大聯(lián)考長郡中學2024屆高三月考試卷（二）數(shù)學得分__________.本試卷共8頁.時量120分鐘.滿分150分.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 若集合，則的元素個數(shù)為（    ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】【分析】求出，得到交集，得到元素個數(shù).【詳解】集合，，則，即元素個數(shù)為3.故選：B2. 設，若復數(shù)的虛部為3（其中為虛數(shù)單位），則（    ）A.  B.  C.  D. 3【答案】A【解析】【分析】利用的性質和復數(shù)的除法運算化簡求出其虛部令其等于3可得答案.【詳解】復數(shù)，因為其虛部為3，所以，可得.故選：A.3. 已知非零向量，滿足，，若，則向量在向量方向上的投影向量為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的定義及運算律求出，即可求出，最后根據(jù)計算可得.【詳解】因為，所以，∴，又，所以，∴或（舍去），所以，所以在方向上的投影向量為.故選：A.4. 設拋物線：焦點為，在上，，則的方程為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義求得，進而確定正確答案.【詳解】拋物線的開口向上，由于在上，且，根據(jù)拋物線的定義可知，所以拋物線的方程為.故選：A5. 若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由題意可得在區(qū)間恒成立，進一步轉化為在區(qū)間恒成立，從而可求出實數(shù)的取值范圍【詳解】由，得，因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，所以在區(qū)間恒成立，所以在區(qū)間恒成立，即在區(qū)間恒成立，所以.故選：D6. 直線與圓相交于兩點，則是“的面積為”的（ ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由時,圓心到直線的距離.所以弦長為.所以.所以充分性成立,由圖形的對稱性，當時, 的面積為.所以不要性不成立.故選A.考點：1.直線與圓的位置關系.2.充要條件. 7. 已知，且，則（    ）A.  B.  C.  D. 1【答案】B【解析】【分析】據(jù)二倍角公式，兩角和的正弦公式以及同角三角函數(shù)的基本關系求解.【詳解】，,，又，則，即所以，因為，所以，.由平方可得，即，符合題意.綜上，.故選：B.8. 若實數(shù)滿足，則的最小值是（    ）A. 8 B. 9 C. 10 D. 11【答案】A【解析】【分析】先畫出函數(shù)和的圖像，再根據(jù)圖像解釋的幾何意義即可.【詳解】由，得，令，則，令得，當時，單調遞減，當時，單調遞增；由，得，令，的圖像如下圖：則表示上一點與上一點的距離的平方，顯然，當過M點的切線與平行時，最小，設上與平行的切線的切點為，由，解得，所以切點為，切點到的距離的平方為，即的最小值為8；故選：A.二?多選題本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9. 關于下列命題中，說法正確的是（    ）A. 已知，若，則B. 數(shù)據(jù)的分位數(shù)為77C. 已知，若，則D. 某校三個年級，高一有400人，高二有360人.現(xiàn)按年級分層，用分層隨機抽樣的方法從全校抽取57人，已知從高一抽取了20人，則應從高三抽取19人【答案】CD【解析】【分析】對各個選項進行分析判斷即可得出結論.【詳解】對于，，，解得，故A錯誤；對于，將數(shù)據(jù)從小到大排序為，，分位數(shù)為第5個數(shù)，即78，故B錯誤；對于，，故C正確；對于D，抽樣比為，高二應抽取人，則高三應抽取人，故D正確.故選：CD.10. 已知函數(shù)，則（    ）A. 函數(shù)的最小正周期為B. 若函數(shù)為偶函數(shù)，則C. 若，則函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到D. 若，則函數(shù)的圖象的對稱中心為【答案】ACD【解析】【分析】利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質，逐項判定，得出結論．【詳解】由題意，函數(shù)，其中可得函數(shù)的最小正周期為，故A正確；若函數(shù)為偶函數(shù)，則，故B錯誤；若，則函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到，故C正確；若，則函數(shù)，令，求得，，可得它的圖象的對稱中心為，故D正確，故選：ACD．11. 如圖，四棱錐的底面是梯形，，，，，平面平面，，分別為線段，的中點，點是底面內包括邊界的一個動點，則下列結論正確的是（    ）A. B. 三棱錐外接球的體積為C. 異面直線與所成角的余弦值為D. 若直線與平面所成的角為，則點的軌跡長度為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)平面平面，得到平面,可判斷A，B選項；異面直線與所成角的余弦值在中由余弦定理，可判斷C選項；若直線與平面所成的角為，點的軌跡為以為圓心，為半徑的半圓可判斷D選項.【詳解】易證四邊形為菱形，所以，連接，因為，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又，所以平面又平面，所以，故A正確；易證為等腰直角三角形，為等邊三角形，且平面平面，所以三棱錐外接球的球心為等邊三角形的中心，所以三棱錐外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的體積為，故B錯誤；因為，所以為異面直線與所成的角或其補角，因為，所以，在中，由余弦定理，得，故C正確；因為平面，所以為在平面內的射影，若直線與平面所成的角為，則，因為，所以，故點的軌跡為以為圓心，為半徑的半圓，所以點的軌跡長度為，故D錯誤．故選：．12. 已知定義在上的函數(shù)滿足：對于任意的，都有，且當時，，若，則下列說法正確的有（    ）A. B. 關于對稱C. 在上單調遞增D. 【答案】BCD【解析】【分析】賦值法可判斷AB；利用單調性的定義可判斷C；利用已知可得，再由累加法可判斷D.【詳解】對于A，令，得，可得，故A錯；對于B，令，則，令，則，故B對；對于C，設，則，因為，故，故，故在上單調遞增，故C對；對于D，令，故，所以，故，故D對.故選：BCD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 的展開式中，的系數(shù)為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項式的通項公式進行求解即可.【詳解】二項式的通項公式為，所以的系數(shù)為，故答案為：14. 已知是數(shù)列的前項和，，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，則__________.【答案】366【解析】【分析】設，易得，再由求解.【詳解】解：設，由題意知是公差為1的等差數(shù)列，則，故，則，故.于是，.故答案為：36615. 已知雙曲線的左?右焦點分別為，過雙曲線上一點向軸作垂線，垂足為，若且與垂直，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】【分析】由題意知四邊形為菱形，再結合圖形得出，最后根據(jù)定義即可得出離心率.
 【詳解】設雙曲線焦距為，不妨設點在第一象限，由題意知，由且與垂直可知，四邊形為菱形，且邊長為，而為直角三角形，，故，則，則，故，即離心率.故答案為: .16. 如圖，有一半徑為單位長度的球內切于圓錐，則當圓錐的側面積取到最小值時，它的高為______．  【答案】##【解析】【分析】由，求得，得到側面積，令，得到，求得函數(shù)的單調性，進而得到答案.【詳解】如圖所示，設，半徑，高，球半徑為單位長度，因為，可得，即，所以，解得，所以側面積，令，可得，令，可得，解得．當，，單調遞減；當，，單調遞減，所以時側面積有最小值．故答案為：.  四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17. 已知等比數(shù)列的第二?三?四項分別是等差數(shù)列的第二?五?十四項，且等差數(shù)列的首項，公差.（1）求數(shù)列與的通項公式；（2）設數(shù)列對任意均有成立，求的值.【答案】（1）.    （2）【解析】【分析】（1）由題意得，再利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質列方程可求出，從而可求出公比，進而可求得數(shù)列與的通項公式；（2）由，得，兩式相減可求得，再驗證，然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得結果.【小問1詳解】設等比數(shù)列的公比為，由題意，，，解得，或（舍去），，.【小問2詳解】由題意，，①，②②-①得，當時，不滿足上式，所以，.18. 在銳角中，內角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再結合兩角和的正弦公式及三角形內角和定理化簡即可得解；（2）先利用正弦定理求出，再根據(jù)三角恒等變換化簡，結合三角函數(shù)的性質即可得解.【小問1詳解】根據(jù)題意，由正弦定理得，又銳角中，有，所以，所以，所以；【小問2詳解】結合（1）可得，由，則根據(jù)正弦定理有，得，根據(jù)余弦定理有，得，所以，又為銳角三角形，則有，得，所以，所以，故.19. 如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形是邊長為的正方形，為中點，且.（1）求證：平面；（2）若點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）由勾股定理證明，再由，可證平面，即得，由，可證平面；（2）由題意證明得兩兩垂直，建立空間直角坐標系，寫出對應點的坐標與向量的坐標，求解平面的法向量，設，再由向量夾角的公式代入計算得，根據(jù)點到平面的距離公式代入計算，可得答案.【小問1詳解】證明：由題知，，又，所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以，在正中，為中點，于是，又，平面，所以平面【小問2詳解】取中點為中點為，則，由（1）知，平面，且平面，所以，又，所以，平面所以平面，于是兩兩垂直. 如圖，以為坐標原點，的方向為軸?軸?軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，，所以，.設平面的法向量為，則，即，令，則，于是.設，則.由于直線與平面所成角的正弦值為，，即，整理得，由于，所以于是.設點到平面的距離為，則，所以點到平面的距離為.【點睛】方法點睛：對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20. 第19屆杭州亞運會-電子競技作為正式體育競賽項目備受關注.已知某項賽事的季后賽后半段有四支戰(zhàn)隊參加，采取“雙敗淘汰賽制”，對陣表如圖，賽程如下：第一輪：四支隊伍分別兩兩對陣（即比賽1和2），兩支獲勝隊伍進入勝者組，兩支失敗隊伍落入敗者組.第二輪：勝者組兩支隊伍對陣（即比賽3），獲勝隊伍成為勝者組第一名，失敗隊伍落入敗者組；第一輪落入敗者組兩支隊伍對陣（即比賽4），失敗隊伍（已兩?。┍惶蕴ǐ@得殿軍），獲勝隊伍留在敗者組.第三輪：敗者組兩支隊伍對陣（即比賽5），失敗隊伍被淘汰（獲得季軍）；獲勝隊伍成敗者組第一名.第四輪：敗者組第一名和勝者組第一名決賽（即比賽6），爭奪冠軍.假設每場比賽雙方獲勝的概率均為0.5，每場比賽之間相互獨立.問：（1）若第一輪隊伍和隊伍對陣，則他們仍能在決賽中對陣的概率是多少？（2）已知隊伍在上述季后賽后半段所參加的所有比賽中，敗了兩場，求在該條件下隊伍獲得亞軍的概率.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)乘法公式求概率即可；（2）根據(jù)條件概率公式求概率即可.【小問1詳解】由題意可知，第一輪隊伍和隊伍對陣，則獲勝隊伍需要贏得比賽3的勝利，失敗隊伍需要贏得比賽4和比賽5的勝利，他們才能在決賽中對陣，所以所求的概率為.【小問2詳解】設表示隊伍在比賽中勝利，表示隊伍在比賽中失敗，設事件：隊伍獲得亞軍，事件隊伍所參加的所有比賽中敗了兩場，則事件包括，且這五種情況彼此互斥，進而，事件包括，且這兩種情況互斥，進而，所以所求事件的概率為.21. 已知橢圓的左右焦點分別為是橢圓的中心，點為其上的一點滿足．（1）求橢圓的方程；（2）設定點，過點的直線交橢圓于兩點，若在上存在一點，使得直線的斜率與直線的斜率之和為定值，求的范圍．【答案】（1）    （2）或【解析】【分析】（1）在中，根據(jù)余弦定理及可得，從而求得橢圓方程. （2）設，直線的方程為，代入橢圓方程得韋達定理，要使為常數(shù)，則，根據(jù)范圍得到的范圍及點坐標.【小問1詳解】設，在中，設，，，，，所以橢圓的方程為：【小問2詳解】設，直線的方程為，，，，設，若為常數(shù)，則，即，而此時，又，即或，綜上所述，或，存在點，使得直線的斜率與直線的斜率之和為定值【點睛】關鍵點點睛：對任意恒為定值，因為分子分母中同時含有，這種情況下分子分母的對應系數(shù)成比例則整體可以為定值，故需要且即項、常數(shù)項對應成比例.22. 函數(shù).（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）當時，若，求證：；（3）求證：對于任意都有.【答案】（1）答案見解析    （2）證明見解析    （3）證明見解析【解析】【分析】（1）求定義域，求導，分，和三種情況，求解函數(shù)單調區(qū)間；（2）令，構造，求導得到其單調性，進而得到，進而得到，不妨設，則，推出，由的單調性得到，證明出結論；（3）由（2）知，時，，變形得到在時恒成立，從而得到不等式，相加得到答案.【小問1詳解】函數(shù)的定義域是.由已知得，①當時，當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增.②當時，當時，單調遞增.③當時，當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增.綜上，①當時，函數(shù)單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為；②當時，函數(shù)單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；③當時，函數(shù)單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為.【小問2詳解】當時，.由（1）知，函數(shù)在單調遞增且；令，令，令，解得；令，解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以，令，則，則，故，所以恒成立，不妨設，則，所以，所以，因為，而在單調遞增，所以，所以.【小問3詳解】由（2）知，時，，即，故在時恒成立，所以，，，……，，相加得.【點睛】方法點睛：導函數(shù)證明數(shù)列相關不等式，常根據(jù)已知函數(shù)不等式，用關于正整數(shù)的不等式代替函數(shù)不等式中的自變量，通過多次求和（常常用到裂項相消法求和）達到證明的目的，此類問題一般至少有兩問，已知的不等式常由第一問根據(jù)特征式的特征而得到. 

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