一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.若復(fù)數(shù)，則（ ）
A.5 B. C.10 D.
2.在中，，若點滿足，以作為基底，則等于（ ）
A. B.
C. D.
3.已知，與同向的單位向量為的夾角為，則向量在向量方向上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
4.窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.如圖2，若正八邊形的邊長為是正八邊形八條邊上的動點，則的最小值為（ ）
A. B.0 C. D.
5.若，則（ ）
A.1 B. C. D.
6.已知，則（ ）
A. B. C. D.
7.如圖，三點在半徑為1的圓上運動，且是圓外一點，，則的最大值是（ ）
A.5 B.8 C.10 D.12
8.已知：，則（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分
9.下列說法中正確的是（ ）
A.平面向量的一個基底中，一定都是非零向量
B.在平面向量基本定理中，若，則
C.若單位向量的夾角為，則在上的投影向量是
D.表示同一平面內(nèi)所有向量的基底是唯一的
10.已知，則（ ）
A. B.
C. D.
11.中華人民共和國國旗是五星紅旗，國旗上每個五角星之所以看上去比較美觀，是因其圖形中隱藏著黃金分割數(shù).連接正五邊形的所有對角線能夠形成一個標(biāo)準(zhǔn)的正五角星，正五角星中每個等腰三角形都是黃
金三角形.黃金三角形分兩種：一種是頂角為的等腰三角形，其底邊與一腰的長度之比為黃金比；一種是頂角為的等腰三角形，其一腰與底邊的長度之比為黃金比.如圖，正五角星中，，記，則（ ）
A.
B.
C.在上的投影向量為
D.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知，則__________.
13.向量滿足，則的最大值為__________.
14.記的內(nèi)角，已知，求的取值范圍為__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15.（13分）已知.
（1）求；
（2）求.
16.（15分）已知向量滿足，設(shè)與的夾角為，
（1）若對任意實數(shù)，不等式恒成立，求的值；
（2）根據(jù)（1）中與的夾角值，求與夾角的余弦.
17.（15分）如圖，已知直線分別在直線上，是之間的定點，點到的距離分別為1，.設(shè).
（1）用表示邊的長度；
（2）若為等腰三角形，求的面積；
（3）設(shè)，問：是否存在，使得？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.
18.（17分）如圖，是單位圓上的相異兩定點（為圓心），且（為銳角）.點為單位圓上的動點，線段交線段于點.
（1）求（結(jié)果用表示）；
（2）若
①求的取值范圍；
②設(shè)，求的取值范圍.
19.（17分）定義非零向量的“相伴函數(shù)”為，向量稱為函數(shù)的“相伴向量”（其中為坐標(biāo)原點）.記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為.
（1）設(shè)，請問函數(shù)是否存在相伴向量，若存在，求出與共線的單位向量；若不存在，請說明理由.
（2）已知點滿足：，向量的“相伴函數(shù)”在處取得最大值，求的取值范圍.
2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期高一年級階段檢測（一）
數(shù)學(xué)
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.【答案】B
【詳解】因為，所以.
2.【答案】A
【詳解】如圖，因，則，
即，解得：.
3.【答案】D
【詳解】向量在向量方向上的投影向量為.
4.【答案】C
【詳解】設(shè)，
當(dāng)與重合時，；
當(dāng)在線段（除）?線段?線段，線段，線段（除）點上運動時，
，所以，
當(dāng)與重合時，，所以，
以為原點，分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
根據(jù)正八邊形的性質(zhì)可知，
則，
直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，
當(dāng)在線段（除）上運動時，設(shè)，
所以，
當(dāng)在線段上運動時，設(shè)，
所以，
當(dāng)在線段（除）上運動時，設(shè)，
所以.
綜上所述，的最小值為.
5.【答案】A
【詳解】由，可得，解得，
又由.
6.【答案】D
【詳解】由兩邊平方得：，而，則，
因此，
所以.
7.【答案】C
【詳解】連接，如下圖所示：
因為，則為圓的一條直徑，故為的中點，
所以，
所以
.
當(dāng)且僅當(dāng)共線且同向時，等號成立，
因此，的最大值為10.
8.【答案】D
【詳解】由
，則
.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分
9.【答案】ABC
【詳解】選項，作為基底的兩個向量一定不共線，零向量與任意向量共線，
因此一定都是非零向量，故A正確；
選項B，，由在同一基底下向量分解的唯一性，得，故B正確；
選項C，在方向上的投影向量為，故C正確；
選項，只要不共線的兩個向量都可以作為基底，所以表示同一平面內(nèi)所有向量的基底是不唯一的，故錯誤；
10.【答案】ACD
【詳解】，
則，
選項正確；
選項錯誤；
，
C選項正確；
由，有，
選項正確.
11.【答案】ABD
【詳解】因為，三角形為黃金三角形，
所以，可得，
由對稱性可知，
，
所以，
，
可知，所以，
所以，即可得，
所以，故選項A正確；
在三角形中，有余弦定理可得，
，故選項B正確；
在上的投影向量為，故選項錯誤；
，
，
，
，
，
，
，具有周期性，
所以
，故選項D正確.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.【答案】
【詳解】，
.
13.【答案】
【詳解】因為，
所以，則，
則，所以，
又因為，所以，
則可設(shè)，則，
又因為，所以，
故又可設(shè)的坐標(biāo)為，
所以，
因此，所以最大值為.
14.【答案】
【詳解】
因為，
所以，
所以，
，
又因為，解得，所以，
而單調(diào)遞減，
所以的取值范圍為.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15.【答案】（1）（2）
【詳解】（1）解：因為，則，
所以.
（2）解：由（1）可得，
因為，則，
可得，
所以
.
16.【答案】（1）（2）.
【詳解】（1）將不等式兩邊同時平方，
得，即
因為，設(shè)與的夾角為，
則恒成立，
所以，
即，解得.
（2）由（1）知，
則，
，則，
則，故與夾角的余弦值為.
17.【答案】（1）；（2）；（3）不存在使得
【詳解】（1）由題意得，
因為，所以，
故；
（2）由（1）得，，故，即，
又，所以，即，
所以；
（3）由（1）得，，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
顯然與不會同時成立，
故，不存在使得.
18.【答案】（1）（2）①；②
【詳解】（1）.
（2）①.
設(shè).由題意得，則
所以
.
因為，則
所以，所以最小值是0，最大值是3，則；
②設(shè)，
則，
所以，由得，
即，整理得，
所以，
所以.
令.
令，
，令
，
，則，即
在上單調(diào)遞增，則
所以的取值范圍是.
19.【答案】（1）存在，或
【詳解】（1）因為
，
所以，函數(shù)存在相伴向量，，
所以，與共線的單位向量為或
.
（2）的“相伴函數(shù)”，
因為在處取得最大值，
所以，當(dāng)，即時，有最大值，
所以，
所以，
因為，
所以，
所以，
令，則，
因為均為上的單調(diào)遞減函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，，
所以，的取值范圍為.

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