一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.在空間直角坐標系中，已知點，，，若，，三點共線，則的值為（ ）
A. B. C. D.
2.設(shè)函數(shù)在處存在導數(shù)為2，則（ ）
A. 2B. 1C. D. 4
3.重陽節(jié)，農(nóng)歷九月初九，二九相重，諧音是“久久”，有長久之意，人們常在此日感恩敬老，是我國民間的傳統(tǒng)節(jié)日，某校在重陽節(jié)當日安排6位學生到兩所敬老院開展志愿服務活動，要求每所敬老院至少安排2人，則不同的分配方案數(shù)是（ ）
A.35B.40C.50D.70
4.如圖，已知是四面體的棱的中點，點在線段上，點在線段上，且，，以，，為基底，則可以表示為（ ）
A. B.
C. D.
5.江蘇海安是江海文明的發(fā)源地，物華天寶，人杰地靈。海安曾有名勝“三塘十景”，可惜時光變遷，戰(zhàn)火摧殘，多數(shù)已面目全非。隨著海安城市人文建設(shè)的深化，“三塘十景”逐一復原重建。海中高二年級幾名同學打算利用周末時間尋訪“十景”：東郊文社、南城桃塢、西寺晚鐘、北園菊圃、鳳山早霞、三里風帆、鏡虹水閣、韓阡翠柏、雙橋曲徑、桂嶺秋香。因時間有限，計劃從中隨機選取4個依次游覽，若選中東郊文社，則東郊文社不是第一個游覽的情況有（ ）
A.2016種B.1512種C.1426種D.1362種
6.在三棱錐中，，，兩兩垂直，且，，，三角形重心為G，則點P到直線的距離為（ ）
A. B. C. D.
7.某運動隊的7名隊員合影留念，計劃站成一橫排，但甲不站最左端，乙不站最右端，丙不站正中間。則理論上他們的排法有（ ）
A.3864種B.3216種C.3144種D.2952種
8.古代城池中的“甕城”，又叫“曲池”，是加裝在城門前面或里面的又一層門，若敵人攻入甕城中，可形成“甕中捉鱉”之勢.如下圖的“曲池”是上、下底面均為半圓形的柱體，若垂直于半圓柱下底面半圓所在平面，，，，E為弧的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A. B. C. D.
二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。正確答案為3個的選對1個得2分；正確答案為2個的選對1個得3分；有選錯的得0分。）
9.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（ ）
A.若空間向量，，則在上的投影向量為
B.若對空間中任意一點O，有，則P，A，B，C四點共面
C.若空間向量，滿足，則與夾角為銳角
D.若直線l的方向向量為，平面的一個法向量為，則
10.用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成無重復數(shù)字的四位數(shù)和五位數(shù)，則（ ）
A.可組成360個四位數(shù)
B.可組成216個是5的倍數(shù)的五位數(shù)
C.可組成270個比1325大的四位數(shù)
D.若將組成的四位數(shù)按從小到大的順序排列，則第85個數(shù)為2301
11.如圖，在正四棱錐中，，，E是的中點.設(shè)棱錐與棱錐的體積分別為，，，與平面所成的角分別為，，則（ ）
A. 平面B. 平面
C. D.
二、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.空間四邊形中，，，，且異面直線與成，則異面直線與所成角的大小為 .
13.若曲線（a為常數(shù)）不存在斜率為負數(shù)的切線，則實數(shù)a的取值范圍是 .
14.將“用一條線段聯(lián)結(jié)兩個點”稱為一次操作，把操作得到的線段稱為“邊”.若單位圓上n個顏色各不相同的點經(jīng)過k次操作后，從任意一點出發(fā)，沿著邊可以到達其他任意點，就稱這n個點和k條邊所構(gòu)成的圖形滿足“條件T”，并將所有滿足“條件T”的圖形個數(shù)記為，則 .
三、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（本小題滿分13分）已知向量，，
（1）求的值；（2）求；（3）求的最小值.
16.（本小題滿分15分）若函數(shù)，在處切線方程為：.
（1）求的解析式；（2）求在上的最大值、最小值.
17.（本小題滿分15分）在如圖所示的五面體中，共面，是正三角形，四邊形為菱形，，平面，，點M為中點.
（1）證明：平面；
（2）已知，求平面與平面所成二面角的正弦值.
18.（本小題滿分17分）如圖，是半球O的直徑，，M，N是底面半圓弧上的兩個三等分點，P是半球面上一點，且.
（1）證明：平面；
（2）若點P在底面圓內(nèi)的射影恰在上，求直線與平面所成角的正弦值.
19.（本小題滿分17分）牛頓迭代法是牛頓在17世紀提出的一種在實數(shù)域和復數(shù)域上近似求解方程的方法.比如，我們可以先猜想某個方程的其中一個根r在的附近，如圖所示，然后在點處作的切線，切線與x軸交點的橫坐標就是，用代替重復上面的過程得到；一直繼續(xù)下去，得到，，，……、從圖形上我們可以看到較接近r，較接近r，等等.顯然，它們會越來越逼近r.于是，求r近似解的過程轉(zhuǎn)化為求，若設(shè)精度為，則把首次滿足的稱為r的近似解.
已知函數(shù)，.
（1）當時，試用牛頓迭代法求方程滿足精度的近似解（取，且結(jié)果保留小數(shù)點后第二位）；
（2）若，求a的取值范圍.
海安高級中學2023-2024學年度高二年級第二學期階段練習
數(shù)學試卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】B
6.【答案】D7.【答案】B8.【答案】D
二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。正確答案為3個的選對1個得2分；正確答案為2個的選對1個得3分；有選錯的得0分。）
9.【答案】ABD
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
二、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】125
三、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.【答案】
（1）因為，，所以，又因為，
所以.
（2）因為，，所以.
（3）因為，，所以，
所以，
當時，取得最小值28，則最小值為.
16.【答案】
（1）
（2）最大值，最小值
【分析】（1）求導，根據(jù)切線方程可得，即可得解；
（2）利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求出函數(shù)的極值及端點的函數(shù)值，從而可得答案.
【詳解】（1），
因為函數(shù)在處切線方程為：，
所以，解得，
所以；
（2），
當或時，，當時，，
所以函數(shù)在，上遞增，在上遞減，
又，，，，
所以，.
17.【分析】（1）連接交與點O，證明四邊形為平行四邊形，推出，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論；
（2）取中點為N，連接，，，建立空間直角坐標系，求出相關(guān)點坐標，求出平面和平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.
【詳解】（1）證明：連接交與點O，連接，，
由于平面，平面，
平面平面，故，
O為的中點，點M為中點，故，
，則四邊形為平行四邊形，
則，而平面，平面，
故平面；
（2）由（1）知，取中點為N，連接，，，
由題意知是邊長為2的正三角形，在中，，，，
則，故，
是邊長為2的正三角形，則，
又，，平面，則平面，
平面，故，
，∴，則為正三角形，故，
而，，平面，故平面：
以N為坐標原點，分別以，，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則，，，，，，
則，，
設(shè)平面的法向量為，則，
則，令，則；
，，設(shè)平面的法向量為，
則，即，令，則，
故，
設(shè)平面與平面所成二面角為，，
故，故平面與平面所成二面角的正弦值為.
18.【答案】
（1）連接，，，因為M，N是底面半圓弧上的兩個三等分點，所以有，又因為，所以，都為正三角形，所以，四邊形是菱形，記與的交點為Q，Q為和的中點，因為，，所以三角形為正三角形，所以，所以，因為P是半球面上一點，是半球O的直徑，所以，因為，，平面，所以平面.
（2）因為點P在底面圓內(nèi)的射影恰在上，由（1）知Q為的中點，為正三角形，所以，所以底面，因為四邊形是菱形，所以，即、、兩兩互相垂直，以點Q為坐標原點，，，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，，，，
所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，所以，取，則，設(shè)直線與平面的所成角為θ，所以，故直線與平面所成角的正弦值為.
19.【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）首先求處的切線方程，求得，再求處的切線方程，再依次求取，直到，求，即可求解；（2）首先化簡不等式，，再構(gòu)造函數(shù)并求函數(shù)的導數(shù)，討論和兩種情況下函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，并結(jié)合最值的單調(diào)性，即可求解.
【小問1詳解】
當時，，則，
曲線在處的切線為，且
曲線在處的切線為，且
故，用牛頓迭代法求方程滿足精度的近似解為.
【小問2詳解】
由，得，
設(shè)，
則
∴當時，，單調(diào)遞增，由于時，，不合題意；
當時，則有，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，
即，即
易知單調(diào)遞增，且，故.

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