一、單選題
1．2024年某校舉行一場射箭比賽，甲乙丙丁戊各射中的環(huán)數(shù)分別為：9環(huán)，6環(huán)，7環(huán)，8環(huán)，10環(huán)．則在五個人的成績的上四分位數(shù)是（ ）
A．8環(huán)B．9環(huán)C．7環(huán)D．6環(huán)
2．雙曲線的離心率為3，則復(fù)數(shù)的模為（ ）
A．B．C．D．
3．已知兩條不同的直線，表示三個不同的平面，則下列說法正確的是（ ）
A．B．與平行或相交
C． D．
4．在等差數(shù)列中，已知則的值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．凸五邊形有5條對角線，那么凸邊形有（ ）條對角線．
A．B．C．D．
6．在平面直角坐標系xy中，已知，動點滿足，且，則下列說法正確的是（ ）
A．動點的軌跡是一個圓B．動點的軌跡所圍成的面積為6
C．動點的軌跡跟坐標軸不相交D．動點離原點最短距離為1
7．在中，已知，則的值為（ ）
A．B．C．D．
8．《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”，現(xiàn)有一陽馬，面，，為底面及其內(nèi)部的一個動點且滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，且(為常數(shù))，則（ ）
A．B．的公比為2C．D．
10．球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門學(xué)科.如圖，球的半徑為，，，為球面上三點，劣弧的弧長記為，設(shè)表示以為圓心，且過，的圓，同理，圓，的劣弧，的弧長分別記為，，曲面（陰影部分）叫做曲面三角形，若，則稱其為曲面等邊三角形，線段，，與曲面圍成的封閉幾何體叫做球面三棱錐，記為球面.設(shè)，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若平面是面積為的等邊三角形，則
B．若，則
C．若，則球面的體積
D．若平面為直角三角形，且，則
11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且，的圖象關(guān)于點對稱，則（ ）
A．
B．為偶函數(shù)
C．的圖象關(guān)于點對稱
D．
三、填空題
12．的展開式中含的項的系數(shù)為 ．
13．已知，則 ．
14．將1，2，3，…，9這9個數(shù)填入如圖所示的格子中（要求每個數(shù)都要填入，每個格子中只能填一個數(shù)），記第1行中最大的數(shù)為，第2行中最大的數(shù)為，第3行中最大的數(shù)為，則的填法共有 種.
四、解答題
15．如圖，在四棱錐中，棱平面，底面四邊形是矩形，，點為棱的中點，點在棱上，.
(1)求證：；
(2)已知平面與平面的交線與直線所成角的正切值為，求二面角的余弦值.
16．某老師在課堂測驗上設(shè)置了一種新的大題題型，這種大題題型由一個題干和五個與題干有關(guān)的判斷題組成，得分規(guī)則是: 五道題中，全部正確判斷則該大題得 5 分，有一道錯誤判斷則該大題得 3 分，有兩道錯誤判斷則該大題得 1 分，有三道及以上錯誤判斷則該大題不得分.假定隨機判斷時，每道題正確判斷和錯誤判斷的概率相等.
(1)若考生所有題目都隨機判斷，求此時得分的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)若考生能夠正確判斷其中兩道題目，其余題目隨機判斷，求此時得分的數(shù)學(xué)期望.
17．已知函數(shù)．
(1)若方程在上有2個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；
(2)在中，若，內(nèi)角A的角平分線，，求AC的長度．
18．已知橢圓C：（）的左、右焦點分別為，，右頂點為A，且，離心率為.
(1)求C的方程；
(2)已知點，M，N是曲線C上兩點（點M，N不同于點A），直線分別交直線于P，Q兩點，若，證明：直線過定點.
19．根據(jù)多元微分求條件極值理論，要求二元函數(shù)在約束條件的可能極值點，首先構(gòu)造出一個拉格朗日輔助函數(shù)，其中為拉格朗日系數(shù)．分別對中的部分求導(dǎo)，并使之為0，得到三個方程組，如下：
，解此方程組，得出解，就是二元函數(shù)在約束條件的可能極值點．的值代入到中即為極值．
補充說明：【例】求函數(shù)關(guān)于變量的導(dǎo)數(shù)．即：將變量當做常數(shù)，即：，下標加上，代表對自變量x進行求導(dǎo)．即拉格朗日乘數(shù)法方程組之中的表示分別對進行求導(dǎo)．
(1)求函數(shù)關(guān)于變量的導(dǎo)數(shù)并求當處的導(dǎo)數(shù)值．
(2)利用拉格朗日乘數(shù)法求：設(shè)實數(shù)滿足，求的最大值．
(3)①若為實數(shù)，且，證明：．
②設(shè)，求的最小值．
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)第p百分位數(shù)定義計算判斷即可.
【詳解】將5人的比賽成績由小到大排列依次為：6，7，8，9，10，
，5人成績的上四分位數(shù)為第四個數(shù):9.
故選：B.
2．A
【分析】根據(jù)離心率求出，再利用復(fù)數(shù)模的公式即可.
【詳解】由題得，解得，則，，
故選：A.
3．B
【分析】由線線、線面、面面的位置關(guān)系直接判斷即可.
【詳解】對于A，若，則或異面，故A錯誤；
對于B，若，則平行或相交，故B正確；
對于C，若，則，所以，故C錯誤；
對于D，若，則或相交，可參考直三棱柱的三個側(cè)面，故D錯誤；
故選：B.
4．C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式和前項和性質(zhì)即可得到，解出即可.
【詳解】由題意得，
，
即，解得.
故選：C.
5．D
【分析】根據(jù)分析得到，再利用累加法和等差數(shù)列前項和公式即可.
【詳解】凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，
則得到在凸的基礎(chǔ)上，多一個頂點，則多條對角線，
設(shè)凸邊形有條對角線，
所以，
則，，
累加得，
則，
故選：D.
6．B
【分析】由題意得，結(jié)合可知，畫出圖形可知P點軌跡是一個菱形，故A、C錯誤；由點到直線的距離即可驗證D；B轉(zhuǎn)換成面積的兩倍來求即可.
【詳解】設(shè)P點坐標為，則由已知條件可得，整理得．
又因為，所以P點坐標對應(yīng)軌跡方程為．
，且時，方程為；，且時，方程為；
，且時，方程為；，且時，方程為．
P點對應(yīng)的軌跡如圖所示：

，且，所以P點的軌跡為菱形，故A、C錯誤；
原點到：的距離為，D錯誤；
軌跡圖形是平行四邊形，面積為，B正確．
故選：B．
7．A
【分析】利用和角的正切公式求出，再代入計算即得.
【詳解】在中，，否則，
，，矛盾，并且有，
，
因此，而，則，，
所以.
故選：A
8．D
【分析】由已知可求得，建立空間坐標系，利用已知設(shè)，，根據(jù)向量的數(shù)量積公式及輔助角公式計算即可得出結(jié)果.
【詳解】平面，，連接，由，可得，
四邊形為矩形，以為軸建立如圖所示坐標系，
則，，設(shè)，，
則，
所以
因為，則，則，
所以.
故選：D
9．BC
【分析】令求出，由分別求出，由等比性質(zhì)求出，進而求出和，結(jié)合等比通項公式可求.
【詳解】因為，所以．
因為是等比數(shù)列，所以，即，解得，則錯誤；
的公比，則B正確；
因為，所以，則C正確；
因為，所以，所以，則D錯誤．
故選：BC
10．BC
【分析】根據(jù)弧長公式即可求解A，根據(jù)勾股定理以及弧長公式即可求解B，根據(jù)球的截面性質(zhì)可得求解C，根據(jù)余弦定理，取反例即可求解D.
【詳解】若平面是面積為的等邊三角形，則，則，.A不正確.
若，則，則.B正確.
若，則，，
則平面的外接圓半徑為，則到平面的距離，
則三棱錐的體積，
則球面的體積.C正確.
由余弦定理可知因為，所以，則.
取，，則，，
則.D不正確.
故選：BC
【點睛】方法點睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：
（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；
（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達到空間問題平面化的目的；
（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.
11．ABD
【分析】對于A，首先由題意，求導(dǎo)代入即可驗算；對于B，由即可判斷；對于C，用反證法即可求導(dǎo)推翻；對于D，由題意得，進一步構(gòu)造函數(shù)得，由此即可判斷.
【詳解】由，可得，則，令，得，A正確.
令，則，故為偶函數(shù)，B正確.
假設(shè)的圖象關(guān)于點對稱，則，
則，即，則，
這與的圖象關(guān)于點對稱矛盾，假設(shè)不成立，C不正確.
因為的圖象關(guān)于點對稱，所以，
令，則，
則（為常數(shù)），則，
從而，即，
由，得，D正確.
故選：ABD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：判斷C選項的關(guān)鍵是用反證法求導(dǎo)結(jié)合已知證偽，由此即可順利得解.
12．1120
【分析】根據(jù)二項式定理展開為，從而可求解.
【詳解】的展開式的通項為，
故令可得含項的系數(shù)為．
故答案為：.
13．/
【分析】根據(jù)二倍角的正切公式即可得到答案.
【詳解】由，可得，
故．
故答案為：.
14．60480
【分析】按第行、第行、第行的順序進行填寫，結(jié)合組合和排列的知識求得正確答案.
【詳解】第3行，，可選的位置有3個，其余2個位置任取2個數(shù)，共有種情況.
第2行，取剩下6個數(shù)中最大的數(shù)為，可選的位置有3個，
其余2個位置任取2個數(shù)，共有種情況，
第1行，剩下3個數(shù)任意排列，則有種情況，
故共有種填法.
故答案為：
15．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用線線垂直證線面垂直，再由線面垂直的性質(zhì)證線線垂直即可；
（2）建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量求二面角即可.
【詳解】（1）因為平面，平面，所以，
又因為四邊形是矩形，所以，
因為平面，
所以平面，
因為平面，所以.
因為為中點，，所以，
因為，所以平面，
因為平面，所以.
（2）在矩形中，，平面，平面，
所以平面.
又平面，平面平面，所以.
所以與直線所成角即為.
在中，，，
所以.
以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，所以，.
設(shè)平面的法向量為，
則，取，
可得.
又為平面的一個法向量，
所以.
由圖可知，二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為.
16．(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；
(2)數(shù)學(xué)期望為
【分析】（1）得分可能取值為，按步驟列出分布列，計算期望即可；
（2）得分可能取值為，按步驟列出分布列，計算期望即可.
【詳解】（1）設(shè)得分為，
由題意知：可能取值為，該考生每道題答對和答錯的概率均為，
；；
；；
的分布列為：
.
（2）設(shè)得分為，
由題意知：可能取值為，該考生剩下3道題每道題答對和答錯的概率均為，
；；
；；
的分布列為：
.
17．(1)；
(2).
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式、輔助角公式化簡函數(shù)，再探討在上的性質(zhì)，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合求解作答.
（2）由（1）求出B，由正弦定理求出，進而求出，再利用等腰三角形性質(zhì)求解作答.
【詳解】（1）依題意，
，
當時，，則當時，單調(diào)遞增，函數(shù)值從增大到2，
當時，單調(diào)遞減，函數(shù)值從減小到，
方程在上有2個不同的實數(shù)根，即直線與函數(shù)在的圖象有兩個公共點，
在同一坐標系內(nèi)作出直線與函數(shù)在的圖象，如圖，

觀察圖象，當時，直線與函數(shù)在的圖象有兩個公共點，
所以實數(shù)m的取值范圍是.
（2）由（1）知，，即，
在中，，即，則，解得，

在中，，，由正弦定理得，
則，顯然，有，
于是，即有，則，是等腰三角形，
所以.
18．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由題意列方程組求解的值，即得答案；
（2）設(shè)的方程并聯(lián)立橢圓方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，表示出直線的方程，進而求得坐標，結(jié)合化簡求值，可得t的值，即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)橢圓C的半焦距為c，由題意得，
解得，
故C的方程為.
（2）證明：由題意可知直線的斜率不為0，否則將位于x軸同側(cè)，，不合題意；
設(shè)的方程為（），代入，
得，
由，得，
設(shè)，，則，，
所以，
，
直線AM的方程為，令，得，故，
同理可求，
所以，，
由，得，
即，所以，
所以，解得，（舍），
所以直線MN的方程為，故直線MN過定點.
【點睛】難點點睛：本題考查了橢圓方程的求解以及直線過定點問題，解答此類題目的思路并不困難，設(shè)直線方程并聯(lián)立橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合題意進行化簡即可，難點在于計算過程比較復(fù)雜，且基本都是有關(guān)字母參數(shù)的計算，計算量較大，要十分細心.
19．(1)，；
(2)；
(3)①證明見解析；②4.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，對變量求導(dǎo)并求值.
（2）利用拉格朗日乘數(shù)法求出極值，再判斷并求出最大值.
（3）①利用換元法，結(jié)合平方數(shù)是非負數(shù)推理即得；②利用二次函數(shù)、均值不等式求出最小值.
【詳解】（1）函數(shù)，對變量求導(dǎo)得：，
當時，.
（2）令，
則，解得或，
于是函數(shù)在約束條件的可能極值點是，，
當時，函數(shù)的一個極值為函數(shù)，
當時，函數(shù)的一個極值為函數(shù)，
方程視為關(guān)于x的方程：，則，解得，
視為關(guān)于y的方程：，則，解得，
因此函數(shù)對應(yīng)的圖形是封閉的，而，
所以的最大值為.
（3）①由，，設(shè)，
則，
當且僅當時取等號，
所以.
②當時，
，當且僅當時取等號，
所以時，取得最小值4.
【點睛】方法點睛：利用基本不等式最值的方法與技巧：
①在運用基本不等式時，要特別注意“拆”、“拼”、“湊”等技巧，使用其滿足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的條件；
②利用基本不等式求最值時，要從整體上把握運用基本不等式，有時可乘以一個數(shù)或加上一個數(shù)，以及“1”的代換等應(yīng)用技巧.

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