TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc12530" 【題型1 利用相似三角形的性質(zhì)求角度】 PAGEREF _Tc12530 \h 2
\l "_Tc18681" 【題型2 利用相似三角形的性質(zhì)求線(xiàn)段長(zhǎng)度】 PAGEREF _Tc18681 \h 2
\l "_Tc31421" 【題型3 利用相似三角形的性質(zhì)求面積】 PAGEREF _Tc31421 \h 3
\l "_Tc31195" 【題型4 利用相似三角形的性質(zhì)求周長(zhǎng)】 PAGEREF _Tc31195 \h 4
\l "_Tc31094" 【題型5 利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明角度相等】 PAGEREF _Tc31094 \h 4
\l "_Tc5428" 【題型6 利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例】 PAGEREF _Tc5428 \h 6
\l "_Tc32253" 【題型7 尺規(guī)作圖作相似三角形】 PAGEREF _Tc32253 \h 7
\l "_Tc11402" 【題型8 在網(wǎng)格中畫(huà)與已知三角形相似的三角形】 PAGEREF _Tc11402 \h 8
\l "_Tc20313" 【題型9 新定義中的相似三角形】 PAGEREF _Tc20313 \h 9
\l "_Tc24568" 【題型10 相似與函數(shù)綜合探究】 PAGEREF _Tc24568 \h 11
【知識(shí)點(diǎn)1 相似三角形的性質(zhì)】
【題型1 利用相似三角形的性質(zhì)求角度】
【例1】（2022·湖南·永州柳子中學(xué)九年級(jí)期中）已知△ABC~△DEF，若∠A=50°，∠E=70°，則∠F的度數(shù)為（ ）
A．30°B．60°C．70°D．80°
【變式1-1】（2022·江蘇·常州市金壇良常初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，△ABC∽△DAC，∠B＝31°，∠D＝117°，則∠BCD的度數(shù)是（ ）
A．32°B．48°C．64°D．86°
【變式1-2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格上有兩個(gè)相似三角形△ABC和△EDF，則∠ABC+∠ACB的度數(shù)為（ ）
A．135°B．90°C．60°D．45°
【變式1-3】（2022·云南楚雄·九年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共線(xiàn)，ΔPBC是等邊三角形，當(dāng)ΔPAB～ΔDPC時(shí)，∠APD的度數(shù)為（ ）
A．120°B．100°C．110°D．125°
【題型2 利用相似三角形的性質(zhì)求線(xiàn)段長(zhǎng)度】
【例2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在?ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中點(diǎn)，在CD上取一點(diǎn)F，使△CBF∽△ABE，則DF的長(zhǎng)是（ ）
A．8.2B．6.4C．5D．1.8
【變式2-1】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△ABC∽△DEF，相似比為1∶2，若BC＝1，則EF的長(zhǎng)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【變式2-2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知△ABC∽△DEF，△ ABC的三邊長(zhǎng)分別為2，14，3，△ DEF的其中的兩邊長(zhǎng)分別為1和7，則第三邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【變式2-3】（2022·吉林·長(zhǎng)春市赫行實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）如圖所示，圖中x=___．
【題型3 利用相似三角形的性質(zhì)求面積】
【例3】（2022·陜西渭南·九年級(jí)階段練習(xí)）若△ABC∽△DEF，△ABC與△DEF的面積比為25:36，則△ABC與△DEF的對(duì)應(yīng)邊的比是（ ）
A．5:6B．6:5C．25:36D．36:25
【變式3-1】（2022·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)期末）△ABC與△A'B'C'的位似比是1:2，已知△ABC的面積是3，則△A'B'C'的面積是（ ）
A．3B．6C．9D．12
【變式3-2】（2022·河北石家莊·九年級(jí)期末）把一個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，則它的面積擴(kuò)大為原來(lái)的__________倍．
【變式3-3】（2022·河南·鶴壁市淇濱中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)D是線(xiàn)段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AD，以AD為邊作△ADE，使△ADE∽△ABC，則△ADE的最小面積等于______．
【題型4 利用相似三角形的性質(zhì)求周長(zhǎng)】
【例4】（2022·湖南株洲·九年級(jí)期末）有一個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)分別為3，4，5，另一個(gè)與它相似的直角三角形的最小邊長(zhǎng)為7，則另一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)是（ ）
A．425B．845C．21D．28
【變式4-1】（2022·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期末）如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)絡(luò)，△ABC與△A1B1C1都是格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在網(wǎng)格交點(diǎn)處），并且△ABC∽△A1B1C1，則△ABC與△A1B1C1的周長(zhǎng)之比是（ ）
A．1：2B．1：4C．2：3D．4：9
【變式4-2】（2022·遼寧·阜新市第四中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知△ABC∽△DEF，其中AB=12，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周長(zhǎng)是______．
【變式4-3】（2022·遼寧鞍山·二模）已知△ABC∽△A'B'C'，且AB=2A'B'．若△ABC的周長(zhǎng)是18cm，那么△A'B'C'的周長(zhǎng)是________cm．
【題型5 利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明角度相等】
【例5】（2022·北京市第一五六中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，已知AE平分∠BAC，ABAD=AEAC．
(1)求證：∠E=∠C；
(2)若AB=9，AD=5，DC=3，求BE的長(zhǎng)．
【變式5-1】（2022·上?！y(cè)試·編輯教研五八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在AC、AB上，點(diǎn)P是BD上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)EP并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，且∠A=∠EPB=∠ECB．
(1)求證：BE?BA=BP?BD；
(2)若∠ACB=90°，求證：CP⊥BD．
【變式5-2】（2022·山東·東平縣江河國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）如圖，點(diǎn)D，E分別在△ABC的邊BC，AC上，連接AD，DE．
（1）若∠C=∠BAD，AB=5，求BD·BC的值；
（2）若點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，AD=2AE， 求證：∠1=∠C．
【變式5-3】（2022·湖北恩施·二模）如圖，在△ABC中，D、E、F分別是邊AC，AB，BC上的點(diǎn)，DE∥BC，DF∥AB．
(1)求證：∠B=∠EDF．
(2)若CF＝13BC，求S△DFCS△AED的值．
【題型6 利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例】
【例6】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知△ADE的頂點(diǎn)E在△ABC的邊BC上，DE與AB相交于點(diǎn)F，∠FEA=∠B，∠DAF=∠EAC．
(1)若AF=BF=4，求AE；
(2)求證：DFDE=CECB．
【變式6-1】（2022·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．如圖，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接AP、OP、OA．
（1）求證：OCPD=OPAP；
（2）若OP與PA的比為1：2，求邊AB的長(zhǎng)．
【變式6-2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在ΔABC中，AB=AC，D是邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，E是邊AC上一點(diǎn)，且∠EBC=∠D．
求證：CEAB=BCBD；
【變式6-3】（2022·湖南益陽(yáng)·九年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分別為F，G．
(1)求證：EGAD=CGCD；
(2)FD與DG是否垂直？若垂直，請(qǐng)給出證明；若不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由；
【題型7 尺規(guī)作圖作相似三角形】
【例7】（2022·山東煙臺(tái)·八年級(jí)期末）尺規(guī)作圖：如圖，已知△ABC，且AB>AC．（只保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)出作法）
(1)在AB邊上求作點(diǎn)D，使DB=DC；
(2)在AC邊上求作點(diǎn)E，使△ADE∽△ACB．
【變式7-1】（2022·山東濟(jì)寧·二模）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,BD平分∠ABC．
(1)求作△CDE使點(diǎn)E在BC上，且△CDE∽△CBD；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
(2)在（1）的條件下，若BA=3,∠ABC=60°，求CE長(zhǎng)．
【變式7-2】（2022·陜西寶雞·一模）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是AC邊上一定點(diǎn)．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在BC上求作一點(diǎn)P，使得△ABC∽△PCD．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
【變式7-3】（2022·江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B．
(1)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)按要求作圖（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）：
① 過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線(xiàn)交BC于點(diǎn)F；
② P為AB邊上的一點(diǎn)，且△DAP∽△PBC，請(qǐng)找出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)；
(2)在（1）的條件下，若AD＝2，BC＝3，AB＝6，則AP＝ ．
【題型8 在網(wǎng)格中畫(huà)與已知三角形相似的三角形】
【例8】（2022·安徽合肥·二模）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，A、B、C、D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，線(xiàn)段AB、CD相交于點(diǎn)O．
(1)請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖中畫(huà)出兩條線(xiàn)段（不添加另外的字母），構(gòu)成一對(duì)相似三角形，并用“∽”符號(hào)寫(xiě)出這對(duì)相似三角形：
(2)線(xiàn)段AO的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【變式8-1】（2022·河南南陽(yáng)·九年級(jí)期末）（1）如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上．在方格紙內(nèi)畫(huà)△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，相似比為2:1，且頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．
（2）△A'B'C'的面積是______．
【變式8-2】（2022·浙江溫州·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，運(yùn)用無(wú)刻度直尺作圖（保留作圖痕跡）
(1)在圖1中畫(huà)出線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)
(2)如圖2，在線(xiàn)段AB上找出點(diǎn)C，使AC:CB=1:2．
【變式8-3】（2022·浙江溫州·九年級(jí)期中）如圖，在8×8的方格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，按要求畫(huà)一個(gè)三角形，使它的頂點(diǎn)在方格的頂點(diǎn)上．
(1)請(qǐng)?jiān)趫D1中畫(huà)一個(gè)三角形，使它與△ABC相似，且相似比為2：1
(2)請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)一個(gè)三角形，使它與△ABC相似，且面積比為2：1
【題型9 新定義中的相似三角形】
【例9】（2022·陜西渭南·九年級(jí)期末）四邊形的一條對(duì)角線(xiàn)把這個(gè)四邊形分成兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似（不全等），我們就把這條對(duì)角線(xiàn)稱(chēng)為這個(gè)四邊形的“理想對(duì)角線(xiàn)”．
(1)如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC=70°，AB=AD，AD∥BC，當(dāng)∠ADC=145°時(shí)．求證：對(duì)角線(xiàn)BD是四邊形ABCD的“理想對(duì)角線(xiàn)”；
(2)如圖2，四邊形ABCD中，CA平分∠BCD，BC=3，CD=2，對(duì)角線(xiàn)AC是四邊形ABCD的“理想對(duì)角線(xiàn)”，求AC的長(zhǎng)．
【變式9-1】（2022·福建·廈門(mén)市第五中學(xué)八年級(jí)期中）定義：若一個(gè)三角形最長(zhǎng)邊是最短邊的2倍，我們把這樣的三角形叫做“和諧三角形”．在△ABC中，點(diǎn)F在邊AC上，D是邊BC上的一點(diǎn)，AB＝BD，點(diǎn)A，D關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，且直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F．
（1）如圖1，求作點(diǎn)F；（用直尺和圓規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
（2）如圖2，△ABC是“和諧三角形”，三邊長(zhǎng)BC，AC，AB分別a，b，c，且滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．
①求a，b之間的等量關(guān)系；
②若AE是△ABD的中線(xiàn)．求證：△ACE是“和諧三角形”．
【變式9-2】（2022·江蘇常州·九年級(jí)期末）如果經(jīng)過(guò)一個(gè)三角形某個(gè)頂點(diǎn)的直線(xiàn)將這個(gè)三角形分成兩部分，其中一部分與原三角形相似，那么稱(chēng)這條直線(xiàn)被原三角形截得的線(xiàn)段為這個(gè)三角形的“形似線(xiàn)段”．
(1)在△ABC中，∠A=30．
①如圖1，若∠B=100°，請(qǐng)過(guò)頂點(diǎn)C畫(huà)出△ABC的“形似線(xiàn)段”CM，并標(biāo)注必要度數(shù)；
②如圖2，若∠B =90°，BC=1，則△ABC的“形似線(xiàn)段”的長(zhǎng)是 ．
如圖3，在DEF中，DE=4，EF=6，DF=8，若EG是DEF的“形似線(xiàn)段”，求EG的長(zhǎng)．
【變式9-3】（2022·安徽合肥·二模）定義：如果一個(gè)三角形中有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，那么我們稱(chēng)這樣的三角形為倍角三角形．根據(jù)上述定義可知倍角三角形中有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，所以我們就可以通過(guò)作出其中的2倍角的角平分線(xiàn)，得出一對(duì)相似三角形，再利用我們學(xué)過(guò)的相似三角形的性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題．請(qǐng)通過(guò)這種方法解答下列問(wèn)題：
(1)如圖1，△ABC中，AD是角平分線(xiàn)，且AB2=BD?BC，求證：△ABC是倍角三角形；
(2)如圖2，已知△ABC是倍角三角形，且∠A=2∠C，AB=8，BC=10，求AC的長(zhǎng)；
(3)如圖3，已知△ABC中，∠A=3∠C，AB=8，BC=10，求AC的長(zhǎng)．
【題型10 相似與函數(shù)綜合探究】
【例10】（2022·遼寧大連·九年級(jí)期末）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．點(diǎn)D是線(xiàn)段AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在射線(xiàn)CB上且∠CDE＝∠B．
(1)求BC的長(zhǎng)；
(2)若AD＝x，△CDE的面積與△ABC重合部分的面積是y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍．
【變式10-1】（2022·全國(guó)·九年級(jí)）如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，B、D分別為垂足．
(1)已知：∠APC＝90°，求證：△ABP∽△PDC．
(2)已知：AB＝2，CD＝3，BD＝7，點(diǎn)P是線(xiàn)段BD上的一動(dòng)點(diǎn)，若使點(diǎn)P分別與A、B和C、D構(gòu)成的兩個(gè)三角形相似，求線(xiàn)段PB的值．
(3)已知：AB＝2，CD＝3，點(diǎn)P是直線(xiàn)BD上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PB＝x，BD＝y(tǒng)，使點(diǎn)P分別與A、B和C、D構(gòu)成的兩個(gè)三角形相似，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．
【變式10-2】（2022·廣東茂名·二模）如圖，在矩形OABC中，OA=3，AB=4，反比例函數(shù)y=kxk>0的圖像與矩形的邊AB、BC分別交于點(diǎn)D、E，且BD=2AD．
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)及k的值；
(2)點(diǎn)Pm,0m>2是線(xiàn)段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△AOP∽△PCE時(shí)，求BP的長(zhǎng)．
【變式10-3】（2022·四川成都·三模）已知：如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，且AC＝12cm，BD＝16cm．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q沿DB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，且與AD，BD，Q，F(xiàn)；當(dāng)直線(xiàn)EF停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)．連接PF（s）（0＜t＜8）．解答下列問(wèn)題：
(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形APFD是平行四邊形？
(2)設(shè)四邊形APFE的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
(3)是否存在某一時(shí)刻t，使S四邊形APFE：S菱形ABCD＝17：40？若存在，求出t的值，并求出此時(shí)PE的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等．
如圖，，則有
．
②相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．
如圖，，則有
（為相似比）．
③相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線(xiàn)，高線(xiàn)和對(duì)應(yīng)角的平分線(xiàn)成比例，都等于相似比．
如圖，∽，和是中邊上的中線(xiàn)、高線(xiàn)和角平分線(xiàn)，、和是中邊上的中線(xiàn)、高線(xiàn)和角平分線(xiàn)，則有
④相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比．
如圖，∽，則有
．
⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方．
如圖，∽，則有
專(zhuān)題6.4 相似三角形的性質(zhì)【十大題型】
【蘇科版】
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc12530" 【題型1 利用相似三角形的性質(zhì)求角度】 PAGEREF _Tc12530 \h 2
\l "_Tc18681" 【題型2 利用相似三角形的性質(zhì)求線(xiàn)段長(zhǎng)度】 PAGEREF _Tc18681 \h 4
\l "_Tc31421" 【題型3 利用相似三角形的性質(zhì)求面積】 PAGEREF _Tc31421 \h 6
\l "_Tc31195" 【題型4 利用相似三角形的性質(zhì)求周長(zhǎng)】 PAGEREF _Tc31195 \h 8
\l "_Tc31094" 【題型5 利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明角度相等】 PAGEREF _Tc31094 \h 10
\l "_Tc5428" 【題型6 利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例】 PAGEREF _Tc5428 \h 14
\l "_Tc32253" 【題型7 尺規(guī)作圖作相似三角形】 PAGEREF _Tc32253 \h 19
\l "_Tc11402" 【題型8 在網(wǎng)格中畫(huà)與已知三角形相似的三角形】 PAGEREF _Tc11402 \h 23
\l "_Tc20313" 【題型9 新定義中的相似三角形】 PAGEREF _Tc20313 \h 29
\l "_Tc24568" 【題型10 相似與函數(shù)綜合探究】 PAGEREF _Tc24568 \h 37
【知識(shí)點(diǎn)1 相似三角形的性質(zhì)】
【題型1 利用相似三角形的性質(zhì)求角度】
【例1】（2022·湖南·永州柳子中學(xué)九年級(jí)期中）已知△ABC~△DEF，若∠A=50°，∠E=70°，則∠F的度數(shù)為（ ）
A．30°B．60°C．70°D．80°
【答案】B
【分析】根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等求出∠A＝∠D＝50°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．
【詳解】解：∵△ABC~△DEF，
∴∠A＝∠D＝50°，
∴∠F＝180°－∠D－∠E＝180°－50°－70°＝60°，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．
【變式1-1】（2022·江蘇·常州市金壇良常初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，△ABC∽△DAC，∠B＝31°，∠D＝117°，則∠BCD的度數(shù)是（ ）
A．32°B．48°C．64°D．86°
【答案】C
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠DAC=∠B=31°，∠BAC=∠D=117°，∠BCA=∠ACD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．
【詳解】解：∵△ABC∽△DAC，∠B=31°，∠D=117°，
∴∠DAC=∠B=31°，∠BAC=∠D=117°，∠BCA=∠ACD，
∴∠BCD=∠BCA+∠ACD=2(180°-31°-117°)=64°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格上有兩個(gè)相似三角形△ABC和△EDF，則∠ABC+∠ACB的度數(shù)為（ ）
A．135°B．90°C．60°D．45°
【答案】D
【分析】根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等和三角形內(nèi)角和等于180°，即可得出．
【詳解】解：∵△ABC∽△EDF，
∴∠BAC＝∠DEF，
又∵∠DEF＝90°+45°＝135°，
∴∠BAC＝135°，
∴∠ABC+∠ACB=180°?∠BAC=180°?135°=45°．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到相似三角形中的對(duì)應(yīng)關(guān)系．
【變式1-3】（2022·云南楚雄·九年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共線(xiàn)，ΔPBC是等邊三角形，當(dāng)ΔPAB～ΔDPC時(shí)，∠APD的度數(shù)為（ ）
A．120°B．100°C．110°D．125°
【答案】A
【分析】根據(jù)ΔPAB～ΔDPC得出∠A=∠DPC，根據(jù)ΔPBC是等邊三角形得出∠PBC=∠BPC=60°，根據(jù)外角的性質(zhì)得出∠A+∠APB=∠PBC=60°，可推出∠APB+∠DPC=60°，從而即可得到答案.
【詳解】∵ ΔPAB～ΔDPC
∴ ∠A=∠DPC
∵ ΔPBC是等邊三角形
∴ ∠PBC=∠BPC=60°
∴ ∠A+∠APB=∠PBC=60°
∴ ∠APB+∠DPC=60°
∴∠APD=∠APB+∠PBC+∠DPC=120°
故選A.
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.
【題型2 利用相似三角形的性質(zhì)求線(xiàn)段長(zhǎng)度】
【例2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在?ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中點(diǎn)，在CD上取一點(diǎn)F，使△CBF∽△ABE，則DF的長(zhǎng)是（ ）
A．8.2B．6.4C．5D．1.8
【答案】A
【分析】E是AD的中點(diǎn)可求得AE，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)可得CFAE=BCBA，可得CF的長(zhǎng)即可求解．
【詳解】解：∵E是AD的中點(diǎn)，AD=6，
∴AE=12AD=3，
又∵△CBF∽△ABE，
∴CFAE=BCBA，即CF3=610，
解得CF=1.8，
∴DF=DC?CF=10?1.8=8.2，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的性質(zhì)，掌握三角形相似的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊的比相等是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△ABC∽△DEF，相似比為1∶2，若BC＝1，則EF的長(zhǎng)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件得到BCEF＝12，即可得到EF＝2BC＝2，問(wèn)題得解．
【詳解】解：∵△ABC∽△DEF，相似比為1∶2，
∴BCEF＝12，
∴EF＝2BC＝2．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了相似的性質(zhì)，熟知相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【變式2-2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知△ABC∽△DEF，△ ABC的三邊長(zhǎng)分別為2，14，3，△ DEF的其中的兩邊長(zhǎng)分別為1和7，則第三邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】332
【分析】先求得相似比，再列式計(jì)算求得
【詳解】設(shè)△ DEF的第三邊長(zhǎng)為x，
∵△ABC∽△DEF且△ ABC的三邊長(zhǎng)分別為2，14，3，
△ DEF的其中的兩邊長(zhǎng)分別為1和7，
∴12=714=x3，
∴ x＝332，
∴ △ DEF的第三邊長(zhǎng)為332
故答案為：332
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，求出相似比是解題關(guān)鍵．
【變式2-3】（2022·吉林·長(zhǎng)春市赫行實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）如圖所示，圖中x=___．
【答案】22
【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)，由相似三角形的判定定理可判斷出ΔABC∽ΔDEF，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可解答．
【詳解】解：∵ΔABC中，∠A=45°，∠B=30°，
∴∠C=180°?∠A?∠B=180°?45°?30°=105°，
∵∠E=∠B=30°，∠C=∠F，
∴ΔABC∽ΔDEF，
∴ BCEF=ACDF，
即24=2x，
∴x=22．
故答案為：22．
【點(diǎn)睛】本題涉及到三角形內(nèi)角和定理、相似三角形的判定及性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單．
【題型3 利用相似三角形的性質(zhì)求面積】
【例3】（2022·陜西渭南·九年級(jí)階段練習(xí)）若△ABC∽△DEF，△ABC與△DEF的面積比為25:36，則△ABC與△DEF的對(duì)應(yīng)邊的比是（ ）
A．5:6B．6:5C．25:36D．36:25
【答案】A
【分析】根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方先求出△ABC與△DEF的相似比即可．
【詳解】解：∵△ABC∽△DEF且△ABC與△DEF的面積比為25:36
∴它們的相似比為5：6．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解答本題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2022·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)期末）△ABC與△A'B'C'的位似比是1:2，已知△ABC的面積是3，則△A'B'C'的面積是（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】D
【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出兩個(gè)三角形的相似比，根據(jù)題意計(jì)算即可．
【詳解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比為1：2，
∴△ABC與△A′B′C′的面積比為1：4，
∵△ABC的面積是3，
∴△A′B′C′的面積是12，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2022·河北石家莊·九年級(jí)期末）把一個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，則它的面積擴(kuò)大為原來(lái)的__________倍．
【答案】9
【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方得出即可．
【詳解】解：∵把一個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，
∴面積擴(kuò)大為原來(lái)的9倍，
故答案為：9．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能正確運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方，相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比．
【變式3-3】（2022·河南·鶴壁市淇濱中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)D是線(xiàn)段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AD，以AD為邊作△ADE，使△ADE∽△ABC，則△ADE的最小面積等于______．
【答案】9625
【分析】根據(jù)勾股定理得到AC＝4，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，△ADE的面積最小，根據(jù)三角形的面積 公式得到AD＝AB?ACBC=3×45=125，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AE＝165，由此三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，
∴AC＝4，
∵△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC，即AD3=AE4
∴AE=43AD，
∴S△ADE=12AD?AE=23AD2，
∴當(dāng)AD⊥BC時(shí)，△ADE的面積最小，
∴此時(shí)有S△ABC=12AB?AC=12BC?AD
∴AD＝AB?ACBC=3×45=125，
∴△ADE的最小面積=23×1252=9625；
故答案為9625．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，勾股定理，垂線(xiàn)段最短，三角形的面積公式，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
【題型4 利用相似三角形的性質(zhì)求周長(zhǎng)】
【例4】（2022·湖南株洲·九年級(jí)期末）有一個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)分別為3，4，5，另一個(gè)與它相似的直角三角形的最小邊長(zhǎng)為7，則另一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)是（ ）
A．425B．845C．21D．28
【答案】D
【分析】根據(jù)題意求出三角形的周長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比列式計(jì)算即可．
【詳解】解：設(shè)另一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)為x，
∵三角形的邊長(zhǎng)分別為3，4，5，
∴周長(zhǎng)為：3＋4＋5＝12，
∵兩個(gè)三角形相似，
∴12x=37，
解得：x＝28，故D正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比是解題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2022·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期末）如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)絡(luò)，△ABC與△A1B1C1都是格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在網(wǎng)格交點(diǎn)處），并且△ABC∽△A1B1C1，則△ABC與△A1B1C1的周長(zhǎng)之比是（ ）
A．1：2B．1：4C．2：3D．4：9
【答案】C
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵△ABC∽△A1B1C1，AB=2,A1B1=3，
∴△ABC與△A1B1C1的周長(zhǎng)之比ABA1B1=23．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2022·遼寧·阜新市第四中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知△ABC∽△DEF，其中AB=12，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周長(zhǎng)是______．
【答案】274
【分析】根據(jù)兩個(gè)三角形相似，相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，即可解出△DEF的周長(zhǎng)．
【詳解】∵△ABC∽△DEF
∴相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比
∴C△ABCC△DEF=ABDE=123
∴12+6+9C△DEF=123
∴C△DEF=274
故答案為：274．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比．
【變式4-3】（2022·遼寧鞍山·二模）已知△ABC∽△A'B'C'，且AB=2A'B'．若△ABC的周長(zhǎng)是18cm，那么△A'B'C'的周長(zhǎng)是________cm．
【答案】9
【分析】利用相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比求解即可．
【詳解】解：∵△ABC∽△A'B'C'，
∴△ABC的周長(zhǎng)：△A'B'C'的周長(zhǎng)＝AB:A'B'＝2：1，
∵△ABC的周長(zhǎng)是18cm，
∴△A'B'C'的周長(zhǎng)是9cm．
故答案為：9．
【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比．
【題型5 利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明角度相等】
【例5】（2022·北京市第一五六中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，已知AE平分∠BAC，ABAD=AEAC．
(1)求證：∠E=∠C；
(2)若AB=9，AD=5，DC=3，求BE的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)BE=275
【分析】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得∠BAE=∠DAC，結(jié)合已知條件得出△BAE∽△DAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；
（2）根據(jù)△BAE∽△DAC列出比例式，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求解．
（1）
證明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAC，
又ABAD=AEAC，
∴△BAE∽△DAC，
∴∠E=∠C；
（2）
∵△BAE∽△DAC，
∴ABAD=BEDC，
∵AB=9，AD=5，DC=3，
∴95=BE3,
解得BE=275．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2022·上?！y(cè)試·編輯教研五八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在AC、AB上，點(diǎn)P是BD上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)EP并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，且∠A=∠EPB=∠ECB．
(1)求證：BE?BA=BP?BD；
(2)若∠ACB=90°，求證：CP⊥BD．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）證明△PBE和△ABD相似，即可證明．
（2）先證明△ABC∽△CBE，再證明△PBC∽△CBD，得到∠BPC=∠BCD=90°，即可證明．
（1）
證明：∵∠A=∠EPB，∠PBE=∠ABD，
∴△PBE∽△ABD，
∴BEBD=BPBA
∴BE?BA=BP?BD．
（2）
證明：∵∠A=∠ECB，∠ABC=∠CBE，
∴△ABC∽△CBE，
∴BCBE=BABC，
∴BE?BA=BC2，
又∵BE?BA=BP?BD，
∴BC2=BP?BD，
∴BCBD=BPBC，
∵∠PBC=∠CBD，
∴△PBC∽△CBD，
∵∠ACB=90°，
∴∠BPC=∠BCD=90°，
∴CP⊥BD．
【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列出相應(yīng)的比例式，再經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃问顾玫谋壤椒稀皟蛇叧杀壤見(jiàn)A角相等”的形式．
【變式5-2】（2022·山東·東平縣江河國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）如圖，點(diǎn)D，E分別在△ABC的邊BC，AC上，連接AD，DE．
（1）若∠C=∠BAD，AB=5，求BD·BC的值；
（2）若點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，AD=2AE， 求證：∠1=∠C．
【答案】（1）25；（2）見(jiàn)解析
【分析】（1）由∠C=∠BAD、∠ABD=∠CBA可得出△ABD∽△CBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出 ABBC=BDAB，進(jìn)而即可得到結(jié)論；
（2）由點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)、AD= 2AE，可得出 ADAC=AEAD，結(jié)合∠DAE=∠CAD可證出△DAE∽△CAD，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可證出∠1=∠C．
【詳解】解：（1）∵∠C=∠BAD，∠B=∠B,
∴ ΔABD∽ΔCBA
∴ABBC=BDAB,
∵AB=5
∴BD?BC=AB2=25.
（2）∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，
∴AC=2AE.
∵AD=2AE.
∴ADAC=2AE2AE=22，
AEAD=AE2AE=12=22，,
∴ADAC=AEAD.，
又∠DAE=∠CAD(公共角).，
∴△DAE∽△CAD，
∴∠1=∠C．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出等積式；（2）由邊與邊之間的關(guān)系找出 兩邊對(duì)應(yīng)成比例，結(jié)合夾角相等證明三角形相似
【變式5-3】（2022·湖北恩施·二模）如圖，在△ABC中，D、E、F分別是邊AC，AB，BC上的點(diǎn)，DE∥BC，DF∥AB．
(1)求證：∠B=∠EDF．
(2)若CF＝13BC，求S△DFCS△AED的值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)14
【分析】（1）證明四邊形BEDF為平行四邊形，從而得到∠B=∠EDF；
（2）證明△DFC∽△AED，利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方求解．
(1)
證明：∵ DE//BC，DF//AB，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∴ ∠B=∠EDF．
(2)
解：∵ CF=13BC，
∴ BF=23BC．
∵四邊形BEDF是平行四邊形，
∴ ED=BF=23BC．
∵ DE//BC，DF//AB，
∴∠C=∠ADE，∠CDF=∠A，
∴ △DFC∽△AED，
∴ S△DFCS△AED=CFED2=122=14．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，解決本題的關(guān)鍵是將相似三角形的面積之比轉(zhuǎn)化為相似比的平方．
【題型6 利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例】
【例6】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知△ADE的頂點(diǎn)E在△ABC的邊BC上，DE與AB相交于點(diǎn)F，∠FEA=∠B，∠DAF=∠EAC．
(1)若AF=BF=4，求AE；
(2)求證：DFDE=CECB．
【答案】(1)見(jiàn)詳解
(2)見(jiàn)詳解
【分析】（1）根據(jù)∠FEA=∠B，∠BAE=∠EAF，證明ΔBAE∽ΔEAF，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到AE2=AF?AB，即可得到結(jié)論；
（2）首先由∠DAF=∠CAE，得到∠DAE=∠CAF，然后進(jìn)一步證明ΔDAE∽ΔCAB，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例和對(duì)應(yīng)角相等得到DEBC=ADAC，∠D=∠C，然后根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等證明ΔDAF∽ΔCAE，得到DFEC=ADAC，然后根據(jù)線(xiàn)段之間的轉(zhuǎn)化即可證明出DFDE=CECB．
（1）
解：∵∠FEA=∠B，∠BAE=∠EAF，
∴△BAE∽△EAF，
∴AEAF=ABAE，
∴AE2=AF?AB，
∵AF=BF=4，
∴AE2=44+4=32，
∴AE=42；
（2）
證明：∵∠DAF=∠CAE，∠FAE=∠FAE，
∴∠DAE=∠CAF，
∵∠FEA=∠B，
∴△DAE∽△CAB，
∴DEBC=ADAC，∠D=∠C，
∵∠DAF=∠EAC，
∴△DAF∽△CAE，
∴DFEC=ADAC，
∴DEBC=DFEC，
∴CEBC=DFDE．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定方法．相似三角形性質(zhì)：相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等．相似三角形的判定方法：①兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；②兩組邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似；③三組邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似．
【變式6-1】（2022·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．如圖，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接AP、OP、OA．
（1）求證：OCPD=OPAP；
（2）若OP與PA的比為1：2，求邊AB的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）10
【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠APO=∠B=90°，根據(jù)相似三角形的判定定理證明ΔOCP∽ΔPDA，進(jìn)而解答即可；
（2）根據(jù)相似三角形的相似比得出PC=12AD，再利用勾股定理求解．
【詳解】證明：（1）由折疊的性質(zhì)可知，∠APO=∠B=90°，
∴∠APD+∠OPC=90°，又∠POC+∠OPC=90°，
∴∠APD=∠POC，又∠D=∠C=90°，
∴ΔOCP∽ΔPDA，
∴ OCPD=OPAP；
（2）∵OP與PA的比為1：2，
∴PC=12AD=4，
設(shè)AB=x，則DC=x，AP=x，DP=x?4，
在Rt△APD中，AP2=AD2+PD2，即x2=82+(x?4)2，
解得，x=10，即AB=10．
【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握折疊是一種軸對(duì)稱(chēng)，折疊前后的圖形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等．
【變式6-2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在ΔABC中，AB=AC，D是邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，E是邊AC上一點(diǎn)，且∠EBC=∠D．
求證：CEAB=BCBD；
【答案】見(jiàn)解析
【分析】由AB=AC可知∠ABC=∠ACB，結(jié)合∠EBC=∠D，判定△BCD∽△DBA即可得證．
【詳解】證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
即∠ABD=∠ECB，
∵∠EBC=∠D，
∴△BCD∽△DBA，
∴ CEAB=BCBD．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的相似性質(zhì)和判定，等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，牢記知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
【變式6-3】（2022·湖南益陽(yáng)·九年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分別為F，G．
(1)求證：EGAD=CGCD；
(2)FD與DG是否垂直？若垂直，請(qǐng)給出證明；若不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由；
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)FD與DG垂直，證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由比例線(xiàn)段可知，我們需要證明△ADC～△EGC,由兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等即可證得．
（1）由矩形的判定定理可知，四邊形AFEG為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)及相似三角形的判定可得到△AFD～△CGD,從而不難得到結(jié)論．
(1)
在△ADC和△EGC中，
∵∠ADC＝∠EGC，∠C＝∠C，
∴△ADC∽△EGC．
∴EGAD=CGCD．
(2)
FD與DG垂直．
證明如下：
在四邊形AFEG中，
∵∠FAG＝∠AFE＝∠AGE＝90°，
∴四邊形AFEG為矩形．
∴AF＝EG．
∵EGAD=CGCD，
∴AFAD=CGCD．
又∵△ABC為直角三角形，AD⊥BC，
∴∠FAD＝∠C＝90°﹣∠DAC，
∴△AFD∽△CGD．
∴∠ADF＝∠CDG．
∵∠CDG+∠ADG＝90°，
∴∠ADF+∠ADG＝90°．即∠FDG＝90°．
∴FD⊥DG．
【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，①如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似;②如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.
【題型7 尺規(guī)作圖作相似三角形】
【例7】（2022·山東煙臺(tái)·八年級(jí)期末）尺規(guī)作圖：如圖，已知△ABC，且AB>AC．（只保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)出作法）
(1)在AB邊上求作點(diǎn)D，使DB=DC；
(2)在AC邊上求作點(diǎn)E，使△ADE∽△ACB．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)題意作出BC垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)D，即可求解；
（2）作∠ADE=∠ACB即可求解．
（1）
如圖所示，作出BC垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)D，D點(diǎn)即為所求；
（2）
如圖所示，作∠ADE=∠ACB交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)E即為所求．
∵∠A=∠A,∠ACB=∠ADE，
∴△ADE∽△ACB．
【點(diǎn)睛】本題考查了作垂直平分線(xiàn)，作一個(gè)角等于已知角，掌握垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)以及基本作圖是解題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2022·山東濟(jì)寧·二模）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,BD平分∠ABC．
(1)求作△CDE使點(diǎn)E在BC上，且△CDE∽△CBD；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
(2)在（1）的條件下，若BA=3,∠ABC=60°，求CE長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)CE的長(zhǎng)為233
【分析】（1）根據(jù)作一個(gè)角等于已知角進(jìn)行作圖即可；
（2）先求出∠C=30°，∠ABD=∠CBD=30°，再求出CD與BC的長(zhǎng)，再由△CDE∽△CBD列出比例式CECD=CDCB，再求解即可
(1)
作圖如下：
(2)
∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，
∴∠C=30°，
∵BD平分∠ABC．
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∵在Rt△ABC中，BA=3，∠C=30°，
∴AC=3AB=3,BC=2AB=23，
∵在Rt△ABD中，BA=3，∠ABD=30°，
∴AD=33AB=1，
∴CD=2，
∵△CDE∽△CBD，
∴CECD=CDCB，
∴CE2=223，
解得：CE=233．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)及判定及直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)．
【變式7-2】（2022·陜西寶雞·一模）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是AC邊上一定點(diǎn)．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在BC上求作一點(diǎn)P，使得△ABC∽△PCD．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
【答案】見(jiàn)解析
【分析】由△ABC∽△PCD和AB＝AC，可以推導(dǎo)出△PCD為等腰三角形，即可知點(diǎn)P在線(xiàn)段CD的中垂線(xiàn)上．
【詳解】解：∵△ABC∽△PCD，
∴ABPC=ACPD,
∴△PCD是以P為頂點(diǎn)的等腰三角形，及P在線(xiàn)段CD的中垂線(xiàn)上，
如圖，點(diǎn)P即為所求.
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用、尺規(guī)作圖，通過(guò)相似找到線(xiàn)段關(guān)系，準(zhǔn)確畫(huà)出圖像是解題的關(guān)鍵．
【變式7-3】（2022·江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B．
(1)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)按要求作圖（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）：
① 過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線(xiàn)交BC于點(diǎn)F；
② P為AB邊上的一點(diǎn)，且△DAP∽△PBC，請(qǐng)找出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)；
(2)在（1）的條件下，若AD＝2，BC＝3，AB＝6，則AP＝ ．
【答案】(1)見(jiàn)解析；
(2)3+3或3?3
【分析】（1）延長(zhǎng)AD，作∠EDF=∠A，則此時(shí)DF∥AB；先作DC的垂直平分線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線(xiàn)交AB于點(diǎn)M，以C為頂點(diǎn)，CD為角的一條邊，作∠DCO=ADM，交CD的垂直平分線(xiàn)于一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，以O(shè)C為半徑作圓，與AB的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)P；
（2）根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊相等，列出關(guān)于AP的關(guān)系式，求解即可．
(1)
如圖所示：
DF即為所求作的平行線(xiàn)；
如圖所示，
符合條件的點(diǎn)P共有兩個(gè)；
(2)
∵△DAP∽△PBC，
∴ADPB=APBC，
設(shè)AP=x，則BP=6-x，
∴26?x=x3，
即x6?x=6，
?x2+6x?6=0，
解得：x1=3+3，x2=3?3，
即AP=3+3或3?3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖，三角形相似的性質(zhì)，熟練掌握尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，是解決本題的關(guān)鍵．
【題型8 在網(wǎng)格中畫(huà)與已知三角形相似的三角形】
【例8】（2022·安徽合肥·二模）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，A、B、C、D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，線(xiàn)段AB、CD相交于點(diǎn)O．
(1)請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖中畫(huà)出兩條線(xiàn)段（不添加另外的字母），構(gòu)成一對(duì)相似三角形，并用“∽”符號(hào)寫(xiě)出這對(duì)相似三角形：
(2)線(xiàn)段AO的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】(1)見(jiàn)解析，△AOC∽△BOD
(2)322
【分析】（1）如圖，連接BD，AC即可，可得△AOC∽△BOD．
（2）利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
(1)
如圖，連接AC，BD，
由格點(diǎn)圖可得BD∥AC，
∴△AOC∽△BOD，
(2)
∵△AOC∽△BOD，
∴OAOB=ACBD，
∵DB=12+12=2，AC=32+32=32，AB=22+22=22，
∴OAOB=322=3，
∴AO=3OB，
∴AO=34AB=34×22=322．
故答案為：322
【點(diǎn)睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，三角形的三邊關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
【變式8-1】（2022·河南南陽(yáng)·九年級(jí)期末）（1）如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上．在方格紙內(nèi)畫(huà)△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，相似比為2:1，且頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．
（2）△A'B'C'的面積是______．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）12
【分析】（1）根據(jù)相似比為2:1先確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，再連接即可得到答案；
（2）先求出根據(jù)△ABC的面積，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到△A'B'C'的面積．
【詳解】（1）如圖，△A'B'C'為所求作圖形；（答案不唯一）
（2）由題意得，SΔABC=12×3×2=3
∵△A'B'C'∽△ABC，相似比為2:1
∴SΔA'B'C'SΔABC=41
∴SΔA'B'C'=12
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理，涉及作圖，熟練掌握知識(shí)是解題關(guān)鍵．
【變式8-2】（2022·浙江溫州·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，運(yùn)用無(wú)刻度直尺作圖（保留作圖痕跡）
(1)在圖1中畫(huà)出線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)
(2)如圖2，在線(xiàn)段AB上找出點(diǎn)C，使AC:CB=1:2．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）取格點(diǎn)E，F(xiàn)，作直線(xiàn)EF即可；
（2）將點(diǎn)A沿網(wǎng)格向下移動(dòng)2個(gè)小格到點(diǎn)M，將點(diǎn)B沿網(wǎng)格向上移動(dòng)4個(gè)小格到點(diǎn)N，連接MN交AB于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求．
（1）
如圖所示，利用網(wǎng)格線(xiàn)確定中點(diǎn)，然后使二者垂直即可；
（2）
將點(diǎn)A沿網(wǎng)格向下移動(dòng)2個(gè)小格到點(diǎn)M，將點(diǎn)B沿網(wǎng)格向上移動(dòng)4個(gè)小格到點(diǎn)N，連接MN交AB于點(diǎn)C，
∴ AM:BN=1:2，
∵△ACM∽△BCN，
∴AMBN=ACBC=12，
∴點(diǎn)C即為所求，如圖所示：
【點(diǎn)睛】本題考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，相似三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題．
【變式8-3】（2022·浙江溫州·九年級(jí)期中）如圖，在8×8的方格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，按要求畫(huà)一個(gè)三角形，使它的頂點(diǎn)在方格的頂點(diǎn)上．
(1)請(qǐng)?jiān)趫D1中畫(huà)一個(gè)三角形，使它與△ABC相似，且相似比為2：1
(2)請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)一個(gè)三角形，使它與△ABC相似，且面積比為2：1
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB＝22+22=22，AC＝12+22=5，BC＝3，則△A1B1C1的三邊長(zhǎng)分別為A1B1＝42，A1C1＝25，B1C1＝6，在圖中畫(huà)出△A1B1C1即可；
（2）已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB＝22+22=22，AC＝12+22=5，BC＝3，則△A2B2C2的三邊長(zhǎng)分別為A2B2＝4，A2C2＝10，B2C2＝32，在圖中畫(huà)出△A2B2C2即可．
（1）
解：如圖1所示：△A1B1C1即為所求；
（2）
如圖2所示：△A2B2C2即為所求．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似變換，正確得出相似三角形的邊長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．
【題型9 新定義中的相似三角形】
【例9】（2022·陜西渭南·九年級(jí)期末）四邊形的一條對(duì)角線(xiàn)把這個(gè)四邊形分成兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似（不全等），我們就把這條對(duì)角線(xiàn)稱(chēng)為這個(gè)四邊形的“理想對(duì)角線(xiàn)”．
(1)如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC=70°，AB=AD，AD∥BC，當(dāng)∠ADC=145°時(shí)．求證：對(duì)角線(xiàn)BD是四邊形ABCD的“理想對(duì)角線(xiàn)”；
(2)如圖2，四邊形ABCD中，CA平分∠BCD，BC=3，CD=2，對(duì)角線(xiàn)AC是四邊形ABCD的“理想對(duì)角線(xiàn)”，求AC的長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)6
【分析】（1）利用兩角對(duì)應(yīng)相等證明△ABD∽△DBC，可得結(jié)論；
（2）利用“理想對(duì)角線(xiàn)”的定義可得△ABC與△DAC相似，先找到對(duì)應(yīng)角（分兩種情況），再利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．
（1）
證明：如圖1中，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD∥BC，∠ABC=70°，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=35°，
∵AD∥BC，∠ADC=145°，
∴∠C=180°?∠ADC=180°?145°=35°，
∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=∠C=35°，
∴△ABD∽△DBC，
∴對(duì)角線(xiàn)BD是四邊形ABCD的“理想對(duì)角線(xiàn)”．
（2）
解：如圖2中，
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCA=∠ACD，
∵對(duì)角線(xiàn)AC是四邊形ABCD的“理想對(duì)角線(xiàn)”，
∴△ABC與△DAC相似，
①若∠ABC=∠DAC，則△ABC∽△DAC，
∴ACBC=DCAC，即AC2=BC·DC，
∵BC=3，CD=2，
∴AC2=BC·DC=3×2=6，
解得：AC1=6，AC2=?6（不合題意，舍去）
②若∠BAC=∠DAC，
∵AC=AC，∠BCA=∠ACD，
∴△ABC≌△DAC，與四邊形的“理想對(duì)角線(xiàn)”的定義矛盾，
∴∠BAC與∠DAC不相等，即第二種情況不存在．
綜上所述，AC的長(zhǎng)為6．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，四邊形的“理想對(duì)角線(xiàn)”的定義，等邊對(duì)等角，平行線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)．
【變式9-1】（2022·福建·廈門(mén)市第五中學(xué)八年級(jí)期中）定義：若一個(gè)三角形最長(zhǎng)邊是最短邊的2倍，我們把這樣的三角形叫做“和諧三角形”．在△ABC中，點(diǎn)F在邊AC上，D是邊BC上的一點(diǎn)，AB＝BD，點(diǎn)A，D關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，且直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F．
（1）如圖1，求作點(diǎn)F；（用直尺和圓規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
（2）如圖2，△ABC是“和諧三角形”，三邊長(zhǎng)BC，AC，AB分別a，b，c，且滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．
①求a，b之間的等量關(guān)系；
②若AE是△ABD的中線(xiàn)．求證：△ACE是“和諧三角形”．
【答案】（1）見(jiàn)解析（2）①a=b+1②見(jiàn)解析
【分析】（1）作AD的垂直平分線(xiàn)，交AC于F點(diǎn)即可；
（2）①根據(jù)題意得到a=2c，聯(lián)立a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1即可求解；
②證明△ABE∽△CBA，得到AECA=12，故可求解．
【詳解】（1）如圖，點(diǎn)F為所求；
（2）①∵△ABC是“和諧三角形”
∴a=2c
又a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．
聯(lián)立化簡(jiǎn)得到a=b+1；
②∵E點(diǎn)是BD中點(diǎn)
∴BE=12BD=12AB
由①得到AB=12BC
∴ABBC=BEAB=12
又∠ABE=∠CBA
∴△ABE∽△CBA
∴ABBC=BEAB=AECA=12
故△ACE是“和諧三角形”．
【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知垂直平分線(xiàn)的做法．
【變式9-2】（2022·江蘇常州·九年級(jí)期末）如果經(jīng)過(guò)一個(gè)三角形某個(gè)頂點(diǎn)的直線(xiàn)將這個(gè)三角形分成兩部分，其中一部分與原三角形相似，那么稱(chēng)這條直線(xiàn)被原三角形截得的線(xiàn)段為這個(gè)三角形的“形似線(xiàn)段”．
(1)在△ABC中，∠A=30．
①如圖1，若∠B=100°，請(qǐng)過(guò)頂點(diǎn)C畫(huà)出△ABC的“形似線(xiàn)段”CM，并標(biāo)注必要度數(shù)；
②如圖2，若∠B =90°，BC=1，則△ABC的“形似線(xiàn)段”的長(zhǎng)是 ．
(2)如圖3，在DEF中，DE=4，EF=6，DF=8，若EG是DEF的“形似線(xiàn)段”，求EG的長(zhǎng)．
【答案】(1)①見(jiàn)解析；②32或233
(2)3
【分析】（1）①使∠BCM=30°即可，②利用三角形相似求解，分論討論，當(dāng)∠CBD=30°時(shí)，當(dāng)∠CDB=60°時(shí)，結(jié)合勾股定理求解；
（2）進(jìn)行分類(lèi)討論，若△DEG∽△DFE，若△FEG∽△FDE，結(jié)合DE=4，EF=6，DF=8進(jìn)行求解．
(1)
①如圖所示，
②分論討論如下：
當(dāng)∠CBD=30°時(shí)，如下圖：
∴DC=12BC=12，
∵∠A=30°，
∴∠C=60°，
∴BD=BC2?DC2=32，
當(dāng)∠CDB=60°時(shí)，如下圖：
設(shè)BD=x，則DC=2x，
(2x)2=x2+1，
解得：x=33，
∴DC=233，
則△ABC的“形似線(xiàn)段”的長(zhǎng)是32或233，
故答案為：32或233．
(2)
解：①若△DEG∽△DFE，
則EGEF=DEDF．
∵ DE=4，EF=6，DF=8，
∴ EG=3．
②若△FEG∽△FDE，
則EGDE=EFDF．
∵ DE=4，EF=6，DF=8，
∴ EG=3．
綜上，EG=3．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定及性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形相似的判定及性質(zhì)，及利用分論討論的思想進(jìn)行求解．
【變式9-3】（2022·安徽合肥·二模）定義：如果一個(gè)三角形中有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，那么我們稱(chēng)這樣的三角形為倍角三角形．根據(jù)上述定義可知倍角三角形中有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，所以我們就可以通過(guò)作出其中的2倍角的角平分線(xiàn)，得出一對(duì)相似三角形，再利用我們學(xué)過(guò)的相似三角形的性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題．請(qǐng)通過(guò)這種方法解答下列問(wèn)題：
(1)如圖1，△ABC中，AD是角平分線(xiàn)，且AB2=BD?BC，求證：△ABC是倍角三角形；
(2)如圖2，已知△ABC是倍角三角形，且∠A=2∠C，AB=8，BC=10，求AC的長(zhǎng)；
(3)如圖3，已知△ABC中，∠A=3∠C，AB=8，BC=10，求AC的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)AC=4.5
(3)AC=3
【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定可證△ABD∽△CBA，進(jìn)而由相似三角形的性質(zhì)可得∠BAD=∠C，角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得∠BAC=2∠BAD，等量代換即可求證結(jié)論；
（2）作△ABC的角平分線(xiàn)AD，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)易得∠BAC=2∠BAD=2∠CAD，進(jìn)而可證△ABD∽△CBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AB2=BD?BC，進(jìn)而可得BD、CD，由等角對(duì)等邊可得AD=CD=3.6，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得ADAC=BDAB，代入數(shù)據(jù)即可求解；
（3）過(guò)點(diǎn)A作∠BAC的三等分角，AD，AE，分別交BC于點(diǎn)D，E，根據(jù)三等分線(xiàn)的性質(zhì)可知：∠BAC=3∠BAD=3∠DAE=3∠CAE，進(jìn)而可證△ABD～△CBA，由相似三角形的性質(zhì)可得：AB2=BD?BC，進(jìn)而可得BD、CD，根據(jù)外角的性質(zhì)和等量代換可得∠BAE=∠BEA=2∠C,進(jìn)而由等角對(duì)等邊可得BE=AB=8，進(jìn)而可得△ADE∽△CDA，由相似三角形的性質(zhì)可得：AD2=DE?CD，代入數(shù)據(jù)求得：AD=2.4，由相似三角形的性質(zhì)可得AEAC=DEAD，代入數(shù)據(jù)即可求解．
(1)
∵AB2=BD?BC，
∴ABBC=BDAB，
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴∠BAD=∠C，
∵AD是△ABC的角平分線(xiàn)，
∴∠BAC=2∠BAD，
∴∠BAC=2∠C，
∴△ABC是倍角三角形：
(2)
如圖2，作△ABC的角平分線(xiàn)AD，則∠BAC=2∠BAD=2∠CAD，
∵∠BAC=2∠C，
∴∠BAD=∠C，
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴AB2=BD?BC，
∴BD=6.4，
∴CD=BC?BD=10?6.4=3.6，
∵∠CAD=∠C，
∴AD=CD=3.6，
∵ADAC=BDAB，
∴3.6AC=6.48，
∴AC=4.5
(3)
如圖3，過(guò)點(diǎn)A作∠BAC的三等分角，AD，AE分別交BC于點(diǎn)D，E，
則∠BAC=3∠BAD=3∠DAE=3∠CAE，
∵∠BAC=3∠C，
∴∠BAD=∠C，
∵∠B=∠B，
∴△ABD～△CBA，
∴AB2=BD?BC，
∴BD=6.4，
∴CD=BC?BD=10?6.4=3.6，
∵∠BAE=∠BEA=2∠C，
∴BE=AB=8，
∴CE=2，DE=1.6，
∵∠CAE=∠C，
∴AE=CE=2，
∵∠DAE=∠C，
∠ADC=∠EDA，
∴△ADE∽△CDA，
∴AD2=DE?CD=1.6×3.6，
∴AD=2.4，
∵AEAC=DEAD，
∴2AC=1.62.4，
∴AC=3.
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定及其性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)、等角對(duì)等邊等知識(shí)，正確做輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法及其性質(zhì)．
【題型10 相似與函數(shù)綜合探究】
【例10】（2022·遼寧大連·九年級(jí)期末）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．點(diǎn)D是線(xiàn)段AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在射線(xiàn)CB上且∠CDE＝∠B．
(1)求BC的長(zhǎng)；
(2)若AD＝x，△CDE的面積與△ABC重合部分的面積是y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍．
【答案】(1)6
(2)y=?67x2+24,0≤x

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