一、單選題
1．已知全集，集合A滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
2．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（ ）
A．B．C．D．
3．設(shè)m，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
4．將個(gè)和個(gè)隨機(jī)排成一行，則個(gè)不相鄰的概率為（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
5．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則的（ ）
A．最小值為5B．最大值為5
C．最小值為6D．最大值為6
6．已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．－36或36B．－36C．36D．18
7．中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究.設(shè)，，（）為整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對(duì)模同余，記為.若，，則的值可以是（ ）
A．2018B．2020C．2022D．2024
8．聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，但我們平時(shí)聽到的樂(lè)音不止是一個(gè)音在響，而是許多個(gè)音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的一個(gè)周期為B．的最大值為
C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)
9．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
10．在正方體中，E為BD的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（ ）
A．0B．C．D．
11．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，雙曲線C的離心率為e，在第一象限存在點(diǎn)P，滿足，且，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）
A．B．
C．D．
12．已知且，且，且，則（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題
13．拋物線的準(zhǔn)線方程為，則實(shí)數(shù)a的值為 .
14．在中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，，則邊 .
15．已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周在表面積為的球O的球面上，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為 .
16．已知不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則的最大值為 .
三、解答題
17．滎陽(yáng)境內(nèi)廣武山上漢王城與霸王城之間的鴻溝，即為象棋棋盤上“楚河漢界”的歷史原型，滎陽(yáng)因此被授予“中國(guó)象棋文化之鄉(xiāng)”.有甲，乙，丙三位同學(xué)進(jìn)行象棋比賽，其中每局只有兩人比賽，每局比賽必分勝負(fù)，本局比賽結(jié)束后，負(fù)的一方下場(chǎng).第1局由甲，乙對(duì)賽，接下來(lái)丙上場(chǎng)進(jìn)行第2局比賽，來(lái)替換負(fù)的那個(gè)人，每次比賽負(fù)的人排到等待上場(chǎng)的人之后參加比賽.設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.
(1)求前3局比賽甲都取勝的概率；
(2)用X表示前3局比賽中乙獲勝的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
18．如圖，在多面體DABCE中，是等邊三角形，，.
(1)求證：；
(2)若二面角為30°，求直線DE與平面ACD所成角的正弦值.
19．已知函數(shù).
(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求a的值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
20．已知橢圓E：過(guò)點(diǎn)，且焦距為.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N.
①證明：直線MN必過(guò)定點(diǎn)；
②若弦AB，CD的斜率均存在，求面積的最大值.
21．已知數(shù)列為有窮數(shù)列，且，若數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列為m的k增數(shù)列：①；②對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有k個(gè).
(1)寫出所有4的1增數(shù)列；
(2)當(dāng)時(shí)，若存在m的6增數(shù)列，求m的最小值；
(3)若存在100的k增數(shù)列，求k的最大值.
22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．
(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；
(2)已知點(diǎn)，若直線與曲線交于A，兩點(diǎn)，求的值．
23．已知．
(1)求不等式的解集；
(2)若的最小值為，正實(shí)數(shù)，，滿足，求證： ．
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)全集和集合在全集中的補(bǔ)集易得集合，逐一判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】由，，可得或
則，，，，故B項(xiàng)正確，A,C,D項(xiàng)均是錯(cuò)誤的.
故選：B.
2．A
【分析】由共軛復(fù)數(shù)以及虛部的概念即可得解.
【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以的虛部為.
故選：A.
3．B
【分析】通過(guò)舉反例說(shuō)明“”不是“”的充分條件，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)由推得，即得結(jié)論.
【詳解】由不能推出，如滿足，
但無(wú)意義，故“”不是“”的充分條件；
再由可得，即得，故“”是“”的必要條件.
即“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
4．C
【分析】先按要求計(jì)算個(gè)和3個(gè)隨機(jī)排成一行時(shí)的排法，再計(jì)算個(gè)不相鄰時(shí)的排法，最后利用古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算即可.
【詳解】個(gè)和3個(gè)隨機(jī)排成一行，即五個(gè)確定的位置中選擇3個(gè)放字母，其他放字母，故不同排法有種，
若再要求個(gè)不相鄰，則需3個(gè)放好，有4個(gè)空，個(gè)插空擺放即可，即，
所以個(gè)不相鄰的概率為.
故選：C.
5．A
【分析】作出可行域，利用直線平移求解即可.
【詳解】由不等式組作出可行域如圖：

由，可得,
由圖可知，平移直線，
當(dāng)與重合時(shí)，取最小值5，
故選：A.
6．C
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，繼而求得的值，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，且，，
則，則，
則，
則，
故選：C.
7．B
【分析】依題意可得，利用二項(xiàng)式定理說(shuō)明被除得的余數(shù)為，即可判斷.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以
，
所以，
即被除得的余數(shù)為，結(jié)合選項(xiàng)可知只有被除得的余數(shù)為.
故選：B
8．D
【分析】對(duì)于A，考查函數(shù)與的周期即可；對(duì)于B，考查函數(shù)與的最大值，驗(yàn)證同時(shí)取最大值時(shí)的條件即可判斷；對(duì)于C，利用中心對(duì)稱的條件進(jìn)行驗(yàn)證即可；對(duì)于D，令，解方程即可.
【詳解】對(duì)于A,因?yàn)榈闹芷跒?，的周期為，所以的周期為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B,因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為1,的最大值為，
故兩個(gè)函數(shù)同時(shí)取最大值時(shí)，的最大值為，
此時(shí)需滿足且，不能同時(shí)成立，
故最大值不能同時(shí)取到，故的最大值不為，則B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，則，
故的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D,因?yàn)闀r(shí)，，又，
所以或者；或者，此時(shí)，又，
所以，綜上可知，在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，故D正確，
故選：D.
9．C
【分析】設(shè)出點(diǎn)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到點(diǎn)的軌跡，結(jié)合直線與圓的關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)，則，，
則，即，
化為，則點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓，
又，所以三點(diǎn)共線，
顯然當(dāng)直線與此圓相切時(shí)，的值最大.
又,
則,
則.
故選：C.
10．D
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角余弦公式求出答案.
【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，
則，
則直線與所成角的余弦值為
，
故選：D
11．A
【分析】由題意設(shè)，則，而，，由三角形面積公式可得，從而，在中，運(yùn)用余弦定理可得，由此即可得解.
【詳解】
設(shè)，則，而，所以，
所以點(diǎn)到的距離為，
又，所以，
解得，即，從而，
又因?yàn)椋?br>所以，
在中，由余弦定理有，
所以，即，
解得，雙曲線C的漸近線方程為.
故選：A.
12．D
【分析】構(gòu)造函數(shù)，考查函數(shù)單調(diào)性，利用，，得到，即可求解.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞增；
在上單調(diào)遞減，
又，則，則，，
同理，，
則，
即，，
所以，
故選：D.
13．/
【分析】根據(jù)拋物線方程及準(zhǔn)線方程列出方程，解出即可.
【詳解】依題可知，
則，
故答案為：.
14．
【分析】由余弦定理化角為邊，化簡(jiǎn)整理后，代值計(jì)算即得.
【詳解】因，由余弦定理，，化簡(jiǎn)得，
因，，故.
故答案為：.
15．
【分析】由題意，先求出球的半徑，再由球和圓柱的位置關(guān)系得到圓柱的底面半徑、母線和球的半徑的關(guān)系，然后利用基本不等式求出圓柱的側(cè)面積的最大值.
【詳解】設(shè)球的半徑為，圓柱的底面半徑為，母線為，
由題意可知，解得，
又圓柱的兩個(gè)底面的圓周在表面積為的球O的球面上，
所以圓柱的兩個(gè)底面的的圓心關(guān)于球心對(duì)稱，且，
圓柱的側(cè)面積，，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以，.
故答案為：.
16．
【分析】通過(guò)換元將不等式化成,對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，設(shè)，對(duì)的取值分類討論，得到時(shí)，依題得，即再令，分析得到，從而即得.
【詳解】令，則，不等式可化為：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，
即對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立.
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增，，不合題意；
當(dāng)時(shí)，由可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
則當(dāng)時(shí)，.
因?qū)θ我獾膶?shí)數(shù)x恒成立，故恒成立，
即，則.
令，則
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.
故，
即,故的最大值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查由不等式恒成立求解參數(shù)范圍問(wèn)題，屬于難題.
解題的關(guān)鍵在于通過(guò)設(shè)進(jìn)行換元，將不等式化成，設(shè)函數(shù)，分析得到，然后分離出，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值即得.
17．(1)
(2)分布列見解析，
【分析】（1）利用獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算即得；
（2）列出隨機(jī)變量X的所有可能的值，分別求出每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，求出期望值.
【詳解】（1）因各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，前3局比賽甲都獲勝，
則前3局甲都取勝的概率為.
（2）X的所有可能取值為0，1，2，3.
其中，表示第1局乙輸，第3局是乙上場(chǎng)，且乙輸，則；
表示第1局乙輸，第3局是乙上場(chǎng)，且乙贏；或第1局乙贏，且第2局乙輸，
則；
表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙輸，
則；
表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙贏，
則；
所以X的分布列為
故X的數(shù)學(xué)期望為.
18．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取BC中點(diǎn)O，連接AO，EO，利用線面垂直的判斷定理證明平面，繼而可解；
（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OD所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量表示進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】（1）取BC中點(diǎn)O，連接AO，EO.
∵是等邊三角形，O為BC中點(diǎn)，
∴，
又，∴，
∵，平面,
∴平面，
又平面AEO，∴.
（2）連接DO，則，
由，
得，，
又，∴，∴，
又，平面,
∴平面.
如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OD所在直線分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
∴，，
設(shè)平面ACD的法向量為，
則即
取，則.
∵是二面角的平面角，
∴，
又，∴，，
則，
∴直線DE與平面ACD所成角的正弦值為.
19．(1)1
(2)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為
【分析】（1）由是函數(shù)的極值點(diǎn)，，求解驗(yàn)證即可；
（2）利用導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.
【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，?br>因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，
所以，解得或，
因?yàn)椋?此時(shí)，
令得，令得，
∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn).
所以.
（2）.
因?yàn)?，所以，令得；令得?br>∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.
20．(1)
(2)①證明見解析；②
【分析】（1）根據(jù)題意有，，即可求解；
（2）①設(shè)直線：的方程，聯(lián)立與橢圓方程消元后，利用韋達(dá)定理可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而可得點(diǎn)坐標(biāo)，考慮直線斜率情況，得到其方程，即可求解；②根據(jù)，表示出的面積后，換元法轉(zhuǎn)化函數(shù)，利用單調(diào)性即可求得最大值.
【詳解】（1）依題意有，，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）①設(shè)：，，，則：，
聯(lián)立，故，，，
故，由代替m，得，
當(dāng)，即時(shí)，：，過(guò)點(diǎn).
當(dāng)，即時(shí)，，：，
令，，直線MN恒過(guò)點(diǎn).
當(dāng)，經(jīng)驗(yàn)證直線MN過(guò)點(diǎn).
綜上，直線MN恒過(guò)點(diǎn).
②，
令，，
∵在上單調(diào)遞減，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào).
故面積的最大值為.

21．(1)1，2，1和1，3
(2)7
(3)1250
【分析】（1）由于或，從而得到所有4的1增數(shù)列有數(shù)列1，2，1和數(shù)列1，3；
（2）分析得到且，當(dāng)時(shí)，不合要求，當(dāng)時(shí)，滿足要求，得到答案；
（3）分析得到數(shù)列的各項(xiàng)只能為1或2，所以數(shù)列為1，1，…，1，2，2，…，2的形式，設(shè)其中有x項(xiàng)為1，有y項(xiàng)為2，得到，，配方后求出最值.
【詳解】（1）由題意得，
且對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有1個(gè)，
由于或，
故所有4的1增數(shù)列有數(shù)列1，2，1和數(shù)列1，3.
（2）當(dāng)時(shí)，存在m的6增數(shù)列，
即，且對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有6個(gè)，
所以數(shù)列的各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng)，所以且.
若，滿足要求的數(shù)列中有四項(xiàng)為1，一項(xiàng)為2，
所以，不符合題意，所以.
若，滿足要求的數(shù)列中有三項(xiàng)為1，兩項(xiàng)為2，
此時(shí)數(shù)列為，滿足要求的正整數(shù)對(duì)分別為，
符合m的6增數(shù)列，
所以當(dāng)時(shí)，若存在m的6增數(shù)列，m的最小值為7.
（3）若數(shù)列中的每一項(xiàng)都相等，則，
若，所以數(shù)列中存在大于1的項(xiàng)，
若首項(xiàng)，將拆分成個(gè)1后k變大，
所以此時(shí)k不是最大值，所以.
當(dāng)時(shí)，若，交換，的順序后k變?yōu)椋?br>所以此時(shí)k不是最大值，所以.
若，所以，
所以將改為，并在數(shù)列首位前添加一項(xiàng)1，所以k的值變大，
所以此時(shí)k不是最大值，所以.
若數(shù)列中存在相鄰的兩項(xiàng)，，設(shè)此時(shí)中有x項(xiàng)為2，
將改為2，并在數(shù)列首位前添加個(gè)1后，k的值至少變?yōu)椋?br>所以此時(shí)k不是最大值，
所以數(shù)列的各項(xiàng)只能為1或2，所以數(shù)列為1，1，…，1，2，2，…，2的形式.
設(shè)其中有x項(xiàng)為1，有y項(xiàng)為2，
因?yàn)榇嬖?00的k增數(shù)列，所以，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，k取最大值為1250.
【點(diǎn)睛】數(shù)列新定義問(wèn)題，主要針對(duì)于等差，等比，遞推公式和求和公式等綜合運(yùn)用，對(duì)常見的求通項(xiàng)公式和求和公式要掌握牢固，同時(shí)涉及數(shù)列與函數(shù)，數(shù)列與解析幾何，數(shù)列與二項(xiàng)式定理，數(shù)列與排列組合等知識(shí)的綜合，要將“新”性質(zhì)有機(jī)地應(yīng)用到“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性的解決問(wèn)題.
22．(1)C：，直線l：
(2)
【分析】（1）用消參數(shù)法化參數(shù)方程為普通方程，由公式化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；
（2）化直線方程為點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，代入拋物線方程利用參數(shù)幾何意義結(jié)合韋達(dá)定理求解．
【詳解】（1）曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），
所以，所以即曲線C的普通方程為．
直線l的極坐標(biāo)方程為，則，
轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為．
（2）直線l過(guò)點(diǎn)，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）令點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，
由代入，得，則，，即t1、t2為負(fù)，
故．
23．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）將的解析式寫出分段函數(shù)的形式，解不等式即可.
（2）先求的最小值，方法1：運(yùn)用多個(gè)絕對(duì)值之和最小值求法，方法2：運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性；再運(yùn)用“1”的代換與基本不等式可證得結(jié)果.
【詳解】（1）
即：
①當(dāng)時(shí)，，解得；
②當(dāng)時(shí)，，解得；
③當(dāng)時(shí)，，無(wú)解，
綜上：不等式的解集為．
（2）方法1：，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以，所以，即.
方法2：由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
所以,所以，即.
∴
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．
X
0
1
2
3
P

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內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市2024屆高三一模數(shù)學(xué)（理）試題：

這是一份內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市2024屆高三一模數(shù)學(xué)（理）試題，共24頁(yè)。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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