命題人：__________審題人__________
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.已知數(shù)列滿足，若，則（ ）
A.2 B.-2 C.-1 D.
3.已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差均為4，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差分別為（ ）
A. B. C. D.
4.蒙古包（Mnglianyurts）是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活，蒙古包古代稱作穹廬?氈包或氈帳.已知蒙古包的造型可近似的看作一個(gè)圓柱和圓錐的組合體，已知圓錐的高為2米，圓柱的高為3米，底面圓的面積為平方米，則該蒙古包（含底面）的表面積為（ ）
A.平方米 B.平方米
C.平方米 D.平方米
5.兒童玩具紙風(fēng)車（圖1）體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.取一張正方形紙折出“十”字折痕，然后把四個(gè)角向中心點(diǎn)翻折，再展開，把正方形紙兩條對(duì)邊分別向中線對(duì)折，把長(zhǎng)方形短的一邊沿折痕向外側(cè)翻折，然后把立起來(lái)的部分向下翻折壓平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，紙風(fēng)車的主體部分就完成了（圖2）.則（ ）
A. B.
C. D.
6.已知函數(shù)的最小正周期為，直線是圖象的一條對(duì)稱軸，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A.
B.
C.
D.
7.已知，則（ ）
A. B. C. D.
8.已知復(fù)數(shù)滿足，（其中是虛數(shù)單位），則的最小值為（ ）
A.2 B.6 C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.下列函數(shù)中最小值為2的是（ ）
A. B.
C. D.
10.若滿足，則（ ）
A. B.
C. D.
11.在正方體中，為的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)部一點(diǎn)（不含邊界），則（ ）
A.平面平面
B.平面內(nèi)存在一條直線與直線成角
C.若到邊距離為，且，則點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分
D.以的邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸將旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，到平面的距離的取值范圍是
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知的展開式中常數(shù)項(xiàng)為20，則實(shí)數(shù)的值為__________.
13.已知定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，.若，則在點(diǎn)處的切線方程為__________.（用含的表達(dá)式表示）
14.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，過(guò)的直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在第一象限內(nèi)），設(shè)分別為的內(nèi)心，則當(dāng)時(shí)，__________；內(nèi)切圓的半徑為__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
15.（本小題滿分13分）
已知在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，其中.
（1）求；
（2）已知直線為的平分線，且與交于點(diǎn)，若，求的周長(zhǎng).
16.（本小題滿分15分）
如圖，已知為等腰梯形，點(diǎn)為以為直徑的半圓弧上一點(diǎn)，平面平面為的中點(diǎn)，.
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成角的余弦值.
17.（本小題滿分15分）
據(jù)統(tǒng)計(jì)，2024年元旦假期，哈爾濱市累計(jì)接待游客304.79萬(wàn)人次，實(shí)現(xiàn)旅游總收入59.14億元，游客接待量與旅游總收入達(dá)到歷史峰值.現(xiàn)對(duì)某一時(shí)間段冰雪大世界的部分游客做問(wèn)卷調(diào)查，其中的游客計(jì)劃只游覽冰雪大世界，另外的游客計(jì)劃既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂(lè)公園大雪人.每位游客若只游覽冰雪大世界，則得到1份文旅紀(jì)念品；若既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂(lè)公園大雪人，則獲得2份文旅紀(jì)念品.假設(shè)每位來(lái)冰雪大世界景區(qū)游覽的游客與是否參觀群力音樂(lè)公園大雪人是相互獨(dú)立的，用頻率估計(jì)概率.
（1）從冰雪大世界的游客中隨機(jī)抽取3人，記這3人獲得文旅紀(jì)念品的總個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）記個(gè)游客得到文旅紀(jì)念品的總個(gè)數(shù)恰為個(gè)的概率為，求的前項(xiàng)和
（3）從冰雪大世界的游客中隨機(jī)抽取100人，這些游客得到紀(jì)念品的總個(gè)數(shù)恰為個(gè)的概率為，當(dāng)取最大值時(shí)，求的值.
18.（本小題滿分17分）
在橢圓（雙曲線）中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，該圓的圓心是橢圓（雙曲線）的中心，半徑等于橢圓（雙曲線）長(zhǎng)半軸（實(shí)半軸）與短半軸（虛半軸）平方和（差）的算術(shù)平方根，則這個(gè)圓叫蒙日?qǐng)A.
已知橢圓的蒙日?qǐng)A的面積為，該橢圓的上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為，且，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不與
兩點(diǎn)重合）且直線.
（1）證明：的交點(diǎn)在直線上；
（2）求直線圍成的三角形面積的最小值.
19.（本小題滿分17分）
帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：
，且滿足：.
（注：為的導(dǎo)數(shù)）
已知在處的階帕德近似為.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）比較與的大小；
（3）若在上存在極值，求的取值范圍.
長(zhǎng)郡中學(xué)2024屆高考適應(yīng)性考試（二）
數(shù)學(xué)參考答案
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。
1.B 【解析】由，得，解得，
所以，
因?yàn)椋?br>所以以，
所以，
所以.
2.D 【解析】因?yàn)椋?br>所以，
，
所以數(shù)列的周期為3.
所以.
5.C 【解析】不妨設(shè)，則，
對(duì)于A項(xiàng)，顯然與方向不一致，所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于項(xiàng)，由圖知是鈍角，
則，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于項(xiàng)，由題意知點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，
則易得：，即得：，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D項(xiàng)，由，
而與顯然不共線，故.即項(xiàng)錯(cuò)誤.
7.D 【解析】將平方得，
所以，則.
所以，
從而.
聯(lián)立，得.
所以.
故.
8.B 【解析】設(shè)，（其中是虛數(shù)單位），
在復(fù)平面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，
則
即點(diǎn)的軌跡表示為焦點(diǎn)分別在的橢圓，
且該橢圓的長(zhǎng)軸為直線，短軸為直線.長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，
半焦距，短半軸長(zhǎng)為.
因?yàn)?br>所以
設(shè)在復(fù)平面的對(duì)應(yīng)點(diǎn).
即點(diǎn)的軌跡表示為射線上的點(diǎn).
若使得最小，則需取得最小值，即點(diǎn)為第一象限內(nèi)的短軸端點(diǎn)，
點(diǎn)為射線的端點(diǎn)時(shí)，最小.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.AB 【解析】由題意，項(xiàng)，，故正確；
B項(xiàng)，在中，，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；
C項(xiàng)，，故，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，錯(cuò)誤；
D項(xiàng)，，只有當(dāng)時(shí)才有，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤.
10.ABD 【解析】令，即，代入可得：
.
所以，解得，所以正確?B正確；
由可變形為，
因?yàn)?，將代入上式可得?br>，
解得，所以不正確?正確.
11.AC 【解析】A.如圖，連結(jié)，則，
因?yàn)槠矫嫫矫妫裕?br>且平面，
所以平面平面，
所以，同理，且，且平面，
所以平面，且平面，
所以平面平面，故正確；
B.將正方體中，分離出四棱錐，取的中點(diǎn)，連結(jié)，
因?yàn)槠矫妫?br>，即，
則與平面所成角的最小值是，
所以，
因?yàn)榫€面角是線與平面內(nèi)的線所成的最小角，
所以平面內(nèi)不存在一條直線與直線成角，故B錯(cuò)誤；
C.如圖，取的中點(diǎn)，連結(jié)平面，
作于點(diǎn)，則，因?yàn)椋?br>則，
即點(diǎn)到點(diǎn)的距離和點(diǎn)到的距離相等，
即可點(diǎn)形成的軌跡是拋物線，故正確；
D.連結(jié)交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，
則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是平面內(nèi)以為圓心，為半徑的圓，
易知，由，知，
且平面，
所以平面平面，
所以平面平面，
，
如圖，與圓的交點(diǎn)分別為，
當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離分別取得最大值和最小值，
且距離的最大值為，
距離的最小值為，
所以點(diǎn)到平面的距離的取值范圍是，故錯(cuò)誤.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.1 【解析】展開式的通項(xiàng)為，
令解得.
.
13. 【解析】因?yàn)椋裕?br>即，
令，有，令，
有，所以，
，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
由，令得，
所以，
令得，所以，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
所以在點(diǎn)處的切線方程為，
即.
14.（1）
（2）
【解析】由雙曲線方程知，如下圖所示：
由，則，
故，
而，所以，
故，
解得，所以，
若為內(nèi)切圓圓心且可知，
以直角邊切點(diǎn)和為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，
結(jié)合雙曲線定義內(nèi)切圓半徑
所以；
即內(nèi)切圓的半徑為；
故答案為：；
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
15. 【解析】（1）根據(jù)題意可得，
由正弦定理得，
又，
故，
又，所以，則，
因?yàn)?，所?
（2）因?yàn)椋?br>所以，
又平分，所以，
所以，
則即
由余弦定理得，即，
所以，解得（負(fù)值舍去），
故的周長(zhǎng)為.
16.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，則且，
又且且.
為平行四邊形，.
又平面平面平面.
（2）取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉榈妊菪危裕?br>又平面平面，平面平面平面，
所以平面，
過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn)，
分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
為直徑，.
在等腰梯形中，，所以，
，
.
設(shè)平面的法向量為，
則，令則.
，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，
設(shè)平面與平面所成的角為，
則，
平面與平面所成角的余弦值為.
17.【解析】（1）據(jù)題意，每位游客只游覽冰雪大世界的概率為，得到1份文旅紀(jì)念品；既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂(lè)公園大雪人的概率為，獲得2份文旅紀(jì)念品，則的可能取值為，
其中，
，
，
，
所以的分布列為
.
（2）因?yàn)閭€(gè)游客得到文旅紀(jì)念品的總個(gè)數(shù)恰為個(gè)，
則只有1人既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂(lè)公園大雪人，
于是，
則，
于是，
兩式相減，得
，
所以.
（3）設(shè)只游覽冰雪大世界的人數(shù)為，
則既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂(lè)公園大雪人的人數(shù)為，
因此游客得到紀(jì)念品的總個(gè)數(shù)，
此時(shí)，
假定取最大值，必有，于是，
即，整理得，
解得，而，則，
所以當(dāng)取最大值時(shí)，.
18.【解析】（1）根據(jù)題意，蒙日?qǐng)A的半徑為，所以.
因?yàn)椋芍?，則，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，可知直線的斜率存在，且直線與橢圓必相交，
可設(shè)直線，
聯(lián)立方程，消去可得，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得：
因?yàn)?，可得直線，直線，
所以
.
即，解得，
所以直線的交點(diǎn)在直線上.
（2）設(shè)直線與直線的交點(diǎn)分別為，
則由（1）可知：直線，直線.
聯(lián)立方程和，
解得
因?yàn)椋?br>又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，
可得，只需求的最小值.
由弦長(zhǎng)公式可得
.
令，則.
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
即的最小值為，可得面積的最小值為.
故直線圍成的三角形面積的最小值為.
19.【解析】（1）由，有，
可知，
由題意，，所以，所以.
（2）由（1）知，，令，
則，
所以在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，又，
時(shí)，；
時(shí)，；
所以時(shí)，；
時(shí)，.
（3）由，
.
由在上存在極值，
所以在上存在變號(hào)零點(diǎn).
令，
則.
（1）時(shí)，為減函數(shù)，，
在上為減函數(shù)，，無(wú)零點(diǎn)，不滿足條件.
（2）當(dāng)，即時(shí)，為增函數(shù)，，
在上為增函數(shù)，，無(wú)零點(diǎn)，不滿足條件.
（3）當(dāng)，即時(shí)，令即，
.
當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；
時(shí)，為增函數(shù)，
；
令，
在時(shí)恒成立，
在上單調(diào)遞增，，
恒成立；
，
，
則，
，
；
，
令，
令
，
則在是單調(diào)遞減，，
所以，
，
令，則，
.
，即.
由零點(diǎn)存在定理可知，在上存在唯一零點(diǎn)，
又由（3）知，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，，
所以此時(shí)，，在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，
在上存在變號(hào)零點(diǎn)，
綜上所述實(shí)數(shù)的取值范圍為.題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
D
B
A
C
B
D
B
AB
ABD
AC
3
4
5
6

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