命題人：張志忠、趙攀峰、譚澤陽、葉勇勝審題人：張志忠
得分：
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共8頁。時(shí)量120分鐘。滿分150分。
第Ⅰ卷
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1.若一條直線經(jīng)過兩點(diǎn)和，則該直線的傾斜角為
A.B.C.D.
2.已知向量，，且，則實(shí)數(shù)
A.B.C.D.
3.重陽節(jié)，農(nóng)歷九月初九，二九相重，諧音是“久”，有長久之意，是我國民間的傳統(tǒng)節(jié)日.人們常在此日感恩敬老.某校在重陽節(jié)當(dāng)日安排6位學(xué)生到兩所敬老院開展志愿服務(wù)活動(dòng)，要求每所敬老院至少安排2人，則不同的分配方案數(shù)是
A.35B.40C.50D.70
4.曲線在處的切線方程為
A.B.C.D.
5.設(shè)，隨機(jī)變量的分布列如表所示，則
A.有最大值，最小值B.有最大值，最小值
C.有最大值，無最小值D.無最大值，有最小值
6.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了高階等差數(shù)列的概念.如數(shù)列1，3，6，10，后前兩項(xiàng)之差得到新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列.對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為3，4，6，9，13，18，24，則該數(shù)列的第19項(xiàng)為
A.174B.184C.188D.190
7.從某個(gè)角度觀察籃球（如圖1）可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形（如圖2），籃球的外輪廓為圓，將籃球的表面粘合線視為坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓的交點(diǎn)將圓的周長八等分，且，則該雙曲線的離心率為
A.B.C.D.
8.已知函數(shù)，是的唯一極小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A.B.C.D.
二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）
9.的展開式中，下列結(jié)論正確的是
A.展開式共6項(xiàng)B.常數(shù)項(xiàng)為
C.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64D.所有項(xiàng)的系數(shù)之和為0
10.設(shè)公差小于0的數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則
A.B.
C.D.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值
11.已知函數(shù)，則
A.有兩個(gè)極值點(diǎn)
B.有三個(gè)零點(diǎn)
C.在上的值域?yàn)?br>D.點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心
12.已知為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作兩漸近線的垂線，垂足分別為、，記線段，的長分別為、，則
A.若，的斜率分別為，，則
B.
C.的最小值為
D.的最小值為
選擇題答題卡
第Ⅱ卷
三、填空題(本大題共4小題，,每小題5分，共20分)
13.已知數(shù)列滿足：，其前項(xiàng)和為，若，則___________.
14.已知函數(shù)滿足，則___________.
15.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，與軸垂直，為軸上一點(diǎn)，且，若，則的準(zhǔn)線方程為___________.
16.已知點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)為，，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為___________.
四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17.（本小題滿分10分）
已知數(shù)列滿足，.
（1）記，證明：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
18.（本小題滿分12分）
已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).
（1）求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）設(shè)圓與軌跡的交點(diǎn)為、，求線段的長.
19.（本小題滿分12分）
某中學(xué)心理學(xué)社團(tuán)在研究活動(dòng)中，采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者，，，，，和4名女志愿者，，，，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.
（1）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率；
（2）用表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
20.（本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐中，底面四邊形為直角梯形，，，，為的中點(diǎn)，，.
（1）證明：平面；
（2）若，求平面與平面所成二面角的余弦值.
21.（本小題滿分12分）
已知且，函數(shù).
（1）若且，求函數(shù)的最值；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
22.（本小題滿分12分）
已知中心在原點(diǎn)，長軸在軸上的橢圓的左右頂點(diǎn)分別為和，P為橢圓上的除左右頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，且，斜率之乘積為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過分別作兩條直線與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn).線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，若，求證：直線過定點(diǎn).
長郡中學(xué)2023年下學(xué)期高二期末考試
數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1.B【解析】因?yàn)橐粭l直線經(jīng)過兩點(diǎn)，，所以該直線的斜率為，則有該直線的領(lǐng)斜角滿足，因?yàn)?，所?故選B.
2.D【解析】因?yàn)椋源嬖谖ㄒ粚?shí)數(shù)，使得，
則解得故選D.
3.C【解析】六名學(xué)生分成兩組，每組不少于兩人的分組，一組2人另一組4人，或每組3人，所以不同的分配方案為：.故選C.
4.C【解析】，，又，∴切線過點(diǎn)，∴在點(diǎn)處曲線的切線方程為.故選C.
5.B【解析】首先，，所以，
，，從而.
.故有最大值是，最小值，故選B.
6.A【解析】設(shè)此數(shù)列為，則，，，……，，
所以
，
所以.故選A.
7.C【解析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
設(shè)圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，連接、，
則，
因?yàn)樽鴺?biāo)軸和雙曲線與圓的交點(diǎn)將圓的周長八等分，則，
故點(diǎn)，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，所以，
所以，該雙曲線的離心率為.故選C.
8.D【解析】由題可知，
是的唯一極小值點(diǎn)，
恒成立，即恒成立.
令，則.
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
，，即.故選D.
二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）
9.BCD【解析】對(duì)于A，展開式有7項(xiàng)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，常數(shù)項(xiàng)為，故B正確；
對(duì)于C，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故C正確；
對(duì)于D，令，得所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故D正確；
故選BCD.
10.BC【解析】選項(xiàng)A，，，即，，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，∵公差，∴等差數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，又，，即，故B正確；
選項(xiàng)C，，故C正確；
選項(xiàng)D，∵等差數(shù)列為遞減數(shù)列，，
，，……，，，，
最大值為或，故D錯(cuò)誤.故選BC.
11.ACD【解析】對(duì)于A，，令可得或2.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以0是的極大值點(diǎn)，2是的極小值點(diǎn)，所以有兩個(gè)極值點(diǎn)，故A正確；
對(duì)于B，，，根據(jù)圖象，只有2個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由于在遞增，在遞減，在遞增，且，，，所以在上的值域?yàn)?，故C正確；
對(duì)于D，驗(yàn)證，
，成立，故D正確.
故選ACD.
12.ABD【解析】如圖所示，設(shè)，則，
由題設(shè)條件，知雙曲線的兩條漸近線為，，
設(shè)直線、的斜率分別為、，則，，
所以，故A正確；
由，，
故B正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C不正確；
在四邊形中，易知，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.故選ABD.
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13.1【解析】依題意：數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為，
由，得，
故答案為：1.
14.【解析】因?yàn)椋裕?br>所以，解得，故答案為：.
15.【解析】不妨設(shè)，，.
因?yàn)椋?，，，的?zhǔn)線方程為，故答案為.
16.【解析】∵圓可化為，
，，
，是圓的兩條切線，則，，
、、、四點(diǎn)共圓，且，，
，
，
∴當(dāng)最小，即時(shí)，取得最小值，
此時(shí)方程為，
聯(lián)立解得，，即，
∴以為直徑的圓的方程為，
即，
∵圓，兩圓相交，
∴兩圓方程相減即為的方程.
故答案為：.
四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17.【解析】（1）由，得，又，
，且，
所以是等比數(shù)列，.5分
（2）由（1）得，得，
所以，
即.10分
18.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由于點(diǎn)的坐標(biāo)為，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，，
于是有①
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，即：，②
把①代入②，得，整理，得，
所以點(diǎn)的軌跡的方程為.6分
（2）將圓與圓的方程相減得：
，8分
由圓的圓心為，半徑為1，
且到直線的距離，
則.12分
19.【解析】（1）接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為，
則.4分
（2）由題意知的取值為0，1，2，3，4.
，，，
，，
故的分布列為
.12分
20.【解析】（1）證明：如圖，連接，在中，由，可得，
，，
，.
，，.
則，故.
，，，平面.
平面.6分
（2）解：由（1）及可知，，，兩兩垂直，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則，，，，，
，，
則，
又，，
設(shè)平面的法向量為，
則
令，則，，
故，
設(shè)平面的法向量為，
，，
則
令，則，，
故，
，
故平面與平面所成二面角的余弦值為.12分
21.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
故，
當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以.6分
（2）因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故有兩解，
所以方程有兩個(gè)不同的解，即為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
令，故，
當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，
圖象如圖所示，
而，所以，所以，令，
因?yàn)?，?br>所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，
又當(dāng)時(shí)，，，，
所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，
所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).12分
22.【解析】（1）由題意，設(shè)橢圓方程為.
設(shè)，則，
，
所以橢圓方程為.5分
（2）解法1：①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，
與橢圓方程聯(lián)立得，，
設(shè)，，則，，
，，7分
，
，，
即，8分
即，
，
或，10分
當(dāng)時(shí)，直線過左頂點(diǎn)，不合題意，含去；
當(dāng)時(shí)，滿足，
此時(shí)直線經(jīng)過定點(diǎn).11分
②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)，，則，，
由得，，
解方程組得，此時(shí)直線過，
綜合①②可知，直線過.12分
解法2：設(shè)，，，
則，，，即，
同理，，又，得，
直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，代入橢圓方程，
得，
，，，
，，
.
或.10分
下同解法1.1
2
3
圖1
圖2
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
答案
題號(hào)
8
9
10
11
12
得分
答案
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
C
C
B
A
C
D
BCD
BC
ACD
ABD
0
1
2
3
4

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