TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc24517" 【題型1 二次函數(shù)的識別】 PAGEREF _Tc24517 \h 1
\l "_Tc22857" 【題型2 由二次函數(shù)的定義求字母的值】 PAGEREF _Tc22857 \h 2
\l "_Tc13671" 【題型3 二次函數(shù)的一般形式】 PAGEREF _Tc13671 \h 2
\l "_Tc322" 【題型4 判斷二次函數(shù)的關系式】 PAGEREF _Tc322 \h 3
\l "_Tc3710" 【題型5 列二次函數(shù)的關系式（增長率問題）】 PAGEREF _Tc3710 \h 4
\l "_Tc8205" 【題型6 列二次函數(shù)的關系式（銷售問題）】 PAGEREF _Tc8205 \h 5
\l "_Tc23690" 【題型7 列二次函數(shù)的關系式（幾何問題）】 PAGEREF _Tc23690 \h 6
【知識點1 二次函數(shù)的概念】
一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c
是常量，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項．y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二
次函數(shù)的一般形式．
【題型1 二次函數(shù)的識別】
【例1】（2022秋?香坊區(qū)校級月考）下列函數(shù)是二次函數(shù)的有（ ）
①y＝（x+1）2﹣x2；
②y＝﹣3x2+5；
③y＝x3﹣2x；
④y＝x2?1x+3．
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式1-1】（2022?新城區(qū)校級模擬）觀察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x；④y＝x3﹣2x；⑤y＝x2?1x+3；⑥y＝（x+1）2﹣x2．這六個式子中二次函數(shù)有（ ）個
A．2B．3C．4D．5
【變式1-2】（2022春?西湖區(qū)校級月考）下列各式中，一定是二次函數(shù)的有（ ）
①y2＝2x2﹣4x+3；②y＝4﹣3x+7x2；③y=1x2?3x+5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax2+bx+c；⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2x2+4x﹣3．
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式1-3】（2022秋?葫蘆島月考）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的有（ ）
①y=x2+2；②y＝﹣x2﹣3x；③y＝x（x2+x+1）；④y=11+x2；⑤y＝﹣x+x2．
A．1個B．2個C．3個D．4個
【題型2 由二次函數(shù)的定義求字母的值】
【例2】（2022秋?天津期末）若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是關于x的二次函數(shù)，則a的值是（ ）
A．1B．﹣5C．﹣1D．﹣5或﹣1
【變式2-1】（2022?武山縣校級一模）若函數(shù)y＝（m2+m）xm2?2m?1是二次函數(shù)，那么m的值是（ ）
A．2B．﹣1或3C．3D．?1±2
【變式2-2】（2022秋?萊蕪區(qū)期中）若拋物線y=(m?3)xm2?5m+8+2x?3是關于x的二次函數(shù)，那么m的值是（ ）
A．3B．﹣2C．2D．2或3
【變式2-3】函數(shù)y＝（a﹣5）xa2+4a+5+2x﹣1，當a＝ 時，它是一次函數(shù)；當a＝ 時，它是二次函數(shù)．
【題型3 二次函數(shù)的一般形式】
【例3】（2022秋?遂溪縣校級期中）關于函數(shù)y＝（500﹣10x）（40+x），下列說法不正確的是（ ）
A．y是x的二次函數(shù)B．二次項系數(shù)是﹣10
C．一次項是100D．常數(shù)項是20000
【變式3-1】（2022秋?新昌縣期末）若二次函數(shù)y＝（2x﹣1）2+1的二次項系數(shù)為a，一次項系數(shù)為b，常數(shù)項為c，則b2﹣4ac 0（填寫“＞”或“＜”或“＝”）
【變式3-2】已知y＝（m2﹣m）xm2?2m?1+（m﹣3）x+m2是關于x的二次函數(shù)，求出它的解析式，并寫出其二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項．
【變式3-3】指出下列函數(shù)中哪些是二次函數(shù)，如果是二次函數(shù)，寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項：
（1）y＝2x+1；
（2）y＝2x2+1；
（3）y＝x（2﹣x）
（4）y=12（x﹣1）2?52；
（5）y=83x2；
（6）y＝x2（x﹣1）﹣1．
【題型4 判斷二次函數(shù)的關系式】
【例4】（2021秋?龍鳳區(qū)期末）下列具有二次函數(shù)關系的是（ ）
A．正方形的周長y與邊長x
B．速度一定時，路程s與時間t
C．正方形的面積y與邊長x
D．三角形的高一定時，面積y與底邊長x
【變式4-1】（2022秋?紅山區(qū)校級月考）下列關系中，是二次函數(shù)關系的是（ ）
A．當距離S一定時，汽車行駛的時間t與速度v之間的關系
B．在彈性限度時，彈簧的長度y與所掛物體的質(zhì)量x之間的關系
C．圓的面積S與圓的半徑r之間的關系
D．正方形的周長C與邊長a之間的關系
【變式4-2】（2022秋?沂源縣期中）在下列4個不同的情境中，兩個變量所滿足的函數(shù)關系屬于二次函數(shù)關系的有（ ）
①設正方形的邊長為x面積為y，則y與x有函數(shù)關系；
②x個球隊參加比賽，每兩個隊之間比賽一場，則比賽的場次數(shù)y與x之間有函數(shù)關系；
③設正方體的棱長為x，表面積為y，則y與x有函數(shù)關系；
④若一輛汽車以120km/h的速度勻速行駛，那么汽車行駛的里程y（km）與行駛時間x（h）有函數(shù)關系．
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式4-3】（2022秋?海淀區(qū)校級月考）邊長為5的正方形ABCD，點F是BC上一動點，過對角線交點E作EG⊥EF，交CD于點G，設BF的長為x，△EFG的面積為y，則y與x滿足的函數(shù)關系是（ ）
A．正比例函數(shù)B．一次函數(shù)C．二次函數(shù)D．以上都不是
【知識點2 根據(jù)實際問題列二次函數(shù)表達式的步驟】
理解題意：找出實際問題中的已知量和変量（自變量，因變量），將文字或圖形語言轉化為數(shù)學語言；
分析關系：找到已知量和變量之間的關系，列出等量關系式；
列函數(shù)表達式：設出表示變量的字母，把等量關系式用含字母的式子替換，將表達式寫成用自變量表示的函數(shù)的形式.
【題型5 列二次函數(shù)的關系式（增長率問題）】
【例5】（2022秋?天津期末）據(jù)省統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)，合肥市2021年第一季度GDP總值約為2.4千億元人民幣，若我市第三季度GDP總值為y千億元人民幣，平均每個季度GDP增長的百分率為x，則y關于x的函數(shù)表達式是（ ）
A．y＝2.4（1+2x）
B．y＝2.4（1﹣x）2
C．y＝2.4（1+x）2
D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）
【變式5-1】（2022秋?大興區(qū)期中）某種商品的價格是2元，準備進行兩次降價．如果每次降價的百分率都是x，經(jīng)過兩次降價后的價格y（單位：元）隨每次降價的百分率x的變化而變化，則y關于x的函數(shù)解析式是（ ）
A．y＝2（x+1）2B．y＝2（1﹣x）2C．y＝（x+1）2D．y＝（x﹣1）2
【變式5-2】（2022秋?西山區(qū)校級期中）某農(nóng)機廠四月份生產(chǎn)零件60萬個，設該廠第二季度平均每月的增長率為x，如果第二季度共生產(chǎn)零件y萬個，那么y與x滿足的函數(shù)關系式是（ ）
A．y＝60（1+x）2
B．y＝60+60（1+x）+60（1+x）2
C．y＝60（1+x）+60（1+x）2
D．y＝60+60（1+x）
【變式5-3】（2022秋?金寨縣期末）共享單車為市民出行帶來了方便，某單車公司第一個月投放a輛單車，計劃第三個月投放單車y輛，若第二個月的增長率是x，第三個月的增長率是第二個月的兩倍，那么y與x的函數(shù)關系是（ ）
A．y＝a（1+x）（1+2x）B．y＝a（1+x）2
C．y＝2a（1+x）2D．y＝2x2+a
【題型6 列二次函數(shù)的關系式（銷售問題）】
【例6】（2022秋?肥城市期末）某商品的進價為每件60元，現(xiàn)在的售價為每件80元，每星期可賣出200件．市場調(diào)查反映：如調(diào)整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件．則每星期售出商品的利潤y（單位：元）與每件漲價x（單位：元）之間的函數(shù)關系式是（ ）
A．y＝200﹣10xB．y＝（200﹣10x）（80﹣60﹣x）
C．y＝（200+10x）（80﹣60﹣x）D．y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）
【變式6-1】（2022秋?朝陽期中）某農(nóng)產(chǎn)品市場經(jīng)銷一種銷售成本為40元的水產(chǎn)品．據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克；銷售單價每漲2元，月銷售量就減少10千克．設每千克漲x元，月銷售利潤為y元，則y與x的函數(shù)關系式為（ ）
A．y＝（50+x﹣40）（500﹣10x）B．y＝（x+40）（ 10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣5（ x﹣50）]D．y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）
【變式6-2】（2022秋?西陵區(qū)期末）某文學書的售價為每本30元，每星期可賣出200本，書店準備在年終進行降價促銷．經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，單價每下降2元，每星期可多賣出10本．設每本書降價x元后，每星期售出此文學書的銷售額為y元，則y與x之間的函數(shù)關系式為（ ）
A．y＝（30﹣x）（200+10x）B．y＝（30﹣x）（200+5x）
C．y＝（30﹣x）（200﹣10x）D．y＝（30﹣x）（200﹣5x）
【變式6-3】（2022秋?阜陽月考）“抖音直播帶貨”已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式，某抖音主播代銷某一品牌的電子產(chǎn)品（這里代銷指廠家先免費提供貨源，待貨物銷售后再進行結算，未售出的由廠家負責處理）．銷售中發(fā)現(xiàn)每件售價99元時，日銷售量為200件，當每件電子產(chǎn)品每下降5元時，日銷售量會增加10件．已知每售出1件電子產(chǎn)品，該主播需支付廠家和其他費用共50元，設每件電子產(chǎn)品售價為x（元），主播每天的利潤為w（元），則w與x之間的函數(shù)解析式為（ ）
A．w＝（99﹣x）[200+10（x﹣50）]
B．w＝（x﹣50）[200+10（99﹣x）]
C．w＝（x﹣50）（200+x?995×10）
D．w＝（x﹣50）（200+99?x5×10）
【題型7 列二次函數(shù)的關系式（幾何問題）】
【例7】（2022秋?交城縣期中）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，CE⊥BD，CE=12BD．若△ABD的周長為20cm，則△BCD的面積S（cm2）與AB的長x（cm）之間的函數(shù)關系式可以是（ ）
A．S=14x2?10x+100B．S＝2x2﹣40x+200
C．S＝x2﹣20x+100D．S＝x2+20x+100
【變式7-1】（2022?江夏區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E為AC邊上的點且AE＝2EC，點D在BC邊上且滿足BD＝DE，設BD＝y(tǒng)，S△ABC＝x，則y與x的函數(shù)關系式為（ ）
A．y=1810x2+52B．y=4810x2+52
C．y=1810x2+2D．y=4810x2+2
【變式7-2】（2022秋?鄞州區(qū)期末）一副三角板（△BCM和△AEG）如圖放置，點E在BC上滑動，AE交BM于D，EG交MC于F，且在滑動過程中始終保持EF＝DE．若MB＝4，設BE＝x，△EFC的面積為y，則y關于x的函數(shù)表達式是（ ）
A．y＝23xB．y＝23x+1
C．y＝x（43?x）D．y=12x（43?x）
【變式7-3】（2022?太原一模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，點M為正方形ABCD的邊CD上的動點（與點C，D不重合），連接BM，作MF⊥BM，與正方形ABCD的外角∠ADE的平分線交于點F．設CM＝x，△DFM的面積為y，則y與x之間的函數(shù)關系式 ．

專題5.1 二次函數(shù)的定義【七大題型】
【蘇科版】
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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc24517" 【題型1 二次函數(shù)的識別】 PAGEREF _Tc24517 \h 1
\l "_Tc22857" 【題型2 由二次函數(shù)的定義求字母的值】 PAGEREF _Tc22857 \h 3
\l "_Tc13671" 【題型3 二次函數(shù)的一般形式】 PAGEREF _Tc13671 \h 4
\l "_Tc322" 【題型4 判斷二次函數(shù)的關系式】 PAGEREF _Tc322 \h 5
\l "_Tc3710" 【題型5 列二次函數(shù)的關系式（增長率問題）】 PAGEREF _Tc3710 \h 8
\l "_Tc8205" 【題型6 列二次函數(shù)的關系式（銷售問題）】 PAGEREF _Tc8205 \h 9
\l "_Tc23690" 【題型7 列二次函數(shù)的關系式（幾何問題）】 PAGEREF _Tc23690 \h 11
【知識點1 二次函數(shù)的概念】
一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c
是常量，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項．y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二
次函數(shù)的一般形式．
【題型1 二次函數(shù)的識別】
【例1】（2022秋?香坊區(qū)校級月考）下列函數(shù)是二次函數(shù)的有（ ）
①y＝（x+1）2﹣x2；
②y＝﹣3x2+5；
③y＝x3﹣2x；
④y＝x2?1x+3．
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷即可．
【解答】解：①該函數(shù)化簡后沒有二次項，是一次函數(shù)，故本選項不符合題意；
②該函數(shù)是二次函數(shù)，故本選項符合題意；
③該函數(shù)不是二次函數(shù)，故本選項不符合題意．
④該函數(shù)分母含有字母，不是二次函數(shù)，故本選項不符合題意；
故選：A．
【變式1-1】（2022?新城區(qū)校級模擬）觀察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x；④y＝x3﹣2x；⑤y＝x2?1x+3；⑥y＝（x+1）2﹣x2．這六個式子中二次函數(shù)有（ ）個
A．2B．3C．4D．5
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，判斷即可．
【解答】解：觀察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x；④y＝x3﹣2x；⑤y＝x2?1x+3；⑥y＝（x+1）2﹣x2．這六個式子中二次函數(shù)有：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x，
所以，共有3個，
故選：B．
【變式1-2】（2022春?西湖區(qū)校級月考）下列各式中，一定是二次函數(shù)的有（ ）
①y2＝2x2﹣4x+3；②y＝4﹣3x+7x2；③y=1x2?3x+5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax2+bx+c；⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2x2+4x﹣3．
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】整理一般形式后，根據(jù)二次函數(shù)的定義判定即可．
【解答】解：①y2＝2x2﹣4x+3，不符合二次函數(shù)的定義，不是二次函數(shù)；
②y＝4﹣3x+7x2，是二次函數(shù)；
③y=1x2?3x+5，分母中含有自變量，不是二次函數(shù)；
④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）＝6x2﹣13x+6，是二次函數(shù)；
⑤y＝ax2+bx+c，含有四個自變量，這里a可能等于0，不是二次函數(shù)；
⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3，是二次函數(shù)；
⑦y＝m2x2+4x﹣3，m可能等于0，不一定是二次函數(shù)．
∴只有②④⑥一定是二次函數(shù)．
故選：C．
【變式1-3】（2022秋?葫蘆島月考）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的有（ ）
①y=x2+2；②y＝﹣x2﹣3x；③y＝x（x2+x+1）；④y=11+x2；⑤y＝﹣x+x2．
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義求解即可．
【解答】解：②y＝﹣x2﹣3x；⑤y＝﹣x+x2是二次函數(shù)，
故選：B．
【題型2 由二次函數(shù)的定義求字母的值】
【例2】（2022秋?天津期末）若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是關于x的二次函數(shù)，則a的值是（ ）
A．1B．﹣5C．﹣1D．﹣5或﹣1
【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義可得|a+3|＝2且a+1≠0，求解即可．
【解答】解：∵函數(shù)y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是關于x的二次函數(shù)，
∴|a+3|＝2且a+1≠0，
解得a＝﹣5，
故選：B．
【變式2-1】（2022?武山縣校級一模）若函數(shù)y＝（m2+m）xm2?2m?1是二次函數(shù)，那么m的值是（ ）
A．2B．﹣1或3C．3D．?1±2
【分析】讓x的次數(shù)為2，系數(shù)不為0即可．
【解答】解：根據(jù)題意得：m2?2m?1=2m2+m≠0，
解得：m=3或?1m≠0且m≠?1，
∴m＝3，
故選：C．
【變式2-2】（2022秋?萊蕪區(qū)期中）若拋物線y=(m?3)xm2?5m+8+2x?3是關于x的二次函數(shù)，那么m的值是（ ）
A．3B．﹣2C．2D．2或3
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的最高指數(shù)是2，二次項系數(shù)不等于0列出方程求解即可．
【解答】解：由題意得，m2﹣5m+8＝2且m﹣3≠0，
解得m1＝2，m2＝3，且m≠3，
所以，m＝2．
故選：C．
【變式2-3】函數(shù)y＝（a﹣5）xa2+4a+5+2x﹣1，當a＝ 時，它是一次函數(shù)；當a＝ 時，它是二次函數(shù)．
【分析】根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的定義解答．
【解答】解：當y＝（a﹣5）xa2+4a+5+2x﹣1是一次函數(shù)時，a2+4a+5＝1或a﹣5＝0，
解得a＝﹣2或a＝5，
即當a＝﹣2或5時，它是一次函數(shù)；
當y＝（a﹣5）xa2+4a+5+2x﹣1是二次函數(shù)時，a2+4a+5＝2且a﹣5≠0．
解得a＝﹣1或a＝﹣3．
即當a＝﹣1或﹣3時，它是二次函數(shù)．
故答案是：﹣2或5；﹣1或﹣3．
【題型3 二次函數(shù)的一般形式】
【例3】（2022秋?遂溪縣校級期中）關于函數(shù)y＝（500﹣10x）（40+x），下列說法不正確的是（ ）
A．y是x的二次函數(shù)B．二次項系數(shù)是﹣10
C．一次項是100D．常數(shù)項是20000
【分析】根據(jù)形如y＝ax2+bx+c是二次函數(shù)，可得答案．
【解答】解：y＝﹣10x2+100x+20000，
A、y是x的二次函數(shù)，故A正確；
B、二次項系數(shù)是﹣10，故B正確；
C、一次項是100x，故C錯誤；
D、常數(shù)項是20000，故D正確；
故選：C．
【變式3-1】（2022秋?新昌縣期末）若二次函數(shù)y＝（2x﹣1）2+1的二次項系數(shù)為a，一次項系數(shù)為b，常數(shù)項為c，則b2﹣4ac 0（填寫“＞”或“＜”或“＝”）
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出a，b，c的值，再代入b2﹣4ac計算，判斷與0的大小即可．
【解答】解：∵y＝（2x﹣1）2+1，
∴a＝4，b＝﹣4，c＝2，
∴b2﹣4ac＝16﹣4×4×2＝﹣16＜0，
故答案為＜．
【變式3-2】已知y＝（m2﹣m）xm2?2m?1+（m﹣3）x+m2是關于x的二次函數(shù)，求出它的解析式，并寫出其二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義可得m2?2m?1=2m2?m≠0，解之可得m的值，從而可得函數(shù)解析式及各項系數(shù)、常數(shù)項．
【解答】解：根據(jù)題意可得m2?2m?1=2m2?m≠0，
解得：m＝﹣1或m＝3，
當m＝﹣1時，二次函數(shù)為y＝2x2﹣4x+1，其二次項系數(shù)為2，一次項系數(shù)為﹣4，常數(shù)項為1；
當m＝3時，二次函數(shù)為y＝6x2+9，其二次項系數(shù)為6，一次項系數(shù)為0，常數(shù)項為9．
【變式3-3】指出下列函數(shù)中哪些是二次函數(shù)，如果是二次函數(shù)，寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項：
（1）y＝2x+1；
（2）y＝2x2+1；
（3）y＝x（2﹣x）
（4）y=12（x﹣1）2?52；
（5）y=83x2；
（6）y＝x2（x﹣1）﹣1．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義進行解答即可．
【解答】解：（1）y＝2x+1不是二次函數(shù)，是一次函數(shù)；
（2）y＝2x2+1，是二次函數(shù)，二次項系數(shù)是2、一次項系數(shù)是0，常數(shù)項是1；
（3）y＝x（2﹣x）＝﹣x2+2x，是二次函數(shù)，二次項系數(shù)是﹣1、一次項系數(shù)是2，常數(shù)項是0；
（4）y=12（x﹣1）2?52=12x2﹣x+12?52=12x2﹣x﹣2，是二次函數(shù)，二次項系數(shù)是12、一次項系數(shù)是﹣1，常數(shù)項是﹣2；
（5）y=83x2不是二次函數(shù)；
（6）y＝x2（x﹣1）﹣1＝x3﹣x2﹣1不是二次函數(shù)．
【題型4 判斷二次函數(shù)的關系式】
【例4】（2021秋?龍鳳區(qū)期末）下列具有二次函數(shù)關系的是（ ）
A．正方形的周長y與邊長x
B．速度一定時，路程s與時間t
C．正方形的面積y與邊長x
D．三角形的高一定時，面積y與底邊長x
【分析】根據(jù)題意，列出函數(shù)解析式就可以判定．
【解答】解：A、y＝4x，是一次函數(shù)，錯誤；
B、s＝vt，v一定，是一次函數(shù)，錯誤；
C、y＝x2，是二次函數(shù)，正確；
D、y=12hx，h一定，是一次函數(shù)，錯誤．
故選：C．
【變式4-1】（2022秋?紅山區(qū)校級月考）下列關系中，是二次函數(shù)關系的是（ ）
A．當距離S一定時，汽車行駛的時間t與速度v之間的關系
B．在彈性限度時，彈簧的長度y與所掛物體的質(zhì)量x之間的關系
C．圓的面積S與圓的半徑r之間的關系
D．正方形的周長C與邊長a之間的關系
【分析】根據(jù)各選項的意思，列出個選項的函數(shù)表達式，再根據(jù)二次函數(shù)定義的條件判定則可．
【解答】解：A、由題意可得：t=Sv是反比例函數(shù)，故此選項錯誤；
B、y＝mx+b，當m≠0時（m是常數(shù)），是一次函數(shù)，故此選項錯誤；
C、S＝πR2，是二次函數(shù)，正確；
D、C＝4a，是正比例函數(shù)，故此選項錯誤．
故選：C．
【變式4-2】（2022秋?沂源縣期中）在下列4個不同的情境中，兩個變量所滿足的函數(shù)關系屬于二次函數(shù)關系的有（ ）
①設正方形的邊長為x面積為y，則y與x有函數(shù)關系；
②x個球隊參加比賽，每兩個隊之間比賽一場，則比賽的場次數(shù)y與x之間有函數(shù)關系；
③設正方體的棱長為x，表面積為y，則y與x有函數(shù)關系；
④若一輛汽車以120km/h的速度勻速行駛，那么汽車行駛的里程y（km）與行駛時間x（h）有函數(shù)關系．
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】根據(jù)題意列出函數(shù)關系式，然后由二次函數(shù)的定義進行判斷．
【解答】解：①依題意得：y＝x2，屬于二次函數(shù)關系，故符合題意；
②依題意得：y=12x（x﹣1）=12x2?12x，屬于二次函數(shù)關系，故符合題意；
③依題意得：y＝6x2，屬于二次函數(shù)關系，故符合題意；
④依題意得：y＝120x，屬于一次函數(shù)關系，故不符合題意；
綜上所述，兩個變量所滿足的函數(shù)關系屬于二次函數(shù)關系的有3個．
故選：C．
【變式4-3】（2022秋?海淀區(qū)校級月考）邊長為5的正方形ABCD，點F是BC上一動點，過對角線交點E作EG⊥EF，交CD于點G，設BF的長為x，△EFG的面積為y，則y與x滿足的函數(shù)關系是（ ）
A．正比例函數(shù)B．一次函數(shù)C．二次函數(shù)D．以上都不是
【分析】先證明△BEF≌△CEG，可得CG＝EF，EG＝EF，∠CEG＝∠BEF，再根據(jù)勾股定理求解即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠EBF＝∠ECG＝45°，AC⊥BD，EB＝EC，
∵EF⊥EG，
∴∠BEC＝∠FEG＝90°，
∴∠BEF＝∠CEG，
∴△BEF≌△CEG（ASA），
∴CG＝EF，EG＝EF，∠CEG＝∠BEF，
∵∠BEG＝90°，
∴∠GEF＝90°，
∴FG2＝2EF2，
在Rt△CFG中，F(xiàn)G2＝CF2+CG2，
即FG2＝x2+（5﹣x）2＝2x2﹣10x+25，
∵y=12EG?EF=12EF2，
∴y=14FG2=14（2x2﹣10x+25）=12x2?52x+254，
∴y與x滿足的函數(shù)關系是二次函數(shù)．
故選：C．
【知識點2 根據(jù)實際問題列二次函數(shù)表達式的步驟】
理解題意：找出實際問題中的已知量和変量（自變量，因變量），將文字或圖形語言轉化為數(shù)學語言；
分析關系：找到已知量和變量之間的關系，列出等量關系式；
列函數(shù)表達式：設出表示變量的字母，把等量關系式用含字母的式子替換，將表達式寫成用自變量表示的函數(shù)的形式.
【題型5 列二次函數(shù)的關系式（增長率問題）】
【例5】（2022秋?天津期末）據(jù)省統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)，合肥市2021年第一季度GDP總值約為2.4千億元人民幣，若我市第三季度GDP總值為y千億元人民幣，平均每個季度GDP增長的百分率為x，則y關于x的函數(shù)表達式是（ ）
A．y＝2.4（1+2x）
B．y＝2.4（1﹣x）2
C．y＝2.4（1+x）2
D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）
【分析】根據(jù)平均每個季度GDP增長的百分率為x，第二季度季度GDP總值約為2.4（1+x）元，第三季度GDP總值為2.4（1+x）2元，則函數(shù)解析式即可求得．
【解答】解：根據(jù)題意得，
y關于x的函數(shù)表達式是：y＝2.4（1+x）2．
故選：C．
【變式5-1】（2022秋?大興區(qū)期中）某種商品的價格是2元，準備進行兩次降價．如果每次降價的百分率都是x，經(jīng)過兩次降價后的價格y（單位：元）隨每次降價的百分率x的變化而變化，則y關于x的函數(shù)解析式是（ ）
A．y＝2（x+1）2B．y＝2（1﹣x）2C．y＝（x+1）2D．y＝（x﹣1）2
【分析】利用增長率公式得到y(tǒng)＝2（1﹣x）2．
【解答】解：根據(jù)題意得y＝2（1﹣x）2，
故選：B．
【變式5-2】（2022秋?西山區(qū)校級期中）某農(nóng)機廠四月份生產(chǎn)零件60萬個，設該廠第二季度平均每月的增長率為x，如果第二季度共生產(chǎn)零件y萬個，那么y與x滿足的函數(shù)關系式是（ ）
A．y＝60（1+x）2
B．y＝60+60（1+x）+60（1+x）2
C．y＝60（1+x）+60（1+x）2
D．y＝60+60（1+x）
【分析】設該廠第二季度平均每月的增長率為x，則五月份生產(chǎn)零件60（1+x）萬個，六月份生產(chǎn)零件60（1+x）2萬個，根據(jù)第二季度共生產(chǎn)零件y萬個，即可找出y與x之間的函數(shù)關系式．
【解答】解：設該廠第二季度平均每月的增長率為x，則五月份生產(chǎn)零件60（1+x）萬個，六月份生產(chǎn)零件60（1+x）2萬個，
依題意得：y＝60+60（1+x）+60（1+x）2．
故選：B．
【變式5-3】（2022秋?金寨縣期末）共享單車為市民出行帶來了方便，某單車公司第一個月投放a輛單車，計劃第三個月投放單車y輛，若第二個月的增長率是x，第三個月的增長率是第二個月的兩倍，那么y與x的函數(shù)關系是（ ）
A．y＝a（1+x）（1+2x）B．y＝a（1+x）2
C．y＝2a（1+x）2D．y＝2x2+a
【分析】增長率問題，一般用增長后的量＝增長前的量×（1+增長率），然后根據(jù)已知條件可得出函數(shù)關系式．
【解答】解：由第二個月的增長率是x，則第三個月的增長率是2x，
依題意得：第三個月投放單車a（1+x）（1+2x）輛，
則y＝a（1+x）（1+2x）．
故選：A．
【題型6 列二次函數(shù)的關系式（銷售問題）】
【例6】（2022秋?肥城市期末）某商品的進價為每件60元，現(xiàn)在的售價為每件80元，每星期可賣出200件．市場調(diào)查反映：如調(diào)整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件．則每星期售出商品的利潤y（單位：元）與每件漲價x（單位：元）之間的函數(shù)關系式是（ ）
A．y＝200﹣10xB．y＝（200﹣10x）（80﹣60﹣x）
C．y＝（200+10x）（80﹣60﹣x）D．y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）
【分析】由每件漲價x元，可得出銷售每件的利潤為（80﹣60+x）元，每星期的銷售量為（200﹣10x），再利用每星期售出商品的利潤＝銷售每件的利潤×每星期的銷售量，即可得出結論．
【解答】解：∵每漲價1元，每星期要少賣出10件，每件漲價x元，
∴銷售每件的利潤為（80﹣60+x）元，每星期的銷售量為（200﹣10x），
∴每星期售出商品的利潤y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）．
故選：D．
【變式6-1】（2022秋?朝陽期中）某農(nóng)產(chǎn)品市場經(jīng)銷一種銷售成本為40元的水產(chǎn)品．據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克；銷售單價每漲2元，月銷售量就減少10千克．設每千克漲x元，月銷售利潤為y元，則y與x的函數(shù)關系式為（ ）
A．y＝（50+x﹣40）（500﹣10x）B．y＝（x+40）（ 10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣5（ x﹣50）]D．y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）
【分析】直接利用銷量×每千克利潤＝總利潤，得出函數(shù)關系式即可．
【解答】解：設每千克漲x元，月銷售利潤為y元，則y與x的函數(shù)關系式為：
y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）．
故選：D．
【變式6-2】（2022秋?西陵區(qū)期末）某文學書的售價為每本30元，每星期可賣出200本，書店準備在年終進行降價促銷．經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，單價每下降2元，每星期可多賣出10本．設每本書降價x元后，每星期售出此文學書的銷售額為y元，則y與x之間的函數(shù)關系式為（ ）
A．y＝（30﹣x）（200+10x）B．y＝（30﹣x）（200+5x）
C．y＝（30﹣x）（200﹣10x）D．y＝（30﹣x）（200﹣5x）
【分析】設每本書降價x元，則每星期可售出（200+5x）本，根據(jù)每星期的銷售總額＝銷售單價×每星期的銷售數(shù)量，即可得出y與x之間的函數(shù)關系式．
【解答】解：設每本書降價x元，則每星期可售出（200+x2×10）＝（200+5x）本，
∴每星期售出此文學書的銷售額y＝（30﹣x）（200+5x）．
故選：B．
【變式6-3】（2022秋?阜陽月考）“抖音直播帶貨”已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式，某抖音主播代銷某一品牌的電子產(chǎn)品（這里代銷指廠家先免費提供貨源，待貨物銷售后再進行結算，未售出的由廠家負責處理）．銷售中發(fā)現(xiàn)每件售價99元時，日銷售量為200件，當每件電子產(chǎn)品每下降5元時，日銷售量會增加10件．已知每售出1件電子產(chǎn)品，該主播需支付廠家和其他費用共50元，設每件電子產(chǎn)品售價為x（元），主播每天的利潤為w（元），則w與x之間的函數(shù)解析式為（ ）
A．w＝（99﹣x）[200+10（x﹣50）]
B．w＝（x﹣50）[200+10（99﹣x）]
C．w＝（x﹣50）（200+x?995×10）
D．w＝（x﹣50）（200+99?x5×10）
【分析】設每件電子產(chǎn)品售價為x（元），主播每天的利潤為w（元），根據(jù)每件利潤＝實際售價﹣成本價，銷售量＝原銷售量+因價格下降而增加的數(shù)量，總利潤＝每件利潤×銷售數(shù)量，即可得出w與x之間的函數(shù)解析式．
【解答】解：設每件電子產(chǎn)品售價為x（元），主播每天的利潤為w（元），
則每件盈利（x﹣50）元，每天可銷售（200+99?x5×10）件，
根據(jù)題意得：w＝（x﹣50）（200+99?x5×10），
故選：D．
【題型7 列二次函數(shù)的關系式（幾何問題）】
【例7】（2022秋?交城縣期中）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，CE⊥BD，CE=12BD．若△ABD的周長為20cm，則△BCD的面積S（cm2）與AB的長x（cm）之間的函數(shù)關系式可以是（ ）
A．S=14x2?10x+100B．S＝2x2﹣40x+200
C．S＝x2﹣20x+100D．S＝x2+20x+100
【分析】由AB＝AD＝xcm，求得BD＝（20﹣2x）cm，CE＝（10﹣x）cm，然后利用三角形面積公式列出函數(shù)關系式并整理成二次函數(shù)的一般形式．
【解答】解：∵AB＝AD＝xcm，且△ABD的周長為20cm，
∴BD＝（20﹣2x）cm，
又∵CE=12BD，
∴CE=12（20﹣2x）＝（10﹣x）cm，
∴S△BCD=12BD?CE=12（20﹣2x）（10﹣x），
整理，得：S＝x2﹣20x+100，
故選：C．
【變式7-1】（2022?江夏區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E為AC邊上的點且AE＝2EC，點D在BC邊上且滿足BD＝DE，設BD＝y(tǒng)，S△ABC＝x，則y與x的函數(shù)關系式為（ ）
A．y=1810x2+52B．y=4810x2+52
C．y=1810x2+2D．y=4810x2+2
【分析】過A作AH⊥BC，過E作EP⊥BC，則AH∥EP，由此得出關于x和y的方程，即可得出關系式．
【解答】解：過A作AH⊥BC，過E作EP⊥BC，則AH∥EP，
∴HC＝3，PC＝1，BP＝5，PE=13AH，
∵BD＝DE＝y(tǒng)，
∴在Rt△EDP中，y2＝（5﹣y）2+PE2，
∵x＝6AH÷2＝3AH，
∴y2＝（5﹣y）2+(19x)2，
∴y=1810x2+52，
故選：A．
【變式7-2】（2022秋?鄞州區(qū)期末）一副三角板（△BCM和△AEG）如圖放置，點E在BC上滑動，AE交BM于D，EG交MC于F，且在滑動過程中始終保持EF＝DE．若MB＝4，設BE＝x，△EFC的面積為y，則y關于x的函數(shù)表達式是（ ）
A．y＝23xB．y＝23x+1
C．y＝x（43?x）D．y=12x（43?x）
【分析】根據(jù)題意可以分別用含x的代數(shù)式表示出點F到EC邊的高和EC的長，從而可以表示出△EFC的面積．
【解答】解：作FH⊥EC于點H，如右圖所示，
則∠FHE＝90°，
∴∠FEH+∠EFH＝90°
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEB+∠FEH＝90°，
∴∠EFH＝∠DEB，
在△DEB和△EFH中，
∠B=∠FHE∠DEB=∠EFHDE=EF，
∴△DEB≌△EFH（AAS），
∴BE＝HF，
∵BE＝x，
∴HF＝x，
∵MB＝4，∠B＝90°，∠C＝30°，
∴BC＝43，
∴EC＝BC﹣BE＝43?x，
∴△EFC的面積為是：12x(43?x)，
即y=12x(43?x)，
故選：D．
【變式7-3】（2022?太原一模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，點M為正方形ABCD的邊CD上的動點（與點C，D不重合），連接BM，作MF⊥BM，與正方形ABCD的外角∠ADE的平分線交于點F．設CM＝x，△DFM的面積為y，則y與x之間的函數(shù)關系式 ．
【分析】在BC上截取CH＝CM，連接MH，則△MCH是等腰直角三角形，BH＝MD，證出∠BHM＝∠MDF，∠1＝∠2，由ASA證明△BHM≌△MDF，再根據(jù)三角形面積公式求解即可．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD＝BC，∠C＝∠CDA＝90°＝∠ADE，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF=12∠ADE＝45°，
∴∠MDF＝90°+45°＝135°．
在BC上截取CH＝CM，連接MH，如圖，則△MCH是等腰直角三角形，BH＝MD，
∴∠CHM＝∠CMH＝45°，
∴∠BHM＝135°，
∴∠1+∠HMB＝45°，∠BHM＝∠MDF，
∵FM⊥BM，
∴∠FMB＝90°，
∴∠2+∠BMH＝45°，
∴∠1＝∠2．
在△BHM與△MDF中，
∠1=∠2BH=MD∠BHM=∠MDF，
∴△BHM≌△MDF（ASA），
∴BH＝MD＝2﹣x，
∴y與x之間的函數(shù)關系式為y=12x（2﹣x）=?12x2+x．
故答案為：y=?12x2+x．

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