第I卷（選擇題）
一、單選題（本大題共12小題，共60.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）
1. 已知集合，，則（）
AB. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)集合，然后根據(jù)交集的定義運(yùn)算即得.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以．
故選：B.
2. 已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則的值是（）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，然后令虛部為零可得答案.
【詳解】，
復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，
，
解得.
故選：C.
3. 設(shè)向量，，.若，則（）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出的坐標(biāo)，再利用列方程求解的值.
【詳解】，，
，
，
，
解得.
故選：B.
4. 已知，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用輔助角公式求得，然后利用二倍角公式計(jì)算即可.
【詳解】，則，
則，
故選：D.
5. 由1，2，3組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出樣本空間，再求出事件的樣本數(shù)，根據(jù)古典概型求解.
【詳解】1,2,3無(wú)重復(fù)的排列有種，因?yàn)槭桥紨?shù)，所以個(gè)位數(shù)必須是2，故有種排列，
所以是偶數(shù)的概率；
故選：B.
6. 要計(jì)算的結(jié)果，如圖程序框圖中的判斷框內(nèi)可以填（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)循環(huán)終止時(shí)的值可得答案.
【詳解】根據(jù)可知，循環(huán)終止時(shí)，不滿足判斷框中的條件，且滿足判斷框中的條件，
故程序框圖中的判斷框內(nèi)可以填：.
故選：B
7. 三棱錐中，，，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意可將三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，則三棱錐外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)求外接球的半徑，即可得結(jié)果.
【詳解】如圖所示，根據(jù)題意可將三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，則三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，可知該球的直徑即為，
設(shè)球的半徑為，可得，即，
故三棱錐的外接球的表面積.
故選：C.
8. 2022年8月，中科院院士陳發(fā)虎帶領(lǐng)他的團(tuán)隊(duì)開(kāi)始了第二次青藏高原綜合科學(xué)考察．在科考期間，陳院士為同行的科研人員講解專業(yè)知識(shí)，在空氣稀薄的高原上開(kāi)設(shè)了“院士課堂”．已知某地大氣壓強(qiáng)與海平面大氣壓強(qiáng)之比為b，b與該地海拔高度h滿足關(guān)系：（k為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底）．若科考隊(duì)算得A地，珠峰峰頂處，則A地與珠峰峰頂高度差約為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用給定的函數(shù)模型，求出A地與珠峰峰頂?shù)暮０胃叨燃纯勺鞔?
【詳解】令A(yù)地與珠峰峰頂?shù)暮０胃叨确謩e為，依題意，，，
即，，解得，
所以A地與珠峰峰頂高度差為.
故選：B
9. 已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及零點(diǎn)的定義即可求解.
【詳解】因?yàn)?，，所以?br>由在區(qū)間上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)可得：
因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，
所以時(shí)，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，只能是，，
所以，，
解得：，所以的取值范圍為，
故選：B.
10. △的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.若，則（）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理進(jìn)行角換邊，再根據(jù)余弦定理即可得出答案.
【詳解】，
利用正弦定理可得:，
又，
可得，
整理可得：，
故選：A.
11. 已知雙曲線的一條漸近線被圓截得的線段長(zhǎng)為，則雙曲線的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓心坐標(biāo)和半徑，求出圓心到漸近線的距離，由勾股定理可得關(guān)系，從而求得離心率．
【詳解】根據(jù)題意，不妨取雙曲線一條漸近線方程，
因?yàn)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心是，半徑是2，
所以圓心到漸近線的距離為，
所以由弦長(zhǎng)公式得，則，即，即，故，
所以．
故選：D．
12. 已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，且滿足，其中為的導(dǎo)數(shù)，設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合條件與導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，從而得解.
【詳解】令，則，
因?yàn)椋愠闪?，所以?br>所以在上單調(diào)遞增，
又，所以，
因?yàn)?，，?br>所以，即.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的突破口是構(gòu)造函數(shù)，熟練掌握與等抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解決該類問(wèn)題的關(guān)鍵.
第II卷（非選擇題）
二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）
13. 某高三年級(jí)一共有800人，要從中隨機(jī)抽取50人參加社團(tuán)比賽，按系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行等距抽取.將全體學(xué)生進(jìn)行編號(hào)分別為，并按編號(hào)分成50組，若第3組抽取的編號(hào)為36，則第16組抽取的編號(hào)為_(kāi)__________.
【答案】244
【解析】
【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣編號(hào)成等差數(shù)列求解即可
【詳解】800人一共分成50組,每組16人,所以組距為16,系統(tǒng)抽樣可以看成是一個(gè)組距為16的等差數(shù)列,由第三組,得.
故答案為：244
14. 對(duì)于二維碼，人們并不陌生，幾年前，在門(mén)票、報(bào)紙等印刷品上，這種黑白相間的小方塊就已經(jīng)出現(xiàn)了．二維碼背后的趨勢(shì)是整個(gè)世界的互聯(lián)網(wǎng)化，這一趨勢(shì)要求信息以更為簡(jiǎn)單有效的方式從線下流向線上．如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的“祝你考試成功”正方形二維碼，為了測(cè)算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲400個(gè)點(diǎn)，其中落入黑色部分的有250個(gè)點(diǎn)，據(jù)此可估計(jì)黑色部分的面積為_(kāi)_______．
【答案】10
【解析】
【分析】由幾何概型中的面積型概率計(jì)算公式即可求解.
【詳解】記正方形和黑色部分的面積分別為，則由幾何概型可得：，故，
故答案為：10
15. 已知直線與曲線相切，則k=___________.
【答案】1
【解析】
【分析】設(shè)切點(diǎn)為，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義推得.由可推得.構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)可推得有唯一解，求出，即可得出答案.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，則.
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可知.
又，
即.
令，則，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以，在處取得極小值，也是最小值.
又，所以有唯一解，所以，
即切點(diǎn)為，所以.
故答案：1.
16. 已知函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是________
①一條對(duì)稱軸為；
②將圖象向右平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得到的新函數(shù)為奇函數(shù)；
③若，則；
④若且，則的最小值為．
【答案】①③
【解析】
【分析】首先化簡(jiǎn)函數(shù)為，①根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)驗(yàn)證即可；②利用平移變換得到判斷；③由得到，從而得到，再由，利用兩角差的正切公式求解判斷；④令得到，在同一坐標(biāo)系中作出的圖象判斷.
【詳解】解：函數(shù)，
①因?yàn)?，所以一條對(duì)稱軸為，故正確；
②將圖象向右平移個(gè)單位得到，再向下平移1個(gè)單位得到，因?yàn)?，所以新函?shù)不是奇函數(shù)，故錯(cuò)誤；
③由得：，則，，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
所以，故正確；
④令得：，
在同一坐標(biāo)系中作出的圖象如圖所示：
由圖象知：，故錯(cuò)誤，
故答案為：①③
三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
（一）必考題：共60分
17. 已知等差數(shù)列滿足，，公比不為的等比數(shù)列滿足，.
（1）求與通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求的前n項(xiàng)和.
【答案】（1），，
（2），
【解析】
【分析】（1）由等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義計(jì)算基本量即可求通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式及裂項(xiàng)相消求和即可.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)的公差為d，因?yàn)?，?br>所以，解得，從而，
所以；
設(shè)的公比為q，因?yàn)?，所以，解得?br>因?yàn)?，所以?br>所以.
【小問(wèn)2詳解】
由上可知：，所以，
所以，
所以，.
18. 某商店銷售某種產(chǎn)品，為了解客戶對(duì)該產(chǎn)品的評(píng)價(jià)，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查了200名客戶，其評(píng)價(jià)結(jié)果為“一般”或“良好”，并得到如下列聯(lián)表：
（1）通過(guò)計(jì)算判斷，有沒(méi)有99%的把握認(rèn)為客戶對(duì)該產(chǎn)品的評(píng)價(jià)結(jié)果與性別有關(guān)系？
（2）利用樣本數(shù)據(jù)，在評(píng)價(jià)結(jié)果為“良好”的客戶中，按照性別用分層抽樣的方法抽取了6名客戶.若從這6名客戶中隨機(jī)選擇2名進(jìn)行訪談，求所抽取的2名客戶中至少有1名女性的概率.
附表及公式：
其中，.
【答案】（1）有99%的把握認(rèn)為客戶對(duì)該產(chǎn)品的評(píng)價(jià)結(jié)果與性別有關(guān)系.
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算出的值，對(duì)比附表數(shù)據(jù)，然后作出判斷；
（2）先根據(jù)分層抽樣計(jì)算出男、女客戶并對(duì)男女生進(jìn)行標(biāo)記，列出“從名學(xué)生中隨機(jī)抽取名”的所有基本事件，分析滿足“抽取的兩名客戶中至少有名女性”的基本事件，根據(jù)基本事件數(shù)之比求解出對(duì)應(yīng)概率.
【小問(wèn)1詳解】
，
有99%的把握認(rèn)為客戶對(duì)該產(chǎn)品的評(píng)價(jià)結(jié)果與性別有關(guān)系.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椤靶Ч^好”的男客戶和女客戶的人數(shù)之比為，即為，
所以抽取的名客戶中，男生有名，記為，，，，
女生有名，記為，，
從這人中選取人的所有基本事件有：，，，，
，，，，，，，，
，，，共個(gè).
其中至少一名女生的基本事件有：，，，，
，，，，，共9個(gè).
所以，抽取的名客戶中至少有名女性的概率為.
19. 《九章算術(shù)》卷第五《商功》中有記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無(wú)廣.芻，草也，甍，屋蓋也.”翻譯為“底面有長(zhǎng)有寬為矩形，頂部只有長(zhǎng)沒(méi)有寬為一條棱.芻甍字面意思為茅草屋頂，”現(xiàn)有“芻甍”如圖所示，四邊形EBCF為矩形，，且.
（1）若O是四邊形EBCF對(duì)角線的交點(diǎn)，求證：平面GCF；
（2）若，且，求三棱錐的體積.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取線段中點(diǎn)H，連接，利用中位線定理得到且，證明四邊形是平行四邊形，得到，根據(jù)線面平行的判定即可證明；
（2）利用線面垂直的判定得到面，利用三角形面積公式求出，利用等體積法代入計(jì)算即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
在圖中取線段中點(diǎn)H，連接，如圖所示：
由題可知，四邊形是矩形，且，
∴O是線段與中點(diǎn)，∴且，
又且，而且.
所以且，∴且，
∴四邊形是平行四邊形，則，由于平面，平面，∴平面.
【小問(wèn)2詳解】
∵，面，，∴面，
，
所以，
即三棱錐的體積為.
20. 已知離心率為的橢圓，其焦距為.
（1）求此橢圓的方程；
（2）已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)離心率為和焦距為，由求解；
（2）將代入橢圓方程，設(shè)，根據(jù)為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，由求解.
【小問(wèn)1詳解】
解：由題知
解得，
橢圓的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
將代入橢圓方程，得，
又直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，
，
解得.
設(shè)，
則.
若以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則.
又，
.
而，
，
，
，
解得，滿足，
故.
21. 設(shè)函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求a的取值范圍．
【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）
【解析】
【分析】（1）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.
（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，是的兩個(gè)不同的根，分離參數(shù)研究與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究的圖象進(jìn)而求得a的范圍.
【小問(wèn)1詳解】
∵，
∴，
當(dāng)時(shí)，
∴，定義域?yàn)镽，
則，
∴，，
∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
【小問(wèn)2詳解】
∵有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），
∴，是的兩個(gè)不同的根.
即：，是的兩個(gè)不同的根.
∴令，
則，是與的兩個(gè)不同的交點(diǎn).
∴，
∴，，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又∵，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴圖象如圖所示，
所以，
所以，
即：a的取值范圍為.
（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22. 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線與極軸相交于，兩點(diǎn).
（1）求曲線的極坐標(biāo)方程及點(diǎn)的極坐標(biāo)；
（2）若直線的極坐標(biāo)方程為，曲線與直線相交于，兩點(diǎn)，求的面積.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）消去參數(shù)可得曲線的普通方程，再由代入可得答案；
（2）令求出，再由可得答案.
【小問(wèn)1詳解】
由消去參數(shù)，得，即，
由代入可得
曲線的極坐標(biāo)方程為.
令，則，故點(diǎn)的極坐標(biāo)為；
【小問(wèn)2詳解】
令，則，
故的面積.
[選修4-5：不等式選講]
23. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集非空，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）把代入，分段討論解不等式可得到結(jié)果；
（2）利用絕對(duì)值三角不等式可得，再由轉(zhuǎn)化為，解出即可．
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為，無(wú)解.
當(dāng)時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為，解得.
當(dāng)時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為，解得.
綜上所述，原不等式的解集為；
【小問(wèn)2詳解】
由已知可得，
由不等式的解集非空，可得，
則，
解得，故的取值范圍為.
一般
良好
合計(jì)
男
20
100
120
女
30
50
80
合計(jì)
50
150
200
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

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