，，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，，，
令，時，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以，，所以在上單調(diào)遞減，
，，，，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，綜上所述．
以上各題的其他解法，限于篇幅，從略，請酌情給分．

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