TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc5000" 【題型1 相似三角形的應(yīng)用（九章算術(shù)）】 PAGEREF _Tc5000 \h 1
\l "_Tc10329" 【題型2 相似三角形的應(yīng)用（影長問題）】 PAGEREF _Tc10329 \h 3
\l "_Tc19567" 【題型3 相似三角形的應(yīng)用（杠桿問題）】 PAGEREF _Tc19567 \h 4
\l "_Tc26048" 【題型4 相似三角形的應(yīng)用（建筑物問題）】 PAGEREF _Tc26048 \h 6
\l "_Tc16771" 【題型5 相似三角形的應(yīng)用（樹高問題）】 PAGEREF _Tc16771 \h 8
\l "_Tc19910" 【題型6 相似三角形的應(yīng)用（河寬問題）】 PAGEREF _Tc19910 \h 9
\l "_Tc17986" 【題型7 相似三角形的應(yīng)用（內(nèi)接矩形問題）】 PAGEREF _Tc17986 \h 11
【知識點 相似三角形的應(yīng)用】
在實際生活中，我們面對不能直接測量物體的高度和寬度時，可以把它們轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立相似三角形模型，再利用對應(yīng)邊的比相等來達到求解的目的。同時，需要掌握并應(yīng)用一些簡單的相似三角形模型。
【題型1 相似三角形的應(yīng)用（九章算術(shù)）】
【例1】（2021·北京大興·九年級期中）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，在“勾股”章中有這樣一個問題：“今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南門幾步而見木？”用今天的話說，大意是：如圖，DEFG是一座邊長為200步（“步”是古代的長度單位）的正方形小城，東門H位于GD的中點，南門K位于ED的中點，出東門15步的A處有一樹木，求出南門多少步恰好看到位于A處的樹木（即點D在直線AC上）．
【變式1-1】（2022·湖南株洲·九年級期末）《九章算術(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點E，如果測得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD為（ ）米．
A．5B．4C．3D．2
【變式1-2】（2022·河北·二模）《九章算術(shù)》的“勾股”章中有這樣一個問題：“今有邑方不知大小，各中開門．出北門二十步有木，出南門十四步，折而西行一千七百七十五步見木．問邑方幾何？”大意是： 如圖，四邊形EFGH是一座正方形小城，北門A位于FG的中點，南門B位于EH的中點．從北門出去正北方向20步遠的C處有一樹木，從南門出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看見C處的樹木，則正方形小城的邊長為（ ）
A．105步B．200步C．250步D．305步
【變式1-3】（2021·河南·鶴壁市淇濱中學(xué)九年級階段練習(xí)）《海島算經(jīng)》是中國最早的一部測量數(shù)學(xué)著作，由劉徽于三國魏景元四年（公元263年）所撰，本為《九章算術(shù)注》之第十卷，題為《重差》，所有問題都是利用兩次或多次測望所得的數(shù)據(jù)來推算可望而不可及的目標(biāo)的高、深、廣、遠，因首題測算海島的高、遠得名《海島算經(jīng)》，亦為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．
《海島算經(jīng)》中的第4道“望谷”的題目為：今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺．從勺端望谷底，入下股九尺一寸．又設(shè)重矩于上，其矩間相去三丈，更從勺端望谷底，入上股八尺五寸．問谷深幾何？
大致意思是：望一個如圖所示的深谷，深谷的底部為線段MN，在山谷邊緣處放置一個直角三角尺ABC，∠ACB＝90°，AC＝6尺，A，C，N在一條直線上，CN⊥MN，從點A處望山谷底部M處時，視線經(jīng)過BC上的點E處，測得EC長為9尺1寸；將三角尺沿著射線CA方向向上平移3丈得到△A'B'C'，從A'處望山谷底部M處時，視線經(jīng)過B'C'上的點F處，測得FC'長為8尺5寸．求山谷深CN為幾丈．（注：1丈＝10尺，1尺＝10寸）
【題型2 相似三角形的應(yīng)用（影長問題）】
【例2】（2022·浙江金華·九年級期末）如圖，小明在8：30測得某樹的影長為16m，13：00時又測得該樹的影長為4m，若兩次日照的光線互相垂直，則這棵樹的高度為（ ）
A．10mB．8mC．6mD．4m
【變式2-1】（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，公園內(nèi)有一個垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個坡面CQ，坡角∠QCN=30°．在陽光下，小明觀察到在地面上的影長為120cm，在坡面上的影長為180cm．同一時刻，小明測得直立于地面長60cm的木桿的影長為90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．
【變式2-2】（2022·江蘇宿遷·九年級期末）如圖，河對岸有一路燈桿AB，在燈光下，小明在點D處，自己的影長DF=4m，沿BD方向到達點F處再測自己的影長FG=5m，如果小明的身高為1.6m，求路燈桿AB的高度．
【變式2-3】（2022·黑龍江·大慶市慶新中學(xué)八年級期末）如圖,小華在晚上由路燈A走向路燈B，當(dāng)她走到P點時,發(fā)現(xiàn)她身后影子的頂端剛好接觸到路燈A的底部,當(dāng)她向前再步行12m到Q點時，發(fā)現(xiàn)她身前影子的頂端剛好接觸到路燈 B的底部.已知小萌的身高是1.6m，兩路燈的高度都是9.6m，且AP=QB=x m.
(1)求兩路燈之間的距離.
(2)當(dāng)小萌在A，B之間走動時，在兩燈光下的影子長是變化的，那么兩個影子的長的和變嗎?請說明理由.
【題型3 相似三角形的應(yīng)用（杠桿問題）】
【例3】（2022·山東臨沂·二模）如圖，EF是一個杠桿，可繞支點O自由轉(zhuǎn)動，若動力F動和阻力F阻的施力方向都始終保持豎直向下，當(dāng)阻力F阻不變時，則杠桿向下運動時F動的大小變化情況是（ ）

A．越來越小B．不變C．越來越大D．無法確定
【變式3-1】（2019·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，是用杠桿撬石頭的示意圖，C是支點，當(dāng)用力壓杠桿的A端時，杠桿繞C點轉(zhuǎn)動，另一端B向上翹起，石頭就被撬動，現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動，杠桿B端必須向上翹10cm，已知杠桿上的AC與BC長度之比為5:1，則要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的A端向下壓多少厘米？
【變式3-2】一根均勻的木棒OA所受重力G=10N，小亮以木棒的一端O為支點，豎直向上將木棒的另一端A緩慢拉到如圖所示的位置，保持不動，此時拉力為F，若點B為OA的中點，AC，BD分別垂直地面于點C，D，則根據(jù)杠桿平衡原理得拉力F的大小為（ ）
A．5NB．10NC．15ND．20N
【變式3-3】（2021·甘肅白銀·九年級期末）如圖，以點O為支點的杠桿，在A端用豎直向上的拉力將重為G的物體勻速拉起，當(dāng)杠桿OA水平時，拉力為F；當(dāng)杠桿被拉至OA1時，拉力為F1，過點B1作B1C⊥OA，過點A1作A1D⊥OA，垂足分別為點C、D．在下列結(jié)論中：
①△OB1C∽△OA1D；②OA?OC=OB?OD；③OC?G=OD?F1；④F=F1，正確的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
【題型4 相似三角形的應(yīng)用（建筑物問題）】
【例4】（2019·四川·成都市雙流區(qū)立格實驗學(xué)校九年級階段練習(xí)）劉徽，公元3世紀人，是中國歷史上最杰出的數(shù)學(xué)家之一．《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是他留給后世最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)．《海島算經(jīng)》第一個問題的大意是：如圖，要測量海島上一座山峰A的高度AH，立兩根高3丈的標(biāo)桿BC和DE，兩桿之間的距離BD＝1000步，點D、B、H成一線，從B處退行123步到點F處，人的眼睛貼著地面觀察點A，點A、C、F也成一線，從DE退行127步到點G處，從G觀察A點，A，E，G三點也成一線，試計算山峰的高度AH及BH的長（這里古制1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步，結(jié)果用步來表示）．
【變式4-1】（2022·陜西·武功縣教育局教育教學(xué)研究室一模）千佛鐵塔位于陜西省咸陽市之北杜鎮(zhèn)，用純鐵鑄成，中空有梯可攀登，四角柱鑄成金剛力士像，頂立層樓，各層環(huán)周鑄鐵佛多尊，故名“千佛塔”，此塔為中國現(xiàn)存鐵塔中最高的一座．某數(shù)學(xué)興趣小組本著用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的想法，欲測量該塔的高度．如圖，在點C處有一建筑物，小麗同學(xué)站在建筑物上，眼睛位于點D處，她手拿一支長0.5米的竹竿EF，邊觀察邊移動竹竿（竹竿EF始終與地面垂直），當(dāng)移動到如圖所示的位置時，眼睛D與竹竿、塔的頂端E、A共線，同時眼睛D與它們的底端F、B也恰好共線，此時測得∠BDC=63°，小麗的眼睛距竹竿的距離為0.5米，小麗的眼睛距地面的高度CD=17米，已知AB⊥BC，DC⊥BC．請你根據(jù)以上測量結(jié)果計算該塔的高度AB．【參考數(shù)據(jù)：tan63°≈2】
【變式4-2】（2022·陜西·模擬預(yù)測）延安寶塔，是歷史名城延安的標(biāo)志，是革命圣地的象征，坐落在陜西省延安市主城東南的寶塔山景區(qū)內(nèi)．周末，數(shù)學(xué)實踐小組的同學(xué)帶著測量工具測量延安寶塔的高度．測量方案如下：首先，在A處豎立一根高4m的標(biāo)桿AB，發(fā)現(xiàn)地面上的點D、標(biāo)桿頂端B與寶塔頂端M在一條直線上，測得AD=4.3m；然后，移開標(biāo)桿，在A處放置測角儀，調(diào)整測角儀的高度，當(dāng)測角儀高AC為1m時，恰好測得點M的仰角為45°已知MN⊥ND，AB⊥ND，點D、A、N在一條直線上，點A，C、B在一條直線上，求延安寶塔的高MN．
【變式4-3】（2022·陜西西安·一模）“攬月閣”位于西安市雁塔南路最南端，是西安唐文化的標(biāo)志性建筑，陽光明媚的一天，某校九年級一班的興趣小組去測量攬月閣的高度．?dāng)堅麻w前面有個高1米的平臺，身高1.8米的小強在臺上走動，當(dāng)小強走到點C處，小紅蹲在臺下點N處，其視線通過邊緣點M和小強頭頂點D正好看到塔頂A點，測得CM=0.9米，然后小強從正前方跳下后，往前走到點E處，此時發(fā)現(xiàn)小強頭頂F在太陽下的影子恰好和塔頂A在地面上的影子重合于點P處，測得NE=5米，EP=1米．請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)幫助興趣小組求出攬月閣的高度．
【題型5 相似三角形的應(yīng)用（樹高問題）】
【例5】（2011·遼寧大連·中考真題）為了測量校園內(nèi)一棵不可攀的樹的高度，學(xué)校數(shù)學(xué)應(yīng)用實踐小組做了如下的探索：根據(jù)光的反射定律，利用一面鏡子和皮尺，設(shè)計如圖所示的測量方案：把鏡子放在離樹(AB)8.7m的點E處，然后觀測考沿著直線BE后退到點D，這時恰好在鏡子里看到樹梢頂點A，再用皮尺量得DE＝2.7m，觀測者目高CD＝1.6m，則樹高AB約是____．（精確到0.1m）
【變式5-1】（2021·全國·九年級專題練習(xí)）據(jù)《九章算術(shù)》記載：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈西尺，人立木東三里，望木末適與山峰斜平.人目高七尺.問山高幾何？”
大意如下：如圖，今有山AB位于樹CD的西面.山高AB為未知數(shù)，山與樹相距53里，樹高9丈5尺，人站在離樹3里的F處，觀察到樹梢C恰好與山峰A處在同一斜線上，人眼離地7尺，問山AB的高約為多少丈？(1丈=10尺，結(jié)果精確到個位)
【變式5-2】（2022·全國·九年級單元測試）小明想用鏡子測量一棵松樹的高度，但因樹旁有一條河，不能測量鏡子與樹之間的距離，于是他兩次利用鏡子，如圖所示，第一次他把鏡子放在C點，人在F點時正好在鏡子中看到樹尖A；第二次把鏡子放在D點，人在G點正好看到樹尖A．已知小明的眼睛距離地面1.70m，量得CD＝12m，CF＝1.8m，DH＝3.8m．請你求出松樹的高．
【變式5-3】（2021·陜西寶雞·一模）傍晚，小張和媽媽在某公園散步，發(fā)現(xiàn)公園的一路燈旁有一棵古老的大樹，小華激動地說：媽媽，我可以通過測量您的影長，測得媽媽的影長DF＝1.6m．媽媽沿BD的方向到達點F處，此時小華測得媽媽的影長FG＝2m．已知媽媽的身高為1.6m（即CD＝EF＝1.6m），AB⊥BG，CD⊥BG，求這棵大樹的高度．
【題型6 相似三角形的應(yīng)用（河寬問題）】
【例6】（2021·河北·石家莊市第四十一中學(xué)九年級期中）為了估計河的寬度，我們可以在河對岸的岸邊選定一個目標(biāo)記為點A，再在河的這一邊選點B和點C，使得AB⊥BC，CE⊥BC，設(shè)BC與AE交于點D，如圖所示測得BD=120m，DC=40m，EC=30m，那么這條河的大致寬度是（ ）
A．60mB．90mC．100mD．120m
【變式6-1】（2019·全國·九年級單元測試）如圖，為了估計河的寬度，在河的對岸選定一個目標(biāo)點A，在近岸取點B，C，D，E，使點A，B，D在一條直線上，且AD⊥DE，點A，C，E也在一條直線上且DE∥BC．如果BC＝24m，BD＝12m，DE＝40m，則河的寬度AB約為( )
A．20mB．18mC．28mD．30m
【變式6-2】（2022·貴州畢節(jié)·二模）如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸岸邊每隔5m有一棵樹，小華站在離南岸20m的點P處看北岸，在兩棵樹之間的空隙中，恰好看見一條龍舟的龍頭和龍尾（假設(shè)龍頭、龍尾和小華的眼睛位于同一水平平面內(nèi)），已知龍舟的長為18.5m，若龍舟行駛在河的中心，且龍舟與河岸平行，則河寬為_______m．
【變式6-3】（2022·陜西·西安工業(yè)大學(xué)附中九年級期中）為了加快城市發(fā)展，保障市民出行方便，某市在流經(jīng)該市的河流上架起一座橋，連通南北，鋪就城市繁榮之路．小明和小穎想通過自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識計算該橋AF的長．如圖，該橋兩側(cè)河岸平行，他們在河的對岸選定一個目標(biāo)作為點A，再在河岸的這一邊選出點B和點C，分別在AB、AC的延長線上取點D、E，使得DE∥BC．經(jīng)測量，BC＝120米，DE＝210米，且點E到河岸BC的距離為60米．已知AF⊥BC于點F，請你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計算橋AF的長度．
【題型7 相似三角形的應(yīng)用（內(nèi)接矩形問題）】
【例7】（2020·江蘇無錫·九年級期中）一塊直角三角形木板，它的一條直角邊AC長為1cm，面積為1cm2，甲、乙兩人分別按圖①、②把它加工成一個正方形桌面，則①、②中正方形的面積較大的是( )
A．①B．②C．一樣大D．無法判斷
【變式7-1】（2021·遼寧·沈陽市第七中學(xué)九年級期中）如圖有一塊直角邊AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的鐵片，現(xiàn)要把它加工成一個正方形（加工中的損耗忽略不計），則正方形的邊長為（ ）
A．67B．3037C．127D．6037
【變式7-2】（2019·浙江寧波·九年級期末）如圖，已知在RtΔABC中，∠C為直角，AC=5，BC=12，在RtΔABC內(nèi)從左往右疊放邊長為1的正方形小紙片，第一層小紙片的一條邊都在AB上，依次這樣往上疊放上去，則第二層最多能疊放___個正方形小紙片.
【變式7-3】（2021·浙江臺州·九年級期末）一塊材料的形狀是等腰△ABC，底邊 BC=120 cm，高 AD=120 cm．
(1)若把這塊材料加工成正方形零件，使正方形的一邊在 BC 上，其余兩個頂點分別在AB，AC 上（如圖 1），則這個正方形的邊長為多少？
(2)若把這塊材料加工成正方體零件（如圖 2，陰影部分為正方體展開圖），則正方體的表面積為多少？
專題6.5 相似三角形的應(yīng)用【七大題型】
【蘇科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc5000" 【題型1 相似三角形的應(yīng)用（九章算術(shù)）】 PAGEREF _Tc5000 \h 1
\l "_Tc10329" 【題型2 相似三角形的應(yīng)用（影長問題）】 PAGEREF _Tc10329 \h 3
\l "_Tc19567" 【題型3 相似三角形的應(yīng)用（杠桿問題）】 PAGEREF _Tc19567 \h 7
\l "_Tc26048" 【題型4 相似三角形的應(yīng)用（建筑物問題）】 PAGEREF _Tc26048 \h 11
\l "_Tc16771" 【題型5 相似三角形的應(yīng)用（樹高問題）】 PAGEREF _Tc16771 \h 16
\l "_Tc19910" 【題型6 相似三角形的應(yīng)用（河寬問題）】 PAGEREF _Tc19910 \h 19
\l "_Tc17986" 【題型7 相似三角形的應(yīng)用（內(nèi)接矩形問題）】 PAGEREF _Tc17986 \h 23
【知識點 相似三角形的應(yīng)用】
在實際生活中，我們面對不能直接測量物體的高度和寬度時，可以把它們轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立相似三角形模型，再利用對應(yīng)邊的比相等來達到求解的目的。同時，需要掌握并應(yīng)用一些簡單的相似三角形模型。
【題型1 相似三角形的應(yīng)用（九章算術(shù)）】
【例1】（2021·北京大興·九年級期中）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，在“勾股”章中有這樣一個問題：“今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南門幾步而見木？”用今天的話說，大意是：如圖，DEFG是一座邊長為200步（“步”是古代的長度單位）的正方形小城，東門H位于GD的中點，南門K位于ED的中點，出東門15步的A處有一樹木，求出南門多少步恰好看到位于A處的樹木（即點D在直線AC上）．
【答案】20003步
【分析】本題只需要證出△CDK∽△DAH，利用相似三角形的性質(zhì)可以得到：CK100=10015，然后可以求出CK的值，得出答案．
【詳解】解：由題意可知：DE=DG=200，AH＝15
∵H為GD的中點，K為DE的中點
DH＝100，DK＝100
∵AH∥DK
∴∠CDK＝∠A
而∠CKD＝∠AHD
∴△CDK∽△DAH
∴CKDH=DKAH
即CK100=10015，
∴CK=20003
答：出南門20003步恰好看到位于A處的樹木．
【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：本題需要把實際問題抽象到相似三角形中，利用視點和盲區(qū)的知識構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出物體的高度．
【變式1-1】（2022·湖南株洲·九年級期末）《九章算術(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點E，如果測得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD為（ ）米．
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【分析】由題意知：△ABE∽△CDE，得出對應(yīng)邊成比例即可得出CD．
【詳解】解：由題意知：AB∥CD，則∠BAE=∠C，∠B=∠CDE，
∴△ABE∽△CDE，
∴ABCD=AECE，
∴1CD=0.41.6?0.4，
∴CD=3，
經(jīng)檢驗，CD=3是所列方程的解，
故選：C．
【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意得出△ABE∽△CDE是解決問題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2022·河北·二模）《九章算術(shù)》的“勾股”章中有這樣一個問題：“今有邑方不知大小，各中開門．出北門二十步有木，出南門十四步，折而西行一千七百七十五步見木．問邑方幾何？”大意是： 如圖，四邊形EFGH是一座正方形小城，北門A位于FG的中點，南門B位于EH的中點．從北門出去正北方向20步遠的C處有一樹木，從南門出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看見C處的樹木，則正方形小城的邊長為（ ）
A．105步B．200步C．250步D．305步
【答案】C
【分析】此題文字敘述比較多，解題時首先要理解題意，找到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解題，相似三角形的對應(yīng)邊成比例．
【詳解】設(shè)小城的邊長為x步，根據(jù)題意，
Rt△CAF∽Rt△CDM，
∴CACD=FAMD，
即2020+14+x=0.5x1775，
去分母并整理，
得x2+34x-71000=0，
解得x1=250，x2=-284（不合題意，舍去），
∴小城的邊長為250步．
故選：C．
【點睛】本題只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程即可求出小城的邊長．
【變式1-3】（2021·河南·鶴壁市淇濱中學(xué)九年級階段練習(xí)）《海島算經(jīng)》是中國最早的一部測量數(shù)學(xué)著作，由劉徽于三國魏景元四年（公元263年）所撰，本為《九章算術(shù)注》之第十卷，題為《重差》，所有問題都是利用兩次或多次測望所得的數(shù)據(jù)來推算可望而不可及的目標(biāo)的高、深、廣、遠，因首題測算海島的高、遠得名《海島算經(jīng)》，亦為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．
《海島算經(jīng)》中的第4道“望谷”的題目為：今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺．從勺端望谷底，入下股九尺一寸．又設(shè)重矩于上，其矩間相去三丈，更從勺端望谷底，入上股八尺五寸．問谷深幾何？
大致意思是：望一個如圖所示的深谷，深谷的底部為線段MN，在山谷邊緣處放置一個直角三角尺ABC，∠ACB＝90°，AC＝6尺，A，C，N在一條直線上，CN⊥MN，從點A處望山谷底部M處時，視線經(jīng)過BC上的點E處，測得EC長為9尺1寸；將三角尺沿著射線CA方向向上平移3丈得到△A'B'C'，從A'處望山谷底部M處時，視線經(jīng)過B'C'上的點F處，測得FC'長為8尺5寸．求山谷深CN為幾丈．（注：1丈＝10尺，1尺＝10寸）
【答案】山谷深CN為41.9丈．
【分析】根據(jù)題目中的條件，需要兩次利用三角形相似的判定定理及性質(zhì)，證明兩個三角形相似，再利用對應(yīng)邊成比例建立等式，進行求解．
【詳解】：解：由題意知：AC=60寸，EC=91寸，F(xiàn)C'＝85寸，AA'＝300寸．
∵∠EAC=∠MAN,∠ACE=∠ANM，
∴△ACE～△ANM．
∴ACAN=ECMN．
∴60AN=91MN．
∴MN=9160AN．
∵∠FA'C'=∠MA'N,∠A'C'F=∠ANM，
∴△FA'C'～△MA'N．
∴A'C'A'N=FC'MN．
即A'C'A'A+AN=FC'MN．
∴60300+AN=859160AN，
解得：AN=4250
經(jīng)檢驗：AN=4250符合題意，
∴CN=AN?AC=4190寸＝41.9丈．
答：山谷深CN為41.9丈．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定定理及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相似三角形的判定定理及性質(zhì)，根據(jù)對應(yīng)邊成比例建立等式，再通過等量代換進行求解．
【題型2 相似三角形的應(yīng)用（影長問題）】
【例2】（2022·浙江金華·九年級期末）如圖，小明在8：30測得某樹的影長為16m，13：00時又測得該樹的影長為4m，若兩次日照的光線互相垂直，則這棵樹的高度為（ ）
A．10mB．8mC．6mD．4m
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，畫出示意圖，證明△EDC∽△FDC，進而可得EDDC=DCFD，即DC2=ED?FD，代入數(shù)據(jù)可得答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，作△EFC，樹高為CD，且∠ECF=90°，ED=4m，F(xiàn)D=16m；
∵∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°，
∴∠ECD=∠F，
又∠CDE=∠FDC
∴△EDC∽△CDF，
∴EDDC=DCFD，即DC2=ED?FD=4×16=64，
解得CD=8m（負值舍去）．
故選：B．
【點睛】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，公園內(nèi)有一個垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個坡面CQ，坡角∠QCN=30°．在陽光下，小明觀察到在地面上的影長為120cm，在坡面上的影長為180cm．同一時刻，小明測得直立于地面長60cm的木桿的影長為90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．
【答案】(170+603)cm
【分析】延長AD交BN于點E，過點D作DF⊥BN于點F，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF，根據(jù)余弦的定義求出CF，根據(jù)題意求出EF，再根據(jù)題意列出比例式，計算即可．
【詳解】解：延長AD交BN于點E，過點D作DF⊥BN于點F，
在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，
則DF=12CD=90（cm），CF=CD?cs∠DCF=180×32=903（cm），
由題意得：DFEF=6090，即90EF=6090，
解得：EF=135，
∴BE=BC+CF+EF=120+903+135=(255+903)cm，
則AB255+903=6090，
解得：AB=170+603，
答：立柱AB的高度為(170+603)cm．
【點睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題、平行投影的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，正確作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)和成比例線段計算．
【變式2-2】（2022·江蘇宿遷·九年級期末）如圖，河對岸有一路燈桿AB，在燈光下，小明在點D處，自己的影長DF=4m，沿BD方向到達點F處再測自己的影長FG=5m，如果小明的身高為1.6m，求路燈桿AB的高度．
【答案】8m
【分析】在同一時刻物高和影長成正比，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答．
【詳解】解：∵CD∥EF∥AB，
∴可以得到△ABF∽△CDF，△ABG∽△EFG，
∴ABCD=BFDF，ABEF=BGFG，
又∵CD=EF，
∴BFDF=BGFG
∵DF=4，F(xiàn)G=5，BF=BD+DF=BD+4，BG=BD+DF+FG=BD+9，
∴4+BD4=9+BD5，
∴BD=16,BF=16+4=20，
∴AB1.6=204，
解得AB=8．
答：路燈桿AB的高度為8米．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，本題只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)邊成比例就可以求出結(jié)果．
【變式2-3】（2022·黑龍江·大慶市慶新中學(xué)八年級期末）如圖,小華在晚上由路燈A走向路燈B，當(dāng)她走到P點時,發(fā)現(xiàn)她身后影子的頂端剛好接觸到路燈A的底部,當(dāng)她向前再步行12m到Q點時，發(fā)現(xiàn)她身前影子的頂端剛好接觸到路燈 B的底部.已知小萌的身高是1.6m，兩路燈的高度都是9.6m，且AP=QB=x m.
(1)求兩路燈之間的距離.
(2)當(dāng)小萌在A，B之間走動時，在兩燈光下的影子長是變化的，那么兩個影子的長的和變嗎?請說明理由.
【答案】(1)18m
(2)兩個影子的長的和不會變，一直都是3.6m
【分析】（1）連接AC，易證ΔAPD∽ΔABC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出x的值，兩路燈間的距離等于PQ+2x；
（2）根據(jù)題意作出圖形，找出其中的相似三角形，根據(jù)三角形的相思筆即可求出影子的長度和．
（1）
如圖，連接AC，
∵DP⊥AB，CB⊥AB，
∴DP∥CB，
∴ΔAPD∽ΔABC，
∴DPCB=APAB，即：+12，
解得：x=3，
∴AB=2×3+12=18（m）
（2）
如圖，當(dāng)小萌在A，B之間走動時，在A路燈下的影子長度為ON，在B路燈下的影子長度為OM，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，OE⊥OB，
∴AD∥OE∥BC，
∴ΔAND∽ΔONE，ΔBMC∽ΔOME，
∴OEAD=ONAN，OECB=OMBM，
則，，整理得：ON=16AN，OM=16BM，
ON+OM=16(AN+BM)
MN=16(AB+MN)
由（1）得：AB=18m，
∴MN=16(18+MN)，解得：MN=3.6m，
故：兩個影子的長的和不會變，一直都是3.6m
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，要求學(xué)生能根據(jù)題意畫出對應(yīng)圖形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等的原理解決求線段長的問題等，蘊含了數(shù)形結(jié)合的思想方法．
【題型3 相似三角形的應(yīng)用（杠桿問題）】
【例3】（2022·山東臨沂·二模）如圖，EF是一個杠桿，可繞支點O自由轉(zhuǎn)動，若動力F動和阻力F阻的施力方向都始終保持豎直向下，當(dāng)阻力F阻不變時，則杠桿向下運動時F動的大小變化情況是（ ）

A．越來越小B．不變C．越來越大D．無法確定
【答案】B
【分析】由圖證明△MOE∽△NOF，從而得到MENF=MONO，即ME?NO=NF?MO，再根據(jù)題意得出答案．
【詳解】解：∵∠MOE=∠NOF，∠M=∠ONF，
∴△MOE∽△NOF，
∴MENF=MONO，即ME?NO=NF?MO，
∵阻力F阻不變，即ME不變，
又∵OM，ON不變，
∴由ME?NO=NF?MO得，NF不變，即F動的大小不變．
故選：B．
【點睛】本題以實際問題為背景，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，從實際問題中抽離出數(shù)學(xué)圖形，是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2019·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，是用杠桿撬石頭的示意圖，C是支點，當(dāng)用力壓杠桿的A端時，杠桿繞C點轉(zhuǎn)動，另一端B向上翹起，石頭就被撬動，現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動，杠桿B端必須向上翹10cm，已知杠桿上的AC與BC長度之比為5:1，則要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的A端向下壓多少厘米？
【答案】50厘米
【分析】首先根據(jù)題意構(gòu)造出相似三角形，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得端點A向下壓的長度．
【詳解】解：解：如圖；AM、BN都與水平線垂直，即AM∥BN；
易知：△ACM∽△BCN；
∴ACBC=AMBN
∵杠桿的動力臂AC與阻力臂BC之比為5：1，
∴AMBN=51，即AM=5BN；
∴當(dāng)BN≥10cm時，AM≥50cm；
故要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的端點A向下壓50cm．
故答案為50
【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應(yīng)用，正確的構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】一根均勻的木棒OA所受重力G=10N，小亮以木棒的一端O為支點，豎直向上將木棒的另一端A緩慢拉到如圖所示的位置，保持不動，此時拉力為F，若點B為OA的中點，AC，BD分別垂直地面于點C，D，則根據(jù)杠桿平衡原理得拉力F的大小為（ ）
A．5NB．10NC．15ND．20N
【答案】A
【分析】依據(jù)BD∥AC，B是AO的中點，即可得到D是OC的中點，再根據(jù)杠桿平衡原理，可得G×OD=F×OC，進而得出拉力F的大?。?br>【詳解】解：∵BD⊥OC，AC⊥OC，
∴BD∥AC，
∴OBBA=ODDC，
又∵B是AO的中點，即OB=BA，
∴OD=DC，
∴OD=12OC，
根據(jù)杠桿平衡原理，可得G×OD=F×OC，
∴10×12OC=F×OC，
解得F=5(N)，
故選：A．
【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，以及杠桿平衡原理，熟練掌握平行線分線段成比例定理并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.
【變式3-3】（2021·甘肅白銀·九年級期末）如圖，以點O為支點的杠桿，在A端用豎直向上的拉力將重為G的物體勻速拉起，當(dāng)杠桿OA水平時，拉力為F；當(dāng)杠桿被拉至OA1時，拉力為F1，過點B1作B1C⊥OA，過點A1作A1D⊥OA，垂足分別為點C、D．在下列結(jié)論中：
①△OB1C∽△OA1D；②OA?OC=OB?OD；③OC?G=OD?F1；④F=F1，正確的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
【答案】D
【分析】根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行判斷出B1C∥A1D，然后求出△OB1C∽△OA1D，判斷出①正確；
根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可得到②正確；
根據(jù)杠桿平衡原理：動力×動力臂=阻力×阻力臂列式判斷出③正確；
求出F的大小不變，判斷出④正確．
【詳解】∵B1C⊥OA，A1D⊥OA，
∴B1C∥A1D，
∴△OB1C∽△OA1D，故①正確；
∴OCOD=OB1OA1，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，OB=OB1，OA=OA1，
∴OA?OC=OB?OD，故②正確；
由杠桿平衡原理，OC?G=OD?F1，故③正確；
∴F1G=OCOD=OB1OA1=OBOA是定值，
∴F1的大小不變，
∴F=F1，故④正確．
綜上所述，說法正確的是①②③④．
故選：D．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，杠桿平衡原理，熟練掌握相似三角形的判定方法和性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．
【題型4 相似三角形的應(yīng)用（建筑物問題）】
【例4】（2019·四川·成都市雙流區(qū)立格實驗學(xué)校九年級階段練習(xí)）劉徽，公元3世紀人，是中國歷史上最杰出的數(shù)學(xué)家之一．《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是他留給后世最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)．《海島算經(jīng)》第一個問題的大意是：如圖，要測量海島上一座山峰A的高度AH，立兩根高3丈的標(biāo)桿BC和DE，兩桿之間的距離BD＝1000步，點D、B、H成一線，從B處退行123步到點F處，人的眼睛貼著地面觀察點A，點A、C、F也成一線，從DE退行127步到點G處，從G觀察A點，A，E，G三點也成一線，試計算山峰的高度AH及BH的長（這里古制1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步，結(jié)果用步來表示）．
【答案】AH為1255步，HB為30750步
【分析】根據(jù)題意得出△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG，進而利用相似三角形的性質(zhì)求出即可．
【詳解】解：由題意，得，AH⊥HG，CB⊥HG，
∴∠AHF＝90°，∠CBF＝90°，
∴∠AHF＝∠CBF，
∵∠AFB＝∠CFB，
∴△CBF∽△AHF，
∴BCAH=BFHF
同理可得DEHA=DGHG
∵BF＝123，BD＝1000，DG＝127，
∴HF＝HB+123，HG＝HB+1000+127＝HB+1127，BC＝DE＝3丈＝3×53＝5步，
∴5HA=123HB+123,5HA=127HB+1127
解得HB＝30750，HA＝1255步，
答：AH為1255步，HB為30750步．
【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定和性質(zhì)．
【變式4-1】（2022·陜西·武功縣教育局教育教學(xué)研究室一模）千佛鐵塔位于陜西省咸陽市之北杜鎮(zhèn)，用純鐵鑄成，中空有梯可攀登，四角柱鑄成金剛力士像，頂立層樓，各層環(huán)周鑄鐵佛多尊，故名“千佛塔”，此塔為中國現(xiàn)存鐵塔中最高的一座．某數(shù)學(xué)興趣小組本著用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的想法，欲測量該塔的高度．如圖，在點C處有一建筑物，小麗同學(xué)站在建筑物上，眼睛位于點D處，她手拿一支長0.5米的竹竿EF，邊觀察邊移動竹竿（竹竿EF始終與地面垂直），當(dāng)移動到如圖所示的位置時，眼睛D與竹竿、塔的頂端E、A共線，同時眼睛D與它們的底端F、B也恰好共線，此時測得∠BDC=63°，小麗的眼睛距竹竿的距離為0.5米，小麗的眼睛距地面的高度CD=17米，已知AB⊥BC，DC⊥BC．請你根據(jù)以上測量結(jié)果計算該塔的高度AB．【參考數(shù)據(jù)：tan63°≈2】
【答案】該塔的高度AB為34米
【分析】過點D作DG⊥AB于點G，交EF于點H，再根據(jù)EF∥AB可得出△DAB∽△DEF，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求出AB的長．
【詳解】過點D作DG⊥AB于點G，交EF于點H，如圖．
易得DG=BC，DH⊥EF，DH=0.5米．
∵CD=17米，∠BDC=63°，∠C=90°，tan63°≈2，
∴BCCD=2，∴BC=34米，即DG=34米．
∵EF∥AB，
∴∠DEF=∠A，∠DFE=∠DBA，
∴△DAB∽△DEF，
∴ABEF=DGDH，即AB0.5=340.5，
解得AB=34米，
即該塔的高度AB為34米．
【點睛】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2022·陜西·模擬預(yù)測）延安寶塔，是歷史名城延安的標(biāo)志，是革命圣地的象征，坐落在陜西省延安市主城東南的寶塔山景區(qū)內(nèi)．周末，數(shù)學(xué)實踐小組的同學(xué)帶著測量工具測量延安寶塔的高度．測量方案如下：首先，在A處豎立一根高4m的標(biāo)桿AB，發(fā)現(xiàn)地面上的點D、標(biāo)桿頂端B與寶塔頂端M在一條直線上，測得AD=4.3m；然后，移開標(biāo)桿，在A處放置測角儀，調(diào)整測角儀的高度，當(dāng)測角儀高AC為1m時，恰好測得點M的仰角為45°已知MN⊥ND，AB⊥ND，點D、A、N在一條直線上，點A，C、B在一條直線上，求延安寶塔的高MN．
【答案】延安寶塔的高MN為44m．
【分析】根據(jù)已知條件推出ΔMND～ΔBAD，得到MNAB=DNDA，即可求得．
【詳解】解：過點C作CE⊥MN于點E，則CE=AN，EN=AC=1，
∵∠MCE=45°，
∴ME=CE．
∴ME=CE=AN=MN?1，
∠MND=∠BAD，∠MDN=∠BDA，
∴ΔMND～ΔBAD，
∴MNAB=DNDA，即MN4=MN?1+4.34.3，
∴MN=44
∴延安寶塔的高MN為44m．
【點睛】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，證明ΔMND～ΔBAD是解決本題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2022·陜西西安·一模）“攬月閣”位于西安市雁塔南路最南端，是西安唐文化的標(biāo)志性建筑，陽光明媚的一天，某校九年級一班的興趣小組去測量攬月閣的高度．?dāng)堅麻w前面有個高1米的平臺，身高1.8米的小強在臺上走動，當(dāng)小強走到點C處，小紅蹲在臺下點N處，其視線通過邊緣點M和小強頭頂點D正好看到塔頂A點，測得CM=0.9米，然后小強從正前方跳下后，往前走到點E處，此時發(fā)現(xiàn)小強頭頂F在太陽下的影子恰好和塔頂A在地面上的影子重合于點P處，測得NE=5米，EP=1米．請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)幫助興趣小組求出攬月閣的高度．
【答案】99米
【分析】過點M作MQ⊥AB于點Q，則四邊形QBNM為矩形，設(shè)AB的長為x，則AQ=x?1，根據(jù)DC⊥MQ,AQ⊥MQ，可得△AQM∽△DCM，進而求得MQ的長度，即BN的長度，根據(jù)AB∥EF，可得△PEF∽△PBA，進而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，解方程求解即可求出攬月閣的高度．
【詳解】解：如圖，過點M作MQ⊥AB于點Q，
∵AB⊥BN,MN⊥BN
∴四邊形QBNM為矩形，
設(shè)AB的長為x，則AQ=x?1，
∵ DC⊥MQ,AQ⊥MQ
∴AQ∥DC
∴ △AQM∽△DCM
∴ AQDC=QMCM
∵AQ=x?1,DC=1.8,CM=0.9
∴QM=AQ?CMDC=x?1×?12
∴BN=QM=x?12
∵ AB∥EF
∴ △PEF∽△PBA
∴ABEF=PBPE
∵EF=1.9,PB=PE+NE+BN=1+5+x?12=x+112
∴x1.8=x+1121
解得x=99
∴攬月閣的高度為99米
【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
【題型5 相似三角形的應(yīng)用（樹高問題）】
【例5】（2011·遼寧大連·中考真題）為了測量校園內(nèi)一棵不可攀的樹的高度，學(xué)校數(shù)學(xué)應(yīng)用實踐小組做了如下的探索：根據(jù)光的反射定律，利用一面鏡子和皮尺，設(shè)計如圖所示的測量方案：把鏡子放在離樹(AB)8.7m的點E處，然后觀測考沿著直線BE后退到點D，這時恰好在鏡子里看到樹梢頂點A，再用皮尺量得DE＝2.7m，觀測者目高CD＝1.6m，則樹高AB約是____．（精確到0.1m）
【答案】5.2
【詳解】如圖容易知道CD⊥BD，AB⊥BE，即∠CDE=∠ABE=90°．由光的反射原理可知∠CED=∠AEB，這樣可以得到△CED∽△AEB，然后利用對應(yīng)邊成比例就可以求出AB．
解：由題意知∠CED=∠AEB，∠CDE=∠ABE=90°，
∴△CED∽△AEB．
∴CDDE=ABBE，∴，
∴AB≈5.2米．
故答案為5.2m．
【變式5-1】（2021·全國·九年級專題練習(xí)）據(jù)《九章算術(shù)》記載：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈西尺，人立木東三里，望木末適與山峰斜平.人目高七尺.問山高幾何？”
大意如下：如圖，今有山AB位于樹CD的西面.山高AB為未知數(shù)，山與樹相距53里，樹高9丈5尺，人站在離樹3里的F處，觀察到樹梢C恰好與山峰A處在同一斜線上，人眼離地7尺，問山AB的高約為多少丈？(1丈=10尺，結(jié)果精確到個位)
【答案】由AB的高約為165丈.
【分析】由題意得BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，過點E作EG⊥AB于點G，交CD于點H，得 BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出.
【詳解】解：由題意得BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里.
如圖，過點E作EG⊥AB于點G，交CD于點H.
則BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，
∵CD//AB，
∴ △ ECH∽ △ EAG，
∴CHAG=EHEG，
∴95?7AG=33+53
∴AG≈164.3丈，AB=AG+0.7≈165丈.
答：由AB的高約為165丈.
【點睛】此題主要考查了相似三角形在實際生活中的應(yīng)用，能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化成相似三角形是解題的關(guān)鍵.
【變式5-2】（2022·全國·九年級單元測試）小明想用鏡子測量一棵松樹的高度，但因樹旁有一條河，不能測量鏡子與樹之間的距離，于是他兩次利用鏡子，如圖所示，第一次他把鏡子放在C點，人在F點時正好在鏡子中看到樹尖A；第二次把鏡子放在D點，人在G點正好看到樹尖A．已知小明的眼睛距離地面1.70m，量得CD＝12m，CF＝1.8m，DH＝3.8m．請你求出松樹的高．
【答案】這棵古松的高約為10.2米.
【分析】根據(jù)反射定律可以推出∠ACB=∠ECF，∠ADB=∠DGH，所以可得△BAC∽△FEC、△ADB∽△GDH，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答．
【詳解】解：根據(jù)反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠ADB＝∠GDH，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，
∴△BAC∽△FEC、△ADB∽△GDF，
設(shè)AB＝x，BC＝y(tǒng)
∴1.70x=+12，
解得x=10.2y=10.8．
答；這棵古松的高約為10.2米
【變式5-3】（2021·陜西寶雞·一模）傍晚，小張和媽媽在某公園散步，發(fā)現(xiàn)公園的一路燈旁有一棵古老的大樹，小華激動地說：媽媽，我可以通過測量您的影長，測得媽媽的影長DF＝1.6m．媽媽沿BD的方向到達點F處，此時小華測得媽媽的影長FG＝2m．已知媽媽的身高為1.6m（即CD＝EF＝1.6m），AB⊥BG，CD⊥BG，求這棵大樹的高度．
【答案】8米
【分析】在同一時刻物高和影長成正比，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答．
【詳解】解：∵CD∥EF∥AB，
∴△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，
∴CDAB=DFBF，EFAB=FGBG，
又∵CD＝EF，CD=DF
∴EFAB=GFAB+GF
∵DF＝1.6m，F(xiàn)G＝2m，
∴1.6AB=2AB+2
解得，AB＝8．
答：這棵大樹的高度是8m．
【點睛】本題考查了相似三角形的有關(guān)知識，能夠借助兩組三角形相似求解是解決問題的關(guān)鍵．
【題型6 相似三角形的應(yīng)用（河寬問題）】
【例6】（2021·河北·石家莊市第四十一中學(xué)九年級期中）為了估計河的寬度，我們可以在河對岸的岸邊選定一個目標(biāo)記為點A，再在河的這一邊選點B和點C，使得AB⊥BC，CE⊥BC，設(shè)BC與AE交于點D，如圖所示測得BD=120m，DC=40m，EC=30m，那么這條河的大致寬度是（ ）
A．60mB．90mC．100mD．120m
【答案】B
【分析】證明△DEC∽△DAB即可．
【詳解】∵AB⊥BC，CE⊥BC，
∴∠DBA=∠DCE，
∵∠BDA=∠CDE，
∴△DEC∽△DAB,
∴DC：DB=EC：AB，
∵BD=120m，DC=40m，EC=30m，
∴40：120=30：AB，
∴AB=90（m）,
故選B．
【點睛】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形相似的判定定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2019·全國·九年級單元測試）如圖，為了估計河的寬度，在河的對岸選定一個目標(biāo)點A，在近岸取點B，C，D，E，使點A，B，D在一條直線上，且AD⊥DE，點A，C，E也在一條直線上且DE∥BC．如果BC＝24m，BD＝12m，DE＝40m，則河的寬度AB約為( )
A．20mB．18mC．28mD．30m
【答案】B
【分析】證明△ABC∽△ADE，利用相似比得到BCDE=ABAB+BD，然后根據(jù)比例的性質(zhì)求AB的長度．
【詳解】∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴BCDE=ABAB+BD，
即2440=ABAB+12，
∴AB=18m．
故選B．
【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：利用影長測量物體的高度；利用相似測量河的寬度（測量距離）；借助標(biāo)桿或直尺測量物體的高度．
【變式6-2】（2022·貴州畢節(jié)·二模）如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸岸邊每隔5m有一棵樹，小華站在離南岸20m的點P處看北岸，在兩棵樹之間的空隙中，恰好看見一條龍舟的龍頭和龍尾（假設(shè)龍頭、龍尾和小華的眼睛位于同一水平平面內(nèi)），已知龍舟的長為18.5m，若龍舟行駛在河的中心，且龍舟與河岸平行，則河寬為_______m．
【答案】108
【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，過點P作PF⊥CD于點F，交AB于點E，證明△PAB∽△PCD，再借助相似三角形的性質(zhì)計算PF的長，再由題意計算河寬即可．
【詳解】解：根據(jù)題意畫出示意圖，過點P作PF⊥CD于點F，交AB于點E，
由題意可知，兩樹之間的距離AB=5m，龍舟的長CD=18.5m，點P到南岸的距離PE=20m，
∵AB//CD，
∴△PAB∽△PCD，
∴PEPF=ABCD，即20PF=518.5，
∴PF=74m，
∴EF=PF?PE=74?20=54m，
∵龍舟行駛在河的中心，
∴河寬為54×2=108m．
故答案為：108．
【點睛】本題主要考查了利用相似三角形解決實際問題，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意作出示意圖，構(gòu)建相似三角形．
【變式6-3】（2022·陜西·西安工業(yè)大學(xué)附中九年級期中）為了加快城市發(fā)展，保障市民出行方便，某市在流經(jīng)該市的河流上架起一座橋，連通南北，鋪就城市繁榮之路．小明和小穎想通過自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識計算該橋AF的長．如圖，該橋兩側(cè)河岸平行，他們在河的對岸選定一個目標(biāo)作為點A，再在河岸的這一邊選出點B和點C，分別在AB、AC的延長線上取點D、E，使得DE∥BC．經(jīng)測量，BC＝120米，DE＝210米，且點E到河岸BC的距離為60米．已知AF⊥BC于點F，請你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計算橋AF的長度．
【答案】橋AF的長度為80米．
【分析】過E作EG⊥BC于G，依據(jù)△ABC∽△ADE，即可得出ACEC=43，依據(jù)△ACF∽△ECG，即可得到AFEG=ACEC，進而得出AF的長．
【詳解】解：如圖所示，過E作EG⊥BC于G，
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴ACAE＝BCDE =120210=47，
∴ACEC=43，
∵AF⊥BC，EG⊥BC，
∴AF∥EG，
∴△ACF∽△ECG，
∴AFEG=ACEC，即AF60=43，
解得AF=80，
∴橋AF的長度為80米．
【點睛】本題主要考查了利用相似測量河的寬度（測量距離）．測量不能直接到達的兩點間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點應(yīng)在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構(gòu)造直角三角形．方法是通過測量易于測量的線段，利用三角形相似，對應(yīng)邊成比例可求出河的寬度．
【題型7 相似三角形的應(yīng)用（內(nèi)接矩形問題）】
【例7】（2020·江蘇無錫·九年級期中）一塊直角三角形木板，它的一條直角邊AC長為1cm，面積為1cm2，甲、乙兩人分別按圖①、②把它加工成一個正方形桌面，則①、②中正方形的面積較大的是( )
A．①B．②C．一樣大D．無法判斷
【答案】A
【分析】分別利用平行線分線段成比例及相似三角形的判定及性質(zhì)求出兩個正方形的邊長，然后利用正方形的面積公式求出面積，然后進行比較即可．
【詳解】解：由AC長為1cm，△ABC的面積為1cm2，可得BC=2cm，
如圖①，設(shè)加工桌面的邊長為xc m，
∵DE//CB，
∴ DEBC=ADAC，
即x2=1?x1，
解得：x=23(cm)；
如圖②，設(shè)加工桌面的邊長為y cm，
過點C作CM⊥AB，分別交DE、AB于點N、M，
∵AC=1cm，BC=2cm，
∴AB=AC2+BC2=5，
∵△ABC的面積為1cm2，
∴CM=255cm，
∵DE//AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴ DEAB=CNCM，
即y5=255?y255，
解得：y=257cm，
∵x2=49=2045，y2=2049，
∴x2>y2，
即S1>S2，
故選：A．
【點睛】本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握平行線分線段成比例及相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2021·遼寧·沈陽市第七中學(xué)九年級期中）如圖有一塊直角邊AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的鐵片，現(xiàn)要把它加工成一個正方形（加工中的損耗忽略不計），則正方形的邊長為（ ）
A．67B．3037C．127D．6037
【答案】D
【分析】過點B作BP⊥AC，垂足為P，BP交DE于Q，三角形的面積公式求出BP的長度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，設(shè)邊長DE＝x，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出x的長度可得．
【詳解】如圖，過點B作BP⊥AC，垂足為P，BP交DE于Q．
∵S△ABC＝12?AB?BC＝12?AC?BP，
∴BP＝AB?BCAC＝3×45＝125．
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴DEAC＝BQBP．
設(shè)DE＝x，則有：x5＝125?x125，
解得x＝6037，
故選：D．
【點睛】本題主要考查把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程即可求出邊長，熟練掌握對應(yīng)高的比等于相似比是關(guān)鍵．
【變式7-2】（2019·浙江寧波·九年級期末）如圖，已知在RtΔABC中，∠C為直角，AC=5，BC=12，在RtΔABC內(nèi)從左往右疊放邊長為1的正方形小紙片，第一層小紙片的一條邊都在AB上，依次這樣往上疊放上去，則第二層最多能疊放___個正方形小紙片.
【答案】7
【分析】求出AB的長后，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出EF的長度，從而判定可放置的正方形的個數(shù).
【詳解】
解：由勾股定理得：AB=52+122=13．
由三角形的面積計算公式可知：△ABC的AB邊上的高=5×1213=6013．
如圖所示：根據(jù)題意有：△CAB∽△CEF
∴EFAB=6013?26013=1730
∴EF=13×1730=71130
∴第二層可放置7個小正方形紙片．
故答案為7.
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定、正方形的性質(zhì)等問題，解題的關(guān)鍵是在掌握所學(xué)知識點的同時，要具有綜合分析問題、解決問題的能力．
【變式7-3】（2021·浙江臺州·九年級期末）一塊材料的形狀是等腰△ABC，底邊 BC=120 cm，高 AD=120 cm．
(1)若把這塊材料加工成正方形零件，使正方形的一邊在 BC 上，其余兩個頂點分別在AB，AC 上（如圖 1），則這個正方形的邊長為多少？
(2)若把這塊材料加工成正方體零件（如圖 2，陰影部分為正方體展開圖），則正方體的表面積為多少？
【答案】(1)這個正方形的邊長為60cm；
(2)正方體的表面積為3456cm2
【分析】（1）設(shè)正方形的邊長為xcm，證明△AEH∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)得到AKAD=EHBC，然后代值求出x值即可；
（2）設(shè)正方體的棱長為acm，同樣證明△AMN∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)得到APAD=MNBC，然后代值求出a值即可．
(1)
解：設(shè)正方形的邊長為xcm，
∵四邊形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，EF=EH=xcm，又AD⊥BC，
∴∠AEH=∠ABC，∠AHE=∠ACB，AD⊥EH，DK=EF=xcm，
∴△AEH∽△ABC，
∴AKAD=EHBC，
∵BC=120 cm， AD=120 cm，
∴120?x120=x120，
解得：x=60，
答：方形的邊長為60cm；
(2)
解：設(shè)正方體的棱長為acm，
由題意知：MN∥BC，AP⊥MN，MN=a，PD=4a，
∴△AMN∽△ABC，
∴APAD=MNBC，即120?4a120=a120，
解得：a=24
∴正方體的表面積為6×242=3456cm2．
【點睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用舉例，涉及正方形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、正方體的展開圖和表面積等知識，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．

相關(guān)試卷

蘇科版九年級數(shù)學(xué)下冊專題6.5相似三角形的應(yīng)用【七大題型】(原卷版+解析)：

這是一份蘇科版九年級數(shù)學(xué)下冊專題6.5相似三角形的應(yīng)用【七大題型】(原卷版+解析)，共40頁。

蘇科版九年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三專題6.1成比例線段【七大題型】(原卷版+解析)：

這是一份蘇科版九年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三專題6.1成比例線段【七大題型】(原卷版+解析)，共23頁。

蘇科版九年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三專題5.1二次函數(shù)的定義【七大題型】(原卷版+解析)：

這是一份蘇科版九年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三專題5.1二次函數(shù)的定義【七大題型】(原卷版+解析)，共23頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

蘇科版八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三專題特訓(xùn)專題8.1認識概率【七大題型】(原卷版+解析)

蘇科版八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三專題特訓(xùn)專題8.1認識概率【七大題型】(原卷版+解析)
專題6.5 相似三角形的應(yīng)用【九大題型】-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列（蘇科版）

專題6.5 相似三角形的應(yīng)用【九大題型】-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列（蘇科版）
初中數(shù)學(xué)人教版九年級下冊第二十七章 相似27.1 圖形的相似當(dāng)堂檢測題

初中數(shù)學(xué)人教版九年級下冊第二十七章 相似27.1 圖形的相似當(dāng)堂檢測題
專題27.5 相似三角形的應(yīng)用【七大題型】（原卷版+解析版）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列（人教版）

專題27.5 相似三角形的應(yīng)用【七大題型】（原卷版+解析版）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列（人教版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部